элективный курс "Элементы математической логики"

МОУ Степановская СОШ им. Н.К.Иванова

 

 

 

                                                             Математическая логика есть логика

                                                           по предмету, математика по методу.

 

Платон Сергеевич Порецкий,

                                                                            российский математик

 

 

 

Элементы

 математической логики

элективный курс

 

 

 

 

 

                    Составила: Елесина Галина Витальевна                                    учитель математики

 

- 2013 -

 

Пояснительная записка

         Элективный курс «Элементы математической логики» адресован учащимся 9 класса общеобразовательной школы.

         Общеизвестно, что умение правильно рассуждать необходимо в любой области человеческой деятельности: науке и технике, юстиции и дипломатии, экономики и политики. Логика как раз и есть учение о способах рассуждений безотносительно к тому, где и для чего они используются. Элективный курс «Элементы математической логики» предназначен для обучения и тренировки учащихся умению логически мыслить, что способствует успешному усвоению математических знаний, расширению кругозора, развитию интересов и склонностей к математике.

         Данный курс относится к ориентационному типу. Его цель - помочь удостовериться в правильности  (или неправильности) сделанного выбора профиля обучения.

         Теоретический материал, связанный с понятием математической логики, формально выходит за рамки школьной программы по математике. Однако в действительности эти вопросы изучаются в школе (хотя и не так глубоко). Современные требования к уровню математической подготовки  предполагают их ясное понимание, умение делать правильные логические выводы. На преодоление этих трудностей и ориентирован данный элективный курс.

         Математической особенностью курса является такое изложение материала, при котором новое содержание изучается на конкретных примерах и задачах занимательного характера. Кроме того,  особое внимание уделяется овладению учащимися математическими методами поиска решений, логическими рассуждениями.

 

 

 

 

 

Цели элективного курса:

         -познакомить учащихся с элементами математической логики, историей ее  развития как науки;

         -показать роль математической логики для обоснования логического строения геометрии и арифметики;

         -обучить простейшим логическим операциям, развивать строгое мышление;

         -выработать привычку пользоваться простыми, но фундаментальными математическими идеями.

Основные задачи курса:

         1. Сформировать знания:

         -основных понятий математической логики;

         -простейших логических операций: конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания;

         -методов решения логических задач, поиска оптимального варианта.

         2. Сформировать умения:

         -логически мыслить, анализировать, сопоставлять и обобщать факты;

         -выдвигать в ходе рассуждений гипотезы, исследовать их совместимость с исходными данными, приходить к заключению (правильному выводу), получать верные утверждения из заданных посылок;

         -использовать язык математики  для анализа информации.

 

Основные формы организации занятий:

         1. Интерактивные лекции-дискуссии.

         2. Работа в группах.

         3. Работа с научными текстами.

         4. Самостоятельная работа над теоретическим материалом.

         5. Практические занятия по решению задач.

         6. Домашняя контрольная работа.

         7. Выполнение творческих заданий.

Ожидаемые результаты:

         - развитие познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей учащихся;

         - расширение кругозора.

 

         Программа курса рассчитана на 10 часов.

         По окончании курса предполагается защита творческих работ.

 

Содержание изучаемого курса

 

            1.Введение (1ч).

Понятие логики. Законы логики в трудах Аристотеля. Силлогизмы, парадоксы (примеры). Что такое математическая логика. Теория доказательств, математическая модель. Развитие математической логики. Формальный язык. Направления в современной математической логике.

 

         2.Логика высказываний. (2ч).

         Занятие 1. Верные, неверные высказывания. Простые и сложные высказывания. Логические связки «или», «и», «если», «не». Логические операции: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция и отрицание. Таблица истинности.

         Занятие 2. Практическое занятие.

         Решение задач на составление высказываний, определение их вида. Составление высказываний, данной логической структуры.

 

         3. Математические софизмы (1ч.).

 Понятие  математических софизмов. Их роль для обоснования логического строения геометрии и арифметики. Апории (софизмы) мудреца V века до н. э. Зенона Элейского: о стреле, Ахиллес и черепаха. Их значение для создания теории действительных чисел. Задача Флавия. Задачи на выбор наилучшего варианта. Их роль в области науки, экономики, техники.

 

         4. Принцип Дирихле (1ч).

Сущность принципа Дирихле. Задача «о кроликах в клетке». Популярные задачи  на применение принципа Дирихле. Примеры его использования для решения задач и доказательства арифметических утверждений.

 

         5. Теория графов (1ч).

Что называется графом в математике. Примеры использования теории графов на практике: при нахождении наилучших вариантов подвоза товаров по магазинам, материалов по стройкам и т. д. Сетевой график строительства.  Использование графов для решения логических проблем. «Задача коммивояжера». Граф позиционной игры.

 

         6. Практическое занятие.  Решение логических задач.(2ч).

Общие рекомендации по решению логических задач. Сведение анализа задачи к системе записей: схемы, таблицы. Типология задач: лжецы и правдивые, взвешивания, размен денег, переливания. Домашняя контрольная работа.

 

         7.Математические игры и логические головоломки(1ч). 

Математическая теория логических игр. Закономерности ходов. Знакомство с популярными головоломками: морской бой, игра в «15», кубик Рубика, «быки и коровы», крестики и нолики. Поиск выигрышной стратегии.

 

         8.Защита творческих работ (1ч.).

 

Темы творческих работ и сообщений:

1.     Логика – основа философских идей Платона.

2.     «Отец логики» - Аристотель.

3.     Система счисления Фибоначчи.

4.     Математическая задача раскладывания пасьянсов.

5.     Основы математической логики в трудах Г. Лейбница.

6.     Дж.  Буль. Его вклад в формирование математической логики как научной дисциплины.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1.     Байиф Ж. К. Логические задачи. - М.: Мир, 1978.

2.     Бизам Д., Герцег Я. Игра и логика. - М.: Мир, 1975.

3.     Бизам Д., Герцег Я. Многоцветная логика.- М.: Мир,1978.

4.     Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах.- М.: Наука, 1969.

5.     Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи.- М.: Наука, 1978.

6.     Гарднер М. Математические чудеса и тайны.- М.: Наука,1978.

7.     Гарднер М. Математические головоломки и развлечения.- М.: Мир, 1971.

8.     Гжегорчик А. Популярная логика.- М.: Наука, 1978.

9.     Гик Е. А. Занимательные математические игры.- М.: Знание, 1982.

