Главная / Математика / Характеристика ЕГЭ 2015 задание 13.

Характеристика ЕГЭ 2015 задание 13.

Характеристика ЕГЭ-2015.


Новая модель КИМов содержит 21 задание, сгруппированных в две части.

Часть 1 состоит из 9 заданий базового уровня типа (задания с кратким ответом).

Часть 2 состоит из 12 заданий повышенного и высокого уровня сложности, проверяющих уровень профильной математической подготовки.

Из 21 заданий базовый уровень сложности имеют 14, повышенный - 4, высокий - 2.

Правильное решение каждого из заданий 1—14 части 1 и части 2 оценивается 1 баллом.

Правильное решение каждого из заданий 15, 16 и 17 оценивается 2 баллами, каждого из заданий 18 и 19 - 3 баллами, каждого из заданий 20 и 21 - 4 баллами.

Максимальный первичный балл — 34.

Верное выполнение не менее пяти заданий варианта КИМ отвечает минимальному уровню подготовки, подтверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования.

Структура варианта КИМ допускает проведение экзамена как по полному тексту, так и только по части 1 для проверки освоения базового уровня.

К каждому заданию с развёрнутым ответом, включённому в демонстрационный вариант, предлагается одно из возможных решений. Приведённые критерии оценивания позволяют составить представление о требованиях к полноте и правильности решений. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов, система оценивания, спецификация и кодификаторы помогут выработать стратегию подготовки к ЕГЭ по математике.

Содержание и структура экзаменационной работы дают возможность проверить усвоение курсов математики 5—6-го классов, алгебры 7—9-го классов, алгебры и начал анализа 10-11-го классов и геометрии 7—11-го классов. При этом, в частности, проверяются умения использовать полученные знания в практической деятельности и в повседневной жизни, а также умения строить и исследовать математические модели.

ЕГЭ по математике в 2015 году пройдет в форме письменного тестирования , на весь экзамен отводится 255 минут.

Представленная модель экзаменационной работы по математике (кодификаторы элементов содержания и требований для составления контрольных измерительных материалов, демонстрационный вариант, система оценивания экзаменационной работы) предназначена для использования в качестве комплекта нормативных документов, регламентирующих разработку контрольных измерительных материалов ЕГЭ по математике в 2015 году.















Результаты Единого государственного экзамена по математике признаются общеобразовательными учреждениями, в которых реализуются образовательные программы среднего (полного) общего образования, как результаты государственной (итоговой) аттестации, а образовательными учреждениями среднего профессионального образования и образовательными учреждениями высшего профессионального образования как результаты вступительных испытаний по математике.

Задачи ЕГЭ 2015 по математике:

(Б) 1. Дроби, проценты, рациональные числа.

(Б) 2. Графическое представление данных. Анализ данных.

(Б) 3. Табличное представление данных. Прикладные задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения

(Б) 4. Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора. Декартовы координаты на плоскости.

(Б) 5. Элементы теории вероятностей.

(Б) 6. Уравнения.

(Б) 7. Планиметрия. Треугольник, трапеция, параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат. Окружность и круг. Угол. Нахождение элементов и величин в различных геометрических фигурах.

(Б) 8. Графики функции, производных функций. Исследование функций. Первообразная, её применение.

(Б) 9. Многогранники. Измерение геометрических величин.

(П) 10. Числа, корни и степени. Основы тригонометрии. Логарифмы. Преобразования выражений.

(П) 11. Прикладные задачи. Осуществление практических расчетов по формулам.

(П) 12. Многогранники. Тела вращения. Прямые и плоскости в пространстве. Измерение геометрических величин

(П) 13. Составление уравнений и неравенств по условию задач. Их решение.

(П) 14. Исследование функций. Применение производной функции.

(П) 15. Тригонометрическое уравнение или какое-то другое с отбором корней.

