элективный курс по теме "Проценты" (11 класс)

                                   Проценты.

             Задачи на проценты входят в контрольно-измерительные материалы государственной итоговой аттестации в 9 и 11 классах. Тема «Проценты»  изучается только в 5-6 классах, поэтому многие выпускники испытывают затруднения и страх перед задачами на проценты.  Для подготовки учащихся к ЕГЭ и ГИА из школьного компонента в первом полугодии выделен 1 час на элективный курс «Проценты. Решение задач на проценты»

     С одной стороны практическую значимость обучения решению задач на проценты трудно переоценить. Невозможно представить современного человека, не понимающего, что такое процент, не владеющего умением решать хотя бы простейшие задачи на проценты.   Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления. Проценты нас сопровождают на протяжении всей жизни - в экономике, на производстве, в средствах массовой информации. Без этих знаний человек не может выполнять необходимые ему  элементарные вычисления даже в быту - в магазине, в банке и т. п. Умение решать задачи на проценты необходимо каждому человеку, независимо от того, в  какой бы области он ни трудился. С другой стороны учащиеся не знают, с какой стороны подступиться к вычислениям и к решению ряда задач. Для разрешения указанного противоречия включаю условия.

а)  Организация серии занятий по вычислению процентов, в том числе по решению опорных задач,  задач повышенной трудности.

б) Использование дополнительных источников по изучаемой теме для расширения кругозора и активизации познавательной деятельности учащихся. (М.Ю. Коваленко «Поливариативный практикум задач на проценты с визуальной поддержкой)

 

                                Предмет исследования

 

Систематизация имеющегося материала, изучение опыта работы других педагогов, рассмотрение методики обучения по разным учебникам по данной теме, описание нового приема при объяснении способа решения задач,  составление элективного курса для 9^х и 11^х классов.

 

Теоретическая основа:  составление тематической разработки, составление планов занятий, подбор форм, приемов  обучения по данной теме, организация текущего и итогового контроля (Приложение 2).

 

                                         Цели и задачи

 

       1.  Научить каждого ученика свободно оперировать понятием процента.

     2. Сформировать умение и навыки  решения  задач на проценты.

3. Выработка умения самостоятельно приобретать и применять полученные знания в различных жизненных ситуациях.

4. Указать на практическую значимость полученных знаний и умений в жизни человека.

5. Способствовать развитию интереса и положительной мотивации к изучению математики.

                              Результаты апробации

 

В результате обучения, учащиеся лучше осваивают  решение указанных задач, выпускники справляются с задачами на проценты на ЕГЭ. В 2009 – 2010 учебном году из 22 учащихся 11^б общеобразовательного класса с задачей на проценты справились 20 учащихся.

На каждом занятии проводится короткая беседа о применении процентов в жизни человека, о применении данных знаний.

На каждом занятии учащиеся имеют план работы.

Комплект для работы по группам или вариантам, индивидуальной работы готовится до занятий. Весь подготовленный  материал доступен для обзора  каждому ученику.

Важным моментом для успешной работы является доверительная и спокойная обстановка как со стороны учителя, так и со стороны учащихся. Необходимо настроить ребят на рассмотрение и решение  определенного типа задач, рассказать применение данного типа в жизни человека.

Необходимым условием проведения занятий является, четкое представление учениками цели занятия, плана его  проведения и правильное оформление задач.

Во время проведения занятий учитель постоянно контролирует ход работы, корректирует, где это необходимо.

В данный курс включены формулы вычисления простых и сложных процентов, что позволяет решать более удобным способом задачи экономического содержания.

Так же в курс, включен метод решения задач на проценты по методике М.Ю.Коваленко.

 Разработанная технология включает в себя компоненты визуально-графической наглядности. Работая с условием задачи учащимся трудно удержать в памяти все объекты, величины, их взаимосвязь. Текс задач нередко перегружен избыточной информацией, которая рассеивает внимание, отвлекает от содержательной ключевой логики на второстепенные детали. Совсем иначе осуществляется решение задачи с применением рисунков, схем, чертежей. Во время такой работы над условием задачи учащиеся достаточно полно обнаруживают объекты и процессы, описанные в задачах, видят связь между величинами и сравнительно легко и быстро находят способ решения задачи. Визуальная поддержка – это особый вид наглядности, который представляет учащимся не всю реальность происходящих в задаче процессов, а лишь ее существенные аспекты, отсекая второстепенные детали, отвлекающие внимание и мысль от главного. В отличие от мысленных образов, реальность, данная в изображении, воспринимается органами чувств, что обеспечивает лучшее понимание материала. 

С методической точки зрения предлагаемая схема решения задач позволит:

·        Наглядно представить процессы, происходящие в задаче.

·        Экономить время на оформление задачи.

·        Не разделять задачи на типы.

·        Без затруднений составлять уравнения  (системы уравнений) для решения задач.

Множество проблемных вопросов можно поставить на первых занятиях изучения курса. Важно заинтересовать учащихся задачами, имеющими практическую направленность, т.е. с расчетами, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни. Давать не исчерпывающую информацию о них, но и предложить самим сделать эти расчеты.

      Учащимся регулярно на занятиях нужно напоминать о том, что во многих смежных предметах используются проценты. Необходимо заострить, что вся мировая экономика  держится на процентных соотношениях.

 

         Возможности и условия применения курса:

·        Данный курс может быть использован не только в выпускных классах, а в любом классе средней  школы, сложности могут быть только  в  5  классе, где не изучается пропорция.

·        Умение педагога работать с заданиями исследовательского типа.

 

Перспектива развития:

 

1.     Разработка вариантов уроков - исследования в экономическом развитии Костромской области.

