Ольга Борисовна Чуйкова,
учитель математики
Пояснительная записка
Данный
курс служит продолжением курса «Практикум по планиметрии» для 10 класса и
является углубленным изучением основного курса путём рассмотрения задач,
требующих нестандартного подхода в своём решении.
Разработка
программы обусловлена ограниченным числом часов, отводимых для изучения курса
стереометрии в школе. По результатам ЕГЭ ученики плохо справляются с
геометрическими задачами или вообще не приступают к ним. Для успешного
выполнения этих заданий необходимы прочные знания основных геометрических
фактов и опыт в решении геометрических задач.
Курс предполагает
систематизацию и повторение тем стереометрии 10 класса, а так же рассмотрение
различных методов решения стереометрических задач, опираясь на материал,
изучаемый в 11 классе. Курс играет большую роль в формировании логического
мышления и математической культуры учащихся, развивает умения и навыки,
необходимые для продолжения образования. Прикладная направленность курса
обеспечивается постоянным обращением к наглядности, использованием моделей и
развитием на этой основе геометрической интуиции. Наряду с основной задачей
обучения математике – обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися
системой математических знаний и умений, данный курс предусматривает
формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие
математических способностей, ориентацию на профессии, связанные с математикой.
Каждое
занятие включает задачи для самостоятельного и домашнего решения. При проверке
этих задач обращается внимание учеников на грамотное построение чертежа, выбора
рациональных способов решения.
Первые
уроки программы отведены задачам на построение. Их решение развивает
пространственные представления учащихся. Время, затраченное на решение таких
задач, окупается при изучении последующего материала. Вычислительные задачи
сгруппированы так, что задачи на нахождение расстояний и углов решаются
аналитическим, координатным и векторно-координатным методами. После этого
рассматриваются задачи на вычисление площадей и объёмов многогранников и тел
вращения, затем задачи на комбинации многогранников и тел вращения. На
заключительном занятии учащимся предлагается тест по курсу стереометрии,
состоящий из двух частей (в первой части даны задачи с выбором ответа, во
второй части ответом задачи служит число).
Цели курса:
- углубление знаний
учащихся по стереометрии;
- создание условий для самореализации учащихся и
развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся.
Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются
следующие задачи:
- сформировать навык решения стереометрических
задач;
- продолжить формирование опыта
исследовательской деятельности учащихся при решении нестандартных задач;
- расширить представление о методах решения
задач;
- создать положительную мотивацию обучения;
-
повысить
информационную и коммуникативную компетентность учащихся;
- приобщить учащихся к работе с математической
литературой.
При изучении курса используются следующие
методы:
- объяснительно – иллюстративный;
- поисковый;
- проблемное изложение материала.
Форма организации занятий: урочная и внеурочная.
Предполагаемые результаты:
- систематизация знаний и умений по
стереометрии;
- освоение основных методов и приёмов решения
стереометрических задач;
- развитие пространственных представлений и
конструктивных навыков;
- подготовка к ЕГЭ;
- повышение уровня математической культуры.
Программа рассчитана на 34 часа (2 часа в
неделю).
Тематическое
планирование
|
№ п/п
|
Название темы
|
Кол-во часов
|
|
1.
|
Задачи на построение.
|
6
|
|
2.
|
Вычисление расстояний и углов.
|
6
|
|
3.
|
Координатный метод решения задач.
|
4
|
|
4.
|
Векторно – координатный метод решения задач.
|
4
|
|
5.
|
Вычисление площадей и объёмов многогранников и тел вращения.
|
6
|
|
6.
|
Комбинации многогранников и тел вращения.
|
6
|
|
7.
|
Зачётное занятие (тест)
|
2
|
Содержание
программы
Тема 1. Задачи на построение(6 часов).
При решении многих задач,
связанных с построениями на изображениях пространственных фигур, необходимо
уметь строить сечения этих фигур плоскостями. Для построения сечений
многогранников используются метод
следов и метод вспомогательных
сечений. Основные способы задания секущей плоскости: 1) три точки, не лежащие
на одной прямой; 2) прямая и не лежащая на ней точка; 3) две пересекающиеся
(параллельные) прямые; 4) точка и две скрещивающиеся прямые, которым секущая
плоскость параллельна; 5) точка и прямая, которой секущая плоскость
перпендикулярна. Наряду с этими задачами рассматриваются задачи на построение
сечений многогранников плоскостью, проходящей через точку параллельно заданной
плоскости; плоскостью, проходящей через прямую параллельно другой прямой;
плоскостью, проходящую через прямую перпендикулярно данной плоскости;
плоскостью, проходящую через точку перпендикулярно данной прямой. Решение этих
задач способствует осмысленному представлению взаимного расположения прямых и
плоскостей в пространстве.
