Факультативный курс по математике:
«Решение квадратных уравнений с параметрами»
Иванова Г.Г.
Факультативный
курс по теме: «Решение квадратных уравнений с параметрами»
1. Пояснительная
записка
Данный факультативный курс разработан по теме: “Решение квадратных
уравнений с параметрами”. Он представляет собой систему факультативных занятий,
предназначенных для работы с учениками 10-11 классов, обучающихся в классах с
углубленным изучением математики, для студентов математических факультетов
педагогических университетов и просто людей, увлекающихся математикой.
Факультативный курс призван помочь всем желающим пополнить и углубить свои
знания в области алгебры. Работа содержит достаточно большой объем материала,
выходящего за рамки школьной программы по алгебре и потому этот материал может
быть использован учителем для проведения факультативных занятий. Данный факультативный
курс состоит из 8 занятий. После изучения данного курса учащиеся должны
научиться решать квадратные уравнения с параметрами; укрепить и преумножить
свои знания, умения и навыки в решении таких задач, что особенно важно. Для
того чтобы математические понятия, теоремы, законы, правила стали бы предметом
учебной деятельности школьников, необходимо представить их в виде задач,
которые бы направляли и систематизировали их активность. Факультативный курс
содержит также контрольную работу: итоговую, необходимую для контроля усвоения
знаний. При наличии времени учитель может предложить кому-либо из учащихся
сделать небольшое сообщение на уроке. В нём учащийся может воспроизвести
какой-либо фрагмент теории и показать приёмы решения некоторых задач с
параметром .Возможно такой подход окажется эффективным и число учащихся,
выразивших готовность изучать дополнения к главам , возрастёт. Этот материал
рассчитан на учащихся, интересующихся математикой и успешно усваивающих
основной курс. Он может быть использован как в индивидуальной работе с
учащимися, так и на внеклассных занятиях. Учащиеся успешно усваивающие
факультативный курс, получают дополнительную возможность для более глубокого
усвоения теории и овладения соответствующими умениями. Желательно, чтобы их
успехи отмечались высокими оценками.
2. Тематическое планирование
На проведение факультативного курса отводится 8 академических часов. В
конце курса – контрольная работа.
Тематическое планирование.
№ п.п.
|
Тема занятия
|
Количество часов
|
1
|
Простейшие типы квадратных уравнений с параметрами
|
2
|
2
|
Использование свойств квадратичной функции при
решении квадратных уравнений
|
2
|
3
|
Решении квадратных уравнений с параметром различных
видов
|
1
|
4
|
Некоторые типы уравнений с параметром, приводящиеся
к квадратным
|
2
|
5
|
Контрольная работа
|
1
|
6
|
Итого
|
8
|
3. Лабораторные и
практические занятия.
Занятие 1-2.
Тема: Простейшие типы квадратных
уравнений с параметрами.
Цели:
Образовательная: научить
решать квадратные уравнения с параметром через дискриминант;
Развивающая: развитие
алгоритмического мышления;
Воспитательная: воспитание
математической грамотности.
Тип занятия: изучение нового
материала.
Вид занятия: практикум.
Ход занятия.
Как известно из школьного курса
математики решение квадратного уравнения
,
где описываются
формулой
,
где ,
причем возможны три случая:
1. , тогда
уравнение имеет два корня ;
1. , тогда
уравнение имеет единственный корень ;
2. , тогда
уравнение корней не имеет.
В общем случае
при решении квадратичных уравнений с параметрами, если при есть параметр, то вначале рассматривают
случай, когда коэффициент при равен нулю и находят
решение. А затем исследуют уравнение с помощью дискриминанта.
Пример. Решить уравнение
Решение. При имеем
откуда .
Пусть теперь , тогда имеем
.
1. Если ,
т.е. , то уравнение имеет два корня
2. Если ,
т.е. , уравнение имеет единственный корень
.
3. Если ,
т.е. , то уравнение корней не имеет.
Ответ: при корень
;
при , уравнение имеет два корня ;
при , уравнение имеет единственный корень ;
при , уравнение корней не имеет.
Задача 1. Решить уравнение с
параметром
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
e)
Решение.
а) Итак, имеем
квадратичное уравнение
.
Найдем дискриминант , таким образом имеем три случая:
1. , тогда
все решения уравнения описываются следующей формулой ;
2. , тогда
получаем , данное равенство верно при любом ;
3. , тогда
уравнение корней не имеет.
Ответ: при ;
при бесчисленное множество решений;
при уравнение корней не имеет.
b) Итак, имеем квадратичное уравнение
.