(П) 16. Стереометрия. Построение сечения. Нахождение каких-либо величин через заданные.

(П) 17. Система неравенств. Логарифмические , показательные неравенства и другие.

(П) 18. Планиметрия. Решение задач с элементами доказательства и элементами расчёта.

(П) 19. Текстовая задача с экономическим содержанием.

(В) 20. Задание с параметром.

(В) 21. Теория чисел , комбинаторика, логика (олимпиадный уровень).

























Разбор версии

ЕГЭ по математике

2015 ( с учётом проекта ЕГЭ 2015).

Часть 2.





Задание 13.


13. (Повышенный)

Уметь строить и исследовать простейшие математические модели

Максимальный балл за задание

Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на базовом уровне

Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на профильном уровне

1

22 мин.

10 мин.


Тип задания. Задача на составление уравнения.

Характеристика задания. Традиционная «текстовая» задача (на движение, работу и т.п.), т.е. задача на составление уравнения.

Комментарий. В качестве неизвестной, как правило лучше выбирать искомую величину. Составленное уравнение сводится в большинстве случаев к квадратному или линейному.


Для успешного решения задач типа 13 необходимо:

  • Уметь строить и исследовать простейшие математические модели

  • Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять
    уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать
    построенные модели с использованием аппарата алгебры

















Задание 13-1. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выпол­нит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть ра­боты, какую второй - за три дня?

Решение. Обозначим hello_html_m102b7c9e.gif и hello_html_55a9ef1f.gif-объемы работ, которые выполняют за день первый и второй рабочий, соответственно, полный объем работ примем за 1. Тогда по условию задачи hello_html_6e40f280.gifи hello_html_m48acdf49.gif. Решим полученную систему:

hello_html_m29de7f67.gif

hello_html_3f5e6887.gifhello_html_76321f19.gifТем самым, первый рабочий за день выполняет одну двадцатую всей работы, значит, работая отдельно, он справится с ней за 20 дней.

Ответ: 20.

Большинство абитуриентов не умеют решать такие задачи и даже не знают, насколько они просты. Между тем задача 13 — это ваш шанс с легкостью получить еще один балл на ЕГЭ по математике.

Текстовая задача 13 — легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ

Почему текстовые задачи 13 относятся к простым?
Во-первых, все задачи 13 из банка заданий ФИПИ решаются по единому алгоритму, о котором мы вам расскажем. Во-вторых, все 13 однотипны — это задачи на движение или на работу, и на проценты. Главное — знать к ним подход.

Внимание! Чтобы научиться решать текстовые задачи, вам понадобится всего три-четыре часа самостоятельной работы, то есть два-три занятия.

Всё, что нужно, — это здравый смысл плюс умение решать квадратное уравнение. А если даже вы забыли формулу для дискриминанта — не беда, напомним.


Задание 13-2. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Что здесь лучше всего обозначить за hello_html_649d25cd.png? Скорость велосипедиста. Тем более, что ее и надо найти в этой задаче. Автомобилист проезжает на 40 километров больше, значит, его скорость равна hello_html_649d25cd.pnghello_html_6b3c1a0.png40.

Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние — и велосипедист, и автомобилист проехали по 50 км. Можно внести скорость — она равна hello_html_649d25cd.png и hello_html_649d25cd.pnghello_html_6b3c1a0.png40 для велосипедиста и автомобилиста соответственно. Осталось заполнить графу «время».

Его мы найдем по формуле: hello_html_m6a4d0447.gif. Для велосипедиста получим hello_html_5d2fe7d9.png, для автомобилиста hello_html_5d459ebf.png.
Эти данные тоже запишем в таблицу.
Вот что получится:


v

t

S

велосипедист

hello_html_649d25cd.png

hello_html_5d2fe7d9.png

50

автомобилист

hello_html_649d25cd.pnghello_html_6b3c1a0.png40

hello_html_5d459ebf.png

50

Остается записать, что велосипедист прибыл в конечный пункт на 4 часа позже автомобилиста. Позже — значит, времени он затратил больше. Это значит, что hello_html_m58bbadf8.png на четыре больше, чем hello_html_m51b09a9c.png, то есть

hello_html_20f39d59.png

hello_html_7eddbc77.png

Решаем уравнение.

hello_html_m35f68e7d.png

Приведем дроби в левой части к одному знаменателю.

