Исследовательская работа на тему: «Аликвотные дроби"

Муниципальное казенное учреждение отдел  образования администрации МР Ишимбайский район МБОУ СОШ

с. Урман-Бишкадак  

 

 

                                                                 

  Республиканская научно-практическая конференция

школьных исследовательских работ                                                                     Номинация «Математика»

 

 

 

 

 

  «Аликвотные дроби»

 

 

 

 

 

 

      Выполнил ученик 8 класса

МБОУ СОШ с. Урман - Бишкадак

  Захаров Никита

Руководитель: учитель   

Сафаргулова Фаниля Файзулловна

 

                                

      

 

 

 

 

 

с. Урман-Бишкадак                                                                                                    2015 год 

Объект исследования: аликвотные дроби

Цель исследования: выяснить, какое значение имеют  аликвотные дроби в нашей жизни.

Задачи исследования: 

1.     Узнать происхождение аликвотных дробей.

2.     Рассмотреть основные операции  с аликвотными дробями.

3.     Решать олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей.

4.     Составлять и решать задачи практического содержания.

 

Методы исследования:

1.     Анализ математической литературы по данной теме;

2.     Отбор конкретных задач прикладного характера по данной теме;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

Введение……………………………………………………………………4

1.     История аликвотных дробей………………………………………4

1.1 Аликвотные дроби в Древнем Египте………………………5

     1.2. Значение аликвотных дробей в истории………...…………6

2.     Аликвотные струны……………………………………...………...7

3.     Формулы аликвотных дробей. ……………………………………7

4.     Открытые проблемы…………………………………….…………8

5.     Решение задач ………………………………………….…………..8

             5.1. Из учебника…………………………………….…………….8

             5.2.Авторская задача……………………………….……………..9

Заключение …………………………………………………..……………9

Список литературы……………………………………………………….11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Тема «Аликвотные дроби» является интересной темой для исследования дробей.  Столкнувшись с этим термином впервые, понимаешь, почему в Древнем Египте математики «настоящими» дробями считали только аликвотные дроби.

Почему же я выбрал эту тему? В  седьмом классе наша любимая математика разделилась на составляющие, а именно Алгебру и Геометрию. Сначала мы в классе подразумевали эти два предмета как совершенно новые, но оказалось, что в  алгебре изучается теория чисел, а в геометрии различные фигуры. И при решении разнообразных олимпиадных задач по алгебре, я пришел к выводу, что часть этих задач решается с использованием аликвотных дробей.

1.     История аликвотных дробей

Аликвота - (лат. aliquoties, «несколько раз;несколько частей»)

Аликвотная дробь- дробь, числитель которой равен единице.

Аликвотные дроби начали использоваться ещё в древности.  Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась у наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три – «треть», четыре – «четверть» и т. д.), для половины это не так – ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два». Следующей дробью была треть.[1]

 

 

 

1.1 Аликвотные дроби в Древнем Египте

Аликвотные дроби появились раньше других дробей. В Древнем Египте математики  “ настоящими “ считали только аликвотные дроби. Это дроби вида   1/n.

Египтяне все дроби записывали как суммы долей. Например: 8/15=1/3+1/5. Дроби 1/n  ( где n - натуральные число ), которым египтяне отдавали предпочтение, в современной математике именуются аликвотными ( от латинского aliguot- " несколько'').  То есть аликвотными дробями называются дроби с числителем 1. И даже сами аликвотные дроби они часто стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей. Например, 

                                         1/2=1/3+1/6, 1/4=1/5+1/20

Египтяне ставили иероглиф «Глаз Хора»  - единица для измерения ёмкостей и объемов,

                               

представляла собой   дробь  , так как согласно мифам глаз Хора был выбит, а затем восстановлен на  . Каждая часть глаза соответствовала определённой дроби и была представлена в виде суммы аликвотных дробей таким образом:          +  +  +  +  +  = .

         Причиной появления этих дробей являлась необходимость разбить единицу на доли. Это нужно было для того:

1. чтобы разделить добычу после охоты,  ведь, нужно было знать, сколько частей составляет целое и кому какая часть добычи станет принадлежать.

2. чтобы поделить основную меру объёма в Древнем Египте - «хекат». [2]

Египетская дробь — в математике сумма нескольких  аликвотных дробей вида 1/n. Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Пример : ½ +1/3+1/16.

