Характеристика ЕГЭ-2015.

 

Новая модель КИМов содержит 21 задание, сгруппированных в две части.

Часть 1 состоит из 9 заданий базового уровня типа (задания с кратким ответом).

Часть 2 состоит из 12 заданий повышенного и высокого уровня сложности, проверяющих уровень профильной математической подготовки.

Из 21 заданий базовый уровень сложности имеют 14, повышенный - 4, высокий - 2.

Правильное решение каждого из заданий 1—14 части 1 и части 2 оценивается 1 баллом.

Правильное решение каждого из заданий 15, 16 и 17 оценивается 2 баллами, каждого из заданий 18 и 19 - 3 баллами, каждого из заданий 20 и 21 - 4 баллами.

Максимальный первичный балл — 34.

Верное выполнение не менее пяти заданий варианта КИМ отвечает минимальному уровню подготовки, подтверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования.

Структура варианта КИМ допускает проведение экзамена как по полному тексту, так и только по части 1 для проверки освоения базового уровня.

К каждому заданию с развёрнутым ответом, включённому в демонстрационный вариант, предлагается одно из возможных решений. Приведённые критерии оценивания позволяют составить представление о требованиях к полноте и правильности решений. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов, система оценивания, спецификация и кодификаторы помогут выработать стратегию подготовки к ЕГЭ по математике.

Содержание и структура экзаменационной работы дают возможность проверить усвоение курсов математики 5—6-го классов, алгебры 7—9-го классов, алгебры и начал анализа 10-11-го классов и геометрии 7—11-го классов. При этом, в частности, проверяются умения использовать полученные знания в практической деятельности и в повседневной жизни, а также умения строить и исследовать математические модели.

ЕГЭ по математике в 2015 году пройдет в форме письменного тестирования , на весь экзамен отводится 255 минут.

Представленная модель экзаменационной работы по математике (кодификаторы элементов содержания и требований для составления контрольных измерительных материалов, демонстрационный вариант, система оценивания экзаменационной работы) предназначена для использования в качестве комплекта нормативных документов, регламентирующих разработку контрольных измерительных материалов ЕГЭ по математике в 2015 году.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Результаты Единого государственного экзамена по математике признаются общеобразовательными учреждениями, в которых реализуются образовательные программы среднего (полного) общего образования, как результаты государственной (итоговой) аттестации, а образовательными учреждениями среднего профессионального образования и образовательными учреждениями высшего профессионального образования как результаты вступительных испытаний по математике.

Задачи ЕГЭ 2015 по математике:

(Б) 1. Дроби, проценты, рациональные числа.

(Б) 2. Графическое представление данных. Анализ данных.

(Б) 3. Табличное представление данных. Прикладные задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения

 (Б) 4. Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора. Декартовы координаты на плоскости.

 (Б) 5. Элементы теории вероятностей.

(Б) 6. Уравнения.

(Б) 7. Планиметрия. Треугольник, трапеция, параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат. Окружность и круг. Угол. Нахождение элементов и величин в различных геометрических фигурах.

 (Б) 8. Графики функции, производных функций. Исследование функций. Первообразная, её применение.

(Б) 9. Многогранники. Измерение геометрических величин.

(П) 10. Числа, корни и степени. Основы тригонометрии. Логарифмы. Преобразования выражений.

(П) 11. Прикладные задачи. Осуществление практических расчетов по формулам.

(П) 12. Многогранники. Тела вращения. Прямые и плоскости в пространстве. Измерение геометрических величин

(П) 13. Составление уравнений и неравенств по условию задач. Их решение.

(П) 14. Исследование функций. Применение производной функции.

(П) 15. Тригонометрическое уравнение или какое-то другое с отбором корней.

(П) 16. Стереометрия. Построение сечения. Нахождение каких-либо величин через заданные.

(П) 17. Система неравенств. Логарифмические , показательные неравенства и другие.

(П) 18. Планиметрия. Решение задач с элементами доказательства и элементами расчёта.

(П) 19. Текстовая задача с экономическим содержанием.

(В) 20. Задание с параметром.

