Главная / Математика / Доклад на тему : Применение определенного интеграла.

Доклад на тему : Применение определенного интеграла.


Введение


Элементы математического анализа занимают значительное место в области математики. Язык производной и интеграла позволяет строго формулировать многие законы природы. В курсе математики с помощью дифференциального и интегрального исчислений исследуются свойства функций, строятся их графики, решаются задачи на наибольшее и наименьшее значения, вычисляются площади и объемы геометрических фигур. Однако возможности методов математического анализа такими задачами не исчерпывается.

Многие традиционные элементарные задачи (доказательство неравенств, тождеств, исследование и решение уравнений, и другие) эффективно решаются с помощью понятия интеграла. Вместе с тем нестандартное использование элементов математического анализа позволяет глубже усвоить основные понятия изучаемой теории. Здесь приходится подбирать метод решения задачи, проверять условия его применимости, анализировать полученные результаты. Применение интеграла дает, как правило, более эффективно решение. Появляется возможность оценить силу, красоту, общность нового математического аппарата.

Методы математического анализа используются не только для решения поставленных задач, но и являются источником получения новых фактов элементарной математики.

Объектом исследования является интегральное исчисление функции одной переменной.

Предмет исследования определенный интеграл и его применение.

Целью выпускной квалификационной работы является, изучение основных понятий интегрального исчисления и возможностей применения определенного интеграла при решении прикладных задач.


Задачи исследования:

  1. Проанализировать научно-методическую литературу по теме исследования.

  2. Систематизировать и обобщить знания об определенном интеграле.

  3. Показать возможности использования определенного интеграла при решении прикладных задач.

Гипотеза: применение определенного интеграла во многом облегчает решение прикладных задач геометрии, физики и других наук.

Структура работы: выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка используемой литературы. В первой главе рассмотрены исторические сведения об интеграле, его основные понятия и свойства. Во второй главе раскрыта основная цель квалификационной работы: применение определенного интеграла в механике, биологии, экономике и геометрии. Список литературы содержит 17 наименований. Объем работы 50 страниц.
















Глава I. Определенный интеграл. Основные термины и условия существования


1.1. Исторические сведения об интеграле

Интеграл (от лат. Integer – целый) – одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой – измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п. Возможны два различных подхода к определению определённого интеграла.

Определение 1. Приращение F(b)-F(a) любой из первообразных функций F(x)+c при изменении аргумента от x=a до x=b называют определённым интегралом от a до b функции f и обозначается hello_html_2758454d.gif,

a

где функция F является первообразной для функции f на некотором промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это можно записать следующим образом:

hello_html_3f40f125.gif(1)формула Ньютона-Лейбница.

Определение 2. Пусть функция f (Xhello_html_52908ad7.gif) задана в некотором про­межутке [a, b]. Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между a и b точки деления. Наибольшую из разностей ΔXi = Xhello_html_m1dda4069.gif - Xhello_html_52908ad7.gif (i = 0, 1,2, ..,n-1) обозна­чим через λ. Возьмем в каждом из частичных промежутков [Xhello_html_52908ad7.gif, Xhello_html_m1dda4069.gif] по про­изволу точку X = ξhello_html_589afdc8.gif ; Xhello_html_589afdc8.gif ξhello_html_589afdc8.gifXhello_html_m1dda4069.gif (i = 0, 1, … , n-1) и составим сумму σ = hello_html_60eb780b.giff(ξhello_html_589afdc8.gif) ΔXι . Пусть I конечный предел данной суммы:

I = hello_html_586a242f.gifσ.

Конечный предел I суммы σ при hello_html_49e00f5a.gifназывается определенным интегралом функции f(x) в промежутке от a до b и обозначается символом

I = hello_html_69ceeb3b.giff(x)dx

hello_html_m64437376.gif

Рис. 1

hello_html_m641356ed.gif


В случае существования такого предела функция f (x) называется интегрируемой в промежутке [a, b] (рис. 1).

Другими словами, определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю. Числа a и b носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интеграла. При постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число.

Приведенное определение принадлежит Риману (B.Riemann), который впервые высказал его в общей форме и исследовал область его применения.

Символ hello_html_m75191332.gif введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как «приводить в прежнее состояние, восстанавливать». (Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция).

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским (ок.408 - ок.355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.). Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили.

Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести.

Труды Архимеда, впервые изданные в 1544г. (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод – метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f (x), которым, тем не менее, приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме – нули, но нули особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму. На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571 - 1630 гг.) в своих сочинениях “Новая астрономия” (1609 г.) и “Стереометрия винных бочек” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки).

Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598 – 1647) и Э. Торричелли (1608 -1647).

В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой, и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1603-1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функции в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский (1804 - 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894 гг.). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры. Различные обобщения понятия интеграла уже в начале 20 столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и А. Данжуа (1884 - 1974), советским математиком А.Я.Хинчиным (1894 -1959 гг.).


1.2. Основные свойства определенного интеграла и

методы вычисления


Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или физической величины A (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [a, b] изменения переменной x. Предполагается, что при разбиении отрезка [a, b] точкой с hello_html_m289d78ff.gif (a, b) на части [a, c] и [c, b] значение величины A, соответствующее всему отрезку [a, b] равно сумме ее значений, соответствующих [a, c] и [c,b]. Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала).

