Главная / Математика / Электронное пособие по математике на тему "Комплексные числа"

Электронное пособие по математике на тему "Комплексные числа"

hello_html_6907df39.gifhello_html_m3de41218.gifhello_html_m36c5e774.gifhello_html_m6e67941c.gifhello_html_m2a45a88.gifhello_html_m6696f876.gifhello_html_m29e51b4f.gifhello_html_3b35fa59.gifhello_html_e51fb83.gifhello_html_m57adc830.gifhello_html_m79b59f84.gifhello_html_2efe66e5.gifhello_html_mdf5db94.gifhello_html_m77ed8983.gifhello_html_m9bedecd.gifhello_html_5b121fe2.gifhello_html_m30518bc0.gifhello_html_7706c287.gifhello_html_m1909386c.gifhello_html_m5234c760.gifhello_html_4c7903c.gifhello_html_m528f0151.gifhello_html_m347940d1.gifhello_html_70093043.gifhello_html_33933e65.gifhello_html_m5261a9f.gifhello_html_455f5cbf.gifhello_html_m51e1cb6e.gifhello_html_m2b2012e3.gifhello_html_m677d495c.gifhello_html_3b4fbd6.gifhello_html_m41b5480d.gifhello_html_651e5eef.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_3436e49a.gifhello_html_m7cf09c43.gifhello_html_m57984811.gifhello_html_22b080b.gifhello_html_m6663b0f5.gifhello_html_m6ba7c164.gifГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ТЕХНИКУМ СТРОИТЕЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»













ЭЛЕКТРОННОЕ ПОСОБИЕ



КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА





























Воронеж

2014



ОДОБРЕНО

Предметной (цикловой) комиссией математических и естественнонаучных дисциплин



Протокол заседания № _____

от «____» ____________2014 г.



Председатель ПЦК

____________( Шаранина Н.К.)

«____»_____________2014 г.


Составлено в соответствии с учебным планом и рабочей программой дисциплины

Математика






Пособие предназначено для студентов 2-го курса всех специальностей техникума, изучающих тему «Комплексные числа». Материал изложен в доступной для студента техникума форме с соблюдением должной математической строгости.




Составитель: Сафонова Елена Артуровна, преподаватель ГОБУ СПО ВО «Воронежский техникум строительных технологий»















Оглавление









Пояснительная записка



Настоящее методическое пособие предназначено для студентов 2-го курса техникума всех специальностей, изучающих тему «Комплексные числа».

Пособие представляет собой краткое изложение теоретического материала, набор практических упражнений по теме «Комплексные числа» и формулы, необходимые для их решения. Для знакомства с основными методами решения предлагаемых упражнений в пособии рассматриваются типовые примеры и их подробные решения, что способствует лучшему пониманию и усвоению учебного материала.

Содержащийся в пособии теоретический материал может быть использован на уроке для самостоятельной работы, а также для самостоятельного изучения темы студентами дома.

Настоящее методическое пособие также включает в себя вопросы на повторение основного материала и примерные задания, что позволит студентам в подготовке к контрольной работе и зачёту по теме.



КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА



  1. Развитие понятия числа



Простейшим числовым множеством является множество натуральных чисел

N= {1; 2; 3….}. В этом множестве всегда выполнимы сложение и умножение, т. е сумма и произведение двух натуральных чисел будут всегда числом натуральным.

Но в этом множестве не всегда выполнимо вычитание. Например, 3-5 не является числом натуральным. Поэтому, чтобы действие вычитание было выполнимо всегда, множество натуральных чисел расширили, присоединив к нему числа целые, отрицательные и ноль. Получили множество целых чисел Z= {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3; …}

Однако в этом множестве деление осталось выполнимо не всегда. Потребовалось новое расширение множества целых чисел за счет присоединения к нему чисел дробных. Получили множество рациональных чисел Q. Это множество является настолько плотным, что даже два его рядом стоящих числа мы записать не можем.

Но извлечение корня потребовало введения иррациональных чисел. Объединение рациональных и иррациональных чисел составило множество действительных чисел R.

Однако извлечение корня четной степени из отрицательного числа и в этом множестве выполнить было нельзя. Для того чтобы можно было решать уравнения вида hello_html_6cb89054.gif или hello_html_55a81df0.gif были введены новые числа, которые получили название комплексных чисел.



