Главная / Математика / Факультативный курс по теме: "Решение квадратных уравнений с параметрами"

Факультативный курс по теме: "Решение квадратных уравнений с параметрами"

hello_html_m55a2fa49.gif
hello_html_6e561fc8.gif
hello_html_6e561fc8.gif
hello_html_m55a2fa49.gif
hello_html_6f299bd4.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m47ea01c4.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_5130dee1.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_732b97e8.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m56f2302c.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_28afb0e7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_50ef97b7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gif

Факультативный курс по математике:

«Решение квадратных уравнений с параметрами»














































Иванова Г.Г.

Факультативный курс по теме: «Решение квадратных уравнений с параметрами»

1. Пояснительная записка

Данный факультативный курс разработан по теме: “Решение квадратных уравнений с параметрами”. Он представляет собой систему факультативных занятий, предназначенных для работы с учениками 10-11 классов, обучающихся в классах с углубленным изучением математики, для студентов математических факультетов педагогических университетов и просто людей, увлекающихся математикой. Факультативный курс призван помочь всем желающим пополнить и углубить свои знания в области алгебры. Работа содержит достаточно большой объем материала, выходящего за рамки школьной программы по алгебре и потому этот материал может быть использован учителем для проведения факультативных занятий. Данный факультативный курс состоит из 8 занятий. После изучения данного курса учащиеся должны научиться решать квадратные уравнения с параметрами; укрепить и преумножить свои знания, умения и навыки в решении таких задач, что особенно важно. Для того чтобы математические понятия, теоремы, законы, правила стали бы предметом учебной деятельности школьников, необходимо представить их в виде задач, которые бы направляли и систематизировали их активность. Факультативный курс содержит также контрольную работу: итоговую, необходимую для контроля усвоения знаний. При наличии времени учитель может предложить кому-либо из учащихся сделать небольшое сообщение на уроке. В нём учащийся может воспроизвести какой-либо фрагмент теории и показать приёмы решения некоторых задач с параметром .Возможно такой подход окажется эффективным и число учащихся, выразивших готовность изучать дополнения к главам , возрастёт. Этот материал рассчитан на учащихся, интересующихся математикой и успешно усваивающих основной курс. Он может быть использован как в индивидуальной работе с учащимися, так и на внеклассных занятиях. Учащиеся успешно усваивающие факультативный курс, получают дополнительную возможность для более глубокого усвоения теории и овладения соответствующими умениями. Желательно, чтобы их успехи отмечались высокими оценками.

2. Тематическое планирование

На проведение факультативного курса отводится 8 академических часов. В конце курса – контрольная работа.

Тематическое планирование.

п.п.

Тема занятия

Количество часов

1

Простейшие типы квадратных уравнений с параметрами

2

2

Использование свойств квадратичной функции при решении квадратных уравнений

2

3

Решении квадратных уравнений с параметром различных видов

1

4

Некоторые типы уравнений с параметром, приводящиеся к квадратным

2

5

Контрольная работа

1

6

Итого

8













3. Лабораторные и практические занятия.

Занятие 1-2.

Тема: Простейшие типы квадратных уравнений с параметрами.

Цели:

Образовательная: научить решать квадратные уравнения с параметром через дискриминант;

Развивающая: развитие алгоритмического мышления;

Воспитательная: воспитание математической грамотности.

Тип занятия: изучение нового материала.

Вид занятия: практикум.

Ход занятия.

Как известно из школьного курса математики решение квадратного уравнения

hello_html_5665a5c3.gif,

где hello_html_m40a4f86c.gif описываются формулой

hello_html_60d76eb.gif,

где hello_html_b0b015f.gif, причем возможны три случая:

1. hello_html_a7155ac.gif, тогда уравнение имеет два корня hello_html_60d76eb.gif;

  1. hello_html_6cdb91d.gif, тогда уравнение имеет единственный корень hello_html_m631b9ff6.gif;

  2. hello_html_32462744.gif, тогда уравнение корней не имеет.

В общем случае при решении квадратичных уравнений с параметрами, если при hello_html_37de01a8.gif есть параметр, то вначале рассматривают случай, когда коэффициент при hello_html_37de01a8.gif равен нулю и находят решение. А затем исследуют уравнение с помощью дискриминанта.