Египетская дробь представляет собой положительное  вида a/b; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби. Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci» -  это вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.[3]

1.2. Значение аликвотных дробей в истории

Основная мысль Алгоритма Фибоначчи

Первый дошедший до нас общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие описал Фибоначчи  в XIII веке. В современной записи его алгоритм можно изложить следующим образом.[4]

1. Дробь  разлагается на 2 слагаемых:

Здесь  — частное от деления n на m, округлённое до целого в бо́льшую сторону, а  — (положительный) остаток от деления -n на m.

2. Первое слагаемое в правой части уже имеет вид египетской дроби. Из формулы видно, что числитель второго слагаемого строго меньше, чем у исходной дроби. Аналогично, по той же формуле, разложим второе слагаемое и продолжим этот процесс, пока не получим слагаемое с числителем 1.

Метод Фибоначчи всегда сходится после конечного числа шагов и даёт искомое разложение. Пример:

Однако полученное таким методом разложение может оказаться не самым коротким. Пример его неудачного применения: в то время как более совершенные алгоритмы приводят к разложению:

Новейшее время

Современные математики продолжают исследовать ряд задач, связанных с египетскими дробями и достигли больших успехов в этом направлении.

2.     Аликвотные струны

 Аликвотные дроби применятся и в жизни. В ходе работы я узнал, что бывают аликвотные струны, чаще всего их называют резонансовыми струнами. Это  дополнительные  струны, к которым исполнитель не прикасается во время игры. Резонансовые  струны  само возбуждаются от колебания игровых струн, служат для усиления их звучания и для обогащения тембровых возможностей инструмента. Эти струны  размещаются под грифом, сбоку или под игровыми струнами. Встречаются у многих индийских инструментов, у хардингфеле, у некоторых виолончелей[5]

3.     Формулы аликвотных дробей.

Чтобы представить какое либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять, незаурядную изобретательность. Скажем, число 2/43 выражается так: 2/43= 1/42 +1/86 +1/129 +1/301.Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно.

Поэтому в процессе решения задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей возникла идея систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.

Формула выглядит следующим образом:

1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))

Но если преобразовать нашу формулу, то получим следующее полезное равенство:

1/(n*(n+1))=1/n -1/(n+1)

Т.е. аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей, или разность двух аликвотных, знаменателями которых,   являются последовательные  числа  равна  их  произведению.

Вернемся к формуле и докажем это равенство: 

 1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))                                                                 

 (1/(n+1)) +(1/n*(n+1)) , приведя дроби к общему знаменателю, получаем:

 ( n+1 )/((n+1)*n) после сокращения получаем: 1/n.

Итак, получается, что 1/n=1/n. Наша формула верна.

4.     Открытые проблемы

Гипотеза Эрдёша-Страуса утверждает , что для всякого целого числа 

n ≥ 2, существуют положительные целые x, y и z такие, что

4/n=1/x+ 1/y+ 1/z

Компьютерные эксперименты показывают, что гипотеза верна для всех n ≤ 1014, но доказательство пока не найдено. Обобщение этой гипотезы утверждает, что для всякого положительного k существует N такое, что для всех n ≥ N существует разложение[6]

k/n=1/x+1/y+1/z

5.     Решение задач

5.1.           Из учебника

         Из математического сборника олимпиады, я нашел интересную задачу, в которой требуются знания по аликвотным дробям.

Петя тратит 1/3 часть своего времени на занятия в школе, ¼ часть – на игру футбол, 1/5 – на прослушивание пластинок, 1/6 – на телевизор, 1/7 – на решение задач по математике.  Можно ли так жить?

Разделить 7 хлебов между 8 людьми. Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов. А по-египетски эта задача решалась так: 7/8= 1/2 +1/4 +1/8. Значит, каждому человеку нужно дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Придется сделать почти в три раза меньше разрезов.

5.2.          Авторская задача

В рамках подготовки к участию на международном саммите стран ШОС и БРИКС в Уфе в 2015 году,  авторскую задачу я связал  именно с этим числом.

 Чтобы узнать в каком году Фибоначчи со дня рождения исполнится 845 лет, нужно сумму аликвотных дробей 1/(1*2)+1/(2*3)+1(3*4)+…+1(1169*1170)+1(1170*1171) умножить на число,     когда Фибоначчи исполнилось 1 год, если он родился в 1170 году,  и

прибавить возраст Фибоначчи.