                            

 

 

 

 

 

Элективный курс «Проценты. Задачи на проценты»

 

                                     Пояснительная записка

 

Данный курс рассчитан для учащихся 9^х и 11^х классов, программа курса составлена на основе обязательного минимума содержания математического образования. На курс отводится 1 час в неделю из школьного компонента в первом полугодии (17 занятий за учебный  год).

          Данный курс дополняет базовую программу, не нарушая ее целостности. Умения и навыки, полученные ребятами, помогут им при подготовке к ЕГЭ и ГИА.

          Курс «Проценты. Задачи на проценты» демонстрирует учащимся применение математического аппарата к решению повседневных бытовых проблем каждого человека и экономических задач, ориентирует учащихся на обучение по социально-экономическому профилю. Познавательный материал курса  способствует не только выработке умений и закреплению навыков процентных вычислений, но и формированию устойчивого интереса учащихся к процессу и содержанию деятельности, а также познавательной и социальной активности.

                                                        Цели курса:

·        сформировать понимание необходимости знаний процентных вычислений для решения большого круга задач, показать широту применения процентных расчетов в реальной жизни;

·         способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе, для общей  социальной ориентации и решения практических проблем.

 

                                   Задачи курса:

·        сформировать умения производить процентные вычисления, необходимые для применения в практической деятельности;

·        решать основные задачи на проценты:

а) нахождение процента от числа;

б) нахождение числа по его части и проценту этой части;

          в) вычисление  процентного выражения одного числа от другого;

          г) задачи с использованием пропорций;

 

 

  д) задачи, с применением  формулы сложных процентов;

·        развитие интеллектуальных и практических умений в области решения более сложных задач;

·        выработка умения самостоятельно применять знания в различных ситуациях.

·        указать на практическую значимость полученных знаний и умений в жизни человека.

В результате изучения курса учащиеся должны

знать:

·         что такое процент;

·         алгоритм решения задач на проценты  при помощи уравнения;

·         формулы начисления «сложных процентов» и простого процентного роста;

·         что такое концентрация, процентное содержание.

                         

 уметь:

·        решать опорные задачи на проценты;

·         решать задачи на проценты повышенной   сложности;

·         вычислять процентное содержание и концентрацию  вещества;

·         уметь решать задачи с экономическим содержанием на проценты.

               

                Тематическое планирование:

 

№ занятия	Тема занятия	Количество часов	Форма занятий			Форма контроля
			лекция	Практика (работа в группах, в парах, индивидуальная работа)	семинар
1	Вводное занятие по теме «Проценты. Основные типы задач на проценты»	1	1
2	Нахождение процентов от данного числа.	1		1
3	Нахождение числа по его части и проценту этой части	1		1
4	Вычисление  процентного выражения одного числа от другого	1		1		С.р.
5	Задачи из ЕГЭ на проценты	1		1
6	Задачи из ЕГЭ на проценты	1		1
7	Обобщение методов решения «опорных задач» на проценты.	1			1
8	Решение задач на изменение величины в процентах с помощью пропорций	1		0,5		0,5 тест
9	Задачи на составление уравнений	1	0,5	0,5
10	Решения задач на составление уравнений	1		1
11	Правило начисления «сложных процентов»	1	0,5	0,5
12	Решения задач на правило начисления сложного процентного роста.	1		1
13	Обобщение по решению задач по правилу начисления процентного роста	1		0,5		0,5 Пров.раб.
14	Решение задач на смешивание двух веществ	1	0,5	0,5
15	Решение задач на добавление чистого вещества	1	0,5	0,5
16	Решение задач на удаление примесей	1	0,5	0,5
17	Итоговый контроль	1				итоговый тест

                                                       

Методические рекомендации  по изучению курса

Процент. Основные понятия.

Начать занятие следует с краткого изложения содержания элективного курса. Акцентировать внимание на том, что учащимся предстоит изучить проценты более глубоко, указать на практическую направленность курса. Начать с исторической справки.

Слово «процент» происходит от латинского pro centum, что буквально означает «на сотню», «со ста» или «за сотню». В популярной литературе возникновение этого термина связывается с внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV в. Но идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же величинах, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню.

По-видимому, процент возник в Европе вместе с ростовщичеством. Есть мнение, что понятие процент ввел бельгийский ученый Симон Стевин. В 1584г. он опубликовал таблицы процентов. Употребление термина «процент» в России начинается в конце XVIII в. Долгое время под процентами понималось исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. 

Интересно происхождение обозначения процента. Существует версия, что знак % происходит от итальянского pro cento (сто), которое в процентных расчетах часто сокращенно писалось cto. Отсюда путем дальнейшего сокращения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный знак процента

Также есть предположение, что знак % возник в результате опечатки. В Париже в 1685 г. была напечатана книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик напечатал знак %.

I        Типы задач на проценты

Начать нужно с повторения основных соотношений, с нахождения процента от числа, числа по его проценту, составления процентного отношения.

Задачи на части и проценты часто вызывают затруднения у учащихся. Так как проценты изучаются только в 5-6 классах, а потом мы к ним практически не возвращаемся, многие выпускники испытывают страх перед задачами на проценты. Чтобы этого не произошло, необходимо напомнить учащимся, что им уже известно

Итак, что такое процент? Процент-  это сотая часть величины или числа.

            1% == 0,01. Значит, сама величина  составляет  100%.

           Верна запись      35% == 0,35.

Чтобы  перевести проценты в дробь, надо  число % разделить на 100. И, наоборот, десятичные дроби в проценты переводятся умножением на 100%.

Например:       0,15 = 0,15 · 100%=15%

                         0,51 = 0,51· 100%=51%

                         0,2   = 0,2   · 100%=20%

                         0,123 = 0,123 ·100%=12,3%

                         0,013 = 0,013 · 100% = 1,3%

Чтобы перевести обыкновенные дроби  в  %, дробь умножаем  на 100%:

                         =  ·100% = 75%;       =  ·100% = % = 28 %.