Тема 2.Вычисление расстояний
и углов(6 часов).
При решении задач данной темы
необходимо повторить теорему Пифагора и метрические соотношения в треугольнике.
Наиболее распространённым методом решения этих задач является поэтапно –
вычислительный метод. Расстояния и углы находят из прямоугольного треугольника.
Сложность при решении этих задач в том, что изображения на чертеже не всегда
соответствуют действительности. Для верного решения необходимо уметь строить
перпендикуляры из точки на данную прямую, на данную плоскость, то есть владеть
материалом, рассматриваемом в задачах на построение. Задачи на вычисление расстояний
и углов часто являются ключевыми при решении стереометрических задач.
Тема 3.Координатный метод
решения задач (4 часа).
Метод координат является самым
универсальным методом геометрии. Главное при решении задач этим методом –
удачный выбор системы координат. Обычно в качестве осей координат выбираются
прямые, фигурирующие в условии задачи, а также оси симметрии фигур,
рассматриваемых в задаче. В данной теме рассматриваются задачи на вычисление
расстояний между точками, между точкой и прямой и на вычисление площади
треугольника.
Тема 4. Векторно –
координатный метод решения задач (4 часа).
Данным методом решаются задачи на
вычисление расстояний и нахождения углов между прямыми, между прямой и
плоскостью, между плоскостями. На примерах нескольких задач рассматриваются
различные методы решения и делается вывод, какой из методов решения более
эффективен для конкретной задачи.
Тема5.Вычисление площадей и
объёмов многогранников и тел вращения
(6 часов).
При решении задач данной темы
знание формул площадей и объёмов является одной из составляющих. В этих задачах
необходимо уметь применять свойства многогранников и тел вращения в комплексе
со свойствами и признаками параллельности и перпендикулярности прямых и
плоскостей; определениями и свойствами расстояний и углов в пространстве.
Задачи такого типа включены в часть В единого государственного экзамена.
Тема 6. Комбинации
многогранников и тел вращения (6 часов).
Задачи этой темы относятся к
задачам повышенного уровня сложности и включены в задания третьей части ЕГЭ.
Для решения этих задач требуется внимательное рассмотрение заданной
конфигурации, описание (или обоснование) её свойств, использование ключевых
моментов для получения окончательного результата. Учащимся необходимо иметь
глубокие знания теоретического материала, пространственное воображение и уметь
логически рассуждать для записи решения задач данного типа.
Приложения (задачи по темам курса)
Задачи на построение.
1. На ребре МВ пирамиды МАВС взята точка
Р, на грани МАС взята точка Q,
а на прямой ВС взята точка R так, что точка С
лежит между точками В и R.Постройте сечение
пирамиды плоскостью:
а)APR; б) AQR; в) PQR.
2. На ребре СС1 призмы АВСА1В1С1
взята точка С2. Постройте сечение призмы плоскостью,
проходящей через прямую АС2 параллельно прямой:
а) В1С; б)
В1Р (точка Р лежит на ребре АВ);
в) ВА1.
3.На рёбрах AB, AD, MB пирамиды MABCD взяты
соответственно точки P,Q,B1.
Постройте сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости PQB1 и проходящей через точку:
а) В; б) K,
взятую на ребре AD; в) F, взятую на ребре CD.
4.На ребре AD куба
АВСDA1B1C1D1 взяты
точки Е1, Е2 и Е3
такие, что АЕ1 = Е1Е2 = Е2Е3
= Е3D. Постройте сечение куба плоскостью,
проходящей через вершину С перпендикулярно прямой:
а) С1Е1;
б) С1Е2; в) С1Е3.
Вычисление расстояний и углов.
1.Точки P и Q
– середины рёбер А1В1 и ВС
куба АВСDA1B1C1D1. Считая ребро куба равным а, найдите расстояние до прямой PQ от точки:
а) С1; б)
D1; в) D.
