Главная / Математика / Исследовательская работа по математике : «Магические квадраты»

Исследовательская работа по математике : «Магические квадраты»



Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

Северная средняя общеобразовательная школа











Исследовательская работа по математике :

«Магические квадраты»







Выполнила:

обучающаяся 5 «б» класса

МКОУ Северной СОШ

Филипчук Алиса;

руководитель:

Юркина Татьяна Александровна,

учитель математики

1 квалификационной категории



с.Северное, 2015 г.







Оглавление

Введение стр.3

1.История появления магических квадратов стр.4

2.Виды магических квадратов стр.6

3.Исследование способов заполнения магических квадратов стр.6

3.1. Повороты и отражения

3.2. Способ Баше

3.3. Индийский способ

4. Как составить магический квадрат стр.12

Заключение стр.14

Список литература стр.15

Введение

О магических квадратах я впервые узнала на уроке математики. А однажды учительница предложила нам самим составить подобное задание. Но эта работа оказалась не такой простой, как нам показалось на первый взгляд. Меня заинтересовала предложенная задача. Но метод перебора мне не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Решила выяснить их происхождение, почему квадраты называют магическими, раскрыть секреты и найти способы составления магических квадратов.

Тема исследования: составление магических квадратов.

Объект исследования: магический квадрат.

Гипотеза: для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро.

Цель исследования: раскрыть «секреты» магического квадрата

Задачи исследования:

- познакомиться с историей появления магических квадратов

- изучить способы заполнения магических квадратов

- исследовать количество решений для магических квадратов 3 и 5 порядка.


Методы исследования: анализ литературы и Интернет-ресурсов, эксперимент.

Этапы исследования:

1. Знакомство с литературой и Интернет-ресурсами

2. Оформление работы

3. Выступление перед классом






1.История появления магических квадратов

2

7

6

9

5

1

4

3

8



Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — это квадратная таблица, заполненная числами так, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбике и на обеих диагоналях одинакова. Согласно китайскому преданию, самый простой и древнейший известный человечеству магический квадрат был начертан на панцире священной черепахи. Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Существует такая легенда. Давным-давно более 4 000 лет тому назад, во времена правления императора Ю , из вод Хуанхэ всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1а). Эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1б.



hello_html_2ad2897.png

Рис.1



В 11 веке о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 веке магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 веке византийский писатель ЭмануилМосхопулос. Построением и изучением свойств магических квадратов занимались такие известные математики как Гаусс, Эйлер, Ферма. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера (рис. 2), изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1 (рис.3).

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1






Рис.2

Аhello_html_22668e44.jpgльбрехт Дюрер,
"Меланхолия " Квадрат Дюрера
hello_html_26604994.jpg

рис.3


Дата создания гравюры 1514г. указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты. В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры.

2. Виды магических квадратов

Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства, будто они могли даже вылечить человека от страшных болезней. Получение магических квадратов было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим.

А еще существуют квадраты, в которых два числа, расположенных симметрично относительно центра квадрата, дают одинаковую сумму. Китайский математик в XIII в. О построил магический квадрат из 36 клеток, в котором только две пары таких чисел не дают сумму 37 ( рис. 4)

27

29

2

4

13

36

9

11

20

22

31

18

32

25

7

3

21

23

14

16

34

30

12

5

28

6

15

17

26

19

1

24

33

35

8

10














Рис.4

3.Исследование способов заполнения магических квадратов

Составление магических, или волшебных, квадратов – сейчас весьма распространенный вид математических развлечений. Задача состоит в отыскании такого расположения последовательных чисел (начиная с 1) по клеткам квадрата, чтобы суммы чисел во всех строках, столбцах и по обеим диагоналям квадрата были одинаковы.

4

3

8

9

5

1

2

7

6

Наименьший магический квадрат – 9-клеточный; легко убедиться испытанием, что магический квадрат из четырех клеток существовать не может. Образец 9-клеточного магического квадрата на рисунке 5.







Рис.5

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

45:3=15

15 :3=5

Подобным же образом можно заранее определить сумму чисел строки или столбца любого магического квадрата, состоящего из какого угодно числа клеток. Для этого нужно сумму всех чисел квадрата разделить на число его строк.

