Индивидуальное
задание для студентов на самостоятельную работу по теме: «Приложение
производной к исследованию функций».
Задание: Исследовать методами
дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования,
построить её график.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
Схема полного исследования функции
Для полного
исследования функции и построения её графика применяется следующая примерная
схема:
1. указать область определения функции;
2. найти точки разрыва функции, точки пересечения её графика с
осями координат и вертикальные асимптоты (если они существуют);
3. установить наличие или отсутствие четности, нечетности,
периодичности функции;
4. исследовать функцию на
монотонность и экстремум;
5. определить интервалы
выпуклости и вогнутости, точки перегиба;
6. найти асимптоты графика
функции;
7. произвести
необходимые дополнительные вычисления;
8. построить график
функции.
Пример. .
Решение. Воспользуемся
рекомендуемой схемой.
1. Областью
определения функции является множество .
2.
Ордината точки графика у > 0 при , при .
3.
Точки пересечения графика данной функции с
осями координат:
(0, –9/4) и (– 3, 0).
4. Легко находим, что - вертикальная
асимптота, причем:
.
5. Исследуем
функцию на возрастание, убывание, локальный экстремум:
.
Из условия у' = 0 следует ,
откуда .
В интервале , следовательно,
функция возрастает в этом интервале. В у' <
0, т. е. функция убывает. Поэтому функция в точке имеет
локальный максимум: . В интервале (4; 11) у' <
0, следовательно, функция убывает на этом интервале; в у'
> 0, т. е. функция возрастает. В точке имеем
локальный минимум: .
6.
Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки
перегиба. Для этого найдем
.
Очевидно, что в
интервале , и в этом интервале кривая выпукла; в , т. е. в этом интервале кривая вогнута.
Так как при функция не определена, то точка перегиба
отсутствует.
7. Находим
наклонные асимптоты :
,
Таким образом,
существует единственная наклонная асимптота .
9.
Строим график функции
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.