 

Существует три основных типа задач на проценты:

Тип 1.    Найти указанный процент от заданного числа.

Заданное число умножается на указанное число процентов, а затем произведение делится на 100.

Пример1.  Вклад в банке имеет годовой прирост 6%. Начальная сумма вклада равнялась 10000 руб. На сколько рублей возрастёт сумма вклада в конце года?

Решение: 10000 · 6 : 100 = 600 руб. (10000·0,06 =600 руб)

Пример2. Найти 15%  от  числа  200.

Решение: переводим 15%  в десятичную дробь и умножим на данное число 200.

                            0.15 ·200=30.

Пример3. . Изделие  стоило 500 рублей. Цену уменьшили  на 10%. Сколько теперь стоит  изделие?

 

Решение: найдем  стоимость изделия в процентах:                 100%-10%=90%

найдем  90% от 500:       500 · 0,9=450(руб.)

 

Тип 2.    Найти число по заданной части от числа

                          и ее величине в процентах

Заданное число делится на его процентное содержание и результат умножается на 100.

Пример1.Зарплата в январе равнялась 1500 руб., что составило 7.5% от годовой зарплаты. Какова была годовая зарплата?

Р е ш е н и е :   1500 : 7.5 · 100 = 20000 руб. (1500 : 0,075 = 20000 руб)

Пример2. Найти число, если 25% его составляют 80.

 

Решение: переводим  25% в десятичную дробь, и  данное число делим на полученную  дробь.                             

 

                             80:0,25 =320

 

 

Тип 3.    Найти процентное выражение

               одного числа от другого.

Первое число делится на второе и результат умножается на 100.

Пример1   Завод произвёл за год 40000 автомобилей, а в следующем году –  только 36000 автомобилей. Сколько процентов это составило по отношению к выпуску предыдущего года?

Решение:   36000 : 40000 · 100 = 90% .

Пример2. Сколько процентов числа 50 составляет число 40?

Решение: разделим число 40 на 50 и полученную дробь переводим в проценты.

                             40:50=0,8=80%

 

II    Алгоритм решения задач методом составления                 уравнений    (усложненные задачи)

Занятие можно начать с постановки проблемы: что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%. Ответить на вопрос, не производя вычислений. Чаще всего ученики дают неверный ответ: «Не изменится» Необходимо обратить внимание учащихся на момент, когда приходится определять, от какого числа следует искать процент. Подвести учащихся к правильной и естественной схеме решения этой задачи нужно на примерах, а потом сформулировать правило: за 100% следует принимать то число, с которым происходит сравнение, причем слова «больше на р %» или «меньше на р%» не имеют значения

Пример1. Стоимость набора из 25 основных продуктов питания по сравнению с ноябрем увеличилась на 24,7% и составила 3913 руб. Сколько стоила

« продовольственная корзина» в ноябре?

Решение. Обозначив искомую цену за х, составим уравнение по условию задачи:

                                      Ответ: 3138 руб.

 

Пример 2. На осенней ярмарке фермер планирует продать не менее одной тонны лука. Ему известно, что при хранении урожая теряется до 15% его массы, а при транспортировке – до 10%. Сколько лука должен собрать фермер, чтобы осуществить свой план?

Решение:

 просчитаем худший вариант. Пусть нужно собрать х т лука. Тогда после хранения может остаться 0,85х т, и на ярмарку будет доставлено 0,9·0,85х т. Составим уравнение: 0,9·0,85х = 1, откуда х ≈ 1,3 т.

                                                                  Ответ: не менее 1,3 т.

Пример 3. Сплав меди и алюминия весит 10 кг и содержит 15% меди. Сколько алюминия в этом сплаве.

Решение:

Сплав 10 кг  -100%         

Медь    х кг -15%                                      

 

1) Составим пропорцию: ,         х ==1,5(кг)

2) 10-1,5 =8,5(кг).                            Ответ: 8,5 кг

 

Пример 4. В одном городе Канады 70% жителей знают французский язык и 80% - английский язык. Сколько процентов жителей этого города знают оба языка (если учесть, что каждый житель города знает, хотя бы один из двух языков)?

Решение:

Пусть x жителей знают только английский, y – только французский, z – оба языка.   

Сложив оба эти равенства, получим

1+

Ответ: 50%.

Пример 5. Клиент открыл счет в банке на некоторую сумму денег. Годовой доход по этому вкладу составляет 11%. Если бы он добавил 800 руб., то через год получил бы доход 220 руб. Какая сумма была внесена им в банк?

Решение. Пусть х руб. – сумма, которую клиент внес в банк. Тогда (х+800) руб. было бы на вкладе, если бы клиент добавил 800 руб.;

0,11(х+800) руб. – доход в 11%, который мог бы получить клиент с этой суммы.

Так как доход равен 220 руб., то имеем равенство:

0,11(х+800)=220.

Решив полученное уравнение, находим х = 1200

Ответ: клиент внес в банк 1200 рублей.

 

 

III    Правило начисления «сложных процентов»

 

Для выхода на формулы начисления «сложных и простых процентов» полезно решить несколько задач, аналогичных следующим:

 

Задача 1. В сбербанк  положили 1000 рублей. Подсчитайте,  какую сумму должны получить через 2 года, если по истечению каждого года банк начисляет 3% дохода?

 

Решение: 3%=0,03.      1000 · 0,03=30(руб.)

                                      100 +30=1030(руб.) – за  1 год.

                                      1030 · 0,03=30.9(руб.)

                                      1030+30.9=1060,9(руб.)-за 2 год.              

Ответ: 1060, 9 руб.