Пример. Решить уравнение

hello_html_m61e5e832.gif

Решение. При hello_html_4b55b679.gif имеем

hello_html_m5d153f4.gif

откуда hello_html_2bd3b0e1.gif . Пусть теперь hello_html_m270859ab.gif, тогда имеем

hello_html_mf56d47c.gif.

  1. Если hello_html_267fef6e.gif, т.е. hello_html_m5b4fa0af.gif, то уравнение имеет два корня

hello_html_m2133236e.gif

  1. Если hello_html_m49418f6d.gif, т.е. hello_html_m57f34c20.gif, уравнение имеет единственный корень

hello_html_e97ecae.gif.

  1. Если hello_html_77f39bfe.gif, т.е. hello_html_289b46a8.gif, то уравнение корней не имеет.

Ответ: при hello_html_4b55b679.gif корень hello_html_2bd3b0e1.gif;

при hello_html_m5b4fa0af.gif, уравнение имеет два корня hello_html_m2133236e.gif;

при hello_html_m57f34c20.gif, уравнение имеет единственный корень hello_html_e97ecae.gif;

при hello_html_289b46a8.gif, уравнение корней не имеет.

Задача 1. Решить уравнение с параметром

  1. hello_html_75f2c47e.gif;

  2. hello_html_3eb5b2a.gif;

  3. hello_html_2c4e5956.gif;

  4. hello_html_4d1de4d.gif.

  5. hello_html_m61e5e832.gif

Решение.

а) Итак, имеем квадратичное уравнение

hello_html_75f2c47e.gif.

Найдем дискриминант hello_html_2e00f3af.gif, таким образом имеем три случая:

  1. hello_html_5c9b22b3.gif, тогда все решения уравнения описываются следующей формулой hello_html_m6f61e9bb.gif;

  2. hello_html_5027ce02.gif, тогда получаем hello_html_m9e9097b.gif, данное равенство верно при любом hello_html_m468af310.gif;

  3. hello_html_m44e1b108.gif, тогда уравнение корней не имеет.

Ответ: при hello_html_5c9b22b3.gif hello_html_m6f61e9bb.gif;

при hello_html_5027ce02.gif бесчисленное множество решений;

при hello_html_m44e1b108.gif уравнение корней не имеет.

b) Итак, имеем квадратичное уравнение

hello_html_3eb5b2a.gif.

Найдем дискриминант hello_html_m1a29ca4a.gifhello_html_m394dd286.gif, т.к. дискриминант положительное число, то уравнение всегда имеет два корня hello_html_64d2d455.gif.

Ответ: hello_html_64d2d455.gif при любом значении hello_html_78c52f3.gif.

c) Итак, имеем квадратичное уравнение

hello_html_2c4e5956.gif.

Найдем дискриминант hello_html_5ecf8511.gif т.к. дискриминант положительное число, то уравнение всегда имеет два корня hello_html_m3cd6b0dd.gif.

Ответ: hello_html_m3cd6b0dd.gif при любом значении hello_html_78c52f3.gif.

d) Рекомендуется выполнить самостоятельно.

e) При hello_html_4b55b679.gif имеем

hello_html_m5d153f4.gif

откуда hello_html_2bd3b0e1.gif . Пусть теперь hello_html_m270859ab.gif, тогда имеем

hello_html_mf56d47c.gif.

  1. Если hello_html_267fef6e.gif, т.е. hello_html_m5b4fa0af.gif, то уравнение имеет два корня

hello_html_m2133236e.gif

  1. Если hello_html_m49418f6d.gif, т.е. hello_html_m57f34c20.gif, уравнение имеет единственный корень

hello_html_e97ecae.gif.

  1. Если hello_html_77f39bfe.gif, т.е. hello_html_289b46a8.gif, то уравнение корней не имеет.

Ответ: при hello_html_4b55b679.gif корень hello_html_2bd3b0e1.gif;

при hello_html_m5b4fa0af.gif, уравнение имеет два корня hello_html_m2133236e.gif;

при hello_html_m57f34c20.gif, уравнение имеет единственный корень hello_html_e97ecae.gif;

при hello_html_289b46a8.gif, уравнение корней не имеет.