10.  Кутасов А. Д.  Элементы математической логики.- М.: Просвещение, 1977.

11.  Никольская И. Л.  Математическая логика.- М.: Высшая школа,1981.

12.  Столяр А. А.  Как мы рассуждаем.- Минск: Высшая школа, 1968.

13.  Фрейденталь Х. Язык логики.- М.: Наука, 1968.

14.  Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика, 1998.

15.  Энциклопедия для детей т.11. Математика.- Москва «Аванта+», 1998.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 1

Введение

План

1.     Понятие логики.

2.     Законы логики в трудах Аристотеля.

3.     Силлогизмы, парадоксы (примеры).

4.     Что такое математическая логика?

5.     Теория доказательств, математическая модель.

6.     Развитие математической логики.

7.     Формальный язык.

8.     Направления в современной математической логике.

 

Логика – это учение о способах рассуждений и доказательств безотносительно к тому, где и для чего они используются: в споре, научном исследовании, зале суда.

Умение правильно рассуждать необходимо в любой области человеческой деятельности: науке и технике, юстиции и дипломатии, военном деле и в хозяйственной области. Но, хотя умение это восходит к древнейшим временам, логика, т.е. наука о том, какие рассуждения правильны, возникла лишь немногим более 2 тыс. лет тому назад. Она была развита в IV в. до н.э. в работах великого древнегреческого философа Аристотеля (384-322 гг. до н.э.), его учеников и последователей.

Аристотель исследовал различные формы суждений и их комбинаций, ввел понятие силлогизма. Силлогизм – это рассуждение, в котором из заданных двух суждений выводится третье.

Примером силлогизма может служить такое рассуждение:

“Все млекопитающие имеют скелет. Все киты – млекопитающие. Следовательно, все киты имеют скелет”.

Ту же форму имеет силлогизм:

“Все квадраты – ромбы, все ромбы – параллелограммы. Следовательно, все квадраты – параллелограммы”.

В общем виде этот силлогизм имеет форму:

“Все а суть в, все в суть с. Следовательно, все а суть с”.

А вот пример силлогизма неправильной формы:

“Все квадраты – ромбы. Некоторые ромбы имеют острый угол. Некоторые квадраты имеют острый угол”.

Хотя оба утверждения, из которых сделан вывод, истинны, сам вывод ложен. Значит силлогизм, имеющий форму:

“Все а суть в, некоторые в суть с. значит некоторые а суть с”

может привести и к ложным выводам.

Аристотель выделил все правильные формы силлогизмов, которые можно составить из суждений вида:

“Все а суть в”.

“Некоторые а суть в”.

“Все а не суть в”.

“Некоторые а не суть в”.

Логика, основанная на теории силлогизмов, называется классической.

Доказано, что общее число силлогизмов, которое можно составить из суждений указанного вида, ровно 256. Из них правильными являются лишь 24. Для проверки правильности силлогизмов можно использовать метод геометрической иллюстрации логических рассуждений, который был предложен великим математиком XVIII в., петербургским академиком Л. Эйлером и широко применялся английским математиком Дж. Венном. По этому методу логические рассуждения изображаются графически.

“Если все А суть В, а все В суть С, то все А суть С”.

“Если все А суть В, ни одно В не является С, то ни одно А не является С”.

         

              неверно                                                               верно

 

“Все А суть В, некоторые В суть С. Значит, некоторые А суть С”.

 

Для того чтобы рассуждать человек должен использовать какой-то язык – русский, английский. Но естественный язык допускает грамматически правильные конструкции, которые выглядят как осмысленные утверждения, но, тем не менее, нельзя в принципе решить, истинны они или ложны.

 

Примеры:

1.     2² = 4. (и)

2.     Земля является третьей от Солнца планетой Солнечной системы. (и)

3.     Свинец не тонет в воде. (л)

4.      На Марсе была жизнь. (?)

5.     1 марта 3 года н.э. в Москве был дождь. (?)

 

Истинность или ложность некоторых не может быть установлена сразу (высказывания 4 и 5), но эти высказывания либо истинны, либо ложны.

Но бывают и другие предложения, про которые невозможно решить, истинны они или ложны. Такие утверждения – «призраки», т.е. парадоксы – противоречия, возникающие в результате, казалось бы, совершенно корректных рассуждений.

 

Пример. Парадокс Брадобрея.

“Говорят, что в некоторой деревне был всего один брадобрей. Он брил всех тех и только тех мужчин, которые не брились сами. Брил ли этот брадобрей себя?”

Дискуссия по вариантам ответов.

Как же избежать парадоксов? Один из путей – построение искусственного формального языка, лишенного «вольностей» языков естественных.

Для этого была создана буквенная  символика, это положило начало развитию математической логике, которая исследует способы рассуждений, применяемые в математике.

Элементы математической логики можно найти уже в работах древнегреческих философов. В XVII в. Г.В. Лейбниц высказал идею о том, что рассуждения могут быть сведены к механическому выполнению определенных действий по установленным правилам. В XX в. в рамках математической логики возник новый раздел – теория алгоритмов, где изучаются не способы рассуждать, а способы вычислять.

Развитие математической логики шло в двух противоположных направлениях. С одной стороны, сейчас почти все теоремы математики могут быть выведены по четким правилам и, в принципе, это может сделать даже компьютер. С другой стороны, была установлена неизбежная ограниченность любой «механической» системы получения математических результатов. Т.о. мечта Лейбница частично осуществилась, а частично осталась невыполнимой.

 

Задания для самостоятельного решения

I.                   Нарисуйте диаграммы Эйлера-Венна, иллюстрирующие суждения:

1.     Все х являются у, и некоторые у не являются z, значит, некоторые х не являются z.

2.     Если некоторые х являются у, а некоторые у являются z, то некоторые х являются z.

Верны ли они?

II.                Какие из высказываний истинны, какие ложны?

1.     Маяковский написал «Войну и мир».

2.     Самая высокая гора в мире называется Сагарматха.

3.     Иголки хвойных деревьев – это видоизменившиеся листья.

4.     Третье тысячелетие новой эры начинается 1 января 2000г.

5.     Отчество пушкинской героини Татьяны Лариной – Дмитриевна.

6.     Дядю Евгения Онегина звали Андреем Петровичем.

7.     Слон сильнее кита.

