Главная / Математика / Экзаменационный материал по геометрии для промежуточной аттестации в 8 классе

Экзаменационный материал по геометрии для промежуточной аттестации в 8 классе

Название документа ответы.docx

Ответы на задания первой части

  1. Неверно

  2. Неверно

  3. Верно

  4. Неверно

  5. Неверно

  6. Неверно

  7. Верно

  8. Неверно

  9. Неверно

  10. Неверно

  11. Верно

  12. Неверно

  13. Неверно

  14. Верно

  15. Верно

  16. Верно

  17. 1,2,5,6,8,10,12,13,14,15, 18,21

  18. 41

  19. 20

  20. 69

  21. 11

  22. 4

  23. 35

  24. 13

  25. 62

  26. 10

  27. 15

  28. 78

  29. 35

  30. 40

  31. 4

  32. 108

  33. 155

  34. 116

  35. 162,5

  36. 72

  37. 131

  38. 134

  39. 107,5

  40. 80

  41. 15

  42. 63

  43. 155

  44. 25

  45. 36

  46. 70

  47. 125

  48. 136

  49. 49

  50. 68

  51. 65

  52. 100

  53. 84

  54. 196

  55. 900

  56. 1,5

  57. 60

  58. 66

  59. 7

  60. 276

  61. 12



Геометрическая задача на вычислениеhttp://sdamgia.ru/get_file?id=107

  1. Проведём радиус OA. Треугольник AOC — прямоугольный, A = 90°. COA = 180° − AOD = 180° − 100° = 80°; ACO = 90° − 80° = 10°.

Ответ: 10.

  1. Опустим радиусы на каждую касательную. Соединим точки A и O. Получившиеся треугольники - прямоугольные, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. По гипотенузе и катету эти треугольники равны, таким образом, мы получили, что угол, лежащий напротив катета равен http://sdamgia.ru/formula/36/3600180ded2c5ffe5fdf29819d9f8f3a.pngКатет, лежащий напротив угла в http://sdamgia.ru/formula/36/3600180ded2c5ffe5fdf29819d9f8f3a.pngравен половине гипотенузы, тогда радиус равен 4.

Ответ: 4.http://sdamgia.ru/get_file?id=3560

  1. Опустим перпендикуляры BH и CK на большее основания AD. По условию http://sdamgia.ru/formula/76/76d4daed8be48c7efe6790c5a1d35e6d.pngтогда http://sdamgia.ru/formula/db/dbafe65dfe634e0e1d4351807f53ac6d.pngКатет, лежащий напротив в угла в http://sdamgia.ru/formula/36/3600180ded2c5ffe5fdf29819d9f8f3a.pngравен половине гипотенузы, тогда http://sdamgia.ru/formula/ab/ab3abdd5a1635e17c994137c484aa69a.pngТак как http://sdamgia.ru/formula/e0/e060d79db10ce1a3aaf0de9303f14ae0.pngпо условию, а HK=x, то http://sdamgia.ru/formula/14/149fe0459b2f67edcd27c9a77b31005b.pngТреугольники ABH и DCK равны по двум катетам, таким образом, трапеция ABCD- равнобедренная. Таким образом, АВ=2, AD=4, BH=http://sdamgia.ru/formula/91/91a24814efa2661939c57367281c819c.png. Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту, имеем:



http://sdamgia.ru/formula/22/2202b70610cf4f0eb7da8b971705170e.png



Ответ: http://sdamgia.ru/formula/c4/c45be508bf92755adaebbeb2b3158bf2.png



  1. Проведём радиус OA. Треугольник AOC — прямоугольный, A = 90°. COA = 180° − AOD = 180° − 140° = 40°; ACO = 90° − 40° = 50°.

Ответ: 50. http://sdamgia.ru/get_file?id=3397

  1. Трапеция равнобедренная, значит,



http://sdamgia.ru/formula/62/626df92468e1ad0512cfb4830a1069bb.pngи http://sdamgia.ru/formula/37/37a195460b103584f491a0df66e3a8f7.png

Тогда,

 

http://sdamgia.ru/formula/7f/7f56f9f371042296b5d8b317c2b037f7.png

 

Ответ: http://sdamgia.ru/formula/95/954cb23f8ea12fff168076886c3e67ca.png



  1. Аналогично задаче № 5.

  2. По условию http://sdamgia.ru/formula/36/3640d2df0e86951155df863263033c2d.png, поэтому http://sdamgia.ru/formula/e1/e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.pngи http://sdamgia.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.pngявляются не боковыми сторонами, а основаниями трапеции. Тогда треугольники http://sdamgia.ru/formula/51/5156155c837896ea6f477674f0d26e23.pngи http://sdamgia.ru/formula/86/86fdba8daca52c460fbbafe6bcd62e58.pngподобны по двум углам, а отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия http://sdamgia.ru/formula/8c/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png. Поэтому http://sdamgia.ru/formula/0d/0dd6874465f057f9dfc5a05250c771aa.png. Поскольку треугольники http://sdamgia.ru/formula/dd/dd886b94ec3514180d422a2dea8d4764.pngи http://sdamgia.ru/formula/84/848793529ffcbc6b5f2423602c4bd5be.pngимеют общую высоту, проведённую из вершины http://sdamgia.ru/formula/42/42a2bb04d3b2d328eaf02706cd47b75b.png, отношение их площадей равно отношению их оснований, т. е. http://sdamgia.ru/formula/1f/1fb41c642b7b95bfec56e95951e3924d.png. Значит, http://sdamgia.ru/formula/46/4631ebbf310e3c1b4ecf10f0a9a734f5.png.http://sdamgia.ru/get_file?id=3173

Площади треугольников http://sdamgia.ru/formula/75/75b85826a15607f238debae369a5571c.pngи http://sdamgia.ru/formula/72/72c5cc0e2586935d16539f31a2a4fec4.pngравны, так как эти треугольники имеют общее основание http://sdamgia.ru/formula/e1/e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.pngи их высоты, проведённые к этому основанию, равны как высоты трапеции, следовательно

http://sdamgia.ru/formula/bd/bdf5840f1437e9b6248209dd42e64dc9.png.

