Главная / Математика / Индивидуальное задание для студентов на самостоятельную работу по теме: «Приложение производной к исследованию функций».

Индивидуальное задание для студентов на самостоятельную работу по теме: «Приложение производной к исследованию функций».

Индивидуальное задание для студентов на самостоятельную работу по теме: «Приложение производной к исследованию функций».

Задание: Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить её график.

1. hello_html_5c784d03.gif.

2. hello_html_45b5b871.gif.

3. hello_html_4b2594c5.gif.

4. hello_html_77ed7249.gif.

5. hello_html_7e564864.gif.

6. hello_html_m52d20058.gif.

7. hello_html_32d9acfc.gif.

8. hello_html_m5c6e475f.gif.

9. hello_html_10dd5465.gif.

10. hello_html_63476543.gif.





Схема полного исследования функции

Для полного исследования функции и построения её графика применяется следующая примерная схема:

1. указать область определения функции;

2. найти точки разрыва функции, точки пересечения её графика с осями координат и вертикальные асимптоты (если они существуют);

3. установить наличие или отсутствие четности, нечетности, периодичности функции;

  1. исследовать функцию на монотонность и экстремум;

  2. определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;

  3. найти асимптоты графика функции;

  4. произвести необходимые дополнительные вычисления;

  5. построить график функции.



Пример. hello_html_m25441fec.gif.

Решение. Воспользуемся рекомендуемой схемой.

1. Областью определения функции является множество hello_html_m713b38c0.gif.

  1. Ордината точки графика у > 0 при hello_html_1cfead71.gif, hello_html_me967c23.gif при hello_html_2e88185b.gif.

  2. Точки пересечения графика данной функции с осями координат:

(0, –9/4) и (– 3, 0).

4. Легко находим, что hello_html_m312d3d63.gif - вертикальная асимптота, причем:

hello_html_m2fb33f64.gif.

5. Исследуем функцию на возрастание, убывание, локальный экстремум:

hello_html_m3bd1f496.gif.

Из условия у' = 0 следует hello_html_22880989.gif, откуда hello_html_m47eeff0e.gif.

hello_html_64228f61.gif

+ – +

11

min

min

3

max








В интервале hello_html_m46747dcb.gif, следовательно, функция возрастает в этом интервале. В hello_html_42ddb99f.gif у' < 0, т. е. функция убывает. Поэтому функция в точке hello_html_757d3eb0.gif имеет локальный максимум: hello_html_12fff412.gif. В интервале (4; 11) у' < 0, следовательно, функция убывает на этом интервале; в hello_html_66529127.gif у' > 0, т. е. функция возрастает. В точке hello_html_38157e6e.gif имеем локальный минимум: hello_html_m1d489f1f.gif.

6. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем

hello_html_m8721035.gif.

Очевидно, что в интервале hello_html_m36581224.gif, и в этом интервале кривая выпукла; в hello_html_m23863d8e.gif, т. е. в этом интервале кривая вогнута. Так как при hello_html_m312d3d63.gif функция не определена, то точка перегиба отсутствует.

7. Находим наклонные асимптоты hello_html_m2684800b.gif:

hello_html_47a0dc25.gif,

hello_html_m5a93d68a.gif

Таким образом, существует единственная наклонная асимптота hello_html_1850b471.gif.

  1. Строим график функции hello_html_67d15b0d.png



Индивидуальное задание для студентов на самостоятельную работу по теме: «Приложение производной к исследованию функций».
  • Математика
Описание:

Индивидуальное задание для студентов на самостоятельную работу по теме: «Приложение производной к исследованию функций».

Индивидуальное задание предназначено для студентов 5 курса СПО(повышенный уровень). Каждый студент выбирает функцию согласно своему варианту и проводит исследование этой функции с построением графика. Пример выполнения работы приводится.

    Для полного исследования функции и построения её графика применяется следующая примерная схема:

1. указать область определения функции;

2. найти точки разрыва функции, точки пересечения её графика с осями координат и вертикальные асимптоты  (если они существуют);

3. установить  наличие  или  отсутствие  четности,   нечетности,   пе­риодичности функции;

4.исследовать функцию на монотонность и экстремум;

5.определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;

6.найти асимптоты графика функции;

7.произвести необходимые дополнительные вычисления;

 

8.построить график функции.

Автор Полянская Анна Ивановна
Дата добавления 22.12.2014
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 529
Номер материала 10191
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