III. Найти в романе Сервантеса «Дон Кихот» пример парадокса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 2

Тема. Логика высказываний

План

1.     Верные, неверные высказывания.

2.     Простые и сложные высказывания.

3.     Логические связки “или”, “и”, “если”, “не”.

4.     Логические операции: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция и отрицание.

5.     Таблица истинности. 

 

Основным понятием математической логики является высказывание. Так называют любое повествовательное предложение, относительно которого известно, что оно либо истинно, либо ложно. Высказывания могут быть выражены с помощью слов, математических, химических и прочих знаков. Примеры высказываний были приведены на занятии № 1. (Можно проверить истинность высказываний домашнего задания). Обратить внимание на то, что, несомненно, любое высказывание либо истинно, либо ложно, даже если неизвестно, какая из этих возможностей выполнена. Пример такого высказывания: 1 марта 3 года до н.э. в Москве был дождь. (Желательно, чтобы учащиеся сами вспомнили это высказывание или сами привели подобный пример.)

Не всякое предложение является высказыванием. Например, восклицательные, вопросительные предложения и определения не являются высказываниями. Предложения “он отличник” или  “х² = 25” также не являются высказываниями – в них не указано о каком именно ученике идет речь и для какого числа х верно равенство х² = 25.

 

 

 

 

Задание.

Изменить данные предложения таким образом, чтобы они стали высказываниями. (Например, Коля Птичкин – отличник. При х = 5 справедливо равенство х² = 25).

 

Некоторые высказывания можно разделить на отдельные части, при этом каждая часть будет самостоятельным высказыванием. Такие высказывания называют сложными, а неразложимое высказывание - простым. Например, высказывание: “Сегодня с утра было пасмурно, а к вечеру пошел дождь”  состоит из 2 частей: “Сегодня с утра было пасмурно”  и “К вечеру пошел дождь”.  Сложное высказывание образованно с помощью связки “и”.

 

Задание.

Из следующих сложных  высказываний выделите простые, обозначьте каждое из них буквой. Запишите с помощью букв каждое сложное высказывание.

1)    “На уроке учащиеся работали устно и писали самостоятельную работу”.

2)    “На субботнике мы будем перекапывать школьный участок или пересаживать  цветы”.

3)    “Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм ”.

4)    “Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр нечетна”.

 

Сложные высказывания 1) и 2) были составлены из простых с помощью союзов “и”,  “или”. В математической логике для аналогичной цели используют специальные символы: знак дизъюнкции V (“или”),  знак конъюнкции  Λ (“и”).

Высказывания вида: “Если А, то В” называют импликацией и обозначают знаком =>.

Высказывания вида: “А тогда и только тогда, когда В” называют эквиваленцией и обозначают знаком <=>.

 

Вопрос. Можно ли поменять местами аргументы в конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции?

(Ответ. Нельзя в импликации).

 

Рассмотрим следующие высказывания:

А: “Сегодня в 14 часов я был на катке”.

В: “Сегодня я был на катке не в 14 часов”.

С: “Сегодня в 14 часов я был не на катке”.

Д: “Сегодня в 14 часов я  не был на катке”.

Какие два из этих высказываний отрицают одно другое?

После дискуссии учащиеся выясняют, что высказывание Д отрицает А, так как оно истинно в том случае, когда А ложно, и ложно в том случае, когда А истинно.       

Знак отрицания: ┐ или ─, т.е.  можно записать: ┐Д = А,  ┐А = Д.

Смысл логических связок, помимо указанных названий, разъясняется так называемыми таблицами истинности. Эти таблицы показывают, будет ли сложное утверждение, составленное с помощью логических связок из простых, истинно (И) или ложно (Л) в зависимости от его составных частей.

Учащиеся совместно с учителем заполняют таблицу.

 

А	В	А Λ В	А V В	А=>В	А<=>В	┐А
И	И	И	И	И	И	Л
И	Л	Л	И	Л	Л	Л
Л	И	Л	И	И	Л	И
Л	Л	Л	Л	И	И	И

 

Задание для самостоятельного решения. Хлеба или зрелищ.

Будем считать, что билет в кино стоит 10 рублей и что пирожок стоит 10 рублей. Тогда:

А=>В: Если у Пети есть 10 рублей, то он может посмотреть фильм.

А=>С: Если у Пети есть 10 рублей, то он может съесть пирожок.

Формула ((А=>В) Λ(А=>С)) => (А=>(В ΛС)) по законам алгебры логики истинна. Можно ли на основе этого заключить для нашего высказывания, что А=>(В ΛС): если у Пети есть 10 рублей, то он может посмотреть фильм и съесть пирожок. В чем дело?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 3

Практическое занятие

План

1.  Решение задач на составление высказываний.

2.  Составление высказываний данной логической структуры.

 

I. Задания для самостоятельного решения для занятий 1 и 2.

Рассмотреть домашние задания занятий 1 и 2.

А) Диаграммы Эйлера – Венна

1) Если некоторые X являются Y, а некоторые Y являются Z, то некоторые X являются Z.

            X                                                                             

                         Y            Z                                      X             Y

 

                                                          Z

 

                                                                       

2) Все X являются Y, и некоторые Y не являются Z, значит некоторые X не являются Z.

                                  Y

         Z                     X                                      Y

                                                                          X           Z                                                                               

                 

Б) Прослушать отрывок из романа Сервантеса “Дон Кихот ”, содержащий парадокс закона владельца реки. Обсудить невозможность решения проблемы по законам логики.

В) Творческое задание “Хлеба или зрелищ”. А=>(В ΛС) – ложно. Мы скажем, что “… посмотреть фильм или съесть пирожок”.

 

Комментарии учителя.

В примере с Петей грамматическая конструкция “если…, то…” такая же, как и у математической импликации, но связь между посылкой и заключением иная, т.к. предполагает использование некоторого расходуемого ресурса денег. В подобных ситуациях используется линейная логика, придуманная французским математиком Жираром.

 

II. Фронтальная работа с классом.

Задание.

1) Среди следующих сложных высказываний выделите конъюнкцию и дизъюнкцию и определите, ложны они или истинны.

А) “Число 27 кратно 9 и 3”.

Б) “10<15<14”.

В) “Диагонали параллелограмма перпендикулярны и делят друг друга пополам”.

Г) “Если треугольник равнобедренный, то он равносторонний”.

Д) “14  ≤ 14”.

         2) Постройте отрицания следующих высказываний и определите их истинность.