2. Основные определения и соотношения для комплексных чисел.

  • Число hello_html_78620471.gif называется мнимой единицей. Следовательно hello_html_160cd8dc.gif.


  • Числа вида b j, где bhello_html_559182c5.gif R называются мнимыми или чисто мнимыми.

Например: hello_html_m4a5b61cc.gif, hello_html_6784cfcc.gif, hello_html_24e9a3ce.gif.

  • Числа вида a+b j, где hello_html_m7dd14733.gif R называются комплексными.

Например: hello_html_6a3494fc.gif; hello_html_m56fffe31.gif; hello_html_m72674ded.gif.

  • Два комплексных числа a + b j и c + d j считаются равными, если равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т. е. a =c и b = d (понятия >, < для комплексных чисел нет).



  • Комплексное число вида 0+0j называется нулевым комплексным числом.



  • Два комплексных числа вида a + b j и ab j называются сопряжёнными.

Например: hello_html_4a6bb349.gifи hello_html_m61187379.gif.

  • Два комплексных числа вида a + b j и -ab j называются противоположными.

Например: hello_html_4f295083.gifи hello_html_m3cfea569.gif.

3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Запись комплексного числа в виде hello_html_m4318c2ad.gifназывается алгебраической формой записи комплексного числа.

Рассмотрим правила действия над комплексными числами в алгебраической форме.


а) Сложение и вычитание комплексного числа выполняются как сложение и вычитание многочленов, т.е. раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые.

Примеры:

hello_html_4d6c6431.gif;

hello_html_m30b883ac.gif.

б) Умножение комплексного числа в алгебраической форме выполняется как умножение многочленов с последующей заменой hello_html_75fd5e01.gif на hello_html_m4f0ff780.gifи приведением подобных слагаемых.

Пример: hello_html_m623a2936.gif

в) Деление.

Чтобы выполнить деление комплексного числа нужно делимое и делитель умножить на число, сопряжённое делителю, выполнить действия и полученный в числителе результат почленно разделить на знаменатель.

Пример:

hello_html_m72ce1a47.gif= hello_html_23071c00.gif= hello_html_m1611b4b3.gif = hello_html_m728fbe8d.gif = hello_html_m3f821c52.gif = hello_html_26e86c00.gif

Заметим, что произведение hello_html_f0feef6.gif поэтому в знаменателе результат будем находить сразу по этой формуле

hello_html_21906763.gif

Пример: hello_html_3e860751.gif

Степени мнимой единицы.

hello_html_71599083.gif hello_html_m22c7c70b.gif

hello_html_160cd8dc.gif hello_html_mf3516ee.gif

hello_html_3a0b981d.gif hello_html_7f60e5f9.gif

hello_html_m69de60a3.gif hello_html_m53b8e194.gif и т.д.

Таким образом, hello_html_66122f29.gif.

Чтобы подсчитать любую степень j нужно выделить из нее степень кратную 4 и остаток, а потом вычислить j в степени, равной остатку.

Примеры. hello_html_515310df.gif; hello_html_3ef1c794.gif

hello_html_2467643.gif; hello_html_f7c7607.gif



УПРАЖНЕНИЯ

Произвести сложение и вычитание комплексных чисел:

1. hello_html_m7a9dda03.gif 5. hello_html_25622e81.gif 9hello_html_2076dc30.gif

2. hello_html_m2c695aa6.gif6. hello_html_m27f505d8.gif10hello_html_m1292392f.gif

3hello_html_m6177dd0b.gif 7. hello_html_75640343.gif11. hello_html_m4c9be7d2.gif

4. hello_html_m3532d1c3.gif 8. hello_html_16a4bf4b.gif12. hello_html_m4566aa9b.gif

Произвести умножение комплексных чисел:

13hello_html_m309c4b26.gif 17. hello_html_35cdb503.gif21. hello_html_m2cbe04ad.gif

14. hello_html_m4f7f85c2.gif18. hello_html_m5d9a4ad9.gif22. hello_html_m3b5f2118.gif

15. hello_html_1139f6e.gif19. hello_html_mf1eee7c.gif23. hello_html_m2b7ee59d.gif