(В) 21. Теория чисел , комбинаторика, логика (олимпиадный уровень).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разбор версии

ЕГЭ по математике

2015 ( с учётом проекта ЕГЭ 2015).

Часть 2.

 

 

 

 

Задание 12.

12. (Повышенный)	Уметь использовать приобретённые   действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами
Максимальный балл за задание	Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на базовом уровне	Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на профильном уровне
1	25 мин.	5 мин.

 

 

Тип задания. Задание на вычисление площадей поверхностей или объемов многогранников и тел вращения.

Характеристика задания. Несложное задание по стереометрии на применение основных формул, связанных с вычислением площадей поверхностей или объемов многогранников (пирамид и призм) или тел вращения (цилиндров, конусов, шаров), в том числе вписанных или описанных около других многогранников или тел вращения.

Комментарий. Для решения задачи достаточно знать формулы площадей поверхности и объемов пирамиды, призмы, цилиндра, конуса и шара.

 

Для успешного решения задач типа 12 необходимо:

• Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами
• Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение
  геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);
  использовать при решении стереометрических задач
  планиметрические факты и методы

 

Задачи по стереометрии 12: Приемы и секреты

Вы уже знаете, что задачи 9 и 12 на самом деле простые. Правильный чертеж, элементарная логика, внимательность, плюс некоторые приемы. Задачи 9 и 12— из тех, которые вы без труда освоите и получите нужные баллы на ЕГЭ по математике. Перейдем сразу к практике.

 Задание 12-1. Объем параллелепипеда равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды АВDА₁.

 

Мы помним, что объем параллелепипеда равен  А объем пирамиды равен   Иными словами, если у параллелепипеда и пирамиды одинаковые основания и одинаковые высоты, то объем пирамиды будет в три раза меньше, чем объем параллелепипеда. А у нашей пирамиды еще и площадь основания в два раза меньше. Значит, ее объем в шесть раз меньше объема параллелепипеда.
Ответ: 1,5.

 Задание 12-2. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

 

 

Об одном из способов решения этой задачи мы уже рассказали. Посчитайте, сколько нужно четырехугольных пирамидок, чтобы сложить из них такой кубик.
Есть и второй способ. Если бы пирамида и куб имели одинаковые высоты, объем пирамиды был бы в 3 раза меньше объема куба (поскольку площади основания у них одинаковые). А у нашей пирамиды высота в два раза меньше, чем у куба. Значит, ее объем будет в 6 раз меньше, чем у куба.
Ответ: 2.

Задание 12-3. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

На самом деле это задача по алгебре, причем элементарная. Объем шара равен . Осталось решить уравнение:

 Как извлечь кубический корень из этого числа? Очень просто — разложите его на множители.

1728 8216 2³ 6³

R 26 12

Ответ: 12.

 Задание 12-4. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен .

 

 

Мы говорили, что в основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. У него все углы равны 60° и все стороны тоже равны. Площадь его проще всего найти по формуле   Поскольку
Ответ: 3.

Задание 12-5. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. В ответе укажите V/π.

Если вы вдруг забыли, что такое образующая, — смотрите нашу таблицу с формулами. А что значит «наклонена к плоскости основания»? Вспомним, что угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, то есть угол OАS.

Из прямоугольного треугольника AOS находим, что

 Объем конуса найдем по известной формуле и поделим на π.
Ответ: 1.

Задание 12-6. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны  и наклонены к плоскости основания под углом 30 градусов.

 

 

Нарисуйте вид сверху, то есть правильный шестиугольник. У него все стороны равны, все углы тоже равны.

 

 

Как найти площадь правильного шестиугольника, если специальную формулу вы не знаете? Проще всего разбить его на 6 одинаковых равносторонних треугольников. Формула площади равностороннего треугольника вам известна:
 
Итак, площадь основания равна. Осталось найти высоту.

 

Высота призмы — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Из прямоугольного треугольника АСН находим:
 

Ответ: 18.

Задание 12-7. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы 30, 30 и 45 градусов с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Мы уже говорили, что угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

 

 

 

Обозначим вершины параллелепипеда.

Проекцией диагонали BD₁ на нижнее основание будет отрезок BD. Пусть диагональ образует угол 45 градусов именно с плоскостью нижнего основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник BDD₁. По теореме Пифагора,  Итак, мы нашли высоту параллелепипеда.

