- 02.10.2020
- 5227
- 259
Характеристика ЕГЭ-2015.
Новая модель КИМов содержит 21 задание, сгруппированных в две части.
Часть 1 состоит из 9 заданий базового уровня типа (задания с кратким ответом).
Часть 2 состоит из 12 заданий повышенного и высокого уровня сложности, проверяющих уровень профильной математической подготовки.
Из 21 заданий базовый уровень сложности имеют 14, повышенный - 4, высокий - 2.
Правильное решение каждого из заданий 1—14 части 1 и части 2 оценивается 1 баллом.
Правильное решение каждого из заданий 15, 16 и 17 оценивается 2 баллами, каждого из заданий 18 и 19 - 3 баллами, каждого из заданий 20 и 21 - 4 баллами.
Максимальный первичный балл — 34.
Верное выполнение не менее пяти заданий варианта КИМ отвечает минимальному уровню подготовки, подтверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования.
Структура варианта КИМ допускает проведение экзамена как по полному тексту, так и только по части 1 для проверки освоения базового уровня.
К каждому заданию с развёрнутым ответом, включённому в демонстрационный вариант, предлагается одно из возможных решений. Приведённые критерии оценивания позволяют составить представление о требованиях к полноте и правильности решений. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов, система оценивания, спецификация и кодификаторы помогут выработать стратегию подготовки к ЕГЭ по математике.
Содержание и структура экзаменационной работы дают возможность проверить усвоение курсов математики 5—6-го классов, алгебры 7—9-го классов, алгебры и начал анализа 10-11-го классов и геометрии 7—11-го классов. При этом, в частности, проверяются умения использовать полученные знания в практической деятельности и в повседневной жизни, а также умения строить и исследовать математические модели.
ЕГЭ по математике в 2015 году пройдет в форме письменного тестирования , на весь экзамен отводится 255 минут.
Представленная модель экзаменационной работы по математике (кодификаторы элементов содержания и требований для составления контрольных измерительных материалов, демонстрационный вариант, система оценивания экзаменационной работы) предназначена для использования в качестве комплекта нормативных документов, регламентирующих разработку контрольных измерительных материалов ЕГЭ по математике в 2015 году.
Результаты Единого государственного экзамена по математике признаются общеобразовательными учреждениями, в которых реализуются образовательные программы среднего (полного) общего образования, как результаты государственной (итоговой) аттестации, а образовательными учреждениями среднего профессионального образования и образовательными учреждениями высшего профессионального образования как результаты вступительных испытаний по математике.
Задачи ЕГЭ 2015 по математике:
(Б) 1. Дроби, проценты, рациональные числа.
(Б) 2. Графическое представление данных. Анализ данных.
(Б) 3. Табличное представление данных. Прикладные задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения
(Б) 4. Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора. Декартовы координаты на плоскости.
(Б) 5. Элементы теории вероятностей.
(Б) 6. Уравнения.
(Б) 7. Планиметрия. Треугольник, трапеция, параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат. Окружность и круг. Угол. Нахождение элементов и величин в различных геометрических фигурах.
(Б) 8. Графики функции, производных функций. Исследование функций. Первообразная, её применение.
(Б) 9. Многогранники. Измерение геометрических величин.
(П) 10. Числа, корни и степени. Основы тригонометрии. Логарифмы. Преобразования выражений.
(П) 11. Прикладные задачи. Осуществление практических расчетов по формулам.
(П) 12. Многогранники. Тела вращения. Прямые и плоскости в пространстве. Измерение геометрических величин
(П) 13. Составление уравнений и неравенств по условию задач. Их решение.
(П) 14. Исследование функций. Применение производной функции.
(П) 15. Тригонометрическое уравнение или какое-то другое с отбором корней.
(П) 16. Стереометрия. Построение сечения. Нахождение каких-либо величин через заданные.
(П) 17. Система неравенств. Логарифмические , показательные неравенства и другие.
(П) 18. Планиметрия. Решение задач с элементами доказательства и элементами расчёта.
(П) 19. Текстовая задача с экономическим содержанием.
(В) 20. Задание с параметром.
(В) 21. Теория чисел , комбинаторика, логика (олимпиадный уровень).
Разбор версии
ЕГЭ по математике
2015 ( с учётом проекта ЕГЭ 2015).
Часть 1.
Задание 4.
|
3. (Базовый) |
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами |
|
|
Максимальный балл за задание |
Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на базовом уровне |
Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на профильном уровне |
|
1 |
14 мин. |
1-3 мин. |
Тип задания. Вычисление площади плоской фигуры,
Характеристика задания. Задание на вычисление площади треугольника, четырехугольника, круга и его частей, в том числе по данным рисунка, представляющего собой изображение фигуры, площадь которой требуется найти, на клетчатой бумаге (сетке) со стороной клетки 1 либо по рисунку на координатной плоскости с указанием координат узловых точек.