 

Задача 2. В банк положен вклад из расчета 3% годовых. Какой доход в процентах принесет вклад через 4 года?

 

Решение: обозначим сумму первоначального вклада за х, тогда через 1 год  сумма вклада составит  х +0,03х=1,03х,

через 2 года 1,03х+1,03х · 0,03=1,0609 х

через  3 года 1,0609х + 1,0609х·0,03=1,092727х

через 4 года 1,092727х + 1,092727х·0,03= 1,12550881х

 

                      1,12550881 х – х = 0,12550881х.

Через 4 года вклад принесет доход 12,550881%.                          

Ответ: 12, 550881%

 

Задача 3. В сберкассу положили 200р., на которые начисляют 3% годовых. Сколько денег будет в конце первого  года хранения?

 

Решение полезно оформить в виде таблицы. Провести на конкретных числах и в общем виде.

 

Начальный капитал, рубли	200	а
Процент прибыли, %	3	р
Прибыль, рубли	200∙0,03
Конечный капитал	200+200∙0,03= =200·(1+0,03)│	к = а∙( 1+)

 

В итоге получилась формула зависимости

k = а∙( 1+),  дающая возможность решить три типа задач на денежные расчеты: на нахождение одного из параметров, зная два других.

Вопрос. Сколько денег будет в конце второго года хранения?

Отвечая на него, получим k = a·².  А третьего? А п-го? В итоге получается формула k = a· ⁿ (1), где а- начальный капитал, р - процент прибыли за один промежуток времени;  п - число промежутков. Эта формула называется формулой «сложных процентов».

Полученная формула показывает, что значение величины k растет как геометрическая прогрессия, первый член которой равен а, а знаменатель прогрессии 1+. Формула (1)  является исходной формулой при решении многих задач на проценты. Кроме формулы сложного процентного роста, учащиеся должны знать и применять формулу простого процентного роста:

k = а∙( 1+)       (2) ,   где а ,р и п имеют тот же смысл, что и в формуле сложного процентного роста (отличие состоит в том, что в этом  случае процент каждый раз берется от одного и того же числа а). 

 

IV     Задачи на сплавы, смеси, растворы.

 (Применяю поливариативный практикум задач на проценты

               с  визуальной поддержкой М.Ю. Коваленко)

 

Приступая к решению задач, связанных с понятиями «концентрация» и «процентное содержание вещества» даются формулы  из методички М.Ю.Коваленко. Задачи использую из методички.

Визуальная поддержка – это особый вид наглядности, который представляет учащимся не всю реальность происходящих в задаче процессов, а лишь ее существенные аспекты, отсекая второстепенные детали, отвлекающие внимание и мысль от главного. В отличие от мысленных образов, реальность, данная в изображении, воспринимается органами чувств, что обеспечивает лучшее понимание материала. 

С методической точки зрения предлагаемая схема решения задач позволит:

·        Наглядно представить процессы, происходящие в задаче.

·        Экономить время на оформление задачи.

·        Не разделять задачи на типы.

Без затруднений составлять уравнения  (системы уравнений) для решения задач.

Пример . Смешали 30% -ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 л 15%-ного раствора. Сколько литров каждого раствора было взято?

Решение: Поскольку нам требуется найти объем и первого и второго растворов, то обозначим за х объем любого из них. Пусть х л – объем 30%-ного раствора, очевидно, что объем 10%-ного раствора состоит (600 – х)л. Тогда условие задачи можно представить в виде следующей схемы:

                                 х                   600-х            600

                                                                   =

                                 30%                10%              15%

Перемножив соответствующие значения объемов и процентного содержания чистой соляной кислоты в них, получим уравнение:

                                   30 · х + (600-х) · 10 = 600 · 10

Решив уравнение, получаем: х = 150(л) объем 30%-ного раствора; 450 л – объем 10%- ного раствора.

Требуется подчеркнуть, что при составлении схемы указывается процентное содержание любого, но одного и того же вещества, входящего в состав смеси. 

                           

                             Заключение.

 

В данной разработке рассмотрены всевозможные задачи на проценты с разным уровнем сложности, которые  позволяют учителю лучше подготовить учащихся к сдаче экзаменов в форме ЕГЭ и ГИА в  выпускных классах, составлено поурочное планирование курса. Описаны приемы и технологии обучения по каждой теме, составлен материал для текущего и итогового контроля.

 

 

 

                                Литература:

 

Дорофеев Г. В., Седова Е.А. Процентные вычисления: Учебное- методическое пособие. –М.: Дрофа, 2003.

Лурье М.В., Александров Б.И. Задачи на составление уравнений. – М.: Наука, 1990

Журналы «Математика в школе» №5-95, 8-02, 1-92

М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л. И. Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов.-М.: « Просвещение» 1994

С.С. Минаева. 20 тестов по математике для 5-6 классов. -М., «Экзамен» 2008

 Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов. Математика. Учебники для 5 и 6 класса. М., «Просвещение» 2008.

Э.Р. Нурк, А.Э. Тельгмаа. Математика. Учебник для 5 и 6 классов. М., «Просвещение» 2007.

Г. В.Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, Математика. Учебник для 5 класса. М., «Просвещение».

М.Ю Коваленко Поливариативный практикум задач на проценты с визуальной поддержкой. КГТУ им Некрасова Кострома 2007

Задачи из открытого банка ЕГЭ по математике

 

 

                            Приложение 1

 Задачи для самостоятельного решения

 Тип 1.    Найти указанный процент от заданного числа.

 1. Найти 15%  от  числа  200.             Ответ: 30

 2. Найти 20% от .                          Ответ:  

 3. Найти 7% от 2,5.                             Ответ: 0,175 

 4. Вклад в банке имеет годовой прирост 4%. Начальная сумма вклада

    равнялась 5000 руб. На сколько рублей  возрастёт сумма вклада в конце года?

