Главная / Математика / Элективный курс " Применение метода координат при решении задач курса С2"

Элективный курс " Применение метода координат при решении задач курса С2"

Название документа Авторская программа элективного курса по математике.docx

Авторская программа элективного курса по математике

для учащихся 11 класса

«Применение метода координат при решение задач ЕГЭ уровня С2»

учителя математики 1 квалификационной категории МОУ Вохомская средняя общеобразовательная школа Вохомского района Костромской области

Адеевой Галины Витальевны.





ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА



Элективный курс«Применение метода координат при решение задач ЕГЭ уровня С2» разработан в рамках реализации концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования и соответствует Государственному стандарту среднего образования по математике. При разработке данной программы учитывалось то, что элективный курс как компонент образования должен быть направлен на удовлетворение познавательных потребностей и интересов старшеклассников, на формирование у них новых видов познавательной и практической деятельности, которые не характерны для традиционных учебных курсов.

Программа элективного курса по теме ориентирована на коррекцию уровня подготовки, дополнение и углубление базового и предметного образования, компенсацию недостатков обучения по профильным предметам. Математика является обязательным предметом для сдачи ЕГЭ и о немалую часть материала единого государственного экзамена составляют задачи по геометрии. Результаты ЕГЭ показывают пробелы изучения геометрии в школе. Самыми трудными заданиями по математике являются геометрические задачи.

Особого внимания требуют вопросы, связанные с вычислением расстояний и углов в пространстве применительно к конкретной фигуре. Они остаются трудными для большинства учащихся, причем, даже в тех достаточно типичных ситуациях, которые используются в задачах повышенного уровня. Так, если в задачах высокого уровня сложности рассматривается угол между двумя плоскостями, которые зачастую являются плоскостями боковых граней или плоскостями проведенных сечений, то в задачах повышенного уровня это угол между плоскостью основания и плоскостью боковой грани пирамиды или плоскостью типичного сечения призмы. Задачи, связанные с такими ситуациями, из года в год присутствуют в вариантах ЕГЭ (как и в вариантах многих вступительных экзаменов в вузы), тем не менее, процент их верного решения невысок. Это объясняется двумя причинами. Первая причина связана с тем, что углы между плоскостями (а также другие вопросы, связанные с углами и расстояниями в пространстве) в учебниках часто рассматриваются и проходят первичное закрепление до изучения многогранников и тел вращения. Вторая причина связана с задачами, в которых рассматриваются углы между прямой и плоскостью или между плоскостями, где необходимо применять планиметрический материал, нередко усвоенный непрочно. В данном случае речь идет о решении прямоугольных (реже – косоугольных) треугольников.

В школьном курсе стереометрии упор делается на дополнительные построения, которые позволяют выделить искомый угол, а затем рассчитать его величину.

Здесь уместно вспомнить задачи на построение сечений многогранников, которые рассматриваются в 10 классе и у многих вызывают трудности. Существование формального алгоритма для таких построений совершенно не облегчает задачу, поскольку каждый случай достаточно уникален, а любая систематизация лишь усложняют процесс.

Именно поэтому задача C2 оценивается в два балла. Первый балл дается за правильные построения, а второй — за правильные вычисления и собственно ответ.

Преимущества традиционного решения:

  1. Высокая наглядность дополнительных построений, которые подробно изучаются на уроках геометрии в 10-11 классах;

  2. При правильном подходе значительно сокращается объем вычислений.

Недостатки:

  1. Необходимо знать большое количество формул из стереометрии и планиметрии;

  2. Дополнительные построения каждый раз приходится придумывать «с нуля». И это может оказаться серьезной проблемой даже для хорошо подготовленных учеников.

В методе координат главная нагрузка приходится на алгебраические выкладки, однако их целесообразность базируется на наглядном осмыслении задачи. Что же требуется , чтобы освоить метод координат? 1)знание определенных формул; 2) умение вычислять координаты вершин многогранников и точек, расположенных на их ребрах и гранях; 3)умение составлять уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Цели курса:

- углубить теоретическое и практическое содержание курса стереометрии;

- развивать пространственные представления и логическое мышление;

- развивать умение применять знания на практике, приводить аргументированное решение, анализировать условие задачи и выбирать наиболее рациональный способ решения.

- Формирование системы знаний по теме «Метод координат»

Задачи курса:

- расширить и углубить представления учащихся о приемах и методах решения стереометрических задач;

- создать условия для выдвижения различных гипотез при поиске решения задачи и доказательства истинности или ложности этих гипотез;

- развивать интерес и положительную мотивацию изучения геометрии, создавать условия для подготовки учащихся к успешной сдаче ЕГЭ по математике.