Задача 2. При каких значениях hello_html_78c52f3.gif один из удвоенных корней уравнения

hello_html_27bb3c34.gif(1)

больше единицы, а другой меньше -1.

Решение. Ясно, что hello_html_4419df36.gif , в противном случае уравнение (1) имеет только одно решение. Тогда

hello_html_m1cdb3502.gif.

Искомое значение hello_html_78c52f3.gif найдем как объединение решений следующих двух систем:

а) hello_html_m6deaa810.gif б) hello_html_54e3727d.gif

Решим систему а):

hello_html_m7bc225bc.gif

hello_html_37126f45.gif

Дальше решаем систему б):

hello_html_m5530357c.gif

Ответ: hello_html_440a78d3.gif.

Задача 3. При каком целом значении hello_html_3ca72934.gif уравнения hello_html_1c18e3b1.gif и hello_html_18a0f2fe.gif имеют общий корень? Найти этот корень.

Решение. Имеем

hello_html_23632c9a.gif

Подставив выражение во второе уравнение, получим

hello_html_3cdeb8da.gif

hello_html_m3cc32e93.gif,

т.е. hello_html_m17544d1c.gif.Отсюда hello_html_m60634a92.gif (противоречит условию). Итак, hello_html_2a5cb133.gif. При этом значении hello_html_3ca72934.gif получим уравнения

hello_html_198f5001.gifи hello_html_63417975.gif.

Первое из них имеет корни hello_html_6b19aa8f.gif, а второе корни hello_html_m4c8fdbc8.gif, т. е. hello_html_34e9f50e.gif – общий корень.

Ответ: hello_html_2a5cb133.gif, hello_html_1cfa0b26.gif.

Задача 4. При каком значении hello_html_3ca72934.gifотношение корней уравнения

hello_html_11651ea7.gif

равно-4?

Решение. Имеем hello_html_11651ea7.gif и hello_html_506a8c81.gif. Из системы

hello_html_m155f4238.gif

найдем hello_html_2f334ac8.gif или hello_html_m61538244.gif. Далее используя равенство hello_html_m3605b110.gif, получаем hello_html_27f7eef4.gif.

Ответ: hello_html_27f7eef4.gif.




Занятие 3-4.

Тема: Использование свойств квадратичной функции при решении квадратных уравнений

Цели:

Образовательная: научить решать квадратные уравнения с параметром используя свойства квадратичной функции;

Развивающая: развитие алгоритмического мышления;

Воспитательная: воспитание математической грамотности.

Тип занятия: изучение нового материала.

Вид занятия: практикум.


Обратимся вначале к понятию квадратичной функции и ее свойствам, а затем рассмотрим применение их к решению квадратичных уравнений с параметрами.

Определение. Квадратичной называется функция вида

hello_html_m5d190f7d.gif,

где hello_html_m40a4f86c.gif.

Отметим теперь некоторые свойства квадратичной функции:

  1. Область определения – множество всех действительных чисел;

  2. Если hello_html_640144f3.gif - точки пересечения квадратичной функции с осью hello_html_30fccb31.gif, то функцию можно представить в виде

hello_html_5252ef47.gif.

  1. График квадратичной функции – парабола.При а > 0 ветви параболы направлены вверх, т.е. график имеет вид:

у






0 х

Рис.1.


  1. При hello_html_m44e1b108.gif ветви параболы направлены вниз, т.е. график имеет вид:








у






0 х


Рис.2.

  1. Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле:

hello_html_m631b9ff6.gif

Использование свойств квадратичной функции часто бывает полезным при решении не только квадратных уравнений, но и приводящимся к ним.

Пример. При каких значениях hello_html_m16cdc31b.gif уравнение hello_html_6ce0a332.gif имеет один корень?

Решение. Если hello_html_18d606bc.gif, то уравнение примет вид

hello_html_m3722495c.gif

и, значит, имеет единственный корень. Пусть hello_html_2328c244.gif. Положим,

hello_html_m1478ace4.gif

откуда после преобразований найдем

hello_html_18f1032d.gif.