16. hello_html_1aa3870a.gif20. hello_html_61580ba5.gif24. hello_html_m22d53752.gif

При выполнении умножения можно использовать формулы

hello_html_69b8e959.gif

hello_html_33539c65.gif

Примеры: hello_html_m50227a4c.gif

hello_html_mf4228fd.gif

hello_html_m7684c3a9.gif

Выполнить действия:

25. hello_html_259ec48d.gif hello_html_6e64c96e.gif 33. hello_html_4925d40c.gif

26. hello_html_m20d2eaa4.gif 29. hello_html_68f1076.gif 34. hello_html_1bd67bf8.gif

hello_html_m1a67ff60.gif 30. hello_html_m3d30bb26.gif 35. hello_html_m1678893c.gif

hello_html_11852162.gifВыполнить действия:

36. hello_html_m13aa4209.gif 39. hello_html_m608e0cf0.gif 42. hello_html_m38ffbb6f.gif

37. hello_html_m1128ef42.gif 40. hello_html_6ec6832f.gif 43. hello_html_49154639.gif

38. hello_html_d7d607f.gif 41. hello_html_7ef2a582.gif 44. hello_html_e07fb6.gif

Выполнить деление:

45hello_html_2155fbcc.gif ; 48. hello_html_m7a90067e.gif ; 51. hello_html_2d1b971a.gif ;

46.hello_html_m3064bdca.gif ; 49. hello_html_75f4a7ea.gif ; 52. hello_html_m3e998575.gif ;

47.hello_html_m5c5d0fb6.gif ; 50. hello_html_m2e7f7e5.gif ; 53. hello_html_6d25ea.gif .

Вычислите:

54. hello_html_3946c033.gif; hello_html_m3e9e77cf.gif ; hello_html_4980135d.gif; hello_html_31682433.gif. 57. hello_html_m49bddfee.gif

55. hello_html_64a8d942.gif 58. hello_html_57a69c79.gif

56hello_html_m3b736bb4.gif59. hello_html_63a7bf66.gif

Выполните действия:

60. hello_html_23c42dae.gif . 63. hello_html_26b1bcb2.gif + hello_html_m67672eae.gif 66. hello_html_50e17257.gif

61. hello_html_fa96187.gif hello_html_m5797bda9.gif . 64. hello_html_m6f4d86b7.gif - hello_html_m6b49308e.gif 67. hello_html_3d0db22a.gif

62. hello_html_2330912.gif ( hello_html_520f5a81.gif). 65. hello_html_54103fc7.gif hello_html_7af6a252.gif 68. hello_html_m21e30835.gif.

Решить квадратные уравнения:

Пример: hello_html_54631b81.gif

Решение. Найдём дискриминант по формулеhello_html_m54155f51.gif.

hello_html_m5829480c.gif; hello_html_m3af2f5fd.gif.

hello_html_432bca1c.gif=hello_html_mcfa2a21.gif


63. hello_html_m6f35866e.gif 65. hello_html_m5eca91df.gif 67. hello_html_m4976e89d.gif

64. hello_html_a1b5372.gif 66. hello_html_6d6a1c9c.gif 68. hello_html_72fe6ba0.gif

Найдите x и y на основании равенства двух комплексных чисел.

Пример: hello_html_2e65d21c.gif.

Решение. Из равенства комплексных чисел следует, что hello_html_48731e04.gif

hello_html_m276ba59f.gif

69. hello_html_m199da283.gif 70. hello_html_12d1f337.gif

71. hello_html_m7cce7810.gif 72. hello_html_m21a081b3.gif

73. .hello_html_m33371a5f.gif . 74. hello_html_m504834cf.gif.

4. Геометрическое изображение комплексных чисел.


Комплексное число hello_html_m4318c2ad.gifизображается на координатной плоскости точкой М(a;b)

или вектором hello_html_6139437c.gif, начало которого совпадает с началом координат, а конец – с точкой М(a;b). Сама координатная плоскость при этом называется комплексной плоскостью, ось абсцисс – действительной осью, ось ординат – мнимой осью.

y

b M(a;b)

r

hello_html_m29228db2.gif

0 а x Рис. 1.