Основной тип занятий - практикум. Для наиболее успешного усвоения материала планируются различные формы работы с учащимися: лекционные и практические занятия, с использованием презентаций, групповые, индивидуальные формы работы.

Весь теретический и практический материал крса представлен в презентациях,которые прилагаются к данной рабочей программе.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

- выполнять чертежи по тексту задачи; находить углы и расстояния в пространстве

- точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения задач;

- уметь анализировать задачу и выбирать наиболее рациональный способ ее решения.





УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

п/п

Наименование тем курса

Всего часов

1

Метод координат. Повторение основных понятий.

1

2

Введение системы координат

1

3

Угол между прямыми

2

4

Угол между прямой и плоскостью

2

5

Угол между плоскостями

2

6

Расстояние между точками



2

7

Расстояние от точки до плоскости

2

8

Расстояние от точки до прямой

2

9

Расстояние между скрещивающимися прямыми

2


Всего

16















СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ КУРСА



Тема 1. Метод координат. Повторение основных понятий.

Понятие вектора.Координаты вектора.Угол между векторами.Понятие нормали.Уравнение плоскости.

Тема 2. Введение системы координат

Оптимальный вариант введения системы координат.Призма,пирамида.

Тема 3. Угол между прямыми

Нахождение угла между прямыми методом координат.

Тема 4. Угол между прямой и плоскостью

Нахождение угла между прямой и плоскостью методом координат

Тема 5. Угол между плоскостями

Нахождение угла между плоскостями методом координат

Тема 6.Расстояние между точками

Нахождение расстояний между точками методом координат

Тема 7. Расстояние от точки до плоскости

Нахождение расстояний от точки до плоскости методом координат

Тема 8. Расстояние от точки до прямой

Нахождение расстояний от точки до прямой методом координат

Тема 9. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Нахождение расстояний между скрещивающимися прямыми методом координат

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2013 (типовые задания С2)

ЕГЭ 2010.Математика. Задача С2 . Смирнов В.А./Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. М.:МЦНМО, 2010

ЕГЭ 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся. Авт.-сост. Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д. и др. /ФИПИ- М.; Интеллект-Центр, 2010.

Смирнова И.М. ,Смирнов В.А.Расстояния и углы в пространстве(Москва,2009 г.)





Название документа МЕТОД КООРДИНАТ.pptx

МЕТОД КООРДИНАТ В ЗАДАЧАХ С2 Нахождение расстояний Выполнила учитель МОУ Вохо...
Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать: Уравнение пл...
Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), ...
Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему ур...
Задача. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты ве...
Вычисление координат векторов Теорема. Чтобы найти координаты вектора, надо и...
Введение системы координат Самое замечательное свойство этого метода заключае...
Решение задач методом координат упрощает знание опорной задачи:
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ А И В МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ: 	1) ПО ФОРМУЛЕ 							 	ГДЕ ...
Задача 1 В ОСНОВАНИИ ПИРАМИДЫ SABCD ЛЕЖИТ РОМБ СО СТОРОНОЙ 2 И ОСТРЫМ УГЛО...
Решение. 	Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат, как показано н...
Задача2 	В ЕДИНИЧНОМ КУБЕ АВСDA1В1С1D1 ТОЧКИ Е И К – СЕРЕДИНЫ РЕБЕР АА1 И СD ...
Решение. 	Введём декартову систему координат. E(1;0;0,5), K(0,5;1,0), В1(0;0;...
Координаты точки Q находим по формуле координат середины отрезка: . Ответ: .
Расстояние от точки до плоскости
A B C D A₁ B₁ C₁ D₁ у х z Задача 3 В единичном кубе А…D₁ найдите расстояние ...
Задача 4 	ОСНОВАНИЕ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ АВСА1В1С1 – РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК АВС...
Решение. Выберем систему координат как показано на рисунке и выпишем координа...
Задача 5 В единичном кубе АВСDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки А1 до плос...
A1 (1; 0; 1) Найдем искомое расстояние по формуле Ответ:
Задача 6 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны...
Решение.
Задача 7 В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстоя...
Найдем искомое расстояние по формуле Ответ:
Тренировочная работа Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки до прямой можно найти следу...
Задача 9 (Расстояние от точки до прямой) В правильной шестиугольной пирамиде ...
2 способ: 1.Строим прямую,соединяющую данную точку и 2 точки,задающие прямую....
Тренировочная работа Расстояние от точки до прямой
Расстояние между параллельными плоскостями
Вычислите расстояние между параллельными плоскостями   Если умножить обе час...
Расстояние между скрещивающимися прямыми Отрезок, имеющий концы на двух скре...
Способ решения А.Правдина – учителя математики Нижегородской области Точки А...
Задача 9 (Расстояние между скрещивающимися прямыми) В единичном кубе А…D1 най...
Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки до прямой можно найти следу...
2 способ: 1.Находим координаты направляющих векторов прямых. 2.находим коорд...
Тренировочная работа Расстояние между двумя прямыми
Диагностическая работа
Литература : Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы ...
1 из 50