Тогда данное уравнение запишется так:

hello_html_m7270982e.gif

Теперь построим графики функций hello_html_m79e4614d.gif и hello_html_5ee2bfe9.gif. Так как в уравнении параболы коэффициент при hello_html_4cc28be1.gif содержит параметр hello_html_m16cdc31b.gif, то нужно рассмотреть два случая: hello_html_146aea0d.gif и hello_html_29a11235.gif. В обоих случаях, учитывая условие hello_html_23fd33b2.gif берем только ту часть параболы, которая расположена правее оси hello_html_53911e05.gif (рис 1, 2).

у

z=2m


z=y²+2my-1

0 х



рис. 3.


у




z=y²+2my-1

х

0


Рис.4.

Если hello_html_146aea0d.gif, то прямая hello_html_5ee2bfe9.gif пересекает указанную часть параболы в единственной точке при условии hello_html_m7ba6a4fc.gif, т.е. при hello_html_m7e9bf0ca.gif; значит, в этом случае hello_html_146aea0d.gif. Если же hello_html_29a11235.gif, то прямая hello_html_5ee2bfe9.gif пересекает эту часть параболы в единственной точке при условии hello_html_m7ba6a4fc.gif, т.е. при hello_html_m7e9bf0ca.gif; следовательно, такое пересечение получится при hello_html_12b99f7a.gif. Кроме того, в случае hello_html_29a11235.gif уравнение имеет единственный корень при условии, что прямая hello_html_5ee2bfe9.gif касается параболы hello_html_m79e4614d.gif в ее вершине. Записав уравнение параболы в виде hello_html_166a7a71.gif, устанавливаем, что ордината вершины параболы равна hello_html_16d28700.gif; значит, условие касания примет вид hello_html_m1585d60f.gif, откуда hello_html_6f888bd3.gif. Таким образом, объединив все полученные сведения, заключаем, что уравнение имеет единственный корень при hello_html_6f888bd3.gif и при hello_html_280da9ea.gif.

Задача 5. Решить уравнения

  1. hello_html_3cbdb814.gif;

  2. hello_html_m259b69a5.gif;

  3. hello_html_m5cc9608d.gif;

  4. hello_html_m609b025d.gif.

Решение.

а) Построим графики функций hello_html_m20a29ccf.gif и hello_html_5fc81609.gif

у

hello_html_208e10fb.png

рис. 5.

Из графика видно, что парабола пересекает ось hello_html_30fccb31.gif лишь в одной точке. В соответствии с этим возможны три случая:

  1. при hello_html_146aea0d.gif прямая hello_html_5fc81609.gif и парабола hello_html_m20a29ccf.gif не имеют точек пересечения, а значит и исходное уравнение не имеет решений;

  2. при hello_html_18d606bc.gif будет одна точка пересечения, а значит и исходное уравнение будет иметь один корень равный hello_html_10cc198a.gif;

  3. при hello_html_29a11235.gif будет две точки пересечения, значит два корня уравнения hello_html_m71b4b49a.gif.

Ответ: при hello_html_146aea0d.gif уравнение не имеет решений;

при hello_html_18d606bc.gif один корень равный hello_html_10cc198a.gif;

при hello_html_29a11235.gif уравнение имеет два корня hello_html_m27496a65.gif.b) Построим графики функций hello_html_132e12e7.gif

у





0 х




рис. 6.

Из рисунка видно, что кривые не имеют общих точек, а значит и уравнение не имеет решений при любых значениях параметра hello_html_m16cdc31b.gif.

Ответ: нет решений.

c) и d) рекомендуется выполнить самостоятельно.

Задача 6. Решить уравнение hello_html_m2c6e5635.gif и исследовать, при каких значениях параметра hello_html_78c52f3.gif оно имеет корни (и сколько их) и не имеет корней.

Решение. Положим hello_html_628bf333.gif. Тогда hello_html_4ec9f6ba.gif, откуда hello_html_c1856c5.gif; данное уравнение примет вид hello_html_635d2221.gif. Построим параболу hello_html_m1b643680.gif и прямую hello_html_6acb00e6.gif. С помощью рисунка устанавливаем, что при hello_html_m55a11c1a.gif уравнение не имеет корней, при hello_html_m1ec5c7a3.gif уравнение имеет два корня, а при hello_html_4ba23c2c.gif и при hello_html_5c9b22b3.gif – один корень.

hello_html_m675cb802.png

рис.7.