Найдем дискриминант , т.к. дискриминант
положительное число, то уравнение всегда имеет два корня .
Ответ: при
любом значении .
c) Итак, имеем квадратичное уравнение
.
Найдем дискриминант т.к. дискриминант положительное число, то
уравнение всегда имеет два корня .
Ответ: при
любом значении .
d) Рекомендуется выполнить
самостоятельно.
e) При имеем
откуда .
Пусть теперь , тогда имеем
.
4. Если ,
т.е. , то уравнение имеет два корня
5. Если ,
т.е. , уравнение имеет единственный корень
.
6. Если ,
т.е. , то уравнение корней не имеет.
Ответ: при корень
;
при , уравнение имеет два корня ;
при , уравнение имеет единственный корень ;
при , уравнение корней не имеет.
Задача 2. При
каких значениях один из удвоенных корней
уравнения
(1)
больше единицы, а другой меньше -1.
Решение. Ясно,
что , в противном случае уравнение (1) имеет
только одно решение. Тогда
.
Искомое значение найдем как объединение решений следующих
двух систем:
а) б)
Решим систему а):
Дальше решаем
систему б):
Ответ: .
Задача 3. При
каком целом значении уравнения и имеют
общий корень? Найти этот корень.
Решение. Имеем
Подставив
выражение во второе уравнение, получим
,
т.е. .Отсюда (противоречит
условию). Итак, . При этом значении получим уравнения
и .
Первое из них
имеет корни , а второе корни ,
т. е. – общий корень.
Ответ: , .
Задача 4. При
каком значении отношение корней уравнения
равно-4?
Решение. Имеем и . Из
системы
найдем или .
Далее используя равенство , получаем .
Ответ: .
Занятие 3-4.
Тема: Использование
свойств квадратичной функции при решении квадратных уравнений
Цели:
Образовательная: научить
решать квадратные уравнения с параметром используя свойства квадратичной
функции;
Развивающая: развитие
алгоритмического мышления;
Воспитательная: воспитание
математической грамотности.
Тип занятия: изучение нового
материала.
Вид занятия: практикум.
Обратимся вначале
к понятию квадратичной функции и ее свойствам, а затем рассмотрим применение их
к решению квадратичных уравнений с параметрами.
Определение. Квадратичной называется
функция вида
,
где .
Отметим теперь
некоторые свойства квадратичной функции:
1. Область определения –
множество всех действительных чисел;
2. Если -
точки пересечения квадратичной функции с осью , то
функцию можно представить в виде
.
3. График квадратичной функции – парабола.При а > 0 ветви
параболы направлены вверх, т.е. график имеет вид:
у
0 х
Рис.1.
4. При ветви
параболы направлены вниз, т.е. график имеет вид:
у
0 х
Рис.2.
5. Абсцисса вершины параболы
вычисляется по формуле:
Использование
свойств квадратичной функции часто бывает полезным при решении не только
квадратных уравнений, но и приводящимся к ним.
Пример. При каких значениях уравнение имеет
один корень?
Решение. Если , то уравнение примет вид
и, значит, имеет единственный
корень. Пусть . Положим,
откуда после преобразований найдем
.
Тогда данное уравнение запишется
так:
Теперь построим графики функций и . Так
как в уравнении параболы коэффициент при содержит
параметр , то нужно рассмотреть два случая: и . В
обоих случаях, учитывая условие берем только ту часть
параболы, которая расположена правее оси (рис
1, 2).
у
z=2m
z=y²+2my-1
0 х
рис.
3.
у
z=y²+2my-1
х
0
Рис.4.
Если , то прямая пересекает указанную часть параболы в
единственной точке при условии , т.е. при ; значит, в этом случае . Если же , то
прямая пересекает эту часть параболы в
единственной точке при условии , т.е. при ; следовательно, такое пересечение
получится при . Кроме того, в случае уравнение имеет единственный корень при
условии, что прямая касается параболы в ее вершине. Записав уравнение параболы
в виде , устанавливаем, что ордината вершины
параболы равна ; значит, условие касания примет
вид , откуда . Таким
образом, объединив все полученные сведения, заключаем, что уравнение имеет
единственный корень при и при .
Задача 5. Решить
уравнения
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Решение.
а) Построим графики функций и
у
рис.
5.
Из графика видно,
что парабола пересекает ось лишь в одной точке. В
соответствии с этим возможны три случая:
1. при прямая
и парабола не
имеют точек пересечения, а значит и исходное уравнение не имеет решений;
2. при будет
одна точка пересечения, а значит и исходное уравнение будет иметь один корень
равный ;
3. при будет
две точки пересечения, значит два корня уравнения .