 

Поэтому и http://sdamgia.ru/formula/02/02a8f157f39bad68ced0d9e3ee8f1756.png.


Ответ: http://sdamgia.ru/formula/c4/c4803b09a0074b1a9d63bd4d43883ef8.png.

  1. 1) http://sdamgia.ru/formula/90/903f1b730dfddf9a00db270dcd975b38.pngпо двум углам:http://sdamgia.ru/get_file?id=3263

a) http://sdamgia.ru/formula/4e/4e78aefad1b42faace62afe9e4ff3c26.pngкак вертикальные;

б) http://sdamgia.ru/formula/56/5629f3cf47ff5bdb629401a421aa25a0.pngкак внутренние накрест лежащие углы при http://sdamgia.ru/formula/d7/d79fdd568df2b5b84fd2e7d75b616c44.pngи секущей http://sdamgia.ru/formula/87/87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png.

http://sdamgia.ru/formula/53/53559ce58b0e9056d2bba979af317fe7.png

 


http://sdamgia.ru/formula/a2/a2d69c34684a2852cfe439bb38e83723.png

 

2) http://sdamgia.ru/formula/f4/f47f4704ac647c708268befea3bad9fe.pngпо двум углам:

а) http://sdamgia.ru/formula/48/48d2e15ac57bfe8e0490312bd6a5d0ee.png — общий;

б) http://sdamgia.ru/formula/64/6495436fbcbb5e6fe49153e376b7f748.pngкак соответственные углы при http://sdamgia.ru/formula/13/1385f92b6d4d033beb2b8e3a8ab2b36a.pngи секущей http://sdamgia.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png.

 

http://sdamgia.ru/formula/b0/b092085e288417a17d1c4b0bafb111c0.png

 

http://sdamgia.ru/formula/f5/f55244b34b4b6429f7e9068cfdacbcdb.png

 

3) http://sdamgia.ru/formula/50/5063d4449b522fa07d4ebad928db6984.png

4) http://sdamgia.ru/formula/4b/4bfcbf485481a381d5b1fdad6053e682.png

Ответ: 12 см.

  1. Пусть http://sdamgia.ru/formula/6c/6c32dce941f4982e868fbc8e481075ab.png. Проведем отрезок http://sdamgia.ru/formula/7e/7e9293e90055a83d4943872232ff638f.png, делящий трапецию на две равновеликие трапеции и обозначим его длину http://sdamgia.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png. Проведем из http://sdamgia.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.pngвысоту http://sdamgia.ru/formula/1e/1ee0bf89c5d1032317d13a2e022793c8.pngи отрезок http://sdamgia.ru/formula/7a/7a86131338bf955e0a56311f264aa6aa.png, параллельный стороне http://sdamgia.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png. Точки пересечения этих отрезков с отрезком http://sdamgia.ru/formula/7e/7e9293e90055a83d4943872232ff638f.pngназовем http://sdamgia.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.pngи http://sdamgia.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.pngсоответственно.

Из условия следует, что

http://sdamgia.ru/formula/ee/ee6337779bf0dcc2439154a6e60c7ca0.png.

 

Из подобия треугольников http://sdamgia.ru/formula/99/99dcd1f5ac3e9ea2871c76da93acf252.pngи http://sdamgia.ru/formula/05/05f3e008c6d03c6a6255077a8f73f2df.pngследует:

http://sdamgia.ru/formula/98/98456aeb572904c533edbe10f5a0ac7a.pngоткуда http://sdamgia.ru/formula/6f/6f41f248c79146d313bc45eb6d380bf3.png.http://sdamgia.ru/get_file?id=3266

Следовательно,

http://sdamgia.ru/formula/72/72f64f5979a429e667cf3febecd60b1f.png.

Разделим обе части равенства на http://sdamgia.ru/formula/1e/1ee0bf89c5d1032317d13a2e022793c8.png:

http://sdamgia.ru/formula/35/35ddd81b2ab7ce06d148401c28ee8bea.png,откуда

http://sdamgia.ru/formula/02/0247ad1fc55eb0ca20e3fa055d0baae4.png.

Подставляя http://sdamgia.ru/formula/f4/f46af35fc3590939e862877206ffeb8d.pngи http://sdamgia.ru/formula/2e/2e665ee7e4d238d3a46cebfcf26e0d7c.png, получаем:

http://sdamgia.ru/formula/4f/4f135343a9914194ddda423877c01f99.png


Ответ: 25.


Геометрическая задача на доказательство

http://sdamgia.ru/get_file?id=16

  1. Треугольники BEC и AED равны по трём сторонам. Значит, углы CBE и DAE равны. Так как их сумма равна 180°, то углы равны 90°. Такой параллелограмм — прямоугольник.



  1. Прямоугольные треугольники ABE и CDF равны по гипотенузе и острому углу (AB = CD как противолежащие стороны параллелограмма;  BAE = DCF как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC). Следовательно, BE = DF. Кроме того, BE || DF, т. к. это перпендикуляры к одной прямой. Таким образом, в четырёхугольнике BFDE противолежащие стороны равны и параллельны, поэтому BFDE — параллелограмм. http://sdamgia.ru/get_file?id=108





  1. Так как в параллелограмме противоположные стороны равны и по условию известно, что АЕ = CK, BF = DM, то BЕ = KD, CF = AM. В параллелограмме противоположные углы равны, то треугольники EBF и KDM, FCK и MAE равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что EF=MK, EM=FK. Так как противоположные стороны четырехугольника EFKM равны, то по признаку параллелограмма это четырехугольника- параллелограмм.http://sdamgia.ru/get_file?id=3370

  2. Треугольники АОВ и СОD равны по двум сторонам и углу между ними (AO = BO = CO = DO как радиусы окружности, AOB = COD по условию). Следовательно, высоты OK и OL равны как соответственные элементы равных треугольников.