Остается найти эти корни. Для этого решаем уравнение hello_html_m2655d5c7.gif, откуда получим hello_html_3477d912.gif, ил, возвращаясь к старой переменной, hello_html_7c8618a4.gif.

Ответ: при hello_html_m1ec5c7a3.gif два корня hello_html_7c8618a4.gif;

при hello_html_4ba23c2c.gif - один корень hello_html_m6798f4ac.gif;

при hello_html_5c9b22b3.gif - один корень hello_html_m598f8e2e.gif;

при hello_html_m55a11c1a.gif нет корней.



Занятие 5.

Тема: Решение квадратных уравнений с параметром различных видов.

Цели:

Образовательная: научить решать различного типа задачи на квадратичные уравнения с параметром;

Развивающая: развитие творческого мышления;

Воспитательная: воспитание математической грамотности.

Тип занятия: изучение нового материала.

Вид занятия: практикум.

Ход занятия.

Задача 7. При каких значениях параметра hello_html_78c52f3.gifуравнение

hello_html_m305cfddb.gif

имеет только целые корни?

Решение. Только разбиением на необходимые и достаточные условия дает ключ к решению задачи. Если hello_html_5027ce02.gif, то hello_html_1cfa0b26.gif – единственное решение. Пусть теперь hello_html_m40a4f86c.gif. Тогда

hello_html_m7a0f1c97.gif

Если hello_html_44641822.gif – целое число, то hello_html_308a4da3.gif – то же целое число. Отсюда следует: hello_html_m66a56a0e.gif,т. е. hello_html_56ecd8e0.gif и hello_html_76f83f09.gif - целое число. Следовательно, hello_html_m7e3175ec.gif, а число hello_html_78c52f3.gif,

hello_html_m367aa2a7.gif(1)

Соотношение (1) указывает только на необходимые условия. Проверим эти условия на достаточность. Первое требование – дискриминант hello_html_6e60b15c.gifи более того, hello_html_6231a9e9.gif - целое число.

Далее выражение

hello_html_5d5170d3.gif

должно быть целым числом. Этим требованиям удовлетворяют:

hello_html_5d6094c1.gifи hello_html_m5b2a81d8.gif.

Ответ: hello_html_m5c3c381d.gif.

Задача 8. При каких значениях параметра hello_html_22698e33.gif оба корня уравнения

hello_html_m57fa0d65.gif

положительны?

Решение. Если корни положительны, то их произведение hello_html_1e161d08.gif, т. е. hello_html_m6b8fa5b4.gif.Но мы знаем, что условие hello_html_m6b8fa5b4.gif только необходимое для положительности корней.

Далее, если корни положительны, то их сумма hello_html_m6f18e773.gif, т.е. hello_html_27129be1.gif.Одновременное выполнение условий hello_html_m6b8fa5b4.gif и hello_html_27129be1.gif - это тоже только необходимое условие, т.к. при этих условиях корни возможно будут комплексными. Чтобы корни были действительными, достаточно еще дополнительно требовать неотрицательность дискриминанта:

hello_html_m12b6ffe3.gif.

Отсюда получаем, что достаточные условия определяются системой:

hello_html_20e0083b.gif.

Ответ: hello_html_67d1a7e2.gif.

Задача 9. Найти все значения hello_html_78c52f3.gif, при которых сумма корней уравнения

hello_html_m4e49c273.gif

равна сумме квадратов корней.

Решение. Имеем hello_html_71d95801.gif и hello_html_m41df54ec.gif, т.е. hello_html_45fb94f3.gif. Согласно теореме Виета hello_html_m7150f6b9.gif, или hello_html_104e5a91.gif ,откуда hello_html_43f81b3c.gif.

Ответ: hello_html_43f81b3c.gif.

Задача 10. При каком значении hello_html_3ca72934.gifотношение корней уравнения

hello_html_11651ea7.gif

равно-4?