Первую дробь домножим на hello_html_649d25cd.pnghello_html_6b3c1a0.png4, вторую — на hello_html_649d25cd.png.

Если вы не знаете, как приводить дроби к общему знаменателю (или — как раскрывать скобки, как решать уравнение...), подойдите с этим конкретным вопросом к вашему учителю математики и попросите объяснить. Бесполезно говорить учительнице: «Я не понимаю математику» — это слишком абстрактно и не располагает к ответу. Учительница может ответить, например, что она вам сочувствует. Или, наоборот, даст какую-либо характеристику вашей личности. И то и другое неконструктивно.
А вот если вы зададите конкретный вопрос: «Как приводить дроби к одному знаменателю» или «Как раскрывать скобки» — вы получите нужный вам конкретный ответ. Вам ведь необходимо в этом разобраться! Если педагог занят, договоритесь о времени, когда вы можете с ним (или с ней) встретиться, чтобы получить консультацию. Используйте ресурсы, которые у вас под рукой!

Получим:

hello_html_34824c35.png

hello_html_109304e6.png

hello_html_m7c378ecc.png

Разделим обе части нашего уравнения на 4. В результате уравнение станет проще. Но почему-то многие учащиеся забывают это делать, и в результате получают сложные уравнения и шестизначные числа в качестве дискриминанта.

hello_html_m1d384249.png

Умножим обе части уравнения на hello_html_7f75ca6f.png. Получим:

hello_html_24cd0ab6.png

Раскроем скобки и перенесем всё в левую часть уравнения:

hello_html_a7586f4.png

hello_html_m2c795245.png

Мы получили квадратное уравнение. Напомним, что квадратным называется уравнение вида hello_html_m4a0ec231.pnghello_html_m4e7402bf.pnghello_html_6b3c1a0.pnghello_html_76deacb9.pnghello_html_649d25cd.pnghello_html_6b3c1a0.pnghello_html_c1bea75.pnghello_html_m6ac73bb7.png0. Решается оно стандартно — сначала находим дискриминант по формуле hello_html_487570d6.pnghello_html_m6ac73bb7.pnghello_html_76deacb9.png2hello_html_4b0ac87c.png4hello_html_m4a0ec231.pnghello_html_c1bea75.png, затем корни по формуле hello_html_m4709d026.png.

В нашем уравнении hello_html_m4a0ec231.pnghello_html_m6ac73bb7.png1,   hello_html_76deacb9.pnghello_html_m6ac73bb7.png40,   hello_html_c1bea75.pnghello_html_m6ac73bb7.pnghello_html_4b0ac87c.png500.

Найдем дискриминант hello_html_487570d6.pnghello_html_m6ac73bb7.png1600 hello_html_6b3c1a0.png2000 hello_html_m6ac73bb7.png3600 и корни:

hello_html_m148c8e7b.pnghello_html_m6ac73bb7.png10, hello_html_m2c9c968b.pnghello_html_m6ac73bb7.pnghello_html_4b0ac87c.png50.

Ясно, что hello_html_m2c9c968b.pngне подходит по смыслу задачи — скорость велосипедиста не должна быть отрицательной.

Ответ: 10.