75. Изобразите на координатной плоскости числа: hello_html_m33bdb6e.gif; hello_html_1edf2d44.gif; hello_html_11852162.gif

hello_html_388c1aca.gif; hello_html_mb91e221.gif; hello_html_m3653917.gif; hello_html_m4fbeea96.gif.




5. Модуль и аргумент комплексного числа.

Определение. Модулем комплексного числа называется абсолютная величина вектора, соответствующего этому числу.

Модуль числа hello_html_m4318c2ad.gifобозначается hello_html_m1e81b9b3.gif или hello_html_m2452df65.gif или r.

На основании теоремы Пифагора (см. рис.1) получается формула

hello_html_m3bee34a2.gif

Например, комплексное число hello_html_2ee4b776.gifимеет модуль равный 10, так как hello_html_7ece736c.gif

Определение. Аргументом комплексного числа hello_html_m1aaee2c5.gifназывается величина угла между положительным направлением оси Оx и вектором, соответствующим этому числу (см. рис. 1).

Аргумент обозначается hello_html_m29228db2.gif, arg z или arg hello_html_7044f388.gif

Аргумент комплексного числа hello_html_m4318c2ad.gifопределяется неоднозначно.

Так, аргументами числа 5 являются следующие углы: hello_html_m32850b43.gif,hello_html_m13f7bccd.gif,hello_html_m159c7086.gifи вообще каждый из углов hello_html_m3cfc2109.gif hello_html_4bbc8ba.gifk,hello_html_3ac61880.gif







Аргументами числа 3 j – следующие углы: hello_html_68b14df6.gif; hello_html_m5caa0d8b.gif =hello_html_m2ca0ed47.gif, hello_html_m62893ac2.gif =hello_html_251fccb0.gif (см. рис.2) и вообще каждый из углов hello_html_79ef26b7.gif.

Любые два аргумента комплексного числа отличаются друг от друга на слагаемое, кратное 2hello_html_4bbc8ba.gif.



y

3





0

0 5 x

Рис.2



Правило нахождения аргумента комплексного числа


1. Найти tghello_html_m3b151d01.gif =hello_html_m7d261207.gif

2. Найти hello_html_m3b151d01.gif=arctghello_html_87e15dc.gif.

3. Выяснив, в какой четверти лежит вектор, соответствующий числу, найти аргумент hello_html_m29228db2.gif.

Если hello_html_m29228db2.gif 1 четверти, то hello_html_m29228db2.gif =hello_html_m3b151d01.gif

hello_html_m29228db2.gif 2 четверти, то hello_html_m28f658e3.gif- hello_html_m3b151d01.gif

hello_html_m29228db2.gif 3 четверти, то hello_html_m28f658e3.gif+hello_html_m3b151d01.gif

hello_html_m29228db2.gif 4 четверти, то hello_html_m29228db2.gif =hello_html_m2d309ad9.gif-hello_html_m3b151d01.gif


Примеры:

Найти модуль и аргумент комплексного числа.

а) hello_html_2b5acfa2.gif

y

hello_html_mad5cda3.gif=2

hello_html_60d590f3.gif

hello_html_461adf4a.gif

0

1fggjhftjhxf

x

hello_html_m3b151d01.gif = arctghello_html_5909bbae.gif=hello_html_79288813.gif

M (hello_html_m67799801.gif



y

б) hello_html_m611885a0.gif

1

hello_html_m4ec222db.gif=2

x

hello_html_35b962c5.gif

0

tg hello_html_m29228db2.gif =hello_html_m65da759c.gif

hello_html_m3b151d01.gif = arctg hello_html_m5e5e191c.gif=hello_html_m3d9abe9.gif, M (hello_html_4b3bec0.gif

hello_html_11852162.gif hello_html_m29228db2.gif = hello_html_m6f5a121f.gif

hello_html_538d53cd.gif

y

в) hello_html_2ccd488c.gif

0

x

hello_html_592bbce1.gif

hello_html_m3d15adeb.gif

tg hello_html_m3b151d01.gif = hello_html_m2a42798f.gif = arctghello_html_bb8890.gif

hello_html_m29228db2.gif = hello_html_m6816a8f7.gif

hello_html_d3d9d10.gif hello_html_m824311b.gif (hello_html_325d964d.gif



6. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Пусть дано комплексное число hello_html_m4318c2ad.gif. Из hello_html_m6f0d1cd8.gifОМА можно выразить действительные числа а и b через модуль r и аргумент hello_html_m29228db2.gif числа z следующим образом: hello_html_m45051cfe.gif

у



b M (a;b)

r

aaaaa

х





Таким образом, комплексное число можно записать в виде hello_html_52d3ed8e.gif(hello_html_782979cb.gif где r – модуль комплексного числа, hello_html_m29228db2.gif - один из его аргументов.