  1. В треугольниках  http://sdamgia.ru/formula/90/903313b86cfb89682d191d1a6469e398.png  и  http://sdamgia.ru/formula/5f/5f144b2b39f83f4649f9ecb8535508b5.png  имеем  http://sdamgia.ru/formula/ae/ae593449ae748669037a50b7a39e17f5.png  как противоположные углы параллелограмма,  http://sdamgia.ru/formula/95/95d2479774a814658175c37a873d5884.png  как прямые углы, значит треугольники подобны, по первому признаку подобия треугольников.



  1. Треугольник http://sdamgia.ru/formula/39/396262ee936f3d3e26ff0e60bea6cae0.pngравнобедренный. Поэтому http://sdamgia.ru/formula/71/717941b1537df636d4b4fcfd258d6752.png.
    В равнобедренной трапеции http://sdamgia.ru/formula/fe/fe8432ddf2fc87e1bd6d9ace09d6aa3f.png.
    Отсюда следует, что http://sdamgia.ru/formula/c1/c19c0ef8f3fb0ece269dab39bb7aa765.png. Значит, треугольники http://sdamgia.ru/formula/a2/a26a78fdfbaaad78d04c16efaa98abcc.pngи http://sdamgia.ru/formula/a2/a28966bac17b8eef99c5afa5eb594130.pngравны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, http://sdamgia.ru/formula/33/339df2a0d11183988d98c497772908d9.png.http://sdamgia.ru/get_file?id=2878



  1. Пусть точки http://sdamgia.ru/formula/35/35f8b1562a5a76eb0f5086613458159f.png— середины сторон http://sdamgia.ru/formula/e4/e45c5a840bf8a7dc3cfb59e9af260958.pngи http://sdamgia.ru/formula/03/03895f91b58717b678dd94bd941d7a72.pngпараллелограмма http://sdamgia.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.pngсоответственноhttp://sdamgia.ru/get_file?id=2879

1) http://sdamgia.ru/formula/fc/fc8b131d2ec7747ea770c5ba85d820ff.pngт. к. http://sdamgia.ru/formula/d2/d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png— середина http://sdamgia.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png;

2) http://sdamgia.ru/formula/10/103fe76f41302d3744cc009f1871f0e0.png, т. к. http://sdamgia.ru/formula/0d/0dd03c1d0a68991b4999102f3f2aecea.pngкак противоположные стороны параллелограмма, а http://sdamgia.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.pngи http://sdamgia.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png— середины этих сторон;

3) http://sdamgia.ru/formula/1f/1f05a24a80e78bfcfe009940111f337a.pngкак стороны ромба.

Тогда треугольники http://sdamgia.ru/formula/fa/fa623b24a9f8d07c9c21652d3db0e569.pngи http://sdamgia.ru/formula/33/33543c5b4c8770146939560aa5dbc9f1.pngравны по трем сторонам. Это означает, что угол http://sdamgia.ru/formula/fa/fa623b24a9f8d07c9c21652d3db0e569.pngравен углу http://sdamgia.ru/formula/a3/a31888ad92d65af05d694ced69d01c3a.png. Но эти углы в сумме дают 180°, поэтому каждый из них равен 90°. Таким образом, углы параллелограмма прямые. Значит, он прямоугольник.

  1. Треугольники http://sdamgia.ru/formula/51/513bcfa2b82dc1735a07b97b7f870106.pngи http://sdamgia.ru/formula/28/28d7f7e7bb50b46af38d9d150256df4e.pngравны по трём сторонам. Значит, углы http://sdamgia.ru/formula/0b/0b037def7eebe4b52920533195e7ffb8.pngи http://sdamgia.ru/formula/2b/2b25dd65bb2cc89a2a6b151c9a3221b4.pngравны. Так как их сумма равна 180°, то углы равны 90°. Такой параллелограмм — прямоугольник. http://sdamgia.ru/get_file?id=16


  1. Пусть O — центр окружности, d — её диаметр, а M, N и K — точки касания окружности с прямыми AC, AB и BC соответственно. Радиус OM перпендикулярен AC, а OK перпендикулярен BC. Следовательно, в четырёхугольнике OMCK имеем C = M = K = 90°, а значит, OMCK — прямоугольник. Поскольку OM = OK, прямоугольник OMCK — квадрат. Следовательно, http://sdamgia.ru/formula/33/3329e58c78f364ac3cc2abef2214fd0e.pnghttp://sdamgia.ru/get_file?id=3571

  2. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне. http://sdamgia.ru/get_file?id=3525

Тогда, с одной стороны, S = AD · BH, а с другой стороны, S = CD · BE. Поскольку BH = BE , получаем, что AD = CD. Следовательно, все стороны параллелограмма равны, а значит, ABCD — ромб.



Геометрическая задача повышенной сложности

1. Пусть AK=KC=3x, тогда AB=2x, так как http://sdamgia.ru/formula/15/15469fd186bb8ce02991850260dd3403.png по свойству биссектрисы. Значит, http://sdamgia.ru/formula/fb/fbc2b1ea40e358263b2226774e93ea09.png

Пусть S - площадь треугольника ABC, тогда

 http://sdamgia.ru/formula/92/920505090372afce5e970e017e71b5d1.pnghttp://sdamgia.ru/formula/28/28875b377d76434c191f7a9118e240ac.png

Таким образом, http://sdamgia.ru/formula/a8/a80b108040387db280d9148337641247.pnghttp://sdamgia.ru/get_file?id=1535



2. Данная окружность касается стороны  http://sdamgia.ru/formula/41/4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png  в её середине  http://sdamgia.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png  и продолжений сторон  http://sdamgia.ru/formula/5f/5fc810cf62601df84b7923b9964c53e6.png  и  http://sdamgia.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png  треугольника  http://sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png.