Решение: 1/(1*2)+1/(2*3)+1(3*4)+…+1(1169*1170)+1(1170*1171)  = 1170/1171*1171+845=2015

Ответ: Фибоначчи в 2015 году исполняется 845 лет.

 Заключение

         Таким образом, при разработке данной темы,  я узнал, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби.

Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс  нестандартных задач.  Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решили олимпиадные задачи по математике разных лет.

Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести , разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.

 Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек. И я считаю, что на эти дроби в школьном курсе нужно обращать как можно больше внимания, ведь в учебниках даже нет понятия «аликвотные дроби».   С Древних времен тема «Дроби» считалась одной из самых сложных, поэтому, когда человек попадал   в трудное положение, говорили «Попал в дроби». Для того чтобы не  в жизни у вас все получалось, нужно знать и изучать дроби! Спасибо за внимание!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Список литературы

1.     Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. М.: Педагогика,1989.

2.     Левитас Г. Г. Нестандартные задачи по математике.– М.: ИЛЕКСА,2007.

3.     Баженов И.И., Порошкин А.Г. и др. Задачи для школьных математических кружков. Сыктывкар, 1994.

4.     Гаврилова Т. Д. «Занимательная математика». 5-11класс. Волгоград: Учитель, 2008.

5.     Фарков А. В. Математические олимпиады в школе. 5-11класс. – М.: Айрис-пресс, 2005.

6.     Петерсон Л. Г. Математика. 5класс. – М.:Ювента, 2009.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение

 

 

 

Задачи из журнала «Квант». Решение задач.

Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей

А) трёх слагаемых:

 1 = .

Б) четырёх слагаемых:

  1 =  =

.

В) пяти слагаемых:

  1 =  =  +  + .

 Г)  шести слагаемых:

1 =  =  +  +  = +

Представьте дробь  в виде аликвотных дробей.

 Существует 2 способа представления дроби   в виде суммы и один - в виде разности аликвотных дробей. Это, опять-таки, из-за простоты числа 2011.

                      

 3. Верно ли равенство?

Равенство верно.

 

4. Верно ли равенство?

Равенство верно.

5. Верно ли равенство?

 Равенство верно.

     6.  Решить пример.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«Аликвотные дроби»

 Захаров Никита ученик 8 класса

                                                             МБОУ СОШ с Урман-Бишкадак

                                                МР Ишмбайский  район

                                                            Руководитель: учитель математики

                                                                Сафаргулова Фаниля Файзулловна

Объект исследования: аликвотные дроби

Цель исследования: выяснить, какое значение имеют  аликвотные дроби в нашей жизни.

1.     Задачи исследования: 

2.     Узнать происхождение аликвотных дробей.

3.     Рассмотреть основные операции  с аликвотными дробями.

4.     Решать олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей.

5.     Составлять и решать задачи практического содержания.

 

Методы исследования:

3.     Анализ математической литературы по данной теме;

4.     Отбор конкретных задач прикладного характера по данной теме;

 

Аликвотная дробь -  дробь, числитель которой равен единице.

Аликвотные дроби начали использоваться ещё в древности.  Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась у наших предков при дележе добычи после охоты.

Формула  разложения выглядит следующим образом:

1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))

Авторская задача

В рамках подготовки к участию на международном саммите стран ШОС и БРИКС в Уфе в 2015 году,  авторскую задачу я связал  именно с этим числом.

 Чтобы узнать в каком году Фибоначчи с дня рождения исполнится 845 лет, нужно сумму аликвотных дробей 1/(1*2)+1/(2*3)+1(3*4)+…+1(1169*1170)+1(1170*1171) умножить на число ,когда Фибоначчи исполнилось 1 год , если он родился в 1170 году,  и

прибавить 845.

Решение: 1/(1*2)+1/(2*3)+1(3*4)+…+1(1169*1170)+1(1170*1171)  = 1170/1171*1171+845=2015

Ответ: Фибоначчи в 2015 году исполняется 845 лет.

С Древних времен тема «Дроби» считалась одной из самых сложных, поэтому, когда человек попадал   в трудное положение, говорили «Попал в дроби». Для того чтобы не  в жизни у вас все получалось, нужно знать и изучать дроби!