                                                               Ответ: 200 руб.

 5. Вклад в банке имеет годовой прирост 7,5%. Начальная сумма

    вклада равнялась 12000 руб. На сколько рублей  возрастёт сумма вклада в

    конце года?                                        Ответ: 900 руб.

 6. Электрический чайник стоил 1200 рублей. Его цена снижена на 7%.

    На сколько рублей снизили цену на электрический чайник?

                                                                Ответ: 84 руб.        

 7. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке

     скидку 10%. Книга стоит 600 рублей. Сколько рублей заплатит

   держатель дисконтной карты за эту книгу?

                                                                Ответ: 540 руб.

 8. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 10%. Книга стоит 640 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?           Ответ: 576 руб.            

9. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 10%. Книга стоит 680 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?           Ответ: 612 руб.     

10. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 9%. Книга стоит 600 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?           Ответ: 546 руб.        

11. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 8%. Книга стоит 550 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?            Ответ: 506 руб.

12. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 8%. Книга стоит 650 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?            Ответ: 598 руб.       

13. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 9%. Книга стоит 200 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?            Ответ:  186 руб.  

14. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 7%. Книга стоит 400 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?            Ответ:  373 руб.

15. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 5%. Книга стоит 360 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?            Ответ: 342 руб.   

16. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 3%. Книга стоит 200 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?            Ответ: 194 руб.

17. Студент получил свой первый гонорар в размере 1000 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет астр для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество астр сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, астры стоят 80 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?                         Ответ: 9 астр

18. Студент получил свой первый гонорар в размере 1100 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет тюльпанов для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество тюльпанов сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, тюльпаны стоят 60 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?

                                                                  Ответ: 15 тюльпанов     

19. Студент получил свой первый гонорар в размере 1500 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет гвоздик для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество гвоздик сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, гвоздики стоят 40 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?

                                                                  Ответ: 31 гвоздика

20. Студент получил свой первый гонорар в размере 600 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет гвоздик для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество гвоздик сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, гвоздики стоят 40 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?

                                                                   Ответ: 13 штук  

21. При оплате услуг через платежный терминал взымается комиссия 8%. Терминал принимает суммы, кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 500 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?

                                                                   Ответ: 540 руб.

22. При оплате услуг через платежный терминал взымается комиссия 9%. Терминал принимает суммы, кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 900 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?

                                                                   Ответ: 990 руб.   

23. При оплате услуг через платежный терминал взымается комиссия 5%. Терминал принимает суммы, кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 200 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?

                                                                    Ответ: 210 руб.

Тип 2.           Найти число по заданной части от числа

                             и ее величине в процентах

          

1. Зарплата в январе равнялась 12000 руб., что составило 7.5% от годовой зарплаты. Какова была годовая зарплата?               Ответ: 160000 руб.

 

2. За  месяц заводом выпущено 35 автомобилей, что составило 7% годового заказа. Сколько автомобилей было заказано?          Ответ: 500 автомобилей

 

3. Найти число, если 25% его составляют 80.           Ответ: 320

 

4. После снижения цены на 20% прибор стал стоить 160 рублей.

    Найти первоначальную стоимость прибора.         Ответ: 200 руб.

 

5. В сентябре 1 кг винограда стоил 100 рублей. В октябре виноград подорожал на 30%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в октябре?

                                                                                     Ответ: 130 руб.

6.В сентябре 1 кг картофеля стоил 20 рублей. В октябре картофель подорожал на 15%. Сколько рублей стоил 1 кг картофеля после подорожания в октябре?

                                                                           Ответ: 23 руб.

7.В сентябре 1 кг винограда стоил 80 рублей. В октябре виноград подорожал на 35%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в октябре?

                                                                           Ответ: 108 руб.

8. В сентябре 1 кг огурцов стоил 40 рублей. В октябре огурцы подорожали на 35%. Сколько рублей стоил 1 кг огурцов после подорожания в октябре?

                                                                                     Ответ: 54 руб. 

9. В сентябре 1 кг винограда стоил 100 рублей. В октябре виноград подорожал на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в октябре?

                                                                                     Ответ: 120 руб. 

10. В сентябре 1 кг огурцов стоил 50 рублей. В октябре огурцы подорожали на 30%. Сколько рублей стоил 1 кг огурцов после подорожания в октябре?

                                                                                     Ответ: 65 руб.

11. В сентябре 1 кг клубники стоил 120 рублей. В октябре клубника подорожала на 25%. Сколько рублей стоил 1 кг клубники после подорожания в октябре?                                                                       Ответ: 150 руб.

12. В сентябре 1 кг винограда стоил 80 рублей. В октябре виноград подорожал на 30%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в октябре?

                                                                                     Ответ: 104 руб.

13. В сентябре 1 кг слив стоил 70 рублей. В октябре сливы подорожали на 10%. Сколько рублей стоил 1 кг слив после подорожания в октябре?

                                                                                     Ответ: 77 руб.   

14. В сентябре 1 кг картофеля стоил 20 рублей. В октябре картофель подорожал на 5%. Сколько рублей стоил 1 кг картофеля после подорожания в октябре?

                                                                                     Ответ: 21 руб.

15. 25 кг яблок, положенных на хранение на зиму, составляют 12,5%.  Сколько кг яблок положили на зиму?                                      Ответ: 200 кг                                               

16. 13 деталей составили 4% брака от всех выработанных деталей. Сколько всего было деталей?                                                   Ответ: 325 деталей

17. В лагере отдыхало 215 ребят младшего звена, что составляло 43% от всех отдыхающих. Сколько всего детей отдыхало в лагере?