Представление комплексного числа zhello_html_11852162.gif в виде z= r (hello_html_m4bf36fd3.gif называется тригонометрической формой записи комплексного числа.



7. Правило перехода от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической

Для того чтобы перейти от алгебраической формы записи к тригонометрической нужно:

1. Найти модуль комплексного числа по формуле: rhello_html_m3c1d193d.gif

2. Найти один из аргументов комплексного числа, пользуясь правилом нахождения аргумента.

3. Записать комплексное число в тригонометрической форме.

Пример. Записать число hello_html_2f472b74.gif в тригонометрической форме.

Решение:

  1. r = hello_html_4328d6c8.gif

  2. tg hello_html_m3b151d01.gif=hello_html_797d30ca.gif = arctghello_html_bb8890.gif, hello_html_m29228db2.gif = hello_html_m50d17e91.gif

  3. z = 2(hello_html_m76ee4545.gif

Замечание

Модули и аргументы действительных чисел и чисто мнимых чисел надо находить непосредственно исходя из их геометрического изображения, а не используя приведенное выше правило (тем более, что для чисто мнимых чисел это правило вообще нельзя применять).



Например:

  1. hello_html_m2ff2c2aa.gif, значит M(hello_html_57b54230.gifТогда hello_html_m693aa764.gif =hello_html_e267735.gif 4(hello_html_m2a637c15.gif

2. z = 2j, значит M(hello_html_m597f000c.gif Тогда hello_html_m7efbd7e4.gif = 2(hello_html_5e8b26c.gif



Чтобы перейти от тригонометрической формы записи обратно к алгебраической форме нужно найти значения sinhello_html_m29228db2.gif и coshello_html_m29228db2.gif при данном аргументе и умножить на модуль.

Например: hello_html_3a850c2d.gif



7. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.


1. Умножение.

Пусть hello_html_31328662.gifr1 (hello_html_62845e1e.gif)

hello_html_m79538f2a.gif(hello_html_32ddf507.gif

Тогда z1* z2 = r1* r2 (hello_html_31483571.gif)

Таким образом, при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Примеры:

hello_html_m429281c1.gif hello_html_m7f056b32.gif , hello_html_4cd7482c.gif=hello_html_39b186c6.gif

hello_html_78c86f89.gif hello_html_m79e459f4.gif

hello_html_m460b3282.gif

hello_html_m3d36fe59.gif

Решение.

hello_html_m83b7eaa.gif hello_html_m29c50ae1.gif

hello_html_m66a77d96.gif



2. Деление.

hello_html_m6b41c9fa.gif

Таким образом, при делении комплексных чисел модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент – разности их аргументов.



Пример:

hello_html_54e6c49e.gif (hello_html_m77935c84.gif , hello_html_md0afc8f.gif

hello_html_m211435f9.gif hello_html_m73396635.gif(hello_html_5e8b26c.gif



3. Возведение в степень.

hello_html_m665a87e.gifэто формула Муавра.

Таким образом, при возведении комплексного числа в степень нужно его модуль возвести в данную степень, а аргумент умножить на показатель степени.