Решение. Имеем hello_html_11651ea7.gif и hello_html_506a8c81.gif. Из системы

hello_html_m155f4238.gif

найдем hello_html_2f334ac8.gif или hello_html_m61538244.gif. Далее используя равенство hello_html_m3605b110.gif, получаем hello_html_27f7eef4.gif.

Ответ: hello_html_27f7eef4.gif.

Задача 11. Показать, что если hello_html_78c52f3.gif и hello_html_b47d8c5.gif - корни уравнения hello_html_149ca38c.gif, а hello_html_b47d8c5.gif и hello_html_4b6cc826.gif - корни уравнения hello_html_2d16040.gif, то hello_html_m6b80b621.gif.

Решить самостоятельно.





Занятие 6 - 7.

Тема: Некоторые типы уравнений с параметром, приводящиеся к квадратным.

Цели:

Образовательная: научить решать различного типа задачи с параметром приводящиеся к квадратным уравнениям;

Развивающая: развитие творческого мышления;

Воспитательная: воспитание математической грамотности.

Тип занятия: изучение нового материала.

Вид занятия: практикум.

Ход занятия.

Задача 1. При каких значениях параметра hello_html_22698e33.gif уравнение

hello_html_m4491559b.gif

имеет хотя бы одно решение.

Решение. Полагая hello_html_m16ad7d64.gif представим данное уравнение в виде:

hello_html_70940a1a.gif.

Полученное уравнение имеет решение hello_html_m34053676.gif тогда и только тогда, когда наибольший корень неотрицателен:

hello_html_m4d6d66a3.gif, hello_html_m55eaded7.gif

Дискриминант hello_html_3d382b74.gifтогда и только тогда, когда hello_html_m42f24dfb.gifили hello_html_m443fdf60.gif. Если hello_html_m42f24dfb.gif, то hello_html_m3a0bf35.gif и hello_html_m69c1a62b.gif - решение.

Если же hello_html_m443fdf60.gif, то

hello_html_m67d0f583.gif

hello_html_m4f0fa00a.gif

Следовательно при hello_html_m443fdf60.gif данное уравнение не имеет решений.

Ответ: hello_html_m48ad9136.gif.

Задача 2. Решить уравнение

hello_html_33328d5f.gif.

Решение. Решим данное уравнение относительно параметра hello_html_b47d8c5.gif. Выясним какие значения для этого параметра hello_html_b47d8c5.gif необходимы для того, чтобы уравнение имело решение относительно переменных hello_html_m468af310.gif иhello_html_4cc28be1.gif.Эти необходимые условия для параметра hello_html_b47d8c5.gif найдем из условия hello_html_54484472.gif:

hello_html_m65622790.gif(1)

Наименьшее значение правой части неравенства (1) равно -1. Докажем, что наибольшее значение левой части (1) равно -1. Действительно:

hello_html_m5ef7ee75.gif.

Примем свойство средних для неотрицательных чисел hello_html_78c52f3.gifи hello_html_b47d8c5.gif:

hello_html_37734044.gif

Равенство достигается при hello_html_52cd0788.gif. Поэтому

hello_html_m664b130e.gif.

Отсюда следует, что дискриминант hello_html_5c0d4e10.gif может принимать только нулевое значение:

hello_html_m323fd27e.gif.

Иначе говоря, параметр hello_html_b47d8c5.gif существует в двух случаях:

а) hello_html_m15dcd90d.gif б) hello_html_m26b6581e.gif

Если имеет место а), то данное уравнение имеет вид:

hello_html_1c22b260.gif.

Если имеет место б), то данное уравнение имеет вид:

hello_html_ab6c18f.gif.

Проверка на достаточность:

в) hello_html_m29e58622.gif

Правая часть имеет минимальное значение, равное -1, при hello_html_686bfdb7.gif. Левая часть – максимальное, равное -1, при hello_html_m36fae948.gif

Отсюда следует при hello_html_m7ba74cda.gif

hello_html_593936b1.gif.

Если hello_html_7a674cda.gif ,то

hello_html_mb9126dd.gif

hello_html_m1326420e.gif.

Левая часть, как уже известно, принимает максимальное значение, равное -1, при hello_html_m606ebade.gif.

Для правой части -1 является минимальным значением, оно достигается при hello_html_19197113.gif.

Итак, при hello_html_7a674cda.gif hello_html_593936b1.gif .