Следующая задача — тоже про велосипедиста.

hello_html_5a95f6ba.gif

Задание 13-3. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость велосипедиста на пути из А в В равна hello_html_649d25cd.png. Тогда его скорость на обратном пути равна hello_html_649d25cd.pnghello_html_6b3c1a0.png3. Расстояние в обеих строчках таблицы пишем одинаковое — 70 километров. Осталось записать время. Поскольку hello_html_452773e3.png, на путь из А в В велосипедист затратит время hello_html_656ac7ff.png, а на обратный путь время hello_html_501e80a8.png.


v

t

S

туда

х

hello_html_656ac7ff.png

70

обратно

хhello_html_6b3c1a0.png3

hello_html_501e80a8.png

70

На обратном пути велосипедист сделал остановку на 3 часа и в результате затратил столько же времени, сколько на пути из А в В. Это значит, что на обратном пути он крутил педали на 3 часа меньше.

Значит, hello_html_m51b09a9c.png на три меньше, чем hello_html_m58bbadf8.png. Получается уравнение:

hello_html_1c85259f.png

Оно очень похоже на предыдущее. Сгруппируем слагаемые:

hello_html_1f03a422.png

Точно так же приводим дроби к одному знаменателю:

hello_html_m438a48fb.png

hello_html_1da0796a.png

Разделим обе части уравнения на 3.

hello_html_1e8b9a4d.png

Напомним — если вам непонятны какие-либо действия при решении уравнений, обращайтесь к учителю! Показывайте конкретную строчку в решении задачи и говорите: «Пожалуйста, объясните, как это делать». Для учителя такое объяснение — дело пятнадцати минут, а вы наконец научитесь решать уравнения, что очень важно для сдачи ЕГЭ по математике.

Умножим обе части уравнения на hello_html_649d25cd.png(hello_html_649d25cd.pnghello_html_6b3c1a0.png3), раскроем скобки и соберем все в левой части.

hello_html_m4e7402bf.pnghello_html_6b3c1a0.png3hello_html_649d25cd.pnghello_html_4b0ac87c.png70 hello_html_m6ac73bb7.png0

Находим дискриминант. Он равен 9hello_html_6b3c1a0.png4hello_html_m742c89e.png70 hello_html_m6ac73bb7.png289.

Найдем корни уравнения:

hello_html_m148c8e7b.pnghello_html_m6ac73bb7.png7. Это вполне правдоподобная скорость велосипедиста. А ответ hello_html_m2c9c968b.pnghello_html_m6ac73bb7.pnghello_html_4b0ac87c.png10 не подходит, так как скорость велосипедиста должна быть положительна.

Ответ: 7.

Следующий тип задач — когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде.

При движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению плыть — быстрее.

Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения.

А если двигаться против течения? Течение будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.

hello_html_5a95f6ba.gif

Задание 13-4. Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна hello_html_649d25cd.png.

Тогда скорость движения моторки по течению равна hello_html_649d25cd.pnghello_html_6b3c1a0.png1, а скорость, с которой она движется против течения hello_html_649d25cd.pnghello_html_4b0ac87c.png1.

Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 255 км.

Занесем скорость и расстояние в таблицу.

Заполняем графу «время». Мы уже знаем, как это делать. При движении по течению hello_html_m5a27f4d7.png, при движении против течения hello_html_6d108236.png, причем hello_html_m51b09a9c.png на два часа больше, чем hello_html_m58bbadf8.png.


v

t

S

по течению

hello_html_649d25cd.pnghello_html_6b3c1a0.png1

hello_html_m5a27f4d7.png

255

против течения

hello_html_649d25cd.pnghello_html_4b0ac87c.png1

hello_html_6d108236.png

255

Условие «hello_html_m51b09a9c.png на два часа меньше, чем hello_html_m58bbadf8.png» можно записать в виде

hello_html_m51b09a9c.pnghello_html_4b0ac87c.png2 hello_html_m6ac73bb7.pnghello_html_m58bbadf8.png

Составляем уравнение:

hello_html_607da5e9.png

и решаем его.

hello_html_m383e9f58.png

Приводим дроби в левой части к одному знаменателю

hello_html_1b528680.png

Раскрываем скобки

hello_html_m57dffaf3.png

Делим обе части на 2, чтобы упростить уравнение

hello_html_51b9beff.png

Умножаем обе части уравнения на hello_html_m4e7402bf.pnghello_html_4b0ac87c.png1

hello_html_m4e7402bf.pnghello_html_4b0ac87c.png1 hello_html_m6ac73bb7.png255

hello_html_m4e7402bf.pnghello_html_m6ac73bb7.png256.