Пример:

hello_html_m4f2999bc.gif(hello_html_m1d7dd865.gif

hello_html_5b08c219.gif

4. Извлечение корня из комплексного числа.

hello_html_52d3ed8e.gif(hello_html_m4bf36fd3.gif

hello_html_45de4161.gif



Пример:

hello_html_m7182d4f8.gif

hello_html_7bbd2db.gif(hello_html_m74fbd096.gif



При k = 0, 1, 2, 3 получим

z0=3(hello_html_5cc722e3.gif)hello_html_7f9bec89.gif

z1=3(hello_html_1dbe6033.gif

z2=3(hello_html_m3ae8425c.gif

z3=3(hello_html_7749d9e8.gif





УПРАЖНЕНИЯ



Изобразить на плоскости числа:

51. hello_html_11852162.gif hello_html_26389839.gif 54. hello_html_m3a6b72ed.gif; 57. hello_html_m5a9c7b10.gif

52. hello_html_14d48d6c.gif; 55. hello_html_m74002cc5.gif 58. hello_html_493eb587.gif

53. hello_html_m1e91e4e3.gif 56. hello_html_77a8a38b.gif 59. hello_html_50e94d3a.gif

Записать в тригонометрической форме комплексные числа:

57. hello_html_m64651e47.gif. 58. hello_html_m1e823734.gif59. hello_html_m67a9ffbc.gif 60. hello_html_2b1e4cd5.gif

61. hello_html_m4f2999bc.gif2hello_html_m5e3566a.gif; 62. hello_html_m3cc6022.gif 63. hello_html_m594884ac.gif 64. hello_html_m49c20a90.gif.

Найти произведение комплексных чисел hello_html_m83b7eaa.gifи hello_html_m2c47dcb1.gif

65. hello_html_m83b7eaa.gif=2(hello_html_6fb2c29b.gif.

66. hello_html_m83b7eaa.gif= (hello_html_m5b0ab9bc.gif

67. hello_html_m83b7eaa.gif=0,6(hello_html_m72d92aaf.gif



Найти частное комплексных чисел hello_html_m83b7eaa.gif и hello_html_m74a69f40.gif:

68. hello_html_m83b7eaa.gif=0,6(hello_html_m21d61b3f.gif

69. hello_html_m83b7eaa.gif=3(hello_html_m793979eb.gif



70. Найти: hello_html_64efd316.gif

71. Вычислить: hello_html_m4ee460d1.gif.

72. Найти: hello_html_5a3ca47f.gif.

Найти произведения:

  1. 2(hello_html_m7db48564.gif

  2. hello_html_27a94567.gif.

  3. 3(hello_html_1f6e37a1.gif

  4. hello_html_fa239b1.gif

Вычислить, пользуясь формулой Муавра:

  1. hello_html_m12fde9fa.gif 84. hello_html_m73852fc0.gif

  2. hello_html_m65e08d73.gif 85. hello_html_m76c64917.gif

  3. (hello_html_1e2c635b.gif 86. hello_html_1d7677a1.gif

80. hello_html_m51d916c.gif 87. hello_html_m43021c52.gif

81. (hello_html_medd301a.gif 88. (hello_html_m239cf635.gif

82. hello_html_m646dabfd.gif 89. hello_html_m1f25fe3c.gif

83. hello_html_4d1a04fb.gif 90. hello_html_m6a1158c8.gif

Найти частное чисел:

91. 4(hello_html_35f61bf5.gif

92. 3(hello_html_2675939b.gif

93. 4(hello_html_m39bf2fa.gif



Выполните действия в тригонометрической форме:



94. hello_html_66f71602.gif. 95. hello_html_75bb1924.gif. 96. hello_html_6f842372.gif.



9. Показательная форма комплексного числа.



Показательная форма комплексного числа – это запись комплексного числа в виде
hello_html_57943208.gif

hello_html_73a8024d.gif



Например: hello_html_54e2e7dd.gif hello_html_14e36e1.gif.



Действия над комплексными числами в показательной форме выполняются по правилам действия над степенями с общим основанием.

Пусть hello_html_5c91d6d6.gif Тогда



1. Умножение:
hello_html_m26524c2d.gif



2. Деление.

hello_html_17a026a1.gif



3. Возведение в степень.

hello_html_5ebd88b0.gif



4. Извлечение корня.

hello_html_m3833fd68.gif





Примеры:



hello_html_m58d7571d.gif.



hello_html_m5a25d02b.gif

hello_html_c5eb679.gif



Деление

hello_html_m413219aa.gif



hello_html_176307e.gif

hello_html_m3ed1ca1e.gif



hello_html_73e1a829.gif

hello_html_m2cdb6ddb.gif.











УПРАЖНЕНИЯ

Пример 1. Записать число z = 3(hello_html_3fff976a.gif в показательной форме.