Пусть  http://sdamgia.ru/formula/f1/f186217753c37b9b9f958d906208506e.png — центр этой окружности, а  http://sdamgia.ru/formula/f0/f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png — центр окружности, вписанный в треугольник  http://sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png. Угол  http://sdamgia.ru/formula/51/519058e7e3798bd94c8c27e9ec77dc53.png — прямой как угол между биссектрисами смежных углов. Треугольник  http://sdamgia.ru/formula/51/519058e7e3798bd94c8c27e9ec77dc53.png — прямоугольный,  http://sdamgia.ru/formula/25/25ec916d56b8212e569dbf2e4e4b51d4.png — его высота. Из этого треугольника находим, что  http://sdamgia.ru/formula/4b/4b3991d961a6a7530443f3d2b2836823.png. Следовательно,  http://sdamgia.ru/formula/bf/bfef1b226333354433f011c95858d3ec.png.http://sdamgia.ru/get_file?id=2807

Ответ:  http://sdamgia.ru/formula/bb/bb36f7cbf0eb980f15e0b337ce132ebb.png.



3. Пусть  http://sdamgia.ru/formula/4d/4d99cefa93842b0e95226f95f96b449b.png.http://sdamgia.ru/get_file?id=2829

http://sdamgia.ru/formula/56/56fde26b8e030ce16bffcaeaeead9ad0.png= 180° − 110° = 70°;

http://sdamgia.ru/formula/5c/5c1783400174ead5460d2080260e441d.png

http://sdamgia.ru/formula/19/19c933652de87275f0e139aabff4f6e8.png= 102° − x;    http://sdamgia.ru/formula/22/222a95d523c815c5e4c9a20cb1cd408a.png + 102° − x = 70°;    x = http://sdamgia.ru/formula/22/222a95d523c815c5e4c9a20cb1cd408a.png+ 32°.

http://sdamgia.ru/formula/86/86945f3c8302e7723bdfc408472edf99.png= 72°;   http://sdamgia.ru/formula/10/10f4cca084e91916dd823491f0cab69f.png;   http://sdamgia.ru/formula/22/222a95d523c815c5e4c9a20cb1cd408a.png = 72° − x;   2x = 104°, x=52°.





4. Пусть http://sdamgia.ru/formula/c6/c6e35a29aeabf9e99b47e8fc45d45d93.pngсм, http://sdamgia.ru/formula/a0/a08c02dee84e9d29b34ffb985e7b110c.pngсм и http://sdamgia.ru/formula/19/194d05fdf23390ac172d85c743858c00.pngсм. Поэтому гипотенуза http://sdamgia.ru/formula/69/697f6e08dc86a8b932aeffab8ae24a8a.pngсм. По теореме Пифагора: http://sdamgia.ru/get_file?id=3270

http://sdamgia.ru/formula/cc/cce916c60e5d655a7d0c90e954d15fe2.png

По теореме о секущей и касательной

http://sdamgia.ru/formula/32/32d0d0c33d51d109049f0fdf50f1e61a.png

Следовательно, http://sdamgia.ru/formula/8e/8e7edfa1524dce366d68e910be40c71d.png, откуда http://sdamgia.ru/formula/3f/3fb7d579584057d0bce74b36be198df7.png.
Тогда
http://sdamgia.ru/formula/99/990bd6f1fea910eb91a143ebaf77a9a4.png.
Следовательно, площадь треугольника равна

http://sdamgia.ru/formula/d0/d06e91bd91d2c87fe3e7d0741cb00375.png.

5. Проведём отрезок MT, параллельный AP. Тогда MT — средняя линия треугольника APC и CT = TP, а KP — средняя линия треугольника BMT и TP = BP. Обозначим площадь треугольника BKP через http://sdamgia.ru/formula/5d/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png. Тогда площадь треугольника KPС, имеющего ту же высоту и вдвое больше основание, равна http://sdamgia.ru/formula/e3/e3ea649cdf1edd0eb02c4d8c2a15168e.png. Значит площадь треугольника CKB равна http://sdamgia.ru/formula/41/41b43d510a8f998e77f585a5bcc930a7.pngи равна площади треугольника СMK, которая в свою очередь равна площади треугольника AMK. Площадь треугольника АВК равна площади треугольника АМК. Итак,  http://sdamgia.ru/formula/33/3334d8b55faa586a724f160482204541.png  http://sdamgia.ru/formula/a9/a9b72498fda6c6c354bdc04430d8ce77.png  http://sdamgia.ru/formula/74/74b1e581309355e3c1d58a596f12825e.png  http://sdamgia.ru/formula/da/dac8b2cfaaa2b14b16c93d9cb0855dea.png Значит, http://sdamgia.ru/formula/cd/cd6aed1742d17790aa70552be4445e84.pnghttp://sdamgia.ru/get_file?id=109

Ответ: 5:3.