Вообще-то это уравнение имеет два корня: hello_html_m148c8e7b.pnghello_html_m6ac73bb7.png16   и   hello_html_m2c9c968b.pnghello_html_m6ac73bb7.pnghello_html_4b0ac87c.png16   (оба этих числа при возведении в квадрат дают 256). Но конечно же, отрицательный ответ не подходит — скорость лодки должна быть положительной.

Ответ: 16.

hello_html_5a95f6ba.gif

Задание 13-5. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Снова обозначим за hello_html_649d25cd.png скорость течения. Тогда скорость движения теплохода по течению равна 15hello_html_6b3c1a0.pnghello_html_649d25cd.png, скорость его движения против течения равна 15hello_html_4b0ac87c.pnghello_html_649d25cd.png. Расстояния — и туда, и обратно — равны 200 км.

Теперь графа «время».

Поскольку hello_html_452773e3.png, время hello_html_m58bbadf8.png движения теплохода по течению равно hello_html_7ae2e919.png, а время hello_html_m51b09a9c.png, которое теплоход затратил на движение против течения, равно hello_html_m5dfddebd.png.


v

t

S

по течению

hello_html_649d25cd.pnghello_html_6b3c1a0.png15

hello_html_7ae2e919.png

200

против течения

15hello_html_4b0ac87c.pnghello_html_649d25cd.png

hello_html_m5dfddebd.png

200

В пункт отправления теплоход вернулся через 40 часов после отплытия из него. Стоянка длилась 10 часов, следовательно, 30 часов теплоход плыл — сначала по течению, затем против.

Значит, hello_html_m58bbadf8.pnghello_html_6b3c1a0.pnghello_html_m51b09a9c.pnghello_html_m6ac73bb7.png30

hello_html_m3de90aad.png

Прежде всего разделим обе части уравнения на 10. Оно станет проще!

hello_html_m5257e8e4.png

Мы не будем подробно останавливаться на технике решения уравнения. Всё уже понятно — приводим дроби в левой части к одному знаменателю, умножаем обе части уравнения на 225hello_html_4b0ac87c.pnghello_html_m4e7402bf.png, получаем квадратное уравнение hello_html_m4e7402bf.pnghello_html_m6ac73bb7.png25. Поскольку скорость течения положительна, получаем: hello_html_649d25cd.pnghello_html_m6ac73bb7.png5.

Ответ: 5.

Наверное, вы уже заметили, насколько похожи все эти задачи. Текстовые задачи хороши еще и тем, что ответ легко проверить с точки зрения здравого смысла. Ясно, что если вы получили скорость течения, равную 300 километров в час — задача решена неверно.

hello_html_5a95f6ba.gif

Задание 13-6. Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.

Пусть скорость течения равна hello_html_649d25cd.png. Тогда по течению баржа плывет со скоростью 7hello_html_6b3c1a0.pnghello_html_649d25cd.png, а против течения со скоростью 7hello_html_4b0ac87c.pnghello_html_649d25cd.png.