Решение. Из заданной тригонометрической формы устанавливаем, что hello_html_m27acc23.gif Подставив эти значения в показательную форму hello_html_57943208.gifполучим hello_html_m4520b950.gif.

Пример 2. Записать число hello_html_7160aee2.gifв тригонометрической и показательной формах.

Решение. Чтобы представить число hello_html_m5e0e9eed.gif в виде hello_html_52d3ed8e.gif(hello_html_m4bf36fd3.gif и hello_html_m4072bfc5.gif, нужно найти модуль и аргумент числа z.

hello_html_m7aadb3a0.gif так как точка М(0;-5), соответствующая данному числу, находится на оси Оу. Получим hello_html_5a73aab7.gif и hello_html_m251164de.gif



Пример 3. Записать число hello_html_4b278139.gif j в тригонометрической и показательной формах.

Решение. 1. Найдём модуль hello_html_m1a1bb7dd.gif

2. Найдём аргумент hello_html_293805f2.gif

hello_html_m6494716.gif, тогдаhello_html_58968220.gif

Точка M(hello_html_65111a01.gif находится в 4 четверти, поэтому hello_html_m6ad5c418.gif

Тогда тригонометрическая форма hello_html_m41ae8987.gif и показательная hello_html_m12bc5d38.gif

Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах:

97. hello_html_b8a961a.gif 98. hello_html_6d467933.gif 99. hello_html_6c49afa4.gif

100. hello_html_1c7c3740.gifj. 101. hello_html_m1b69bafc.gif 102. hello_html_60e8ddfe.gif

Записать комплексные числа в показательной форме:

103. hello_html_3086f613.gif. 104. hello_html_46bed229.gif

105. hello_html_4aadf09e.gif. 106. hello_html_40fddc77.gif

Записать комплексные числа в тригонометрической форме:

107. hello_html_6329c908.gif 108. hello_html_14bf4242.gif. 109. hello_html_7986c56e.gif

110. hello_html_m5f77b36a.gif 111. hello_html_4cc2e6f8.gif 112. hello_html_159c9cb4.gif.

Выполнить действия:

113. Найти hello_html_10dff66a.gif, если hello_html_m6d5a8d68.gif

114. Найти hello_html_10dff66a.gif, если hello_html_32df0e2d.gif, hello_html_m6af3ca63.gif

115. Найти hello_html_m1c8cde15.gif hello_html_6ec541c1.gif hello_html_ea172fb.gif

116. Найти hello_html_m69133b56.gif, если hello_html_m1db53e78.gif

117. Найти hello_html_7334517c.gif, если hello_html_m43729354.gif

118. Найти hello_html_m1c8cde15.gif hello_html_6ec541c1.gif hello_html_m2aa3fb59.gif

Применение комплексных чисел в расчёте физических величин



Так как комплексные числа геометрически представляются векторами на плоскости, то все векторные физические величины могут быть охарактеризованы при помощи комплексных чисел. Представление векторных физических величин комплексными числами облегчает выполнение расчётов этих величин. При этом действия над векторами, которые выполняются графическим путём, заменяются соответствующими действиями над комплексными числами, которые выполняются аналитически, что значительно проще. Кроме того, комплексные числа могут быть взяты в алгебраической, тригонометрической и показательной формах в зависимости от конкретного случая.



Особенно широкое применение комплексные числа получили в электротехнике при расчёте электрических цепей.


Заметим, что в электротехнике мнимая единица i обозначается буквой j , так как буквой i традиционно обозначается сила тока в цепи.

Рассмотрим пример. На рис. 1 дана векторная диаграмма неразветвлённой цепи переменного тока.

y М Пусть вектор hello_html_38fa4331.gif представляет

вектор напряжения hello_html_422f3833.gif, модуль которого

hello_html_422f3833.gifhello_html_m2138c5d8.gifВ, вектор hello_html_cb801af.gif представляет

60hello_html_m228c0d80.gif вектор напряжения hello_html_4308a2e5.gif модуль

которого hello_html_7b1883ba.gif Тогда

0 -90hello_html_m228c0d80.gif x hello_html_5687ef91.gif

hello_html_3eb2d9a5.gifТакже

N hello_html_3912f672.gif

Если электрическая цепь составлена из двух последовательно включённых участков с напряжениямиhello_html_m1b73f05b.gif,

то на зажимах будем иметь напряжение

hello_html_m91bf096.gif.