                                                                                    Ответ: 500 детей

18. При транспортировки винограда, потери составили 160 кг, что составляет 5% от всего винограда. Сколько было всего винограда?  

                                                                                   Ответ: 3200 кг

  Тип 3.   Найти процентное выражение одного

                              числа от другого.

 

1. Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Упаковка пельменей стоит в магазине 75 рублей. Пенсионер заплатил за упаковку пельменей 72 рубля. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?                          Ответ: 4%   

2. Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Пакет молока стоит в магазине 40 рублей. Пенсионер заплатил за пакет молока 36 рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?                                            Ответ: 10%     

3. Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Упаковка пельменей стоит в магазине 75 рублей. Пенсионер заплатил за упаковку пельменей 69 рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?                         Ответ: 8%   

4. Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Упаковка сосисок стоит в магазине 100 рублей. Пенсионер заплатил за упаковку сосисок 91 рубль. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?                                    Ответ: 9%

5. Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Упаковка пельменей стоит в магазине 70 рублей. Пенсионер заплатил за упаковку пельменей 63 рубля. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?                         Ответ: 10%

6. Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Упаковка сосисок стоит в магазине 100 рублей. Пенсионер заплатил за упаковку сосисок 96 рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?                                     Ответ: 4%

7. Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Упаковка сосисок стоит в магазине 100 рублей. Пенсионер заплатил за упаковку сосисок 91 рубль. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?                                      Ответ: 9%

8. Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Упаковка сосисок стоит в магазине 100 рублей. Пенсионер заплатил за упаковку сосисок 96 рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?                                      Ответ: 4%

9. На хранение заложили 200 кг яблок. После зимы оказалось, что 25 кг яблок испортилось. Сколько процентов яблок хорошо сохранилось?

                                                                   Ответ: 87,5%

10. Среди 320 деталей оказалось 13 бракованных. Сколько примерно процентов не бракованных деталей?

                                                                   Ответ: 96%

11. В 9-х классах гимназии 84 учащихся. Из них 8 человек занимается в математическом кружке. Сколько примерно процентов девятиклассников занимается в математическом кружке?

                                                                   Ответ: 9,5%   

12. В 11-х классах лицея экзамен сдали на положительную оценку 73 человека из 82 по списку. Сколько примерно процентов учащихся сдали экзамен на положительную оценку?         

                                                                   Ответ: 89%

       4.          Задачи для самостоятельного решения

                            с помощью  пропорции

1.На сколько процентов число 50  больше 40?

                                                                    Ответ: 80%                                             

2. На сколько  процентов 40 меньше 50?

                                                                    Ответ: 20%   

3.Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 550 рублей после понижения цены на 15%?

                                                   Ответ: 16 тетрадей

4. Тетрадь стоит 20 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 350 рублей после понижения цены на 20%?  

                                                                   Ответ: 21 тетрадь

5. Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 90 рублей за штуку и продает с наценкой 20%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1100 рублей?            Ответ:  10 горшков

 

6. Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 90 рублей за штуку и продает с наценкой 15%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 700 рублей?              Ответ:  6 горшков       

7. Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 100 рублей за штуку и продает с наценкой 15%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1300 рублей?            Ответ: 11 горшков    

8. Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 120 рублей за штуку и продает с наценкой 30%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 700 рублей?              Ответ: 4 горшка  

9. Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 130 рублей за штуку и продает с наценкой 25%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 700 рублей?              Ответ: 4 горшка

10. При транспортировки 3,2 тонн винограда, потери составили 160 кг. Сколько процентов от исходного количества составляет потерянный виноград?

                                                                   Ответ: 5%

11.На хранение заложили 200 кг яблок. После зимы оказалось, что 25 кг яблок испортилось. Сколько примерно яблок хорошо сохранилось? 

                                                                   Ответ: 12,5%

12. Среди 320 деталей оказалось 13 деталей бракованных. Сколько примерно процентов не бракованных деталей?                       

                                                                   Ответ: 96%

13. В 9-х классах гимназии 84 учащихся. Из них 8 человек занимается в математическом кружке. Сколько примерно процентов девятиклассников занимаются в математическом кружке?

                                                                   Ответ: 9,5%

14. В 11-х классах лицея экзамен сдали на положительную оценку 73 человека из 82 по списку. Сколько примерно процентов учащихся сдали экзамен на положительную оценку?         

                                                                   Ответ: 89%

15. ЕГЭ по математике в школе сдали на положительную оценку 64 ученика из 72 по списку. Сколько примерно процентов сдали ЕГЭ на положительную оценку.                                                      Ответ: 89%

16. Автомобиль за 2,4 ч проехал 60% всего пути. Через сколько минут ему останется проехать четверть всего расстояния, если он будет двигаться с той же скорость?                                                  Ответ: 60 минут

17.В школе 600 учеников, из них 282 девочки. Сколько процентов учащихся этой школы составляют девочки?

                                                                  Ответ: 47%

18. За участие в заключении договора на 25000 рублей фирма предлагает своему клиенту-дилеру вознаграждение 2700 рублей. Какой процент составляет вознаграждение от суммы договора?     Ответ: 10,8%

19. Один автобус перевозит за один день 40 пассажиров. В день таких автобусов ходит восемь. Сколько процентов от общего числа пассажиров, перевозимых за день, перевозят два автобуса?

                                                                   Ответ: 25%

20. В цветочной лавке продаются 300 тюльпанов, 120 нарциссов и 80 орхидей. Сколько процентов составляют нарциссы от общего количества цветов?

                                                                   Ответ: 24%        

 

                                   

                          

                 Задачи для самостоятельного решения

                        методом составления уравнений

                              (усложненные задачи)

1. Зонт стоил 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре – еще на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре?