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 МЕТОД КООРДИНАТ В ЗАДАЧАХ С2 Нахождение расстояний Выполнила учитель МОУ Вохомск
Описание слайда:

МЕТОД КООРДИНАТ В ЗАДАЧАХ С2 Нахождение расстояний Выполнила учитель МОУ Вохомская средняя школа Адеева Г.В.

№ слайда 2 Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать: Уравнение плоск
Описание слайда:

Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать: Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит через начало координат, D = 0. А  если не проходит, то D = 1. Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0, имеет координаты: n = (A; B; C) и называется вектором нормали к плоскости.

№ слайда 3 Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N =
Описание слайда:

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат. Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0)  то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство. Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем: A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0; Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения: A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0; A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

№ слайда 4 Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравн
Описание слайда:

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений: Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0. Ответ: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0

№ слайда 5 Задача. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты векто
Описание слайда:

Задача. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости. Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4)  Ответ: n = (7; − 2; 4)

№ слайда 6 Вычисление координат векторов Теорема. Чтобы найти координаты вектора, надо из к
Описание слайда:

Вычисление координат векторов Теорема. Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала. Задача. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC. Решение. Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A: AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4). Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем: AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5). Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B: BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9). Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

№ слайда 7 Введение системы координат Самое замечательное свойство этого метода заключается
Описание слайда:

Введение системы координат Самое замечательное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным. Некоторые рекомендации, как лучше ввести систему координат для самых часто встречающихся в задаче C2 многогранников:

№ слайда 8
Описание слайда:

№ слайда 9
Описание слайда:

№ слайда 10
Описание слайда:

№ слайда 11
Описание слайда:

№ слайда 12
Описание слайда:

№ слайда 13
Описание слайда:

№ слайда 14 Решение задач методом координат упрощает знание опорной задачи:
Описание слайда:

Решение задач методом координат упрощает знание опорной задачи:

№ слайда 15 РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ А И В МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ: 	1) ПО ФОРМУЛЕ 							 	ГДЕ A(X
Описание слайда:

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ А И В МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ: 1) ПО ФОРМУЛЕ ГДЕ A(X1; Y1; Z1), B(X2; Y2; Z2) 2) ПО ФОРМУЛЕ .

№ слайда 16 Задача 1 В ОСНОВАНИИ ПИРАМИДЫ SABCD ЛЕЖИТ РОМБ СО СТОРОНОЙ 2 И ОСТРЫМ УГЛОМ В
Описание слайда:

Задача 1 В ОСНОВАНИИ ПИРАМИДЫ SABCD ЛЕЖИТ РОМБ СО СТОРОНОЙ 2 И ОСТРЫМ УГЛОМ В 60˚. БОКОВОЕ РЕБРО SA ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО ОСНОВАНИЮ ПИРАМИДЫ И РАВНО 4. НАЙДИТЕ РАССТОЯНИЕ ОТ СЕРЕДИНЫ Н РЕБРА SD И СЕРЕДИНОЙ М РЕБРА ВС.

№ слайда 17 Решение. 	Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат, как показано на р
Описание слайда:

Решение. Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Найдём координаты точки Н как координаты середины отрезка SD: S(0; 0; 4), D(0; 2; 0). Чтобы найти координаты точек В и С, найдём координаты их проекций на оси. АВх=ACx=2·cos30˚= , ABy=ACу–2=2·cos60˚=1. Отсюда В( ;1;0), С( ;3;0). Тогда координаты точки М равняются: Теперь находим расстояние между точками, заданными своими координатами: Ответ:

№ слайда 18 Задача2 	В ЕДИНИЧНОМ КУБЕ АВСDA1В1С1D1 ТОЧКИ Е И К – СЕРЕДИНЫ РЕБЕР АА1 И СD СОО
Описание слайда:

Задача2 В ЕДИНИЧНОМ КУБЕ АВСDA1В1С1D1 ТОЧКИ Е И К – СЕРЕДИНЫ РЕБЕР АА1 И СD СООТВЕТСТВЕННО, А ТОЧКА М РАСПОЛОЖЕНА НА ДИАГОНАЛИ В1D1 ТАК, ЧТО В1М = 2МD1. НАЙДИТЕ РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ Q И L, ГДЕ Q – СЕРЕДИНА ОТРЕЗКА ЕМ, А L – ТОЧКА ОТРЕЗКА МК ТАКАЯ, ЧТО ML=2LK.