Аналогично применяются комплексные числа при выражении других характеристик электрических цепей.



Заметим, что в электротехнике модульhello_html_m1de53517.gif вектор напряжения называется просто напряжением и обозначается через hello_html_m5f0004a4.gif, а соответствующее этому вектору комплексное число называется комплексом напряжения и обозначается hello_html_m2343c5ad.gif (ставится точка над символом).











ВОПРОСЫ К ЗАЧЁТУ

ПО ТЕМЕ «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА»



1. Что называется мнимой единицей? Какое число называется чисто мнимым? Приведите примеры.



2. Определение комплексного числа. Какие комплексные числа называются сопряжёнными, а какие противоположными? Какие два комплексных числа считаются равными? Приведите примеры.



3. Степени мнимой единицы. Правило вычисления любой степени мнимой единицы. Приведите примеры.



3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме: сложение и вычитание, умножение, деление. Приведите примеры.



4. Геометрическое изображение комплексных чисел.

Изобразите геометрически числа: а) hello_html_m6e5e9321.gif



5. Что такое модуль комплексного числа? Как он находится?

6. Что называется аргументом комплексного числа? Как понимать, что аргумент определяется неоднозначно? Какой алгоритм нахождения аргумента комплексного числа?



7. Какова тригонометрическая форма записи комплексного числа? Правило перехода от алгебраической формы записи к тригонометрической и обратно.



8. Как выполняется умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме? Выполните умножение и деление двух комплексных чисел:

hello_html_m83b7eaa.gif= 6(hello_html_m11e3666d.gif и hello_html_m2d5fb32f.gif



9. Как выполняется возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме?

Выполните действия: а) hello_html_m5d8aaab2.gif; б) hello_html_m6e5c945d.gif.



10. Какова показательная форма записи комплексного числа? Как перейти от алгебраической формы к показательной и обратно?

11. По каким правилам выполняются действия над комплексными числами в показательной форме?



ПРИМЕНРНЫЕ ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПО ТЕМЕ «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА»



Вариант 1

  1. Выполнить действия:

а)hello_html_2c09f2b7.gif

б) hello_html_2d618049.gif .

2. Запишите в алгебраической, тригонометрической и показательной формах число, соответствующее точке В(3;-hello_html_5909bbae.gif).

3. Изобразите геометрически комплексные числа и найдите их сумму и разность:

hello_html_3cde24d2.gif

hello_html_304fb94e.gif hello_html_2688f87e.gif



4. Решите уравнения: а) hello_html_m5374eea9.gif





Вариант 2

  1. Выполнить действия:

а)hello_html_m64896094.gif

б) hello_html_723dc652.gif .

2. Запишите в алгебраической, тригонометрической и показательной формах число, соответствующее точке A(hello_html_35b962c5.gif;hello_html_5909bbae.gif).

3. Изобразите геометрически комплексные числа и найдите их сумму и разность:

hello_html_1a5e4a4b.gif

hello_html_304fb94e.gif hello_html_58676ca6.gif.



4. Решите уравнения: а) hello_html_3b210e27.gif





ЛИТЕРАТУРА

  1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов. - М.: Высш. школа, 1981.

  2. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы. – М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. – 496 с.

  3. Кутепов А. К., Рубанова А. Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. – М., «Высшая школа», 1969.

  4. Лисичкин В. Т., Соловейчик И. Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. – М.: «Высшая школа», 2012.











Электронное пособие по математике на тему "Комплексные числа"
  • Математика
Описание:

     Электронное пособие предназначено для студентов 2 курса техникума тех специальностей, программа которых предусматривает изучение  темы "Комплексные числа".

     Пособие включает в себя краткий теоретический материал по теме, практические упражнения, много примеров решения. А также небольшую историческую справку, примерные варианты контрольной работы по теме.

Пособие может использоваться на уроке при изучении темы, для отработки навыков выполнения действий с комплексными числами,а также для самостоятельного изучения темы студентами дома. 

Автор Сафонов Елена Артуровна
Дата добавления 04.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 816
Номер материала 24564
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