6. По свойству равнобедренной трапеции http://sdamgia.ru/formula/b0/b0db0b0c07b8ff359fbe7cc0dad4ca3a.pngследовательно, треугольники http://sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.pngи http://sdamgia.ru/formula/23/23ccd7c8a32b73dedc0f2470b703f058.pngравны. Так как http://sdamgia.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png = http://sdamgia.ru/formula/84/84d91e1cb0241acd8a4da12617dec131.png треугольники http://sdamgia.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.pngи http://sdamgia.ru/formula/23/23ccd7c8a32b73dedc0f2470b703f058.pngравнобедренные, следовательно, http://sdamgia.ru/formula/1b/1baa5a77aeff33338948c1e0c4466462.pngи http://sdamgia.ru/formula/7a/7a86131338bf955e0a56311f264aa6aa.png— соответствующие медианы этих треугольников. Значит, http://sdamgia.ru/formula/60/6015e04007889b1f22a5faa0cc89059f.pngОтрезок http://sdamgia.ru/formula/bc/bc781c76baf5589eef4fb7b9247b89a0.pngсоединяет середины диагоналей трапеции, следовательно, http://sdamgia.ru/formula/3e/3e67a56c66321fac60813105cb99b8e9.pngи прямые http://sdamgia.ru/formula/c5/c5733734eda734a4aee1619fc860beb2.pnghttp://sdamgia.ru/formula/e1/e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.pngи http://sdamgia.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.pngпараллельны, поэтому, http://sdamgia.ru/formula/67/67a84eed942e0ee37200975de2ab6037.png— трапеция. Проведём http://sdamgia.ru/formula/36/36a12a753997a4032c351f4c6a12c416.png— высоту трапеции http://sdamgia.ru/formula/67/67a84eed942e0ee37200975de2ab6037.pngи http://sdamgia.ru/formula/d9/d9681d05860552e9c3113da381f916fc.png— высоту трапеции http://sdamgia.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png. Прямоугольные треугольники http://sdamgia.ru/formula/00/00a25a0eed961a97a2a312ed96b66a23.pngи http://sdamgia.ru/formula/81/81ee8107669b026c34e7903f6c2a323a.pngподобны, значит, http://sdamgia.ru/formula/9b/9b0841f6a546c167bdfbeb86703eb987.png

http://sdamgia.ru/get_file?id=3527









Название документа примерные задания.docx

Задачи для промежуточной аттестации по геометрии в 8 классе

  1. Для каждого из следующих утверждений укажите верно оно или нет.

  1. Если расстояние от точки до центра окружности меньше или равно радиусу окружности, то эта точка лежит на окружности.

  2. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше диаметра окружности, то эта прямая и окружность пересекаются.

  3. Если вписанный угол равен 60, то центральный угол, опирающийся на ту же дугу окружности, равен hello_html_2243e61b.gif.

  4. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна hello_html_60e31436.gif.

  5. Сумма двух противоположных углов параллелограмма равна hello_html_60e31436.gif.

  6. Диагонали параллелограмма делят его углы пополам.

  7. Диагонали квадрата равны.

  8. Любые два равнобедренных треугольника подобны.

  9. Треугольник АВС, у которого АВ=4, ВС= 5, АС= 6, является прямоугольным.

  10. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту.

  11. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

  12. В тупоугольном треугольнике сумма углов больше hello_html_60e31436.gif.

  13. Если дуга окружности составляет hello_html_4679bb0a.gif, то центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен hello_html_343ebc33.gif.

  14. Любые два равнобедренных прямоугольных треугольника подобны.

  15. В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.

  16. Если диагонали ромба равны 3 и 4, то его площадь равна 6.



  1. Анализ геометрических высказываний.

  1. Какие из следующих утверждений верны?

  1. Через любые две точки проходит не менее одной окружности.

  2. Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.

  1. Через любые четыре точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная окружность.

  2. Если дуга окружности составляет 60hello_html_m228c0d80.gif, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу равен 15hello_html_m66d7c2e2.gif

  3. Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 8, то эти окружности касаются.

  4. Через любые три точки проходит единственная окружность.

  5. Через любые две точки проходит не более одной окружности.

  6. Вписанные углы окружности равны.

  7. Диагонали параллелограмма равны.

  8. Если сумма двух углов выпуклого четырехугольника равна 190hello_html_m228c0d80.gif, то сумма двух других углов равна 170hello_html_m228c0d80.gif.

  9. Диагонали ромба равны.

  10. Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50hello_html_m228c0d80.gif, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 130hello_html_m228c0d80.gif.

  11. Диагонали квадрата делят его углы пополам.

  12. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.

  13. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

  14. Если два угла выпуклого четырехугольника равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

  15. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180hello_html_m66d7c2e2.gif

  16. Равнобедренный треугольник не имеет центра симметрии.

  17. Круг имеет бесконечно много центров симметрии.

  18. Около любого ромба можно описать окружность.

  19. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.

  20. Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения её диагоналей.

  21. Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения высот.

  22. В любой четырехугольник можно вписать не более одной окружности.

  1. Вычисления длин.

  1. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 40. Найдите гипотенузу.

  2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25. Один из его катетов равен 15. Найдите другой катет.

  3. В треугольнике АВС АВ = ВС = АС = hello_html_1a6156bc.gif. Найдите высоту СН.

  4. В треугольнике АВС АС = ВС = 22, угол С равен hello_html_8e335b.gif. Найдите высоту АН.

  5. Периметр параллелограмма равен 26. Одна сторона параллелограмма на 5 больше другой стороны. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

  6. Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны 35, а острый угол равен hello_html_m41a74c47.gif.

  7. В треугольнике АВС АС = 21, ВС = hello_html_m2a8e0262.gif, угол С равен hello_html_m51b42736.gif. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

  8. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 25 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

  9. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 15 и 5hello_html_6f5e8cf4.gif.C:\Users\user\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\школа 10 В 001.jpg

  10. На рисунке изображены лучи, выходящие из точки А и пересекающие их параллельные прямые ВС и DF.известно, что АВ = BD, AC = 15. Найдите длину отрезка CF.

  11. В четырехугольник АВСD вписана окружность, АВ = 17, CD = 22. Найдите периметр четырехугольника.

  12. Два парохода вышли из порта, следую один на север, другой на запад. Скорости их равны соответственно28км/ч и 21 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через3 часа?

  13. В 32 м одна от другой растут две сосны. Высота одной из них 37 м, а другой – 13 м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.

  14. Человек ростом 1,6 м стоит на расстоянии 16 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 8 м. Найдите длину тени человека в метрах.

  1. Вычисления углов.

  1. Два угла треугольника равныhello_html_57ffc5bb.gif и hello_html_2a4f5159.gif. Найдите тупой угол , который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов.

  2. Сумма углов параллелограмма равна hello_html_69278fca.gif. Найдите один из оставшихся углов.

  3. Один из углов параллелограмма на hello_html_1aad5708.gif больше другого. Найдите больший угол.

  4. Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 7 : 65.