№ слайда 19 Решение. 	Введём декартову систему координат. E(1;0;0,5), K(0,5;1,0), В1(0;0;1),
Описание слайда:

Решение. Введём декартову систему координат. E(1;0;0,5), K(0,5;1,0), В1(0;0;1), D1(1;1;1). Чтобы вычислить координаты т.М, воспользуемся формулой для нахождения координат точки, которая делит отрезок B1D1 в отношении λ=2:1: Аналогично находим координаты точки L:

№ слайда 20 Координаты точки Q находим по формуле координат середины отрезка: . Ответ: .
Описание слайда:

Координаты точки Q находим по формуле координат середины отрезка: . Ответ: .

№ слайда 21 Расстояние от точки до плоскости
Описание слайда:

Расстояние от точки до плоскости

№ слайда 22 A B C D A₁ B₁ C₁ D₁ у х z Задача 3 В единичном кубе А…D₁ найдите расстояние от
Описание слайда:

A B C D A₁ B₁ C₁ D₁ у х z Задача 3 В единичном кубе А…D₁ найдите расстояние от точки А₁ до (ВDC₁ ). Координатный метод

№ слайда 23 Задача 4 	ОСНОВАНИЕ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ АВСА1В1С1 – РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК АВС, О
Описание слайда:

Задача 4 ОСНОВАНИЕ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ АВСА1В1С1 – РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК АВС, ОСНОВАНИЕ АС И ВЫСОТА ВD КОТОРОГО РАВНЫ 4. БОКОВОЕ РЕБРО РАВНО 2. ЧЕРЕЗ СЕРЕДИНУ К ОТРЕЗКА В1С ПРОВЕДЕНА ПЛОСКОСТЬ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ К ЭТОМУ ОТРЕЗКУ. НАЙДИТЕ РАССТОЯНИЕ ОТ ВЕРШИНЫ А ДО ЭТОЙ ПЛОСКОСТИ.

№ слайда 24 Решение. Выберем систему координат как показано на рисунке и выпишем координаты
Описание слайда:

Решение. Выберем систему координат как показано на рисунке и выпишем координаты вершин данной призмы и точки К в этой системе координат: А(0;–2;0), В(0;0;0), С(0;2;0), В1(4;0;2), К(2;1;1). Тогда . Этот вектор перпендикулярен плоскости, значит, он является его нормалью. К тому же плоскость проходит через точку К. То есть уравнение плоскости имеет вид –2(x–2)+2(у–1)–2(z–1)=0 или, после упрощения, 2x–y+z-4=0. Теперь находим расстояние от т.А(0;-2;0) до плоскости: Ответ: .

№ слайда 25 Задача 5 В единичном кубе АВСDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки А1 до плоскос
Описание слайда:

Задача 5 В единичном кубе АВСDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки А1 до плоскости (BDC1) . A1 (1; 0; 1) D (0; 0; 0) B (1; 1; 0) C1 (0; 1; 1) Запишем уравнение плоскости DBC1. х у z

№ слайда 26 A1 (1; 0; 1) Найдем искомое расстояние по формуле Ответ:
Описание слайда:

A1 (1; 0; 1) Найдем искомое расстояние по формуле Ответ:

№ слайда 27 Задача 6 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1,
Описание слайда:

Задача 6 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от середины ребра ВС до плоскости SCD Решение.

№ слайда 28 Решение.
Описание слайда:

Решение.