Ответ: при hello_html_m7ba74cda.gif hello_html_593936b1.gif;

при hello_html_7a674cda.gif hello_html_293e0e10.gif.

Задача 3. Решить уравнение

hello_html_m45c43afd.gif. (1)

Решение. ОДЗ:

hello_html_m6f557809.gif. (2)

Если hello_html_5027ce02.gif, то hello_html_1e227c25.gif, т.е. нет решения.

Уравнение (1) равносильно системе:

hello_html_m4674741d.gif.

Отсюда следует:

hello_html_m3523bd13.gif

hello_html_71ebc5fa.gif.

Подкоренное выражение hello_html_10a37fb.gif при всех hello_html_78c52f3.gif.

Найденные выражения для hello_html_67f2de71.gif и hello_html_60e503fe.gif должны удовлетворять условию (2), т. е. для всех hello_html_67f2de71.gif, исключить те значения hello_html_78c52f3.gif, при которых

hello_html_m15bccdc9.gif(3)

т.е. при hello_html_m4cabfb63.gif hello_html_67f2de71.gif не является корнем, но hello_html_m62c27781.gif.

а для hello_html_60e503fe.gif – исключить те значения hello_html_78c52f3.gif, при которых

hello_html_264b4168.gif(4)

В данном случае hello_html_60e503fe.gif - решение при всех hello_html_78c52f3.gif, кроме hello_html_5027ce02.gif.

Ответ: нет решений при hello_html_5027ce02.gif;

hello_html_12f7d003.gifпри hello_html_m4cabfb63.gif;

при hello_html_m40a4f86c.gif и hello_html_5f1f2d30.gif корни hello_html_m3523bd13.gif и hello_html_71ebc5fa.gif.

Задача 4. Решить уравнение hello_html_567dc0f2.gif

Решение. Введем замену hello_html_m37c2f5f6.gif, имеем hello_html_m1db9b456.gif, hello_html_78b0fb06.gif, таким образом пришли к уравнению

hello_html_m207241f2.gif,

корни которого равны hello_html_7cb283d8.gif. Исследуем полученные корни. Чтобы они имели смысл необходимо справедливость неравенства

hello_html_5bfe7961.gif.

и, кроме того, должны удовлетворять неравенству hello_html_m1db9b456.gif. Имеем системы

hello_html_53e5b2ae.gif

Решив которую, получим hello_html_m1fe7b03e.gif. И вторая

hello_html_m42c7fc9f.gif,

Решив которую, получим hello_html_1cbbec52.gif. Таким образом, возвращаясь к старой переменной получим hello_html_3767983c.gif при hello_html_m1fe7b03e.gif и hello_html_m2378b50d.gif при hello_html_1cbbec52.gif. Нет решений при hello_html_m6a3f09d6.gif.

Ответ: нет решений при hello_html_m6a3f09d6.gif;

hello_html_3767983c.gifпри hello_html_m1fe7b03e.gif;

hello_html_m2378b50d.gifпри hello_html_1cbbec52.gif.


























4. Контрольная работа

По итогам изучения курса предлагается решить контрольную работу состоящую из двух вариантов.


Вариант I

Вариант II

1. Решить уравнение

a) hello_html_m7064f29a.gif

b) hello_html_m17afaaa7.gif

a) hello_html_75b49fd.gif

b) hello_html_m67d5dc7f.gif

2. Решить уравнение графическим способом

hello_html_2fbd6769.gif

hello_html_6b22f8bd.gif

3. При каких значениях hello_html_3ca72934.gif уравнение hello_html_m16037941.gif имеет равные корни?

3. При каких значениях hello_html_78c52f3.gifуравнения hello_html_m7870318c.gif и hello_html_m7bc4b181.gif имеют общий корень?


Решение.

Вариант I. a) Найдем дискриминант этого уравнения, имеем hello_html_5eb8ced1.gif, приравняем его к нулю, получим

hello_html_435becb8.gif

hello_html_m11aa6132.gif

hello_html_m53cec0b8.gif.