  5. В ромбе ABCD угол DAB равен hello_html_m3bff1262.gif. Найдите угол DBC.

  6. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна hello_html_650fdb40.gif.

  7. Угол А четырехугольника АВСD, вписанного в окружность, равен hello_html_766ac482.gif. Найдите угол С этого четырехугольника.

  8. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности , градусные меры которых равны соответственно hello_html_715b51a3.gif. Найдите угол В этого четырехугольника.

  9. Точки А, В, С, и D, расположенные на окружности делят окружность на четыре дуги АВ, ВС, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1 : 4 : 12 : 19. Найдите угол А четырехугольника ABCD.

  10. Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Угол АВС равен hello_html_m3b66414e.gif, угол САD равен hello_html_ae6f642.gif. Найдите угол АВD.C:\Users\user\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\школа 10 В 002.jpg

  11. Используя данные, приведенные на рисунке, определите угол между хордой АВ и диаметром АС окружности.

  12. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны hello_html_m40145fd6.gif и hello_html_24751d79.gif. Найдите больший из оставшихся углов.

  13. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет hello_html_m53a9de17.gif окружности.

  14. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 20% окружности.

  15. Дуга окружности АС, не содержащая точки В, составляет hello_html_6ae89a04.gif. А дуга окружности ВС, не содержащая точки А, составляет hello_html_2a4f5159.gif. Найдите вписанный угол АСВ.

  16. Точки А, В, С, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как 2 : 9 : 25. Найдите больший угол треугольника АВС.

  17. АС и ВD – диаметры окружности с центром в точке О. угол АСВ равен hello_html_3637ec5c.gif. Найдите угол AOD.

  18. Хорда АВ стягивает дугу окружности в hello_html_3f5e9b2.gif. Найдите острый угол АВС между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку В.

  19. Касательные СА и CВ к окружности образуют угол АСВ, равный hello_html_2d962c43.gif. Найдите величину меньшей дуги АВ, стягиваемой точками касания.

  20. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, а меньшая дуга окружности АВ, заключенная внутри этого угла, равна hello_html_m40145fd6.gif.

  21. Четырехугольник ABCD – ромб. Используя данные рисунка, укажите меру угла DCB. C:\Users\user\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.Word\школа 10 В.JPG

  1. Вычисление площадей.

  1. Основания трапеции равны 24 и 18, высота – 4. Найдите площадь трапеции.

  2. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равенhello_html_20147a0e.gif. Боковая сторона треугольника равна 28. Найдите площадь этого треугольника.

  3. Периметры двух подобных треугольников относятся как 1 : 10. Площадь меньшего треугольника равна 9. Найдите площадь большего треугольника.

  4. Стороны параллелограмма равны 5 и 10. Высота, опущенная на первую сторону, равна 3. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

  5. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 15 и 8.

  6. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен hello_html_8e335b.gif. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 1089.

  7. Основание трапеции равно 3, высота равна 13, а площадь равна 65. Найдите второе основания трапеции.

  8. Основания равнобедренной трапеции равны 18 и 28, а ее периметр равен 72. Найдите площадь трапеции.

  9. В прямоугольнике АВСD биссектриса угла С пересекает сторону АВ в точке Е, а продолжение DA в точке F. Найдите площадь прямоугольника, если СЕ = 4, CF = 6.

Задачи второй части промежуточной аттестации по геометрии в 8 классе.

Геометрическая задача на вычислениеhttp://sdamgia.ru/get_file?id=35

  1. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 100°.







  1. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8. http://sdamgia.ru/get_file?id=50

http://sdamgia.ru/get_file?id=35

  1. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 2. Найдите площадь трапеции.



  1. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 140°.



  1. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56. Найдите площадь трапеции.



  1. Основание равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а её периметр равен 52. Найдите площадь трапеции.


  1. Диагонали АС и ВD трапеции ABCD пересекаются в точке http://sdamgia.ru/formula/f1/f186217753c37b9b9f958d906208506e.png. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 16 см2 и 9 см2 . Найдите площадь трапеции.


  1. Прямая, параллельная основаниям AD и ВС трапеции ABCD, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает ее боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 10 см, BC = 15 см.



  1. В трапеции проведен отрезок, параллельный основаниям и делящий ее на две трапеции одинаковой площади. Найдите длину этого отрезка, если основание трапеции равны hello_html_5ae86152.gif см и hello_html_m31fdbd29.gif см.



Геометрическая задача на доказательство



  1. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC=ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

http://sdamgia.ru/get_file?id=36

  1. В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.







  1. В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм. http://sdamgia.ru/get_file?id=87



  1. В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.



  1. В параллелограмме ABCD проведены высоты BE и BF. Докажите, что hello_html_m567f556b.gif  подобен hello_html_m5a2de8f0.gif.http://sdamgia.ru/get_file?id=2814

  2. Дана равнобедренная трапеция ABCD. Точка M лежит на основании AD и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что M середина основания AD.


  1. Середины сторон параллелограмма является вершинами ромба. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник/

  2. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC=ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.


  1. Окружность касается стороны AB треугольника ABC, у которого C = 90°, и продолжений его сторон AC и BC за точки A и B соответственно. Докажите, что периметр треугольника ABC равен диаметру этой окружности.


  1. В параллелограмме ABCD проведены высоты BH и BE к сторонам AD и CD соответственно, при этом BH = BE. Докажите, что ABCD — ромб.

Геометрическая задача повышенной сложности

  1. Площадь треугольника ABC равна 80. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E, при этом BD:CD=1:3. Найдите площадь четырехугольника EDCK.


  1. Основание AC  равнобедренного треугольника ABC  равен 10. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC  в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC



  1. Диагонали четырёхугольника ABCD, вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке М. Известно, что hello_html_m46cad8a2.gif,  hello_html_5c09a5d2.gif = 102°, hello_html_m33679773.gif = 110°. Найдите  hello_html_366b7d26.gif.