№ слайда 29 Задача 7 В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние
Описание слайда:

Задача 7 В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки А до плоскости (DEF1) F1 (- 1; 0;1) Запишем уравнение плоскости DC1F1. C1 (1; 0;1) 1 1 х у z

№ слайда 30
Описание слайда:

№ слайда 31 Найдем искомое расстояние по формуле Ответ:
Описание слайда:

Найдем искомое расстояние по формуле Ответ:

№ слайда 32 Тренировочная работа Расстояние от точки до плоскости
Описание слайда:

Тренировочная работа Расстояние от точки до плоскости

№ слайда 33 Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки до прямой можно найти следующи
Описание слайда:

Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки до прямой можно найти следующим образом: 1.Строим треугольник,соединяющий данную точкуи 2 точки,задающие прямую. 2.Находим длины сторон треугольника и его площадь. 3.Находим высоту в треугольнике- Это и есть искомое расстояние Пусть АН – искомое расстояние. А В С Н Н

№ слайда 34 Задача 9 (Расстояние от точки до прямой) В правильной шестиугольной пирамиде SAB
Описание слайда:

Задача 9 (Расстояние от точки до прямой) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки F до Прямой BG, где G – середина ребра SC х z у

№ слайда 35 2 способ: 1.Строим прямую,соединяющую данную точку и 2 точки,задающие прямую. 2.
Описание слайда:

2 способ: 1.Строим прямую,соединяющую данную точку и 2 точки,задающие прямую. 2.Находим длины сторон треугольника. 3.Находим косинус одног из углов(А). 4.Находим синус этого угла (основное тригонометрическое тождество) 5.Используя определение синуса, находим высоту треугольника-искомое расстояние.

№ слайда 36
Описание слайда:

№ слайда 37 Тренировочная работа Расстояние от точки до прямой
Описание слайда:

Тренировочная работа Расстояние от точки до прямой

№ слайда 38 Расстояние между параллельными плоскостями
Описание слайда:

Расстояние между параллельными плоскостями

№ слайда 39 Вычислите расстояние между параллельными плоскостями   Если умножить обе части
Описание слайда:

Вычислите расстояние между параллельными плоскостями   Если умножить обе части второго уравнения плоскости на два, то коэффициенты при переменных x, y и z в уравнениях   и   станут равны и можно будет применить формулу: 

№ слайда 40 Расстояние между скрещивающимися прямыми Отрезок, имеющий концы на двух скрещив
Описание слайда:

Расстояние между скрещивающимися прямыми Отрезок, имеющий концы на двух скрещивающихся прямых и перпендикулярный к ним, называется общим перпендикуляром скрещивающихся прямых.

№ слайда 41 Способ решения А.Правдина – учителя математики Нижегородской области Точки А1 и
Описание слайда:

Способ решения А.Правдина – учителя математики Нижегородской области Точки А1 и В1 выбираем любые Находим х и у, затем длину АВ

№ слайда 42 Задача 9 (Расстояние между скрещивающимися прямыми) В единичном кубе А…D1 найдит
Описание слайда:

Задача 9 (Расстояние между скрещивающимися прямыми) В единичном кубе А…D1 найдите расстояние от АD1 до A1C1 Пусть NM- общий перпендикуляр прямых АD1 и A1C1 х z у N M A A1

№ слайда 43 Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки до прямой можно найти следующи
Описание слайда:

Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки до прямой можно найти следующим образом: 1.Строим треугольник,соединяющий данную точкуи 2 точки,задающие прямую. 2.Находим длины сторон треугольника и его площадь. 3.Находим высоту в треугольнике- Это и есть искомое расстояние Пусть АН – искомое расстояние. А В С Н Н

№ слайда 44 2 способ: 1.Находим координаты направляющих векторов прямых. 2.находим координа
Описание слайда:

2 способ: 1.Находим координаты направляющих векторов прямых. 2.находим координаты общего вектора нормали из условия,что произведение направляющего вектора и общего вектора нормали =0. 3.решаем полученную систему. 4.строим вектор,соединяющий любые 2 точки прямых и находим его координаты(вектор c=А1В) 5. Расстояние = Где n –общий вектор нормали,с-вектор А1В

№ слайда 45
Описание слайда:

№ слайда 46
Описание слайда:

№ слайда 47 Тренировочная работа Расстояние между двумя прямыми
Описание слайда:

Тренировочная работа Расстояние между двумя прямыми

№ слайда 48 Диагностическая работа
Описание слайда:

Диагностическая работа

№ слайда 49 Литература : Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их
Описание слайда:

Литература : Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) ЕГЭ 2010.Математика. Задача С2 . Смирнов В.А./Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. М.:МЦНМО, 2010 ЕГЭ 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся. Авт.-сост. Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д. и др. /ФИПИ- М.; Интеллект-Центр, 2010. Некоторые рисунки из ресурсов Интернета Материалы учителя математики Ларькиной Г.А.- https://sites.google.com/site/larkinaga91/metodiceskaa-rabota/publika

№ слайда 50
Описание слайда:

Название документа Метод координат в задачах С2.Нахождение углов.ppt

Нахождение углов. Выполнила учитель МОУ Вохомская средняя школа Адеева Г.В.
В задаче C2 рассматриваются многогранники, на основе которых, как правило, ну...
Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их т...
Задача. Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5). Ре...
Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), ...
Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему ур...
Задача. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты ве...
Вычисление координат векторов Теорема. Чтобы найти координаты вектора, надо и...
Введение системы координат Самое замечательное свойство этого метода заключае...
Решение задач методом координат упрощает знание опорной задачи:
Угол между прямыми
Решение (1 способ)
Решение (2 способ)
Решение.
Координаты правильной треугольной призмы
Решение.
Решение.
Координаты правильной шестиугольной призмы
Решение.
Задача 4 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны...
Координаты правильной четырехугольной пирамиды
Е- середина SB F- середина SC Решение.
Задача 5 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равн...
- направляющий вектор прямой DE
Задача 6 Найдите синус угла между прямой - вектор, перпендикулярный плоскости...
Н Задача 7
Задача 8 В единичном кубе найдите угол между прямой AВ1 и плоскостью (А1EF), ...
A1 (1; 0; 1) Е (0,5; 1; 1) - уравнение плоскости (А1EF).
- вектор нормали к плоскости - направляющий вектор прямой Ответ:
Задача 9 В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите синус у...
C (1; 0;0) F1 (- 1; 0;1) - уравнение плоскости (АСF1).
- вектор нормали к плоскости - направляющий вектор прямой Ответ:
Задача 10 В правильной четырехугольной пирамиде ребро основания равно 4, а вы...
- уравнение плоскости (АSD).
- вектор нормали к плоскости - направляющий вектор прямой Ответ:
Угол между плоскостями
Решение.
Задача 12 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 3, ВС = 4, АА1 =...
12
Задача 13 В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 диагональ основан...
A (1; 0; 0) C (0; 1; 0) D1 (0; 0; 1) Запишем уравнения плоскостей (АСD1) и (B...
A (1; 0; 0) C (0; 1; 0) D1 (0; 0; 1) D (0; 0; 0) B (1; 1; 0) C1 (0; 1; 1) Отв...
Запишем уравнения плоскостей (АBС1) и (A1B1C):
Ответ:
C (1; 0;0) Запишем уравнения плоскостей (А1BC) и (AA1E):
C (1; 0;0)
Ответ:
Литература : Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы ...
1 из 69

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Нахождение углов. Выполнила учитель МОУ Вохомская средняя школа Адеева Г.В.
Описание слайда:

Нахождение углов. Выполнила учитель МОУ Вохомская средняя школа Адеева Г.В.

№ слайда 2 В задаче C2 рассматриваются многогранники, на основе которых, как правило, нужно
Описание слайда:

В задаче C2 рассматриваются многогранники, на основе которых, как правило, нужно найти одну из следующих величин: Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между двумя прямыми, которые пересекаются в одной точке и параллельны данным прямым. Угол между прямой и плоскостью — это угол между самой прямой и  ее проекцией на данную плоскость. Угол между двумя плоскостями — это угол между прямыми, которые лежат в данных плоскостях и перпендикулярны линии пересечения этих плоскостей. Прямые всегда задаются двумя точками на поверхности или  внутри многогранника, а плоскости — тремя. Сами многогранники всегда задаются длинами своих граней.

№ слайда 3 Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их три:
Описание слайда:

Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их три: Главная формула — косинус угла φ между векторами a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2): Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит через начало координат, D = 0. А  если не проходит, то D = 1. Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0, имеет координаты: n = (A; B; C) и называется вектором нормали к плоскости.

№ слайда 4 Задача. Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5). Решен
Описание слайда:

Задача. Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5). Решение. Поскольку координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу: Ответ: 36/65

№ слайда 5 Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N =
Описание слайда:

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат. Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0)  то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство. Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем: A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0; Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения: A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0; A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

№ слайда 6 Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравн
Описание слайда:

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений: Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0. Ответ: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0

№ слайда 7 Задача. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты векто
Описание слайда:

Задача. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости. Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4)  Ответ: n = (7; − 2; 4)

№ слайда 8 Вычисление координат векторов Теорема. Чтобы найти координаты вектора, надо из к
Описание слайда:

Вычисление координат векторов Теорема. Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала. Задача. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC. Решение. Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A: AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4). Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем: AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5). Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B: BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9). Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

№ слайда 9 Введение системы координат Самое замечательное свойство этого метода заключается
Описание слайда:

Введение системы координат Самое замечательное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным. Некоторые рекомендации, как лучше ввести систему координат для самых часто встречающихся в задаче C2 многогранников:

№ слайда 10
Описание слайда:

№ слайда 11
Описание слайда:

№ слайда 12
Описание слайда:

№ слайда 13
Описание слайда:

№ слайда 14
Описание слайда:

№ слайда 15
Описание слайда:

№ слайда 16 Решение задач методом координат упрощает знание опорной задачи:
Описание слайда:

Решение задач методом координат упрощает знание опорной задачи:

№ слайда 17 Угол между прямыми
Описание слайда:

Угол между прямыми

№ слайда 18 Решение (1 способ)
Описание слайда:

Решение (1 способ)

№ слайда 19 Решение (2 способ)
Описание слайда:

Решение (2 способ)

№ слайда 20 Решение.
Описание слайда:

Решение.

№ слайда 21 Координаты правильной треугольной призмы
Описание слайда:

Координаты правильной треугольной призмы

№ слайда 22 Решение.
Описание слайда:

Решение.

№ слайда 23
Описание слайда:

№ слайда 24 Решение.
Описание слайда:

Решение.

№ слайда 25 Координаты правильной шестиугольной призмы
Описание слайда:

Координаты правильной шестиугольной призмы

№ слайда 26 Решение.
Описание слайда:

Решение.

№ слайда 27 Задача 4 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1,
Описание слайда:

Задача 4 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, отмечены точки Е и F – середины сторон SB и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF. Решение.

№ слайда 28 Координаты правильной четырехугольной пирамиды
Описание слайда:

Координаты правильной четырехугольной пирамиды

№ слайда 29 Е- середина SB F- середина SC Решение.
Описание слайда:

Е- середина SB F- середина SC Решение.

№ слайда 30
Описание слайда:

№ слайда 31
Описание слайда:

№ слайда 32
Описание слайда:

№ слайда 33 Задача 5 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1
Описание слайда:

Задача 5 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой DE, где Е- середина апофемы SF грани ASB и плоскостью ASC Решение.

№ слайда 34 - направляющий вектор прямой DE
Описание слайда:

- направляющий вектор прямой DE

№ слайда 35 Задача 6 Найдите синус угла между прямой - вектор, перпендикулярный плоскости -
Описание слайда:

Задача 6 Найдите синус угла между прямой - вектор, перпендикулярный плоскости - направляющий вектор прямой

№ слайда 36 Н Задача 7
Описание слайда:

Н Задача 7

№ слайда 37 Задача 8 В единичном кубе найдите угол между прямой AВ1 и плоскостью (А1EF), где
Описание слайда:

Задача 8 В единичном кубе найдите угол между прямой AВ1 и плоскостью (А1EF), где Е – середина В1С1, 1 1 1 F E A1 (1; 0; 1) Е (0,5; 1; 1) A (1; 0; 0) B1 (1; 1; 1) Запишем уравнение плоскости (А1EF):

№ слайда 38 A1 (1; 0; 1) Е (0,5; 1; 1) - уравнение плоскости (А1EF).
Описание слайда:

A1 (1; 0; 1) Е (0,5; 1; 1) - уравнение плоскости (А1EF).

№ слайда 39 - вектор нормали к плоскости - направляющий вектор прямой Ответ:
Описание слайда:

- вектор нормали к плоскости - направляющий вектор прямой Ответ:

№ слайда 40 Задача 9 В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите синус угла
Описание слайда:

Задача 9 В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите синус угла между прямой AВ1 и плоскостью (АСF1). Запишем уравнение плоскости (АСF1):

№ слайда 41 C (1; 0;0) F1 (- 1; 0;1) - уравнение плоскости (АСF1).
Описание слайда:

C (1; 0;0) F1 (- 1; 0;1) - уравнение плоскости (АСF1).

№ слайда 42 - вектор нормали к плоскости - направляющий вектор прямой Ответ:
Описание слайда:

- вектор нормали к плоскости - направляющий вектор прямой Ответ:

№ слайда 43 Задача 10 В правильной четырехугольной пирамиде ребро основания равно 4, а высот
Описание слайда:

Задача 10 В правильной четырехугольной пирамиде ребро основания равно 4, а высота – 6. Найдите угол между прямой ВЕ, где Е- середина SC и плоскостью (АDS). E Запишем уравнение плоскости (АSD):

№ слайда 44 - уравнение плоскости (АSD).
Описание слайда:

- уравнение плоскости (АSD).