Сколько времени баржа плыла? Ясно, что надо из 16 вычесть 10, а затем вычесть время стоянки. Обратите внимание, что 1 час 20 минут придется перевести в часы: 1 час 20 минут hello_html_m6ac73bb7.png1hello_html_m45a277e0.png часа. Получаем, что суммарное время движения баржи (по течению и против) равно 4hello_html_m45796c6c.png часа.


v

t

S

по течению

hello_html_649d25cd.pnghello_html_6b3c1a0.png7

hello_html_m58bbadf8.png

15

против течения

7hello_html_4b0ac87c.pnghello_html_649d25cd.png

hello_html_m51b09a9c.png

15

hello_html_m58bbadf8.pnghello_html_6b3c1a0.pnghello_html_m51b09a9c.pnghello_html_m6ac73bb7.png4hello_html_m45796c6c.png

Возникает вопрос — какой из пунктов, А или В, расположен выше по течению? А этого мы никогда не узнаем! :-) Да и какая разница — ведь в уравнение входит сумма hello_html_m58bbadf8.pnghello_html_6b3c1a0.pnghello_html_m51b09a9c.png, равная hello_html_3a888b16.png.

Итак,
hello_html_4904f683.png

Решим это уравнение. Число 4hello_html_m45796c6c.png в правой части представим в виде неправильной дроби: 4hello_html_m45796c6c.pnghello_html_m6ac73bb7.pnghello_html_56e23f53.png.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю, раскроем скобки и упростим уравнение. Получим:

hello_html_m3333be85.png

Работать с дробными коэффициентами неудобно! Если мы разделим обе части уравнения на 14 и умножим на 3, оно станет значительно проще:

45 hello_html_m6ac73bb7.png49 hello_html_4b0ac87c.pnghello_html_m4e7402bf.png

hello_html_m4e7402bf.pnghello_html_m6ac73bb7.png4

Поскольку скорость течения положительна, hello_html_649d25cd.pnghello_html_m6ac73bb7.png2.

Ответ: 2.

Еще один тип задач 13, встречающийся в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной формулы: A hello_html_m6ac73bb7.pngp hello_html_m742c89e.pngt. Здесь A — работа, t — время, а величина p, которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название — производительность. Она показывает, сколько работы сделано в единицу времени. Например, продавец в супермаркете надувает воздушные шарики. Количество шариков, которые он надует за час — это и есть его производительность.

Правила решения задач на работу очень просты.

  1. A hello_html_m6ac73bb7.pngp hello_html_m742c89e.pngt, то есть работа hello_html_m6ac73bb7.pngпроизводительность hello_html_m742c89e.pngвремя. Из этой формулы легко найти t или p.

  2. Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — работа принимается за единицу. Построен дом (один). Написана книга (одна). А вот если речь идет о количестве кирпичей, страниц или построенных домов — работа как раз и равна этому количеству.

  3. Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два завода...) — их производительности складываются. Очень логичное правило.

  4. В качестве переменной hello_html_649d25cd.png удобно взять именно производительность.

Покажем, как все это применяется на практике.

hello_html_5a95f6ba.gif

Задание 13-7. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

Так же, как и в задачах на движение, заполним таблицу.

В колонке «работа» и для первого, и для второго рабочего запишем: 110. В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает второй рабочий, то есть какова его производительность. Примем ее за hello_html_649d25cd.png. Тогда производительность первого рабочего равна hello_html_649d25cd.pnghello_html_6b3c1a0.png1 (он делает на одну деталь в час больше). Поскольку hello_html_m7a0f8d33.png, время работы первого рабочего равно hello_html_m1df77279.png, время работы второго равно hello_html_m6fcd90b.png.


p

t

A

первый рабочий

hello_html_649d25cd.pnghello_html_6b3c1a0.png1

hello_html_m1df77279.png

110

второй рабочий

hello_html_649d25cd.png

hello_html_m6fcd90b.png

110

Первый рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно, hello_html_m58bbadf8.png на 1 меньше, чем hello_html_m51b09a9c.png, то есть

hello_html_m58bbadf8.pnghello_html_m6ac73bb7.pnghello_html_m51b09a9c.pnghello_html_4b0ac87c.png1

hello_html_2871df98.png.