                   А) “5 делитель 243”.

                   Б) “Все натуральные числа делятся на 2 ”.

                   В) “13 – простое число”.

                   Г) “Не существует четных простых чисел”.

 

III. Работа в группах.

 

Задание 1. Даны высказывания:

         А: “Я подготовил доклад по математике”.

         В: “Я выступил с докладом на занятии математического кружка”.

         С: “Я принял участие в школьной математической конференции”.

Сформулируйте высказывания, соответствующие следующим выражениям:                              

I группа: а) А Λ В; б) А Λ В.

II группа: а) А V В; б) А Λ С.

III группа: а) А Λ В; б) А Λ В Λ С.

 

Задание 2. Даны высказывания:

         А: “Четырехугольник АВСД - параллелограмм”;

         В: “Диагонали четырехугольника АВСД точкой пересечения делятся пополам”.

Сформулируйте словами высказывания и установите, истинны они или ложны.

I группа: а) А → В; б) В → А.

II группа: а) В → А; б) А → В.

III группа: а) А → В; б) (А → В) Λ (В → А).

 

Задание 3. Из простых высказываний:

         А: “Завтра будет дождь”;

В: “Мы пойдем в театр”;

С: “Завтра будет солнышко”;

D: “Завтра занятия начнутся раньше обычного”.

         Образованы следующие сложные высказывания:

         а) “Если завтра будет дождь, то занятия начнутся раньше обычного, и мы пойдем в театр ”;

         б) “Завтра будет солнышко или будет дождь, и занятия начнутся раньше обычного”.

         в) “ Завтра занятия начнутся раньше обычного, и мы пойдем в театр тогда и только тогда, когда не будет дождя и будет солнышко”.

         Используя символы алгебры логики, запишите данные высказывания:

а) I группа;

         б) II группа;

в) III группа.

 

IV. Дополнительное задание.

В субботу вечером Петя решает съездить на следующий день к бабушке в деревню.

А=>С: Если в воскресенье весь день будет жаркая солнечная погода, то Петя знает, как ему одеться завтра утром.

В=>С: Если в воскресенье весь день будет идти дождь, то Петя знает, как ему одеться завтра утром.

Петя по радио узнает прогноз погоды на следующий день:

А V В: В воскресенье весь день будет жаркая солнечная погода или весь день будет идти дождь.

Формально из этого можно вывести такое следствие:

С: Петя знает, как ему одеться завтра утром.

Вы не согласны? Где же ошибка?

До сих пор мы имели дело только с модальностями ИСТИНА и ЛОЖЬ, здесь же возникла новая модальность - ПЕТЯ ЗНАЕТ. Действительно,  если даже некоторое утверждение истинно, то Петя про это может и  не знать. Приведенный выше прогноз погоды в виде дизъюнкции является малополезным, так как мы не знаем, какой именно член дизъюнкции истинен.

Истолкование дизъюнкции в математике также породило бурную дискуссию. Это привело к появлению интуиционистской логики (в начале ХХ века) и конструктивной математической логики (в середине ХХ века).

 

 

Задания для самостоятельного решения.

1. Среди следующих высказываний найдите отрицание высказывания: “Существуют четные простые числа”.

а) “Существуют нечетные простые числа”;

б) “Существуют четные составные числа”;

в) “Любое простое число нечетно”;

г) “Не существует четных простых чисел”.

 

2. Определите значения истинности А и В при условии, что высказывания:

а) “Если 2 – простое число, то А” (истинное);

б) “Если В, то 2 – составное число” (ложное);

в) “Если 2 – простое число, то В” (ложное);

г) “Если А, то 2 – составное число” (ложное);

д) “А <=> (2<3)” (истинное);

е) “В <=> (2>3)” (ложное).

 

3. Для следующих выражений придумайте по два предложения соответствующей логической структуры:  А=>В; А Λ В <=> (А V В).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 4

Математические софизмы

План

1.     Понятие “математический софизм”.

2.     Апории (софизмы) мудреца V века до н.э. Зенона Элейского.

3.     Задачи на выбор наилучшего варианта.

4.     Роль софизмов в области науки, экономики и техники.

5.     Задача Флавия.

 

В Древней Греции развитие искусства ведения дискуссий нередко приводило  к изобретению хитроумных “доказательств” неверных утверждений.  Такие доказательства ложного утверждения, где ошибка в доказательстве искусно замаскирована, называют софизмами. Их часто использовали софисты – учителя философии и красноречия в Древней Элладе. Анализ различных софизмов в итоге способствовал развитию логики. В частности, одна из книг древнегреческого философа Аристотеля так и называется “О софистических откровениях ”. Вот несколько примеров софизмов:

“Если равны половины, то равны и целые. Полупустой стакан равен полуполному; следовательно, пустой стакан равен полному”;

“Все, что ты не потерял, ты имеешь. Ты не потерял 1000 рублей. Следовательно, ты их имеешь”;

“Это твой щенок? – Да, он сын моей собаки. Значит он твой, и он сын, то есть он твой сын”.

Многие софизмы основаны на подмене значений понятий. На эту тему есть любопытный анекдот:

Учитель:

- Надеюсь, Иванов, что я не увижу, как ты списываешь.

Иванов:

- Я тоже на это надеюсь.

А вот пример математического софизма: “Докажем, что все числа равны между собой”.

Пусть а и b – произвольные числа и а > b, тогда существует такое положительное число с, что а = b + с. Умножим это равенство на а – b и преобразуем полученное :

a(a - b) = (b + c)(a - b),

a² – ab = ab + ac – b² – bc,

a² – ab – ac = ab – b² – bc,

a(a – b – c) = b(a – b – c).

Разделив обе части полученного равенства на (a – b – c), получим, что а = b. В чем же здесь ошибка?

Ошибка кроется в самом конце рассуждений, когда мы делим на число  (a – b – c), которое равно нулю.

Вот еще один пример софизма. На рисунке прямоугольники равносоставлены, но площадь одного равна 64 клеткам, а площадь другого 65.

Здесь ошибка в чертеже. Точки В, Е, F и Д не лежат на одной прямой, а являются вершинами очень  узкого параллелограмма, площадь которого равна одной клетки – той самой лишней клетки.

Однако нет худа без добра. Появление софизмов – рассуждений, правдоподобных в каждом куске, но неверных в целом – заставило математиков задуматься о логическом строении геометрии и арифметики.