Комментарий. Площадь искомой фигуры может быть найдена по известной формуле. Например, для треугольника или параллелограмма во многих случаях достаточно провести мысленно высоту к одной из сторон» Выбирать в качестве стороны и высоты нужно те, длины которых выражаются целым числом делений сетки. В некоторых случаях для вычисления недостающих элементов можно использовать теорему Пифагора. Ряд задач можно решить, разбив фигуру на части, вычисление площадей которых не представляет труда, или заметив, что фигура сама является частью другой фигуры, а площадь последней можно найти почти сразу.
Для успешного решения задачи 4 необходимо:
Задание 4-1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 х 1 см изображен четырехугольник (рис. 4). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение. На рис. 4
изображена трапеция с высотой 4 см и основаниями 3 и 6
см. Площадь трапеции равна 
Ответ: 18.
Задание 4-2. Найдите площадь квадрата, изображенного на клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
РЕШЕНИЕ. Площадь квадрата равна квадрату его стороны, а
квадрат стороны в данном случае можно найти по теореме Пифагора, он будет
равен 
, т.е. 20.
Ответ: 20.
Больше половины всех задач 4 из вариантов ЕГЭ — это задачи, в которых надо посчитать площадь фигуры. Чтобы решить их, надо знать формулы по геометрии — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем.
Для начала стоит выучить формулы площадей фигур. Мы специально собрали их в удобную таблицу. Распечатайте, выучите и применяйте!
Конечно же, не все формулы по геометрии есть в нашей таблице. Например, для решения задачи 18 применяются и другие формулы площади треугольника. О них мы обязательно расскажем.
А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ.
Задание 4-3. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.
Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным 5. Высоты этих треугольников равны 2 и 3. Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников:
S = 5 + 7,5 = 12,5.
Ответ: 12,5.
Задание 4-4. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.
Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной 5 и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем:
S = 25 – 5 – 5 – 4,5 = 10,5.
Ответ: 10,5.
При решении задач на координатной сетке можно использовать формулу Пика.
Формула Пика
Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а
вершины клеток – узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в
узлах (рис. 1) и найдем его площадь. Искать её можно по-разному. Например,
можно
Рис. 1 разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площадь и
сложить.
Но тут нас ждёт много хлопот (попробуйте!). Давайте «схитрим»: вычислим площадь
заштрихованной фигуры, которая «дополняет» наш
многоугольник до прямоугольника АВСD, и вычтем её из площади прямоугольника.
Заштрихованная фигура легко разбивается на прямоугольники и прямоугольные
треугольники, и её площадь вычисляется без усилий.
Итак, хотя многоугольник и выглядел достаточно просто, для вычисления его
площади нам пришлось потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более
причудливо?
Оказывается, площади многоугольников, вершины которых
расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула,
связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе
многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика.
Рис. 2 Пусть АВСD – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по
линиям сетки (рис. 2).
Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г –
количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки
вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами
следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую клетку смещённой
сетки, а каждый из Г узлов – 4 граничных не угловых узла – половину клетки, а
каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S
равна
Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям
сетки, мы установили формулу 
.
Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для
произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки!
Это и есть формула Пика.
Задание 4-5. Иногда в задании В3 надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.
Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого равна 2.
На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна πR² = π, так как R=1. Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна 2πR = 2π (так как R=1), а длина дуги данного сектора равна 2, следовательно, длина дуги в π раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в π раз меньше, чем полный круг (то есть 360 градусов). Значит, и площадь сектора будет в π раз меньше, чем площадь всего круга.
Ответ: 1.
И ещё примерно половина прототипов задачи 4 — это простые задачи на тему «Координаты и векторы». Для их решения вспомните, что такое абсцисса точки (это ее координата по Х) и что такое ордината (координата по Y). Пригодятся также такие понятия, как координаты вектора и длина вектора (она находится по теореме Пифагора), синус и косинус угла, угловой коэффициент прямой, уравнение прямой, а также сумма, разность и скалярное произведение векторов, угол между векторами.
Пусть наши формулы по геометрии помогут вам на ЕГЭ! А если вы хотите знать геометрию на более высоком уровне — приглашаем на наши занятия межшкольного факультатива индивидуальной подготовки к ЕГЭ. Занятия проводят преподаватели лицея - педагоги высокого класса.
Тренировочные упражнения с ответами.
1.1.
На клетчатой
бумаге с клетками размером 1 см 
1 см изображена трапеция (см.
рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
Ответ: 32,5
1.2.
На клетчатой
бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция (см.
рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
Ответ: 14
1.3.
На клетчатой
бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция (см.
рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
Ответ:
13
1.4.
На клетчатой
бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция (см.
рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
Ответ:
13
1.5.
На клетчатой
бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция (см.
рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
Ответ:
30
1.6.
На клетчатой
бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция (см.
рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
Ответ:
15
1.7.
На клетчатой
бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция (см.
рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
Ответ: 14
1.8.
На клетчатой
бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция (см.
рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
Ответ: 19,5
1.9.
На клетчатой
бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция (см.
рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
Ответ: 10,5
1.10.
На клетчатой
бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция (см.
рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
Ответ: 14
1.11. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1;4), (10;4), (6;9), (3;9).
Ответ: 30
1.12. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (2;3), (10;3), (5;8), (3;8).
Ответ: 25
1.13. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
Ответ:
18
1.14. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1;1), (10;1), (5;7), (1;7).
Ответ: 39
1.15. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
Ответ: 20
1.16. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (4;2), (10;2), (10;8), (2;8).
Ответ: 42
1.17. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (3;3), (10;3), (9;9), (1;9).
Ответ:
45
1.18. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
Ответ: 10
1.19. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
Ответ: 10
1.20. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
Ответ: 9
2.1. На
клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь
в квадратных сантиметрах.
Ответ: 18
2.2. На
клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь
в квадратных сантиметрах.
Ответ: 9
2.3. На
клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь
в квадратных сантиметрах.
Ответ: 15
2.4. На
клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь
в квадратных сантиметрах.
Ответ: 6
2.5. На
клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь
в квадратных сантиметрах.
Ответ: 9
2.6. На
клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь
в квадратных сантиметрах.
Ответ: 7,5
2.7. На
клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь
в квадратных сантиметрах.
Ответ: 4,5
2.8. На
клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь
в квадратных сантиметрах.
Ответ: 9
2.9. На
клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь
в квадратных сантиметрах.
Ответ: 9
2.10. На
клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь
в квадратных сантиметрах.
Ответ: 12
2.11. На
клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь
в квадратных сантиметрах.
Ответ: 12
2.12. На
клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь
в квадратных сантиметрах.
Ответ: 10,5
2.13.На
клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь
в квадратных сантиметрах.
Ответ: 17
2.14. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (6;7), (5;9).
Ответ: 5
2.15. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.
Ответ: 3
2.16. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.
Ответ: 6
2.17. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (2;7), (4;7), (2;9).
Ответ:
2
2.18. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.
Ответ: 5
2.19. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (2;7), (8;7), (8;9).
Ответ: 6
2.20. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.
Ответ: 4
2.21. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.
Ответ: 4
2.22. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.
Ответ: 2
2.23. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.
Ответ: 3
3.1. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (3;7), (7;1), (7;4), (3;10).
Ответ:
12
3.2. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
Ответ: 6
3.3. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
Ответ: 6
3.4. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (4;2), (10;2), (8;8), (2;8).
Ответ: 36
3.5. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
Ответ: 6
4.1. На
клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 
1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в
квадратных сантиметрах. В ответе запишите 
.
Ответ: 4,5
4.2. На
клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в
квадратных сантиметрах. В ответе запишите .
Ответ:
8
5.1. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
Ответ: 10
5.2. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
Ответ: 6
5.3. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
Ответ:
6
5.4. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
Ответ: 6
6.1. Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости.
Ответ: 32
6.2. Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости.
Ответ: 90
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Характеристика ЕГЭ-2015.
Новая модель КИМов содержит 21 задание, сгруппированных в две части.
Часть 1 состоит из 9 заданий базового уровня типа (задания с кратким ответом).
Часть 2 состоит из 12 заданий повышенного и высокого уровня сложности, проверяющих уровень профильной математической подготовки.
Из 21 заданий базовый уровень сложности имеют 14, повышенный - 4, высокий - 2.
Правильное решение каждого из заданий 1—14 части 1 и части 2 оценивается 1 баллом.
Правильное решение каждого из заданий 15, 16 и 17 оценивается 2 баллами, каждого из заданий 18 и 19 - 3 баллами, каждого из заданий 20 и 21 - 4 баллами.
Максимальный первичный балл — 34.
Часть 1.
Задание 4.
3. (Базовый)
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами
Максимальный балл за задание
Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на базовом уровне
Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на профильном уровне
1
14 мин.
1-3 мин.
Тип задания. Вычисление площади плоской фигуры,
Характеристика задания. Задание на вычисление площади треугольника, четырехугольника, круга и его частей, в том числе по данным рисунка, представляющего собой изображение фигуры, площадь которой требуется найти, на клетчатой бумаге (сетке) со стороной клетки 1 либо по рисунку на координатной плоскости с указанием координат узловых точек.
Комментарий. Площадь искомой фигуры может быть найдена по известной формуле. Например, для треугольника или параллелограмма во многих случаях достаточно провести мысленно высоту к одной из сторон» Выбирать в качестве стороны и высоты нужно те, длины которых выражаются целым числом делений сетки. В некоторых случаях для вычисления недостающих элементов можно использовать теорему Пифагора. Ряд задач можно решить, разбив фигуру на части, вычисление площадей которых не представляет труда, или заметив, что фигура сама является частью другой фигуры, а площадь последней можно найти почти сразу.
Для успешного решения задачи 4 необходимо:
6 664 606 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Кривобоков Владимир Николаевич. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Мини-курс
5 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.