Проекцией BD₁ на переднюю грань будет отрезок А₁В.
Из прямоугольного треугольника A₁BD₁ найдем  Мы нашли ширину параллелепипеда. А его длина (то есть отрезок C₁D₁) находится аналогично. Она тоже равна Объем параллелепипеда равен

Ответ: 0,5.

Задание 12-8. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

Если решать задачу «в лоб», считая, что АВС — основание, то задача потянет на С2. Но зачем такие сложности? Развернем пирамиду.

 

 

 

Объем пирамиды  В основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна 4,5. Тогда объем пирамиды равен 4,5.
Ответ: 4,5.

Задание 12-9. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

 

 

У треугольной и шестиугольной пирамид, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Разные только площади основания. Нарисуем вид снизу.

 

 

Видим, что площадь основания треугольной пирамиды в 6 раз меньше, чем у шестиугольной.

Ответ: 6.

Если в условии задачи 9 или 12 есть рисунок — значит, повезло. Рисунок — это уже половина решения. А если его нет? Значит, рисуйте сами, как умеете.

Задание 12-10. Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95. Найдите площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите S/π.

Обратите внимание, что Значит, сторона куба является диаметром шара. Осталось понять, какая часть шара лежит внутри куба.

 

 

 

Правильный ответ: 0,9025.

Задание 12-11. Вершина A куба ABCDA₁B₁C₁D₁ со стороной 1,6 является центром сферы, проходящей через точку A₁. Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину S/π.

Здесь главное — понять, какая часть шара лежит внутри куба. Порисуйте кубики и шарики. Пока есть возможность, возьмите яблоко (оно почти шарообразной формы), потренируйтесь.

Правильный ответ: 1,28.
Задание 12-12. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Эта задача 12 уже поинтереснее — ей и до 16 недалеко. Прежде всего, что значит «точка делит боковое ребро в отношении 1 : 2, считая от вершины»? Это значит, что она делит его на отрезки, длины которых х и 2х.

Плоскость АВМ делит пирамиду АВСS на две. У пирамид АВСM и ABCS общее основание АВС. Ясно, что отношение их объемов равно отношению высот.

Проведем перпендикуляры SO и MH к плоскости основания пирамиды. SO — высота пирамиды АВСS, МН — высота пирамиды АВСМ. Очевидно, что отрезок SО параллелен отрезку МН, поскольку два перпендикуляра к одной плоскости параллельны друг другу. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, причем только одну. Итак, точки S, М, С, О и Н лежат в одной плоскости, то есть мы от стереометрической задачи перешли к плоской, планиметрической.

Треугольники ~,  Значит,  Объем пирамиды АВСM равен объема пирамиды ABCS.

Ответ: 10.

Задание 12-13. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

 

 

 

 

Прежде всего, все ребра равны, значит, тетраэдр — правильный. В его основании лежит равносторонний треугольник, а вершина проецируется в центр этого треугольника.
Как вы думаете, какая фигура получится в сечении?

 

 

 

Заметим, что отрезок KL параллелен BS (поскольку является средней линией треугольника ASB. И отрезок MN тоже параллелен ВS, потому что является средней линией треугольника BSC. Значит, KL параллелен MN. Аналогично LM параллелен KN. Мы помним, что средняя линия треугольника не только параллельна основанию — она равна половине основания. А у нашего тетраэдра все ребра равны. Значит, KLMN — ромб, все стороны которого равны 0,5. Уже хорошо.

Мы уже сказали, что у правильного тетраэдра вершина (точка S) проецируется в центр основания (точка О). В основании — правильный треугольник. Значит, точка О будет точкой пересечения биссектрис, медиан и высот этого треугольника, и тогда ОВ перпендикулярен АС.

Вспомним теорему о трех перпендикулярах. OВ является проекцией SB на плоскость основания, следовательно, отрезок SB тоже перпендикулярен АС. И тогда KLMN — квадрат. Его площадь равна 0,25.

А теперь — самые сложные задачи В11. Для их решения существуют секретные приемы. Конечно же, лучше знать их заранее, чем изобретать на экзамене.