Ответ: при уравнение не имеет решений;
при один корень равный ;
при уравнение
имеет два корня .b) Построим графики функций
у
0
х
рис. 6.
Из рисунка видно,
что кривые не имеют общих точек, а значит и уравнение не имеет решений при
любых значениях параметра .
Ответ: нет
решений.
c) и d) рекомендуется выполнить самостоятельно.
Задача 6. Решить
уравнение и исследовать, при каких значениях
параметра оно имеет корни (и сколько их) и не имеет
корней.
Решение. Положим . Тогда ,
откуда ; данное уравнение примет вид . Построим параболу и прямую . С
помощью рисунка устанавливаем, что при уравнение
не имеет корней, при уравнение имеет два корня, а
при и при – один
корень.
рис.7.
Остается найти
эти корни. Для этого решаем уравнение ,
откуда получим , ил, возвращаясь к старой
переменной, .
Ответ: при два корня ;
при - один корень ;
при - один корень ;
при нет корней.
Занятие 5.
Тема: Решение
квадратных уравнений с параметром различных видов.
Цели:
Образовательная: научить
решать различного типа задачи на квадратичные уравнения с параметром;
Развивающая: развитие
творческого мышления;
Воспитательная: воспитание
математической грамотности.
Тип занятия: изучение нового
материала.
Вид занятия: практикум.
Ход
занятия.
Задача 7. При каких
значениях параметра уравнение
имеет только
целые корни?
Решение. Только
разбиением на необходимые и достаточные условия дает ключ к решению задачи.
Если , то –
единственное решение. Пусть теперь . Тогда
Если – целое число, то –
то же целое число. Отсюда следует: ,т. е. и -
целое число. Следовательно, , а число ,
(1)
Соотношение (1)
указывает только на необходимые условия. Проверим эти условия на достаточность.
Первое требование – дискриминант и более того, - целое число.
Далее выражение
должно быть целым
числом. Этим требованиям удовлетворяют:
и .
Ответ: .
Задача 8. При
каких значениях параметра оба корня уравнения
положительны?
Решение. Если
корни положительны, то их произведение , т.
е. .Но мы знаем, что условие только необходимое для положительности
корней.
Далее, если корни
положительны, то их сумма , т.е. .Одновременное выполнение условий и - это
тоже только необходимое условие, т.к. при этих условиях корни возможно будут
комплексными. Чтобы корни были действительными, достаточно еще дополнительно
требовать неотрицательность дискриминанта:
.
Отсюда получаем,
что достаточные условия определяются системой:
.
Ответ: .
Задача 9. Найти
все значения , при которых сумма корней уравнения
равна сумме
квадратов корней.
Решение. Имеем и , т.е.
. Согласно теореме Виета , или ,откуда
.
Ответ: .
Задача 10. При
каком значении отношение корней уравнения
равно-4?
Решение. Имеем и . Из
системы
найдем или .
Далее используя равенство , получаем .
Ответ: .
Задача 11.
Показать, что если и -
корни уравнения , а и - корни уравнения ,
то .
Решить
самостоятельно.
Занятие 6 - 7.
Тема: Некоторые
типы уравнений с параметром, приводящиеся к квадратным.
Цели:
Образовательная: научить
решать различного типа задачи с параметром приводящиеся к квадратным
уравнениям;
Развивающая: развитие
творческого мышления;
Воспитательная: воспитание
математической грамотности.
Тип занятия: изучение нового
материала.
Вид занятия: практикум.
Ход
занятия.
Задача 1. При каких значениях
параметра уравнение
имеет хотя бы
одно решение.
Решение. Полагая представим данное уравнение в виде:
.
Полученное
уравнение имеет решение тогда и только тогда,
когда наибольший корень неотрицателен:
,
Дискриминант тогда и только тогда, когда или . Если , то и - решение.
Если же , то
Следовательно при
данное уравнение не имеет решений.
Ответ: .
Задача 2. Решить уравнение
.
Решение. Решим
данное уравнение относительно параметра .
Выясним какие значения для этого параметра необходимы
для того, чтобы уравнение имело решение относительно переменных и.Эти
необходимые условия для параметра найдем из условия :
(1)
Наименьшее
значение правой части неравенства (1) равно -1. Докажем, что наибольшее
значение левой части (1) равно -1. Действительно:
.
Примем свойство
средних для неотрицательных чисел и :
Равенство
достигается при . Поэтому
.
Отсюда следует,
что дискриминант может принимать только нулевое
значение:
.
Иначе говоря,
параметр существует в двух случаях:
а) б)
Если имеет место
а), то данное уравнение имеет вид:
.