Теперь исследуем уравнение на решения. Очевидно, что при hello_html_495bb74a.gif уравнение корней иметь не будет. Тогда как при hello_html_m1b9278db.gif уравнение имеет два корня hello_html_ma73c977.gif. И при hello_html_m4cddc060.gif уравнение имеет единственный корень hello_html_6d222b09.gif.

Ответ: при hello_html_m1b9278db.gif уравнение имеет два корня hello_html_ma73c977.gif;

при hello_html_495bb74a.gif уравнение корней не имеет;

при hello_html_m4cddc060.gif уравнение имеет единственный корень hello_html_6d222b09.gif.

b) Найдем дискриминант этого уравнения, имеем hello_html_7b880129.gif, приравняем его к нулю, получим

hello_html_4694e382.gif.

Имеем при hello_html_5bae7183.gif уравнение не имеет решений. При hello_html_135eed0e.gif уравнение имеет два корня hello_html_m3d50636e.gif. При hello_html_m7ee5d950.gif единственный корень hello_html_m7c24d2af.gif. Построим графики функций hello_html_69d5ea03.gif и hello_html_49309658.gif, имеем


у





0 х


Рис.8.

Из графика видно, что прямая hello_html_49309658.gif и парабола hello_html_69d5ea03.gif могут меть две точки пересечения при hello_html_21e7b350.gif. Единственный корень при hello_html_3b0628fc.gif и нет решений при hello_html_m44b0759d.gif.

3. Квадратное уравнение имеет рваные корни, если его дискриминант равен нулю, т.е. hello_html_411e7727.gif, откуда находим hello_html_m3465e58b.gif и hello_html_m270b9ae8.gif.

Вариант II

  1. a) и b) Указание. Воспользоваться методом решения описанным выше

  2. Указание. Построить графики функций hello_html_664f5dd5.gif и hello_html_8cd0f0f.gif и по графикам исследовать решения данного уравнения.

  3. Вычитая из первого уравнения второе, получим

hello_html_m739ddccb.gif.

Если hello_html_4b55b679.gif, каждое из уравнений имеет вид hello_html_m3f39034c.gif, а такое уравнение не имеет корней. Если же hello_html_m270859ab.gif, то hello_html_1cfa0b26.gif и, значит, hello_html_me47ff82.gif, т.е. hello_html_m4cabfb63.gif.

Ответ: при hello_html_m4cabfb63.gif.


Литература.

1.Бородин А.И., Бугай А.С. Библиографический словарь деятелей в области математики. Пер. с укр.- К.: Радьянска школа, 1979.

2.Гельфонд А.О. Решение уравнений с параметрами. – 4-е изд. – М.: Наука,1983.

3.Далингер В.А., Загородных К.А. Методика организации и проведения самостоятельных работ учащихся в процессе обучения их уравнений с параметрами: Книга для учителя.-Омск:Изд-во ОмГпУ,1996.

4.Жафяров А.Ж. Профильное обучение математике старшеклассников.-Н.,2003

5. Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 10-11классов:Кн. Для учителя.-М.:Просвещение, 1991.

6.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб.Пособие для пед.ин-тов.-М.:высш.шк.,1979.

7.Перельман Я.И. Занимательная алгебра.-М.:Наука,1978.

8.Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Кн.для учащихся 7-9 классов ср.шк.-М.: Просвещение,1990.

9.Серпинский В. 250 задач по алгебре\Пер.с польск. И.Г.Мельникова-М.: Просвещение,1968.

10.Сканави М.И. Сборник задач по математике с решениями.-М.,1999.



Факультативный курс по теме: "Решение квадратных уравнений с параметрами"
  • Математика
Описание:

При решении приведенных выше задач с параметрами происходит повторение и , как следствие, более глубокое прочное усвоение программных вопросов. Ученики расширяют свой математический кругозор, при этом происходит развитие математического , логического мышления, умения анализировать, сравнивать и обобщать. Решение задач с параметрами на факультативных занятиях это помощь при подготовке к экзаменам.Происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли и точность.

В целом можно говорить о том, что поставленная проблема исследования, сформулированная как разработка наиболее эффективной методики обучения учащихся различным способом решения квадратных  уравнений с параметрами была решена.

Автор Иванова Гульнара Гильмитдиновна
Дата добавления 05.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 583
Номер материала 34461
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