Наиболее серьезную роль сыграли математические софизмы, или апории, придуманные в V веке до н.э. мудрецом Зеноном из южно-итальянского города Элен. Вот одна из них: “В каждый момент времени летящая стрела неподвижна. Значит, она неподвижна во все моменты времени, и ее движение никогда не может начаться”.

Что такое «момент времени» с точки зрения формальной математики, стало ясно только в XIX веке, когда усилиями Коши, Вейерштрасса и других ученых была     построена логически непротиворечивая теория действительных чисел. Кстати, в конце того же XIX века апория Зенона о стреле была удивительным образом отражена в технике: братья Люмьер создали кинематограф.

Говоря о Зеноне Элейском, нельзя не рассказать о самой эффектной из его апорий, в которой быстроногий Ахиллес и медлительная черепаха соревнуются в беге. Ахиллес дает черепахе фору, и забег начинается. Зенон утверждает, что Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Он рассуждает так: за время, которое понадобится Ахиллесу, чтобы добежать до места старта        черепахи, она тоже сдвинется на какое-то расстояние. К тому моменту, когда Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха снова чуть-чуть уйдет вперед. И так до бесконечности.

Затруднение Зенона      состоит в том, что сумма бесконечного числа слагаемых оказывается конечной. Такое, действительно возможно (например, 1 = 1,111… =  

1+ + … Более подробно с такими примерами учащиеся 9 класса встретятся при изучении геометрической прогрессии).

Можно ли вообще составлять арифметические выражения, содержащие бесконечное число действий? Можно ли говорить о моменте времени, который наступает уже после момента с номерами 1, 2, 3, … 1000000?... Сказать, что Ахиллес догонит черепаху в «момент номер бесконечность»? А как занумеровать моменты дальше?

На все Зеноновы «можно ли?» современная математика отвечает примерно так: «Можно, но осторожно». Разработана теория бесконечных рядов, обосновано интегрирование – суммирование бесконечного числа непрерывно меняющихся слагаемых. Появилась теория трансфинитов – упорядоченного множества величин, в котором натуральные числа составляют натуральный кусок.

И всякий раз математики вынуждены были прибегать к громоздким рассуждениям, чтобы описать все это без логических противоречий.

 

Задания для самостоятельного решения.

Привести примеры математических софизмов.

В популярной литературе найти

1. «Задачу Флавия» (Иосиф Флавий – знаменитый писатель I века н.э.).

2.Софизмы Зенона.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 5

Тема. Принцип Дирихле

План

1.     Сущность принципа Дирихле. Задача «о кроликах в клетке».

2.     Популярные задачи на применение принципа Дирихле.

3.     Примеры его использования для решения задач и доказательство арифметических утверждений.

 

В математике большое значение имеют так называемые доказательства существования. Рассмотрим пример.

 

Пример.

 В самолете летят 380 пассажиров. Докажем, что по крайней мере двое из них родились в один и тот же день года.

         Всего в году 365 или 366 дней, а пассажиров в самолете 380 – значит, их дни рождения не могут приходиться только на различные даты. Вообще, если пассажиров больше, чем 366, то хотя бы у двоих дни рождения совпадают. А вот если пассажиров 366, то не исключено, что все они родились в разные дни года, но это маловероятно.

         Логический прием, использованный в приведенном доказательстве, называется принципом Дирихле – по имени Петера Густава Дирихле (1805-1859), немецкого математика, автора описанного метода.

Вот общая формулировка принципа Дирихле:

Если имеется n ящиков, в которых находится в общей сложности не менее n+1 предмета, то непременно есть ящик, в котором лежат, по крайней мере, 2 предмета.

         По традиции в популярной литературе принцип Дирихле объясняют на примере кроликов в клетках: если общее число кроликов больше числа клеток, в одной из клеток наверняка сидит более одного кролика.

         Часто применяют обобщение принципа Дирихле: если кроликов N>nk, то хотя бы в одной клетке сидит более k кроликов.

         Самая популярная задача на прямое применение принципа Дирихле такова: на Земле живет 3 млрд. человек, у каждого на голове – не более миллиона волос (цифры условные). Нужно доказать, что обязательно найдутся два человека с одинаковым числом волос.

         Построим 1 000 001 «клетку» для тех, у кого на голове нет волос вообще (0 волос), для тех, у кого на голове ровно 1 волос, ровно 2 волоса, … , ровно 1 млн. волос. Мысленно распределим население Земли по «клеткам». Если бы в каждой «клетке» находилось не более двух человек, то всего на Земле было бы не более 2*1000001 = 2000002 человек.

         А какое число людей с одинаковым числом волос можно гарантировать?

         Так как 2999*1000001=2999002999, то число людей с одинаковым числом волос гарантированно будет 2999.

         На этой же идее основано доказательство того, что при обращении обыкновенной дроби в десятичную получается или конечная, или бесконечная периодическая десятичная дробь. Будем делить уголком одно целое число на другое, например 1 на 7, и следить за остатком. Но поскольку остатком от деления на 7 могут быть лишь числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 0, мы либо должны на каком-то шаге получить 0 и остановиться, либо после шестого деления один из остатков обязан повториться (клетки закончились, а кролики все прибывают!). Дальше делить нет смысла – этот остаток мы уже разделили на 7, и все результаты у нас перед глазами. Ясно, что деление будет продолжаться бесконечно, но мы будем получать снова и снова одну и ту же последовательность цифр – период.

 

Решение задач на принцип Дирихле.

Задача 1.

В хвойном лесу 800 000 елей, и ни на одной из них не более 500 000 игл. Докажите, что по крайней мере у двух елей число игл одинаково (задача А. Н. Колмогорова).

         Прямое применение принципа Дирихле дает требуемый результат   (N=800000, n =500000, N>n ).

 

         Задача 2.

В классе 30 человек. Иванов С. Сделал в диктанте 13 ошибок, а остальные меньше. Докажите, что по крайней мере 3 ученика сделали ошибок поровну (может быть, по 0 ошибок).