2.На рёбрах СС1 и АА1 правильной
призмы АВСА1В1С1, у которой АВ
: АА1 = 1 : 2, соответственно точками Р
и Q отмечены
середины. Считая АВ = а, найдите расстояние до плоскости,
проходящей через точку K параллельно прямым АС1
и ВР, от точки:
а) А1; б)
В; в) С1.
3.Высота МО правильной пирамиды МАВСD и стороны её основания равны а.
На ребре МС взяты точки Р1, Р2
и Р3 такие, что СР1=Р1Р2=Р2Р3=Р3М.
Найдите расстояние между прямыми АС и:
а) DP1; б)
DP2; в)
DP3.
4. Точка Р – середина ребра СD прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, в основании которого лежит ромб с углом BAD
равным 60º и АВ = АА1.
Найдите угол между прямыми:
а) С1D и В1С; б) В1С
и С1Р; в) С1Р и В1О
(О – точка пересечения диагоналей основания).
5.На рёбрах CD и AD куба ABCDA1B1C1D1 соответственно
точками Р и Q отмечены середины. Найдите угол между
плоскостью АА1С1 и прямой:
а) C1D;
б) С1Р; в) C1Q.
6.На рёбрах ВС и МВ тетраэдра МАВС,
все рёбра которого равны, соответственно точками D и Е отмечены середины. Найдите
угол между плоскостями:
а) АСЕ и АВС; б) АDЕ и МАВ;
в) АDЕ и АСЕ.
Координатный метод решения задач.
1.На рёбрах СС1, А1В1
и АD прямоугольного
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 соответственно точками P, Q и R
отмечены середины. На отрезках QR и DP соответственно
точками K и L также отмечены середины. Считая АВ = 2а,
АD = а, АА1 = 3а, найдите расстояние: а) KD; б) KP; в) KL.
2.На рёбрах АА1 и СD куба ABCDA1B1C1D1 соответственно точками Р и Q отмечены середины. Считая АВ =
1, найдите расстояние до прямой РQ от точки:
а) D1; б) С1; в) А1.
3.В основании пирамиды МАВСD лежит ромб, диагональ которого равна его
стороне. Треугольник МАС – равносторонний, а треугольник МВD
– равнобедренный. На рёбрах МА, МВ, МС и АВ
пирамиды взяты соответственно точки P, Q, R
и V, а
на диагонали BD взята точка L
такая, что BL : BD = 3 : 4. Считая АВ = 2, найдите площадь треугольника:
а) PVL; б)QVL; в) RVL.
Векторно – координатный метод решения задач.
1.На рёбрах AD, CC1, B1C1 куба ABCDA1B1C1D1 соответственно
точками F, E, V
отмечены середины. Через середину отрезка FE перпендикулярно этому отрезку проведена
секущая плоскость α. Найдите отношение, в котором плоскость α
делит отрезок:
а) VF; б) C1F; в) B1F.
2.На рёбрах АА1 и C1D1 куба ABCDA1B1C1D1 соответственно точками P и
Q отмечены
середины. Считая ребро куба равным 1, найдите расстояние до плоскости B1PQ от точек:
а) А1; б)
D; в)
С1.
3. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный
треугольник АВС. Ребро МА перпендикулярно
плоскости основания и МА=АС=ВС. На рёбрах МА, МВ
и МС соответственно точками D, E и F отмечены
середины. Найдите угол между прямыми:
а) BD и CE; б) BD и AF; в) CE и AF.
4.Диагональ А1С правильной призмы ABCDA1B1C1D1 образует с плоскостью основания угол, равный
45º.Найдите угол между прямой А1С и плоскостью:
а) ADD1; б) AB1D1; в) B1DM (точка М – середина ребра СС1).
Вычисление площадей и объёмов многогранников и тел
вращения.
1. В основании параллелепипеда, боковое ребро которого
равно в, лежит квадрат со стороной, равной а.
Одна из вершин верхнего основания одинаково удалена от вершин нижнего
основания. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.
2. Угол между образующей цилиндра и диагональю осевого сечения,
содержащего эту образующую, равен φ, площадь основания цилиндра равна Q. Найдите площадь
боковой поверхности цилиндра.
3. Все боковые рёбра и два
ребра основания треугольной пирамиды равны а. Угол между равными
сторонами основания равен 2φ. Найдите объём пирамиды.