                                                       Ответ: 275,4 рублей      

 

2. Масса двух уссурийских тигров равна 80% массы белого медведя, а масса трех уссурийских тигров на 160 кг больше массы белого медведя. Найдите массу белого медведя.                  Ответ:  800 кг

 

3. Масса зубра и лося вместе составляет 1300 кг. Найдите массу каждого животного, если 20% массы лося составляет 12,5% массы зубра?

                                                           Ответ:  500 кг масса лося, 800 кг масса зубра

 

4.Длина кобры составляет 15% длины удава, а удав в 1,5 раза короче акулы. Найдите длину акулы, если длина кобры 1,5 метра.

                                             Ответ: 15 метров

                                                                     

5.Первый рабочий недовыполнил план на 10%, а второй перевыполнил на 20%, сделав при этом на 45 деталей больше, чем первый. Сколько деталей сделал каждый рабочий?                         Ответ: 1 рабочий – 135 деталей

2        рабочий – 180 деталей    

6.Когда проложили  новой электропроводки и еще 21 км, то осталось проложить 20% всей  линии. Вычисли длину всей электролинии.

                                                       Ответ: 45 км      

 

7.К 10 л 5% -ого раствора соли добавили 5 л воды. Определите процентное содержание соли в новом растворе.    Ответ: 3%

 

8.Себестоимость продукции повысилась сначала на 10%, а затем понизилась на 20%. На сколько процентов понизилась себестоимость продукции.

                                                              Ответ: 12%        

9. На сколько процентов увеличится произведение двух чисел, если одно из них увеличилось на 20%, а другое – на 40%?

                                                              Ответ: 68%

10. Цена на электрический чайник в конце первого квартала была снижена на 5%, в конце второго квартала цену снизили еще на 2%, после чего цена чайника составила 372,4 рублей. Сколько стоил чайник до снижения цены?

                                                              Ответ: 400 руб.

11.В морской воде содержится 5% кухонной соли. Сколько литров пресной воды надо добавить до 40 литров морской воды, чтобы в ней содержалось 2% соли?                                                     Ответ: 60 литров       

12. В начале года число мужчин, работавших на заводе, составляло 40% от общей численности работников завода. После того, как были приняты на работу еще 6 мужчин, а 5 женщин уволилось, число мужчин и женщин на заводе сравнялось. Сколько человек работало на заводе в начале года?

                                                              Ответ: 55 человек       

13. Свежие грибы содержат 90% влаги, сушеные – 12%. Сколько сушеных грибов получится из 10 кг свежих?      Ответ: 1 кг

 

14.Стоимость 70 экземпляров первого тома книги и 60 экземпляров второго тома составляла 230 руб. В действительности за все эти книги уплатили 191 руб., так как была произведена скидка: на первый том – 15%, а на второй том – 20%. Найдите первоначальную цену каждого из томов.

                                                              Ответ: цена 1 тома 2 руб., второго – 1,5 руб.

 

15. Антикварный магазин, купив два предмета за 225 руб., продал их, получив 40% прибыли. За какую цену был куплен магазином каждый предмет, если при продаже первого предмета было получено 25% прибыли, а второго – 50%?

                                                        Ответ: 90 руб.; 135 руб.       

 

        Задачи для самостоятельного решения

          (формула сложных процентов)

 

1.Сумма в 1000 р. уменьшается ежемесячно на 5%. Через сколько месяцев эта сумма сократится а) до 750 р.; б)500 р.;     в)250 р.;     г)50 р.?

                                          Ответ:  а)    5    месяцев

                                                      б)  10    месяцев    

                                                      в)  15    месяцев

                                                      г)  19    месяцев

 

2.Какая сумма будет на счете через 4 года, если на него внесены 2000 р. под 30% годовых?

                                 Ответ: 5712,2 рублей

3.На сколько процентов увеличится сумма, вложенная на 5 лет в банк, начисляющий 20% годовых?

                                 Ответ:   на 148%                     

4.За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 8% годовых. Вкладчик положил на счет 5000 рублей и решил в течение 5 лет не снимать со счета деньги и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счете вкладчика через 1 год, через 2 года? Через 5 лет?

                                            Ответ:  5400 руб. через 1 год

                                                        5832 руб. через 2 года

                                                        7346,64 руб. через 5 лет

 

5.На весенней распродаже в первом магазине шарф стоимостью 350 р. уценили на 40% , а через неделю – еще на 5%. Во втором магазине шарф такой же стоимости уценили сразу на 45%. В каком магазине выгоднее купить шарф?

                             Ответ:  во втором

 

 6. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 р. на вклад, годовой доход по которому составляет 12%. Какая сумма будет лежать на его счете через год? Через два года? Через 6 лет?                                                       

                                   Ответ: 2240 р.; 2508 р.80 к.; 3947 р.65 к.

 

7. Цена некоторого товара поднялась на 25%, а потом еще на 30%. Другой товар поднялся в цене на 30% и стал по цене равен первому товару. Какова первоначальная цена первого товара, если второй до повышения цены стоил 3,75 тыс.руб.?                                                                                         

                                             Ответ: 3 тыс. руб.

                                             

                                                 

Приложение 2.

                                    Контроль знаний 

                   Проверочный тест №1  по теме «Проценты».

1. Запишите 1% в виде десятичной дроби

а) 0,1375       б) 137,5       в)1,375       г)0,01375

2.  Сколько процентов сахара содержит сироп, приготовленный из 750 г сахара и 1250г  воды?

а) 40%                   б) 37,5%               в) 60%              г) 62,5%

 

3.  Мотоциклист ехал из города А в город В. Проехав 42% пути, он оказался в 20,3 км от города В. Каково расстояние между А и В?

 

а) 483 км     б) другой ответ         в) 35 км       г)48,3 км

 

4. Из 200 квартир нового дома 65,5% -двухкомнатные, а остальные –трехкомнатные. Сколько трехкомнатных квартир в этом доме?