Мы уже решали такие уравнения. Оно легко сводится к квадратному:

hello_html_m4e7402bf.pnghello_html_6b3c1a0.pnghello_html_649d25cd.png hello_html_4b0ac87c.png110 hello_html_m6ac73bb7.png0

Дискриминант равен 441. Корни уравнения: hello_html_m148c8e7b.pnghello_html_m6ac73bb7.png10,   hello_html_m2c9c968b.pnghello_html_m6ac73bb7.pnghello_html_4b0ac87c.png11. Очевидно, производительность рабочего не может быть отрицательной — ведь он производит детали, а не уничтожает их :-) Значит, отрицательный корень не подходит.

Ответ: 10.

hello_html_5a95f6ba.gif

Задание 13-8. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

В этой задаче (в отличие от предыдущей) ничего не сказано о том, какая это работа, чему равен ее объем. Значит, работу можем принять за единицу.

А что же обозначить за переменные? Мы уже говорили, что за переменную hello_html_649d25cd.png удобно обозначить производительность. Пусть hello_html_649d25cd.png — производительность первого рабочего. Но тогда производительность второго нам тоже понадобится, и ее мы обозначим за hello_html_40b4bd2a.png.

По условию, первый рабочий за два дня делает такую же часть работы, какую второй — за три дня. Значит, 2hello_html_649d25cd.pnghello_html_m6ac73bb7.png3hello_html_40b4bd2a.png. Отсюда hello_html_2a31b88b.png.

Работая вместе, эти двое сделали всю работу за 12 дней. При совместной работе производительности складываются, значит,

(hello_html_649d25cd.pnghello_html_6b3c1a0.pnghello_html_40b4bd2a.png) hello_html_m742c89e.png12 hello_html_m6ac73bb7.png1,

hello_html_4025f3bd.png,

hello_html_m6c28c030.png,

20hello_html_649d25cd.pnghello_html_m6ac73bb7.png1,

hello_html_649d25cd.pnghello_html_m6ac73bb7.pnghello_html_41e3a3c9.png.

Итак, первый рабочий за день выполняет hello_html_41e3a3c9.pngвсей работы. Значит, на всю работу ему понадобится 20 дней.

Ответ: 20.

hello_html_5a95f6ba.gif

Задание 13-9. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?

Всевозможные задачи про две трубы, которые наполняют какой-либо резервуар для воды — это тоже задачи на работу. В них также фигурируют известные вам величины — производительность, время и работа.

Примем производительность первой трубы за hello_html_649d25cd.png. Именно эту величину и требуется найти в задаче. Тогда производительность второй трубы равна hello_html_649d25cd.pnghello_html_6b3c1a0.png1, поскольку она пропускает на один литр в минуту больше, чем первая. Заполним таблицу


p

t

A

первая труба

hello_html_649d25cd.png

hello_html_m5c7a7fad.png

110

вторая труба

hello_html_649d25cd.pnghello_html_6b3c1a0.png1

hello_html_32433b1c.png

99

Первая труба заполняет резервуар на две минуты дольше, чем вторая. Значит, hello_html_m58bbadf8.png hello_html_4b0ac87c.pnghello_html_m51b09a9c.pnghello_html_m6ac73bb7.png2. Составим уравнение:

hello_html_7b1f06f9.png

и решим его.

Ответ: 10.

Помните, что главный фактор успеха — время тренировки. Пробные ЕГЭ по математике, которые проводятся в школе — отличная возможность проверить свои силы. Они проходят в течение учебного года. Перед пробными ЕГЭ имеет смысл повторить материал и потренироваться в решении задач.

Тренировочные упражнения с ответами.


Задание 13.1. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 108 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 ч. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 12


Задание 13.2. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 5


Задание 13.3. Байдарка в 9:00 вышла из  пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт А в 19:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость байдарки равна 4 км/ч.

Ответ: 1


Задание 13.4. На изготовление 40 деталей первый рабочий затрачивает на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 70 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Ответ: 7


Задание 13.5. Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 440 литров она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 396 литров?