  1. Длина катета АС прямоугольного треугольника АВС равна 8 см. Окружность с диаметром АС пересекает гипотенузу АВ в точке М. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что АМ : МВ = 16 : 9. .



  1. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника AMK.



  1. В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны равны меньшему основанию BC. К диагоналям трапеции провели перпендикуляры BH и CE. Найдите площадь четырёхугольника BCEH, если площадь трапеции ABCD равна 36 .

Название документа критерии оценивания.docx

Критерии оценивания.

Задания первой части оцениваются в один балл. Задания второй части: на вычисление – 2 балла, задача на доказательство - 3 балла.

Оценка

2

3

4

5

Сумма баллов

0 - 3

4 - 5

6 - 7

8 - 11



Название документа пояснительная записка.docx

Пояснительная записка

Промежуточная аттестация в 8 классе проводится на основании Закона об образовании (2013 г).

Промежуточная аттестация обучающихся 8 класса по геометрии проводится в виде контрольной работы в четырех вариантах. В контрольной работе 5 задач первой части (с краткой записью ответа) и 2 задачи второй части (с полной записью решения). Задачи подобраны из всех разделов геометрии 8 класса. Первые два задания экзаменационного материала нацелены на проверку знаний обучающимися теоретического материала. Третье – пятое задание проверяют умение обучающихся, используя свойства фигур, находить неизвестные в задаче длины сторон, отрезков, величины углов, площади многоугольников. Последние две задачи требуют от учащихся повышенного уровня подготовки.

Назначение экзаменационной работы

Оценить уровень предметных компетенций учащихся 8 классов по геометрии.

Название документа экзаменационный материал.docx

1 вариант

Для заданий 1-5 впишите в бланк ответов только номера полученных ответов.

  1. Укажите номера верных утверждений.

  1. Если расстояние от точки до центра окружности меньше или равно радиусу окружности, то эта точка лежит на окружности.

  2. Сумма двух противоположных углов параллелограмма равна hello_html_60e31436.gif.

  3. Треугольник АВС, у которого АВ=4, ВС= 5, АС= 6, является прямоугольным.

  4. Любые два равнобедренных прямоугольных треугольника подобны.



  1. Укажите номера неверных утверждений.

  1. Через любые две точки проходит не менее одной окружности.

  1. Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 8, то эти окружности касаются.

  2. Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения её диагоналей.

  3. Диагонали параллелограмма равны.



  1. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 40. Найдите гипотенузу.

  2. Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Угол АВС равен hello_html_m3b66414e.gif, угол САD равен hello_html_ae6f642.gif. Найдите угол АВD.

  3. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 15 и 8.



Для заданий 6, 7 запишите полный развернутый ответ.



  1. Основание равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а её периметр равен 52. Найдите площадь трапеции.

  2. В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.http://sdamgia.ru/get_file?id=36





2 вариант

Для заданий 1-5 впишите в бланк ответов только номера полученных ответов.

  1. Укажите номера верных утверждений.

  1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше диаметра окружности, то эта прямая и окружность пересекаются.

  2. Диагонали параллелограмма делят его углы пополам.

  3. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

  4. Если дуга окружности составляет hello_html_4679bb0a.gif, то центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен hello_html_343ebc33.gif.



  1. Укажите номера неверных утверждений.

  1. Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.

  2. Диагонали ромба равны.

  3. Через любые три точки проходит единственная окружность.

  4. Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения высот.



  1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25. Один из его катетов равен 15. Найдите другой катет.



  1. Точки А, В, С, и D, расположенные на окружности делят окружность на четыре дуги АВ, ВС, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1 : 4 : 12 : 19. Найдите угол А четырехугольника ABCD.



  1. Стороны параллелограмма равны 5 и 10. Высота, опущенная на первую сторону, равна 3. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

Для заданий 6, 7 запишите полный развернутый ответ.

  1. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 100°.

  2. В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм. http://sdamgia.ru/get_file?id=87



3 вариант

Для заданий 1-5 впишите в бланк ответов только номера полученных ответов.

1. Укажите номера верных утверждений.

  1. Если вписанный угол равен 60, то центральный угол, опирающийся на ту же дугу окружности, равен hello_html_2243e61b.gif.

  2. Любые два равнобедренных треугольника подобны.

  3. В тупоугольном треугольнике сумма углов больше hello_html_60e31436.gif.

  4. Если диагонали ромба равны 3 и 4, то его площадь равна 12.



  1. Укажите номера неверных утверждений.

  1. Через любые четыре точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная окружность.

  2. Через любые две точки проходит не более одной окружности.

  3. Если сумма двух углов выпуклого четырехугольника равна 190hello_html_m228c0d80.gif, то сумма двух других углов равна 170hello_html_m228c0d80.gif.

  4. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.


  1. В треугольнике АВС АС = ВС = 22, угол С равен hello_html_8e335b.gif. Найдите высоту АН.

  2. АС и ВD – диаметры окружности с центром в точке О. угол АСВ равен hello_html_3637ec5c.gif. Найдите угол AOD.

  3. Основания трапеции равны 24 и 18, высота – 4. Найдите площадь трапеции.



Для заданий 6, 7 запишите полный развернутый ответ.



  1. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 2. Найдите площадь трапеции.

  2. В параллелограмме ABCD проведены высоты BE и BF. Докажите, что hello_html_m567f556b.gif  подобен hello_html_m5a2de8f0.gif.http://sdamgia.ru/get_file?id=2814







4 вариант

Для заданий 1-5 впишите в бланк ответов только номера полученных ответов.

  1. Укажите номера верных утверждений.

  1. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна hello_html_60e31436.gif.

  2. Диагонали квадрата равны.

  3. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту.

  4. В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен сумме квадратов гипотенузы и другого катета.

2.Укажите номера неверных утверждений.

  1. Если дуга окружности составляет 60hello_html_m228c0d80.gif, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу равен 15hello_html_m66d7c2e2.gif

  2. Вписанные углы окружности, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

  3. Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50hello_html_m228c0d80.gif, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 130hello_html_m228c0d80.gif.