 

а) 69           б) 131                  в) 34           г) 19

 

5. Сумма двух чисел составляет 180% первого слагаемого. На сколько процентов  первое слагаемое больше второго?

а) на 25%   б) на 20%            в) на 33%          г) другой ответ

6.  Найдите число, 12% которого составляют 240

 

а)28,8          б) 2000                 в) 320                   г) другой ответ

                       

7. Первое число 40, а второе 30. Какой процент составляет первое число от разности этих чисел?

        а) 40%          б) 400%               в) 133%            г) другой ответ

 8.  Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов  от цены покупки. Пакет молока стоит в магазине 40 рублей. Пенсионер заплатил за пакет молока 36 рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?

 

 

 

 

                                  Контрольный тест № 2

 

Часть А

 

1.   Выразите 3,5% десятичной дробью

а). 3,5              б). 0,35            в). 0,035       г).0,0035

 

2.   Найдите 0,8% от 500 мг.

А). 40 мг         б). 4мг             в). 0,4 мг        г). 0,04 мг

 

3.   Какое из утверждений неверное?

а) урожая больше 33% этого урожая    

б) урожая составляет 25% этого урожая

 в)  урожая больше 17% этого урожая

г)  урожая меньше 20% этого урожая

 

4.  В конце года сотрудникам фирмы была выплачена премия в размере 150% ежемесячной зарплаты. Какую премию получил сотрудник, зарплата которого была 5000 р.?                                                                 Ответ:

 

5.   Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 10%. Книга стоит 620 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?                                    Ответ: 

6.   В начале года в хоре занимались 16 ребят. К концу года их число увеличилось на 200%. Во сколько раз увеличилось число ребят, занимающихся в хоре?

  а) В 2 раза          б) В 3 раза      в) В 4 раза         г) Определить нельзя

 

7.   При оформлении витрины магазина использовались 64 синих и 16 красных ламп. Сколько % всех ламп составляют лампы красного цвета?

  а)80%.                 б)75%.            в) 25%              г) 20%

 

8.   Из 40 учащихся класса 30% занимаются в спортивных секциях, причем 25% из них – в шахматной. Сколько учащихся в шахматной секции?

  а) 12 уч.             б)10 уч.           в)7 уч.             г) 3уч.

 

                                                  Часть В

9.  Определите,  на сколько примерно процентов снижены цены при распродаже мебели?

Цена	Стол	Стул	кресло
Старая	1999р.	750р.	1500р.
Новая	1600р.	600р.	1189р.

 

10.   В начале года тариф на электроэнергию составлял  2 р.за 1 кВт/ч. В середине года он увеличился на 50%, а в конце года – еще на 50%. Какое утверждение верно?

а) Тариф увеличился на 100%        

          б) Тариф увеличился меньше, чем на 100%.

в) Тариф увеличился больше, чем на 100%

 

11. Когда 60 пассажиров заняли в автобусе свои места, остались свободными 20% всех мест. Сколько сидячих мест в автобусе?

 

12. Летние каникулы 60% всех учащихся школы проводят в спортивных лагерях, 25% оставшихся учащихся – на дачах, остальные – в городе. Составьте диаграмму  распределения числа учащихся школы?

 

                                                       Часть С

Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго слитка на 3 кг больше массы первого слитка. Процентное содержание меди в первом слитке – 10%, во втором – 40%. После сплава этих двух слитков получится слиток, процентное содержание меди в котором – 30%. Определите массу полученного слитка.

 

 

 

                                          Проверочная работа

                                                   I вариант

1.Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 р. на вклад, годовой доход по которому составляет 12%. Какая сумма будет лежать на его счете через год? Через два года? Через 6 лет?                                                       

Ответ: 2240 р.; 2508 р.80 к.; 3947 р.65 к.

 

2. Цена товара после двух последовательных снижений на один и тот же процент уменьшилась со 125 до 80 руб. на сколько процентов снижалась цена каждый раз?

           Ответ: 20%

 

3. Цена некоторого товара поднялась на 25%, а потом еще на 30%. Другой товар поднялся в цене на 30% и стал по цене равен первому товару. Какова первоначальная цена первого товара, если второй до повышения цены стоил 1,25 тыс.руб.?                                                                                                             Ответ: 1000 руб.

      

                              

 

                                

                                

 

 

II вариант

1.Вкладчик открыл счет в банке, внеся 3000 р. на вклад, годовой доход по которому составляет 12%. Какая сумма будет лежать на его счете через год? Через два года? Через 6 лет?                                                       

Ответ: 3360 р.; 3763р. 20к.; 5921 р.48 к.

2. Цена товара после двух последовательных снижений на один и тот же процент уменьшилась со 250 до 160 руб. на сколько процентов снижалась цена каждый раз?

         Ответ: 20%

3. Цена некоторого товара поднялась на 25%, а потом еще на 30%. Другой товар поднялся в цене на 30% и стал по цене равен первому товару. Какова первоначальная цена первого товара, если второй до повышения цены стоил 3,75 тыс.руб.?                                                                                         

        Ответ: 3 тыс. руб.

 

 

                   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                         Оглавление

 

 

 

    I   Пояснительная записка                                                                                                            

    II  Содержание разработки:                                                             

 1.Ознакомление с понятием « процента»

     и методами решения опорных  задач.

     2. Решение задач на изменение величины

          в процентах с помощью пропорций.

     3. Решение  более сложных задач.

     4. Формула «сложных процентов».

     5. Задачи с визуальной поддержкой.

     6. Заключение.

     7. Список литературы.

    III   Приложения:

1.  Задачи для самостоятельного решения  (приложение 1)

2.  Контрольно измерительные материалы (приложение 2)