Ответ: 20


Задание 13.6. Два велосипедиста одновременно отправляются в 143 -километровый пробег. Первый едет со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 11


Задание 13.7. Моторная лодка прошла против течения реки 48 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 8 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 8 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 4


Задание 13.8. Моторная лодка в 11:00 вышла из  пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 15:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки равна 12 км/ч.

Ответ: 3


Задание 13.9. Заказ на 195 деталей первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 2 детали больше?

Ответ: 13


Задание 13.10. Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними 195 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день она отправилась обратно со скоростью на 2 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 2 часа. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 13


Задание 13.11. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 10 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 60 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 39 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 40


Задание 13.12. Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 690 литров она заполняет на 7 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 750 литров?


Задание 13.13. Первая труба пропускает на 11 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 152 литра она заполняет на 11 минут дольше, чем вторая труба?


Задание 13.14. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 6 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 3 дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за 2 дня?


Задание 13.15. На изготовление 520 деталей первый рабочий затрачивает на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 572 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?


Задание 13.16. Заказ на 220 деталей первый рабочий выполняет на 9 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 9 деталей больше?


Задание 13.17. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 4 часа после этого следом за ним со скоростью, на 4 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между пристанями равно 140 км. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

Задание 13.18. Дима и Митя выполняют одинаковый тест. Дима отвечает за час на 28 вопросов теста, а Митя — на 30. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Дима закончил свой тест позже Мити на 8 минут. Сколько вопросов содержит тест?

Задание 13.19. Борис и Саша выполняют одинаковый тест. Борис отвечает за час на 24 вопроса теста, а Саша — на 25. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Борис закончил свой тест позже Саши на 6 минут. Сколько вопросов содержит тест?

Задание 13.20. Толя и Гоша выполняют одинаковый тест. Толя отвечает за час на 15 вопросов теста, а Гоша — на 30. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Толя закончил свой тест позже Гоши на 60 минут. Сколько вопросов содержит тест?






















18


Характеристика ЕГЭ 2015 задание 13.
  • Математика
Описание:

Характеристика ЕГЭ-2015.

 

Новая модель КИМов содержит 21 задание, сгруппированных в две части.

Часть 1 состоит из 9 заданий базового уровня типа (задания с кратким ответом).

Часть 2 состоит из 12 заданий повышенного и высокого уровня сложности, проверяющих уровень профильной математической подготовки.

Из 21 заданий базовый уровень сложности имеют 14, повышенный - 4, высокий - 2.

Правильное решение каждого из заданий 1—14 части 1 и части 2 оценивается 1 баллом.

Правильное решение каждого из заданий 15, 16 и 17 оценивается 2 баллами, каждого из заданий 18 и 19 - 3 баллами, каждого из заданий 20 и 21 - 4 баллами.

Максимальный первичный балл — 34.

Верное выполнение не менее пяти заданий варианта КИМ отвечает минимальному уровню подготовки, подтверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования.

Часть 2.

 

 

 

 

Задание 13.

 

13. (Повышенный)

Уметь строить и исследовать простейшие математические модели

Максимальный балл за задание

Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на базовом уровне

Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на профильном уровне

1

22 мин.

10 мин.

 

Тип задания.   Задача на составление уравнения.

Характеристика задания. Традиционная «текстовая» задача (на движение, работу и т.п.), т.е. задача на составление уравнения.

Комментарий. В качестве неизвестной, как правило лучше выбирать искомую величину. Составленное уравнение сводится в большинстве случаев к квадратному или линейному.

 

Для успешного решения задач типа 13 необходимо:

  • Уметь строить и исследовать простейшие математические модели
  • Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять
    уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать
    построенные модели с использованием аппарата алгебры

 

Автор Кривобоков Владимир Николаевич
Дата добавления 04.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 1145
Номер материала 30252
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