Задание 12-14. Объем тетраэдра равен 1,9. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

 

 

 

Можно долго искать формулу объема октаэдра (а именно он там и находится, в серединке), а можно поступить умнее. Помните, как в задаче В6 мы считали площадь неудобно расположенных фигур?

 

 

Здесь проще всего посчитать площадь квадрата со стороной 5, в который вписан данный треугольник. И вычесть из нее площади трех прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке?

В нашей задаче про тетраэдр и многогранник можем поступить аналогично. Как получился этот многогранник в серединке? От исходного тетраэдра отрезали четыре маленьких тетраэдра, объем каждого из которых в 8 раз меньше, чем объем большого (об этом мы уже говорили). Получаем:

 Ответ: 0,95.

Задание 12-15. Объем параллелепипеда равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD1CB1.

 

 

Обратите внимание, нарисован куб, а написано — параллелепипед. Мы знаем, что его объем равен 4,5, но не знаем, чему равны его длина, ширина и высота. Обозначим их a, b и c. Не так-то просто найти площадь основания и высоту пирамиды AD₁CB₁. Так может, и не надо этого делать? Есть более удобный способ — тот же, что и в предыдущей задаче. Ведь пирамида AD₁CB₁ получается, если мы отрежем от параллелепипеда четыре пирамиды по углам — ABCB₁, D₁B₁CC₁, AA₁D₁B₁ и ADCD₁. А объем каждой из них легко посчитать — мы делали это в первой задаче этой статьи. Например, объем пирамиды ABCB₁ равен объема параллелепипеда. Объем четырех всех пирамид, которые отрезали, равен объема параллелепипеда. Значит, объем пирамиды AD₁CB₁ равен объема параллелепипеда.

Ответ: 1,5.

Подсказка к задаче 12-10:

 

Тренировочные упражнения с ответами.

 

Задание 12.1. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

 

 

Ответ: 24

Задание 12.2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Ответ: 14

 

 

Задание 12.3. Найдите обьем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Ответ: 39

 

 

 

 

 

Задание 12.4. Найдите обьем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Ответ: 36

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 12.5  Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на .

Ответ: 12

 

 

 

 

Задание 12.6 Найдите обьем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

 

Ответ: 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 12.7. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

 

 

 

 

Ответ: 4

 

Задание 12.8. Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Ответ: 2

 

 

 

 

 

Задание 12.9. Найдите обьем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Ответ: 39

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 12.10. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 6. Найдите объем параллелепипеда.

Ответ: 864

 

 

 

 

 

 

Задание 12.11. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 16.

Ответ: 48

 

 

 

 

Задание 12.12. Найдите обьем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

 

Ответ: 18

 

Задание 12.13. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 81.

Ответ: 243

 

 

 

 

 

Задание 12.14. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 14.

Ответ: 42

 

 

 

 

 

Задание 12.15. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 11.

Ответ: 33

 

 

 

 

 

Задание 12.16. Объем конуса равен 64. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Ответ: 8

 

 

 

 

Задание 12.17. Объем конуса равен 120. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Ответ: 15

 

 

 

 

 

 

 

Задание 12.18. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 87.

Ответ: 261

 

 

 

Задание 12.19. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Ответ: 340

 

 

 

 

Задание 12.20. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого?

Ответ: 5

 

 

 

 

Задание 12.21. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого?

Ответ: 3

 

 

 

Задание 12.22. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 9 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого?

Ответ: 1

 

 

 

 

Задание 12.23. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.

Ответ: 0.25

 

 

Задание 12.24. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 1. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Ответ: 8.5

 

 

Задание 12.25. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны . Найдите объем параллелепипеда.

Ответ: 13.5

 

 

 

 

 

Задание 12.26. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого?

Ответ: 2

 

 

 

 

Задание 12.27. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны . Найдите объем параллелепипеда.

Ответ: 3429.5

 

 

 

 

Задание 12.28. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 6. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите высоту цилиндра.

Ответ: 0.25

 

 

 

 

Задание 12.29. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Ответ: 5

Задание 12.30. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса . Найдите его объем.

Ответ: 4913