4. Площадь осевого сечения шарового сектора в три раза
меньше площади большого круга шара. Найдите отношение объёма этого сектора к
объёму шара.
Комбинации многогранников и тел вращения.
1. В конусе даны радиус основания R
и угол α между образующей и плоскостью основания. В конус вписана прямая
треугольная призма с равными рёбрами так, что её нижнее основание лежит в
плоскости основания конуса. Найдите длину ребра призмы.
2. В конус вписан цилиндр, диагонали осевого сечения
которого параллельны образующим конуса. Образующая конуса равна l
и составляет с плоскостью основания конуса угол α. Найдите объём
части пространства, ограниченной боковыми поверхностями конуса и цилиндра.
3. В усечённый конус вписан шар радиуса R.
Из центра шара диаметр большего основания усечённого конуса виден под углом α.
Найдите объём усечённого конуса.
Итоговый тест.
Часть А.
А-1.
Точки K,M,P
– середины рёбер A1D1,DD1,D1C1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Значит плоскость KMP параллельна плоскости
1) A1DC1 2)
B1C1D 3) B1CD 4) A1DC
А-2.
Если ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 6, то расстояние от вершины В до прямой АС1
равно
1) 2√3 2)2√2 3) 2√6 4) 2
А-3.
Прямоугольная трапеция с основаниями 4 и 6 и углом 60º
вращается вокруг большего основания. Площадь поверхности тела вращения равна
1) 8π√3+4π 2) 32π√3+16π 3) 16π√3+8π 4) 24π√3+12π
А-4.
Наклонные АВ и АС к
плоскости α образуют с этой плоскостью угол 60º. Если ВС=10
и расстояние от точки А до плоскости равно 10√3, то расстояние от
точки А до прямой ВС равно
1) 5√5 2) 10√15 3) 5√3 4)5√15
А-5.
Диагонали грани А1В1С1D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке О. Если объём пирамиды OABD равен 3, то объём параллелепипеда равен
1) 9 2) 6 3) 12 4) 18
А-6.
Через образующую цилиндра, равную 5, проведены две
плоскости, образующие угол в 120º. Сечения цилиндра этими плоскостями являются
квадратами. Площадь полной поверхности цилиндра равна
1)25π 2) 75π 3) 100π 4) 50π
А-7.
В тетраэдре SABC прямые SC
и ВС
перпендикулярны, AS=AC=AB=13, SB=24, SC=12√3. Объём пирамиды равен
1) 240√3 2) 120√3 3) 240 4) 120
Часть В.
В-1.
Основание пирамиды – треугольник со сторонами 34√3,
16√3 и 30√3. Боковые грани наклонены к основанию под углом 60º. Найдите высоту
пирамиды.
В-2.
Сечение правильного тетраэдра проходит через середины
двух боковых рёбер параллельно двум его скрещивающимся рёбрам. Найдите площадь
сечения, если ребро тетраэдра равно 20.
В-3.
В треугольной призме АВСА1В1С1
каждая из площадей грани АВВ1А1 и грани АА1С1С
равна 8√3. Плоскости, проходящие через ребро ВВ1,
образуют угол 60º, а боковое ребро призмы равно 2√3. Найдите объём призмы.
В-4.
Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна
6√13, а её высота - 12√3. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону
основания и середину высоты пирамиды.
Литература
1.
Л.С.Атанасян.
Геометрия 10 – 11. - М.: Просвещение, 2005.
2.
В.С.Крамор.
Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. - М.: Просвещение, 1992.
3.
В.Н.Литвиненко.
Решение типовых задач по геометрии 10 – 11. - М.: Просвещение, 1992.
4.
В.Н.Литвиненко.
Задачи по стереометрии 10 – 11 классы. - М.: Школьная пресса, 2005.
5.
Б.Г.Зив.
Задачи по геометрии 7 – 11. - М.: Просвещение, 2003.
6.
Э.Д.Каганов.
Решение задач повышенной сложности. - М.: АРКТИ, 2004.
7.
И.Л.Бродский.
Решение задач по геометрии (стереометрия). - М.: АРКТИ, 2004.
8.
П.В.Стратилатов.
Сборник задач по геометрии для 9 – 10 классов. – М.: Просвещение, 1986.
9.
Итоговые
тесты. Геометрия 11 класс. - Федеральный Центр тестирования, 2005.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.