3.1. Повороты и отражения.

Составив один магический квадрат, легко получить его видоизменения, то есть найти ряд новых магических квадратов. Например, составим магический квадрат из чисел 10, 11,12,13,14,15,16,17,18.

10+11+12+13+14+15+16+17+18=126

126:3=42- сумма в строке, столбце, диагонали.

42:3=14-число в центре квадрата

Повернув его мысленно на четверть полного оборота (на 900), получим другой магический квадрат.

Дальнейшие повороты – на 1800 (половину полного оборота) и на 2700 (три четверти полного оборота) – дадут еще два видоизменения начального квадрата (рис.6).









13

18

11

12

14

16

17

10

15

11

16

15

18

14

10

13

12

17









Рис.6



Каждый из вновь полученных магических квадратов можно, в свою очередь, видоизменить, если представить себе, что он как бы отражен в зеркале. На рисунке 5 показан начальный квадрат и одно из его зеркальных отражений (рис.7).

17

10

15

12

14

16

13

18

11

13

18

11

12

14

16

17

10

15









рис.7

Проделав с 9- клеточным квадратом все повороты и отражения, получаем следующие его видоизменения (рис. 8).

13

18

11

12

14

16

17

10

14

15

16

11

10

14

18

17

12

13



17

10

15

12

14

16

13

18

11













11

18

13

16

14

12

15

10

17

17

12

13

10

14

18

15

16

11

13

12

17

18

14

10

11

16

15









11

16

15

18

14

10

13

12

17

15

10

17

16

14

12

11

18

13









рис.8

Это полный набор всех магических квадратов, какие вообще могут быть составлены из чисел 10, 11,12,13,14,15,16,17,18.

3.2. Способ Баше.

Старинный прием составления нечетных магических квадратов, то есть квадратов из любого нечетного числа клеток: 3х3, 5х5, 7х7 и т.п. Прием этот предложен в XVII веке французским математиком Баше. Так как способ Баше пригоден и для 9- клеточного квадрата, то удобнее всего начать исследование способа именно с этого примера. Итак, приступим к составлению 9- клеточного магического квадрата по способу Баше.

Начертив квадрат, разграфленный на девять клеток, пишем по порядку числа от 1 до 9, располагая их косыми рядами по три в ряд, как показано на рисунке 9.


16



17


13


18


14


10


15


11



12














Рис.9

17

12

13

10

14

18

15

16

11

Числа, стоящие вне квадрата, вписываем внутрь его так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата (оставаясь в тех же столбцах или строках, что и раньше). В результате получаем квадрат (рис.10)









Рис.10

Пример магического 25- клеточного квадрата на рисунке 11

3

16

9

22

15

20

8

21

14

2

7

25

13

1

19

24

12

5

18

6

11

4

17

10

23











Рис.11



3.3. Индийский способ

Способ придумали в Индии еще до начала нашего летосчисления. Состоит он из шести правил:

1. В середине верхней строки пишут 1, а в самом низу соседнего справа столбца – 2.

2. Следующие числа пишутся по порядку в диагональном направлении вправо вверх.

3. Дойдя до правого края квадрата, переходя к крайней левой клетке ближайшей вышележащей строки.

4. Дойдя до верхнего края квадрата, переходят к самой нижней клетке соседнего справа столбца.

Примечание. Дойдя до правой верхней угловой клетки, переходят к левой нижней.

5. Дойдя до уже занятой клетки, переходят к клетке, лежащей непосредственно под последней заполненной клеткой.

6. Если последняя заполненная клетка находится в нижнем ряду квадрата, переходят к самой верхней клетке в том же столбце.

Руководясь этими правилами, можно быстро составлять магические квадраты с любым нечетным числом клеток.

Если чисто клеток не делится на 3, можно начинать составление магического квадрата не по правилу 1, а по другому правилу.

Единицу можно написать в любой клетке диагонального ряда, идущего от средней клетки крайнего левого столбца к средней клетке самой верхней строки квадрата. Все последующие числа вписываются согласно правилам 2 – 5.

Это дает возможность составить по индийскому способу не один, а несколько квадратов.

Пример магического квадрата из 49 клеток на рисунке 12.