  4. В любой четырехугольник можно вписать не более одной окружности.



  1. Периметр параллелограмма равен 26. Одна сторона параллелограмма на 5 больше другой стороны. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

  2. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны hello_html_m40145fd6.gif и hello_html_24751d79.gif. Найдите больший из оставшихся углов.

  3. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равенhello_html_20147a0e.gif. Боковая сторона треугольника равна 28. Найдите площадь этого треугольника.



Для заданий 6, 7 запишите полный развернутый ответ.

  1. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56. Найдите площадь трапеции.

  2. В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.



Ответы:

1 вариант

2 вариант

3 вариант

4 вариант

1

4

3

1

2

2

34

13

12

14

3

41

20

11

4

4

15

80

136

155

5

60

1,5

84

196hello_html_5909bbae.gif



1 вариант.http://sdamgia.ru/get_file?id=3397

  1. Трапеция равнобедренная, значит,

hello_html_7b09517.gif

и hello_html_1050e64e.gif

AD=13 см


Тогда, hello_html_1fd46533.gif

hello_html_11db717b.gif

hello_html_7421aca.gif



Ответ: 156 см2.

  1. Прямоугольные треугольники ABE и CDF равны по гипотенузе и острому углу (AB = CD как противолежащие стороны параллелограмма;  BAE = DCF как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC). Следовательно, BE = DF. Кроме того, BE || DF, т. к. это перпендикуляры к одной прямой. Таким образом, в четырёхугольнике BFDE противолежащие стороны равны и параллельны, поэтому BFDE — параллелограмм. http://sdamgia.ru/get_file?id=108









  1. вариантhttp://sdamgia.ru/get_file?id=107

6. Проведём радиус OA. Треугольник AOC — прямоугольный, A = 90°. COA = 180° − AOD = 180° − 100° = 80°; ACO = 90° − 80° = 10°.

Ответ: 10.

  1. Так как в параллелограмме противоположные стороны равны и по условию известно, что АЕ = CK, BF = DM, то BЕ = KD, CF = AM. В параллелограмме противоположные углы равны, то треугольники EBF и KDM, FCK и MAE равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что EF=MK, EM=FK. Так как противоположные стороны четырехугольника EFKM равны, то по признаку параллелограмма это четырехугольника- параллелограмм.



3 вариант

6. Опустим перпендикуляры BH и CK на большее основания AD. По условию http://sdamgia.ru/formula/76/76d4daed8be48c7efe6790c5a1d35e6d.pngтогда http://sdamgia.ru/formula/db/dbafe65dfe634e0e1d4351807f53ac6d.pngКатет, лежащий напротив в угла в http://sdamgia.ru/formula/36/3600180ded2c5ffe5fdf29819d9f8f3a.pngравен половине гипотенузы, тогда http://sdamgia.ru/formula/ab/ab3abdd5a1635e17c994137c484aa69a.pngТак как http://sdamgia.ru/formula/e0/e060d79db10ce1a3aaf0de9303f14ae0.pngпо условию, а HK=x, то http://sdamgia.ru/formula/14/149fe0459b2f67edcd27c9a77b31005b.pngТреугольники ABH и DCK равны по двум катетам, таким образом, трапеция ABCD- равнобедренная. Таким образом, АВ=2, AD=4, BH=http://sdamgia.ru/formula/91/91a24814efa2661939c57367281c819c.png. Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту, имеем:



http://sdamgia.ru/formula/22/2202b70610cf4f0eb7da8b971705170e.png



Ответ: http://sdamgia.ru/formula/c4/c45be508bf92755adaebbeb2b3158bf2.png



  1. В треугольниках  http://sdamgia.ru/formula/90/903313b86cfb89682d191d1a6469e398.png  и  http://sdamgia.ru/formula/5f/5f144b2b39f83f4649f9ecb8535508b5.png  имеем  http://sdamgia.ru/formula/ae/ae593449ae748669037a50b7a39e17f5.png  как противоположные углы параллелограмма,  http://sdamgia.ru/formula/95/95d2479774a814658175c37a873d5884.png  как прямые углы, значит треугольники подобны, по первому признаку подобия треугольников.



4 вариант

6. Трапеция равнобедренная, значит,



http://sdamgia.ru/formula/62/626df92468e1ad0512cfb4830a1069bb.pngи http://sdamgia.ru/formula/37/37a195460b103584f491a0df66e3a8f7.png

Тогда,

 

http://sdamgia.ru/formula/7f/7f56f9f371042296b5d8b317c2b037f7.png

 

Ответ: http://sdamgia.ru/formula/95/954cb23f8ea12fff168076886c3e67ca.png

  1. Треугольники АОВ и СОD равны по двум сторонам и углу между ними (AO = BO = CO = DO как радиусы окружности, AOB = COD по условию). Следовательно, высоты OK и OL равны как соответственные элементы равных треугольников. http://sdamgia.ru/get_file?id=3370





Экзаменационный материал по геометрии для промежуточной аттестации в 8 классе
  • Математика
Описание:

Экзаменационный материал для промежуточной аттестации по геометрии в 8 классе включает в себя материал для подготовки к экзаменам, саму экзаменационную работу в 4 вариатнах, ответы ко всем вариантам, критерии оценивания.

Работа составлена таким образом, что подготовка к экзамену в 8 классе начинает подготовку к ОГЭ по математике. Каждый вариант содержит 7 заданий. 1 и 2 задания - выбрать из утверждений верные или неверные, 3-5 -  ключевые задачи базового уровня сложности, 6 и 7 задачи - более высокого уровня сложности, ученики должны записать полное решение этих задач.

Материал для подготовки к промежуточной аттестации содержит большое количество задач, из которых затем и составлена работа.

Автор Кудыкина Марина Владимировна
Дата добавления 09.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 3609
Номер материала 49454
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