Если имеет место
б), то данное уравнение имеет вид:
.
Проверка на достаточность:
в)
Правая часть
имеет минимальное значение, равное -1, при . Левая
часть – максимальное, равное -1, при
Отсюда следует
при
.
Если ,то
.
Левая часть, как
уже известно, принимает максимальное значение, равное -1, при .
Для правой части
-1 является минимальным значением, оно достигается при .
Итак, при .
Ответ: при ;
при .
Задача 3. Решить
уравнение
.
(1)
Решение. ОДЗ:
.
(2)
Если , то , т.е. нет решения.
Уравнение (1) равносильно системе:
.
Отсюда следует:
.
Подкоренное выражение при всех .
Найденные выражения для и должны
удовлетворять условию (2), т. е. для всех ,
исключить те значения , при которых
(3)
т.е. при не является корнем, но .
а для –
исключить те значения , при которых
(4)
В данном случае - решение при всех , кроме .
Ответ: нет решений при ;
при
;
при и корни и .
Задача 4. Решить
уравнение
Решение. Введем
замену , имеем , , таким образом пришли к уравнению
,
корни которого
равны . Исследуем полученные корни. Чтобы они
имели смысл необходимо справедливость неравенства
.
и, кроме того,
должны удовлетворять неравенству . Имеем системы
Решив которую,
получим . И вторая
,
Решив которую,
получим . Таким образом, возвращаясь к старой
переменной получим при и при . Нет
решений при .
Ответ: нет
решений при ;
при ;
при .
4. Контрольная работа
По итогам изучения курса предлагается решить контрольную работу состоящую
из двух вариантов.
Вариант I
|
Вариант
II
|
1.
Решить уравнение
|
a)
b)
|
a)
b)
|
2.
Решить уравнение графическим способом
|
|
|
3. При каких
значениях уравнение имеет
равные корни?
|
3. При каких
значениях уравнения и имеют общий корень?
|
Решение.
Вариант I. a) Найдем дискриминант этого уравнения, имеем ,
приравняем его к нулю, получим
.
Теперь исследуем уравнение на
решения. Очевидно, что при уравнение корней
иметь не будет. Тогда как при уравнение имеет два
корня . И при уравнение
имеет единственный корень .
Ответ: при уравнение
имеет два корня ;
при уравнение
корней не имеет;
при уравнение
имеет единственный корень .
b) Найдем дискриминант этого
уравнения, имеем , приравняем его к нулю, получим
.
Имеем при уравнение
не имеет решений. При уравнение имеет два корня . При единственный
корень . Построим графики функций и , имеем
у
0 х
Рис.8.
Из графика видно,
что прямая и парабола могут
меть две точки пересечения при . Единственный корень
при и нет решений при .
3. Квадратное
уравнение имеет рваные корни, если его дискриминант равен нулю, т.е. , откуда находим и
.
Вариант II
1. a) и b) Указание. Воспользоваться методом решения описанным выше
2. Указание. Построить графики
функций и и по
графикам исследовать решения данного уравнения.
3. Вычитая из первого уравнения
второе, получим
.
Если , каждое из уравнений имеет вид , а такое уравнение не имеет корней. Если
же , то и,
значит, , т.е. .
Ответ: при .
Литература.
1.Бородин А.И., Бугай А.С.
Библиографический словарь деятелей в области математики. Пер. с укр.- К.:
Радьянска школа, 1979.
2.Гельфонд А.О. Решение уравнений с
параметрами. – 4-е изд. – М.: Наука,1983.
3.Далингер В.А., Загородных К.А.
Методика организации и проведения самостоятельных работ учащихся в процессе
обучения их уравнений с параметрами: Книга для учителя.-Омск:Изд-во ОмГпУ,1996.
4.Жафяров А.Ж. Профильное обучение
математике старшеклассников.-Н.,2003
5. Кострикина Н.П. Задачи повышенной
трудности в курсе алгебры 10-11классов:Кн. Для учителя.-М.:Просвещение, 1991.
6.Куликов Л.Я. Алгебра и теория
чисел: Учеб.Пособие для пед.ин-тов.-М.:высш.шк.,1979.
7.Перельман Я.И. Занимательная
алгебра.-М.:Наука,1978.
8.Пичурин Л.Ф. За страницами учебника
алгебры: Кн.для учащихся 7-9 классов ср.шк.-М.: Просвещение,1990.
9.Серпинский В. 250 задач по
алгебре\Пер.с польск. И.Г.Мельникова-М.: Просвещение,1968.
10.Сканави М.И. Сборник задач по
математике с решениями.-М.,1999.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.