30

39

48

1

10

19

28

38

47

7

9

18

27

29

46

6

8

17

26

35

37

5

14

16

25

34

36

45

13

15

24

33

42

44

4

21

23

32

41

43

3

12

22

31

40

49

2

11

20













Рис.12


С увеличением размеров квадрата быстро растет количество возможных магических квадратов. Так, например, для 3 порядка – единственный, для 4 порядка - 880, для 5 порядка – приближается к четверти миллиона.

4. Как составить магический квадрат

Изучив множество способов составления магического квадрата, наиболее доступны для нас пока два способа.

Способ №1

1. Выбрать произвольных три числа.

2. Найти сумму этих трех чисел МС– магическая сумма.

3. МС : 3- это число записывается в центре магического квадрата.

Способ №2

1. Записать цифры по порядку в квадрате.

2. Поменять местами цифры, стоящие на противоположных концах диагоналей

3. Сдвинуть на шаг по часовой стрелке каждое из чисел

Задание 1. Заполните магический квадрат, начиная с чисела4, 9, 11.

Решение :

4

9

11

15

8

1

5

7

12





hello_html_3ebb3bd0.gifhello_html_a36adb6.gifhello_html_m20324873.gif

4 9 11

З hello_html_m20324873.gifhello_html_m36d2df2a.gifадание 2. Составить магический квадрат, начиная с чисел 8, 9 и 13.

Решение :

8

9

13

15

10

5

7

11

12









Зhello_html_m2fb83a6a.gifhello_html_m2fb83a6a.gif

18



22



29





адание 3.Заполните магический квадрат.

Решение:

17

7

9

3

11

19

13

15

5



hello_html_m59492c59.gif

hello_html_m59492c59.gif

Задание 4. Заполните магический квадрат

Решение :

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

12























Заключение

Магический квадрат - древнекитайского происхождения. Универсального способа заполнения магических квадратов нет. Способ заполнения магического квадрата, зависит от его порядка.

Мы изучили лишь небольшую часть способов составления магических квадратов, поэтому на этом мы не собираемся останавливаться. Есть еще много разных видов магических квадратов, которые мы хотели бы в дальнейшем изучать. Составление магических квадратов представляет собой отличную гимнастику для ума. Мы обязательно должны научить и других тому, что умеем сами. К тому же, теперь магические квадраты – это элементы нанотехнологии: фирма «Toshiba», разрабатывая качественные телевизионные экраны, пришла к выводу, что цветовые ячейки выгодно располагать по принципу магических квадратов. В этом случае резко повышаются качество и четкость изображений, цветовые переходы.





























Использованные материалы

  1. И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин. За страницами учебника математики. Москва. Просвещение. 2013 г.

  2. 2. Энциклопедический словарь юного математика. М.,«Педагогика»,

2009 г.

  1. Я.И. Перельман «Занимательные задачи и опыты». М. «Детская

литература», 2002 г.
4. www.krugosvet.ru . Энциклопедия Кругосвет

5. ru.wikipedia.org›. Википедия













Исследовательская работа по математике : «Магические квадраты»
  • Математика
Описание:

О магических квадратах я впервые узнала на уроке математики. А однажды учительница предложила нам самим составить подобное задание. Но эта работа оказалась не такой простой, как нам показалось на первый взгляд. Меня заинтересовала предложенная задача. Но метод перебора мне не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Решила выяснить их происхождение, почему квадраты называют магическими, раскрыть секреты и найти способы составления магических квадратов.

Тема исследования: составление магических квадратов.

Объект исследования: магический квадрат.

Гипотеза: для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро.

Цель исследования: раскрыть «секреты» магического квадрата

Задачи исследования:

- познакомиться с историей появления магических квадратов

- изучить способы заполнения магических квадратов

- исследовать количество решений для магических квадратов 3 и 5 порядка.

Методы исследования: анализ литературы и Интернет-ресурсов, эксперимент.

Этапы исследования:

1. Знакомство с литературой и Интернет-ресурсами

2. Оформление работы

3. Выступление перед классом

Автор Юркина Татьяна Александровна
Дата добавления 05.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Другое
Просмотров 2024
Номер материала 58920
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