 

         О б с у ж д е н и е. Для решения задач на принцип Дирихле необходимо выбирать каждый раз подходящих «кроликов» и строя соответствующие клетки. Здесь «кролики» - ученики, «клетки» - число сделанных ошибок. В клетку 0  «посадим» всех, кто не сделал ни одной ошибки, в клетку 1- тех, у кого одна ошибку… и так до клетки 13, куда попал Иванов С. Если бы никакие три ученика не сделали по одинаковому числу ошибок, т. е. в каждую из «клеток» 0, 1, 2,…,12 попало меньше 3 школьников. Тогда в каждой из них два человека или меньше, а всего в этих 13 «клетках» не более 2*13=26 человек. Добавив Иванова С., все равно не получим 30 ребят. Следовательно, по крайней мере, трое учеников сделали ошибок поровну.

 

         Задача 3.

Выберем любым способом 5 человек. Докажите, что по крайней мере двое из них имеют одинаковое число одинаковое число знакомых среди выбранных.

 

         О б с у ж д е н и е. Построим 5 «клеток» с номерами 0, 1, 2, 3, 4. Пусть номер «клетки» равняется числу знакомых у «содержащихся» в ней людей. Возможны два случая: есть человек, ни с кем из остальных не знакомый, или же такого человека нет. В первом случае в «клетке» 4 никого нет (иначе сидящие в 4 и 0 были бы знакомы между собой), и 5 человек размещены по 4 «клеткам». Во втором случае «клетка» 0 пуста, и снова 5 человек размещены по 4 «клеткам». По принципу Дирихле хотя бы двое находятся в одной «клетке».

        

         Задача 4.

Докажите, что из любых 12 натуральных чисел можно выбрать два, разность которых делится на 11.

 

         О с у ж д е н и е. При делении 11 получается один из остатков: 0, 1, 2, …, 10. Нам же дано 12 чисел, и по принципу Дирихле остатки от деления на 11 у каких-то двух из них совпадают. Разность этих двух чисел делится на 11.

 

         Задания для самостоятельного решения.

1.     На Земле живет более 3,6 миллиарда человек. Известно, что среди них не более 1% людей старше 100 лет. Докажите, что найдется два человека. Которые родились в одну и ту же секунду.

2.     В первенстве по футболу участвуют 10 команд. Каждые две из них должны сыграть между собой один матч. Докажите, что в любой момент состязаний имеются две команды, сыгравшие одинаковое число матчей.

3.     Докажите, что из любых 52 натуральных чисел можно выбрать два числа так, чтобы их сумма, либо их разность делится на 100. Верно ли это утверждение для 51 числа?

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 6

Тема. Теория графов

План

1.     Что называется графом в математике.

2.     Примеры использования теории графов на практике: при нахождении наилучших вариантов подвоза товаров по магазинам, материалов по стройкам и т. д. Сетевой график строительства. «Задача коммивояжера».

3.      Использование графов для решения логических проблем.

4.     Граф позиционной игры.

 

Всем известно, что слово «граф» означает дворянский титул. А вот в математике графом называется набор точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки именуются вершинами графа, а отрезки ребрами.

Примером графа служит схема московского метро: вершины – конечные станции и станции пересадок, ребра – пути, соединяющие эти станции. (Приводится карта метро.)

Генеалогические деревья – это также графы в их математическом понимании. (Пример генеалогического дерева.) На географической карте мы тоже видим граф, вершины которого – города, а ребра – соединяющие их линии железных дорог. Выяснилось, что графы очень удобно использовать во многих областях человеческой жизни для описания взаимосвязей между объектами, процессами или событиями.

 

Пример. ( Рисунок 1 через мультимедийный проектор)

 

Рис. 1

 

Граф на рисунке изображает схему дорог между селами М, А, Б, В и Г. Здесь каждые две вершины соединены между собой ребром. Такой граф называется полным. Числа указывают расстояния между селами по этим дорогам. Пусть в селе М находится почта, и почтальон должен развести письма в остальные четыре села. Существует много различных маршрутов поездки. Как из них выбрать наикратчайший? Проще всего проанализировать все варианты. Сделать это поможет новый граф (Рисунок 2) ,на котором легко увидеть возможные маршруты. Вершина М вверху – начало маршрутов. Из нее можно начать путь четырьмя различными способами: в А, в Б, в В или в Г. После посещения одного из сел остается три возможности продолжения маршрута, потом две, потом дорога в последнее село и вновь в М. Всего 4*3*2*1=24 способа. Все они представлены на графе.

Рис.2

 

Расставим вдоль его ребер числа, обозначающие расстояния между селами, а в конце каждого маршрута напишем сумму этих расстояний по маршруту. Из полученных 24 чисел наименьшими являются два числа по 28 км, соответствующие маршрутам М-В-Б-А-Г-М и М-Г-А-Б-В-М.

Задача выбора самого короткого маршрута – одна из классических задач теории графов. Она называется задачей коммивояжера.

Подобные задачи возникают часто при нахождении наилучших вариантов развозки товаров по магазинам, материалов по стройкам.

В строительстве графы используются при планировании проведения работ. Следующий граф (см. рисунок 3) называют сетевым графиком строительства.

 

Рис.3

В данном случае он составлен для строительства жилого дома. Здесь возникает ситуация, когда ту или иную работу можно начать лишь по окончании других. Нельзя начинать монтаж стен, не закончив строить фундамент, чтобы приступить к отделке, нужно иметь на этажах воду и т. д.

Для этого на ребрах графа нанесены стрелки, указывающие, какие виды работ могут выполняться только по окончании предыдущих. Такой граф называется направленным. Вершины графа - производимые работы (с указанием их продолжительности).

Зная дату начала строительства и время, необходимое для выполнения каждой работы, можно выяснить, к какому сроку следует подвести материалы или пригласить бригады специалистов: плотников, маляров и т. д. Чтобы определить общее время строительства, нужно найти самый продолжительный путь по ребрам графа – он называется критическим путем. Продолжительность пути – это сумма продолжительности работ, находящихся на этом пути.

Сетевые графики используют не только строители, но и диспетчеры железных дорог, конструкторы машин с большим количеством узлов деталей и другие специалисты.

Рассмотрим пример использования графов для решения логических проблем.

 

Пример.

 В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводится по круговой системе - каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной и Еленой; Борис, как уже говорилось, с Андреем и еще с Галиной; Виктор – с Галиной, Дмитрием и Еленой; Галина – с Андреем и Борисом; Дмитрий – с Виктором и Елена – с Андреем и Виктором. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось?

Обсуждение. Если двое участников уже сыграли между собой, то будем соединять изображающие их точки отрезками.

После обсуждения строится граф.

 

 

 

 

 

 

 

Число игр, проведенных к настоящему моменту, равно числу ребер, то есть 7.