№ слайда 45 - вектор нормали к плоскости - направляющий вектор прямой Ответ:
Описание слайда:

- вектор нормали к плоскости - направляющий вектор прямой Ответ:

№ слайда 46
Описание слайда:

№ слайда 47 Угол между плоскостями
Описание слайда:

Угол между плоскостями

№ слайда 48 Решение.
Описание слайда:

Решение.

№ слайда 49
Описание слайда:

№ слайда 50
Описание слайда:

№ слайда 51 Задача 12 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 3, ВС = 4, АА1 = 12
Описание слайда:

Задача 12 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 3, ВС = 4, АА1 = 12. Через середину ребра АВ перпендикулярно диагонали ВD1 проведена плоскость. Найдите угол образованный этой плоскостью с основанием параллелепипеда. D1 B A D B1 C1 A1 3 C Решим задачу методом координат. Введем нормали к плоскостям. y 4 12 D (0; 0; 12) DD1 – это радиус-вектор, поэтому его координаты такие же, как и точки D1 (4; 3; 0) Чтобы найти координаты вектора D1B, вычтем из конца вектора его начало.

№ слайда 52 12
Описание слайда:

12

№ слайда 53 Задача 13 В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 диагональ основания
Описание слайда:

Задача 13 В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 диагональ основания в 2 раза больше бокового ребра. Найдите угол между плоскостью АCB1и боковой гранью ВВ1С1С. C C1 B1 D B D1 A A1 1 В данной задаче построение линейного угла не столь очевидно. Поэтому применим метод координат. Найдем вектор нормали плоскости АCB1. Рассмотрим два вектора этой плоскости: Получим систему Вектор нормали плоскости ACB1: Вектор нормали плоскости ВВ1С1:

№ слайда 54
Описание слайда:

№ слайда 55 A (1; 0; 0) C (0; 1; 0) D1 (0; 0; 1) Запишем уравнения плоскостей (АСD1) и (BDC1
Описание слайда:

A (1; 0; 0) C (0; 1; 0) D1 (0; 0; 1) Запишем уравнения плоскостей (АСD1) и (BDC1): D (0; 0; 0) B (1; 1; 0) C1 (0; 1; 1)

№ слайда 56 A (1; 0; 0) C (0; 1; 0) D1 (0; 0; 1) D (0; 0; 0) B (1; 1; 0) C1 (0; 1; 1) Ответ:
Описание слайда:

A (1; 0; 0) C (0; 1; 0) D1 (0; 0; 1) D (0; 0; 0) B (1; 1; 0) C1 (0; 1; 1) Ответ:

№ слайда 57 Запишем уравнения плоскостей (АBС1) и (A1B1C):
Описание слайда:

Запишем уравнения плоскостей (АBС1) и (A1B1C):

№ слайда 58
Описание слайда:

№ слайда 59 Ответ:
Описание слайда:

Ответ:

№ слайда 60 C (1; 0;0) Запишем уравнения плоскостей (А1BC) и (AA1E):
Описание слайда:

C (1; 0;0) Запишем уравнения плоскостей (А1BC) и (AA1E):

№ слайда 61 C (1; 0;0)
Описание слайда:

C (1; 0;0)

№ слайда 62
Описание слайда:

№ слайда 63 Ответ:
Описание слайда:

Ответ:

№ слайда 64
Описание слайда:

№ слайда 65
Описание слайда:

№ слайда 66
Описание слайда:

№ слайда 67
Описание слайда:

№ слайда 68
Описание слайда:

№ слайда 69 Литература : Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их
Описание слайда:

Литература : Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) ЕГЭ 2010.Математика. Задача С2 . Смирнов В.А./Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. М.:МЦНМО, 2010 ЕГЭ 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся. Авт.-сост. Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д. и др. /ФИПИ- М.; Интеллект-Центр, 2010. Некоторые рисунки из ресурсов Интернета Материалы с сайта репетитора по математике Павла Бердова- http://www.berdov.com/ege/solid_geometry/ Материалы с сайта учителя математики Савченко Е.М.- http://le-savchen.ucoz.ru/news/2012-07-15-24 Материалы учителя математики Ларькиной Г.А.- https://sites.google.com/site/larkinaga91/metodiceskaa-rabota/publika

Элективный курс " Применение метода координат при решении задач курса С2"
  • Математика
Описание:

 Рабочая программа курса+ 2 блока презентаций:

1) Нахождение углов

2) Нахождение расстояний

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Автор Адеева Галина Витальевна
Дата добавления 06.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 1183
Номер материала 38782
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