 Чтобы найти число игр, которые осталось провести, построим еще один граф с теми же вершинами, но ребрами будем соединять тех участников, которые еще не играли друг с другом. Получим граф.

 

 

 

 

 

 

 

Ребер у этого графа 8, значит, осталось провести 8 игр.

Подобным образом можно составить граф любой позиционной игры. Граф игры – это граф, вершины которого – ситуации, возникающие в процессе игры, а ребра связывают вершину с теми вершинами – ситуациями, которые могут сложиться после очередного хода.

 

Пример.

Пусть на столе лежит 5 спичек. Двое игроков по очереди берут 1 или 2 спички. Выигрывает тот, кто забирает последнюю.

Нарисуем граф всевозможных продолжений игры

 

 

 

На графе показано количество спичек, остающихся на столе после каждого хода. Из графа видно, что если тот, кто начинает, оставит на столе 3 спички, то он выиграет. Если же начинающий игру оставит 4 спички, то он проиграет. Можно сделать вывод: начинающий проигрывает, если исходное число спичек делится на 3, и  выигрывает в остальных случаях, оставляя партнеру всякий раз количество спичек, которое делится на 3.

Теория графов – наука сравнительно молодая. Первая работа по теории графов принадлежит Леонарду Эйлеру, и появилась она в 1736 году в публикациях Петербургской Академии наук. Начиналась эта работа с рассмотрения задачи о кенигсбергских  мостах.

 

Задания для самостоятельного решения.

1.     Найти в популярной литературе задачу о кенигсбергских мостах.

2.     «Муха в банке». Муха забралась в банку из-под сахара. Банка имеет форму куба. Сможет ли муха обойти все 12 ребер куба, не проходя дважды по одному ребру. Подпрыгивать и перелетать с места на место не разрешается.

3.     Начертить две следующие фигуры, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной линии.

                Сабли Магомета                                        Распечатанное письмо

 

4.     Каждая вершина правильного шестиугольника соединяется с каждой из остальных вершин красным или синим отрезком. Докажите, что всегда найдется треугольник со сторонами одного цвета.

 

Занятия 7,8

Тема. Практическое занятие.  Решение логических задач

План

1.     Общие рекомендации по решению логических задач.

2.     Сведение анализа задачи к системе записей: схемы, таблицы.

3.     Типология задач: лжецы и правдивые, взвешивания, размен денег, переливания.

4.     Домашняя контрольная работа.

 

Среди других «крепостей царства смекалки» логические задачи занимают особое место.

С одной стороны, они отличаются от обычных задач-загадок тем, что в них нет никакой игры слов, попыток ввести в заблуждение.

С другой стороны, они отличаются от большинства математических задач тем, что для их решения нужна в основном сообразительность, умение логически мыслить, а не запас каких-то специальных знаний.

Решение логических задач в известной мере моделирует решение научной проблемы. Правильность гипотез, выдвинутых в ходе исследований, устанавливается путем сопоставления полученных результатов с исходными данными. Если вскрывается несоответствие выводов условиям задачи, выдвигаются новые гипотезы и начинаются рассуждения заново.

Мысленно провести нить рассуждений через многочисленные факты, гипотезы и выводы, основанные на них, трудно, Здесь очень легко запутаться.

Для решения логических задач гораздо удобнее свести анализ к системе записей: схем, таблиц, графов и т.д.

 

 

 

 

Задача 1.

Воронов, Павлов, Левицкий и Сахаров – 4 талантливых молодых человека. Один из них – танцор, другой – художник, третий – певец, а четвертый – писатель. Известно следующее:

1.           Воронов и Левицкий сидели в зале консерватории в тот вечер, когда певец дебютировал в сольном концерте.

2.           Павлов и писатель вместе позировали художнику.

3.           Писатель написал биографическую повесть о Сахарове и собирается написать о Воронове.

4.            Воронов никогда не слышал о Левицком.

          Кто чем занимается?

 

Для решения построим таблицу, где учитывались бы все возможные варианты.

	Танцор	Художник	Певец	Писатель
Воронов
Павлов
Левицкий
Сахаров

 

Пусть минус – знак отрицания, а плюс – знак утверждения. Решение будет доведено до конца, когда мы сумеем разместить по одному плюсу в каждом ряду и колонке.

Дискуссия по решению задачи.

Из первого условия известно, что ни Воронов, ни Левицкий не может быть певцом. Ставим минус в соответствующих клетках таблицы. Из второго условия известно, что Павлов – не художник и не писатель, а из третьего – что писателем не может быть ни Воронов, ни Сахаров. Расставив соответствующие минусы, становится ясно, что писатель – Левицкий. Заполняем минусами свободные клетки в его ряду. Далее, Левицкий позировал художнику, и в то же время Воронов Левицкого не знает. Значит, Воронов – не художник. Из таблицы виден единственно возможный вариант: Воронов – танцор. Ставим плюс в соответствующую клетку таблицы. Но тогда ни Павлов, ни Сахаров не может быть танцором. Следовательно, Павлов – певец. Наконец, Сахаров может быть только художником.

 

	Танцор	Художник	Певец	Писатель
Воронов	+	-	-	-
Павлов	-	-	+	-
Левицкий	-	-	-	+
Сахаров	-	+	-	-

 

Задача решена.

 

Задача 2. Переливания.

В бидоне находится 8 л молока, имеется еще две банки вместимостью 3л и 5л. Требуется отлить в пятилитровую банку 4л молока.

Ситуацию в каждый момент переливания можно описать тремя числами (x; y; z), где x –количество молока в бидоне, y – количество молока в пятилитровой банке, а z – количество молока в трехлитровой банке. Построим цепочки распределения молока по банкам. Получим граф

( 8; 0; 0)

(3; 5; 0)      (5; 0; 3)

(3; 2; 3)      (5; 3: 0)

(6; 2; 0)       (2; 3; 3)

(6; 0; 2)      (2; 5; 1)

(1; 5; 2)      (7; 0; 0)

(1; 4; 3)      (7; 1; 0)

 (4; 4; 3)      (4; 1; 3)  

                   (4; 4; 0)

Граф строится по ходу коллективного обсуждения  решения задачи. В результате получаем два решения: одно в 7 ходов, другое в 8 ходов.

 

Задача 3. Взвешивания.

Перед вами 10 мешков с монетами. В девяти мешках нормальные монеты массой по 10 г, а в десятом – фальшивые массой по 9 г. Как найти мешок с фальшивыми монетами, если у вас есть весы со стрелкой, указывающей массу положенного на них груза?

Очевидный способ решения. Можно брать по одной монете из мешка и взвешивать их. Рано или поздно дойдет очередь и до мешка с фальшивыми монетами. Это может произойти и при первом, и при десятом взвешивании. А как гарантированно найти мешок с фальшивыми монетами за одно взвешивание?

Дискуссия по поводу решения задачи.

Нужно положить на весы 1 монету из первого мешка, 2 монеты из второго и т.д., из десятого мешка положим10 монет. Если бы все монеты были нормальными, то общая масса этих монет составила

10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 + 100 = 550 (г);  

А так как среди монет есть фальшивые – более легкие, то масса окажется меньше и на столько грамм, сколько положено фальшивых монет. Если, например, масса составила 542 грамма, то есть на 8 грамм меньше, то это значит, что на весах лежат 8 фальшивых монет и поэтому фальшивые монеты лежат в восьмом мешке.

Задачи на взвешивание послужили основой создания большой ветви математики – теории информации. Математики задумались, какую информацию о монетах несет каждое взвешивание, нельзя ли выразить ее числами? Ответы на эти вопросы и дали толчок для развития теории информации, которая сейчас оказывает огромную помощь при расшифровке сигналов помех, при создании помехоустойчивых кодов для передачи сообщений и во многих других областях науки и техники.

 

Задача 4. Размен денег.

Эта  задача связана с недавно исчезнувшими  бумажными купюрами в 3 и 5 рублей. Вопрос этой задачи таков: “Какие суммы можно уплатить без сдачи купюрами в 3 и 5 рублей?”

Учащиеся сами могут предложить следующие варианты 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3; 9 = 3 + 3 + 3; 10 = 5 + 5. Естественно можно оплатить покупки стоимостью 3 и 5 рублей. Покупки в 1, 2, 4,  и 7 рублей данными купюрами не оплатить.

А дальше? Любую ли сумму денег можно оплатить этими купюрами? Заметим закономерность:

 

8 = 5 + 3,                   8 + 3 = 11,                   11 + 3 = 14,

9 = 3 + 3 + 3,             9 + 3 = 12,                   12 + 3 = 15,              

10 = 5 + 5;                 10 + 3 = 13,                   13 + 3  = 16 и т.д.

Следовательно, любая сумма денег, кроме 1, 2, 3, 4 и 7, может быть оплачена купюрами по 3 и 5 рублей.

А если брать другие купюры? “Пятёрками” и “десятками” можно оплатить без сдачи лишь сумму, кратную пяти.

Вообще, если имеются купюры в р и к рублей, общий делитель р и к отличен от 1, то ими можно уплатить без сдачи только суммы, кратные этому делителю.

Общее утверждение состоит в следующем: “Если имеется неограниченное количество купюр достоинством в р и к рублей, причем р и к взаимно просты, то любую сумму, большую р*к – р – к рублей можно уплатить без сдачи этими купюрами”.

В случае «трешек» и «пятерок» получаем число р*к – р – к = 5*3 – 5 – 3 =7.

Размен денег – настолько частая операция, что возникают сплошь и рядом нестандартные ситуации, приводящие к интересным математическим задачам.

 

Задача 5. Лжецы и правдивые.

На острове есть только два города, в одном из которых живут лжецы, которые все время лгут, а в другом – правдивые, говорящие только правду. Как узнать в какой город вы попали: в город лжецов или в город правдивых, задав всего один вопрос? Каков этот вопрос?

Дискуссия по поводу возможных вариантов вопроса.

Вопрос: «Вы живете в этом городе?» Если вы находитесь в городе правдивых и спрашиваете правдивого, то получите ответ «Да», но тот же ответ даст вам и лжец, поскольку он соврет. А в городе лжецов каждый ответит на этот вопрос «Нет».

 

Задания домашней контрольной работы

1.                         Взвешивания. Требуется за три взвешивания на чашечных весах без гирь найти среди шести монет одну фальшивую, при этом неизвестно, тяжелее она настоящей или легче, но известно, что она имеет другую массу.

2.                         Лжецы и правдивые. На острове лжецов и правдивых вы встретили трех аборигенов и обратились к одному из них с вопросом: «Из какого вы города?» Не расслышав ответ, вы обратились ко второму: «Что он сказал?» «Он сказал, что он из города правдивых», - был ответ. «А вы что слышали?» - спросили вы третьего. «Он сказал, что он из города лжецов» - ответил тот. Кто из какого города и что сказал первый абориген?

3.                         Сварливые соседи. Жители пяти домов поссорились друг с другом (см. рисунок)  и, чтобы не встречаться у колодцев, решили поделить колодцы так, чтобы хозяин каждого дома ходил к «своему» колодцу по «своей» тропинке. Удастся ли им это сделать?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 9

Тема. Математические игры и логические головоломки.

План

1.     Математическая теория логических игр. Закономерности ходов.

2.     Знакомство с популярными головоломками: морской бой, игра в «15», кубик Рубика, «быки и коровы», крестики и нолики.

3.     Поиск выигрышной стратегии.

 

         Стремление к разгадыванию различных загадок и тайн свойственно человеку в любом возрасте. Несомненно, игры и головоломки на отгадывание развивают творческие способности человека, его логическое мышление, учат ставить важные вопросы и находить ответы на них.

         Задачи – головоломки известны с давних времен, они встречаются уже в египетских папирусах. Мы уже знакомились с одной из таких задач – задачей Флавия, ранее отгадывали старинную задачу «Волк, коза и капуста», в которой крестьянину нужно перевести через реку в маленькой лодке волка, козу и капусту. С незапамятных времен известны такие игры как «морской бой», «крестики – нолики».

         В последнее время появилось много новых логических игр, которые быстро завоевали огромную популярность.

         Интересен тот факт, что все логические задачи основаны на математике, на свойствах фигур и чисел. И понять суть той или иной головоломки – это значит понять пусть небольшую, но точную математическую закономерность.

         Знакомство с наиболее популярными головоломками. Каждая группа учащихся рассказывает об одной из игр: морской бой, игра в 15, кубик Рубика, «быки и коровы», крестики и нолики. Особое внимание уделить поиску выигрышной стратегии.

 

 

Занятие 10

Тема. Защита творческих работ