Схема I базируется на определении определенного интеграла.

1. Точками xhello_html_7cec0eee.gif= a, xhello_html_m34745add.gif, … ,xhello_html_m9e24951.gif= b разбить отрезок [a, b] на n частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина A разобьется на n “элементарных слагаемых”

Δ Ahello_html_589afdc8.gif(I = 1, … , n): A = ΔAhello_html_m34745add.gif + ΔAhello_html_m4bcd60e4.gif+ … + ΔAhello_html_m9e24951.gif

2. Представить каждое “элементарное слагаемое” в виде произве­дения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычислен­ной в произвольной точке соответствующего отрезка, на его длину:

Δ Ahello_html_589afdc8.giff(chello_html_589afdc8.gif) ΔXhello_html_589afdc8.gif.При нахождении приближенного значения допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т. д.

Получим приближенное значение величины А в виде интегральной суммы:

A ≈ f(chello_html_m34745add.gif) ΔXhello_html_m34745add.gif+ … + F(chello_html_m9e24951.gif)ΔXhello_html_m9e24951.gif = hello_html_2eeec863.giff(chello_html_589afdc8.gif) ΔXhello_html_589afdc8.gif

Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е.

A = hello_html_m2bdd8c7c.gifhello_html_2eeec863.giff(chello_html_589afdc8.gif) ΔXhello_html_589afdc8.gif = hello_html_m375e98ee.giff(x)dx.

Указанный “метод сумм”, как видим, основан на представлении интегра­ла как суммы бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.

Первая схема была применена для выяснения геометрического и физическо­го смысла определенного интеграла.

Схема II представляет собой несколько видоизмененную схему I и называется “метод дифференциала” или “метод отбрасывания беско­нечно малых высших порядков”:

1) на отрезке [а, b] выбираем произвольное значение х и рассматри­ваем переменный отрезок [a; x]. На этом отрезке величина A становится функцией x: А-А(x), т. е. считаем, что часть искомой величины А есть неизвестная функция А(x), где x т.е. [а, b] один из параметров величи­ны А;

2) находим главную часть приращения ΔA при изменении x на малую величину Δx; = dх, т. е. находим дифференциал dA функции A=А(x):dA - f(x)dx, где f(x) определяемая из условия задачи, функция пере­менной x (возможны различные упрощения);

3) считая, что dА ≈ ΔA при Δxhello_html_m6b7fc4d1.gif 0, находим искомую величину путем интегрирования dA в пределах от а до b: A(b) = A = hello_html_m375e98ee.giff(x)dx.

Условия существования определенного интеграла:

1. Интегрируемая функция необходимо ограничена.

Если бы функция f(x) была в промежутке [a, b] неограниченна, то при любом разбиении промежутка на части она сохранила бы подобное свойство хоть в одной из частей. Тогда за счет выбора в этой части точки hello_html_m62037aba.gif можно было бы сделать f(hello_html_m62037aba.gif), а с ней и сумму hello_html_7691e7c8.gif, сколь угодно большой; при этих условиях конечного предела для hello_html_7691e7c8.gif существовать не могло бы.

2. Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было hello_html_586a242f.gif(S - s) = 0,

s = hello_html_60eb780b.gifmhello_html_589afdc8.gif hello_html_m32674311.gif, S = hello_html_60eb780b.gifMhello_html_589afdc8.gifhello_html_m32674311.gif , где mhello_html_589afdc8.gif и Mhello_html_589afdc8.gif - точные нижние и верхние грани. Суммы Дарбу s и S служат точными, соответственно, нижней и верхней границами для интегральных сумм.

Пример. Интеграла hello_html_2a2e649b.gif  не существует, поскольку отрезок интегрирования [-5;-2] не входит в область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными); hello_html_m5021aa4.gif - такого интеграла тоже не существует, так как в точках hello_html_1adfb0ab.png, hello_html_m3d716516.png отрезка [-2;3] не существует тангенса.

Рассмотрим свойства определенного интеграла.

    1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю: hello_html_26604052.gif

    2. Если f(x)=1, то hello_html_m7e219ba.gif

Действительно, так как f(x)=1, то hello_html_3dffc5a4.gif

    1. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный: hello_html_42340164.gif

Для доказательства составим интегральные суммы. Они будут отличаться только знаком за счет hello_html_m32674311.gif: слева hello_html_41d2e2ea.png>0, справа hello_html_41d2e2ea.png<0. Значит, в пределе получится нужное равенство.

    1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

hello_html_2ff6cc04.gifhello_html_m374a0461.gif

Доказательство:

hello_html_m30e26a58.pnghello_html_m7f08e42.pnghello_html_m60436cb3.png=hello_html_m2f1aa99d.png


    1. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:

hello_html_m49de493c.png

Это свойство остается справедливым для любого конечного числа слагаемых.


Доказательство:

hello_html_m2542e701.png

6. (Аддитивность определенного интеграла). Если существуют интегралы hello_html_m5c184708.gifи hello_html_m6a6ec40e.gif то существует также интеграл hello_html_705ddf5f.gif и для любых чисел a, b, c; hello_html_m6db49993.gif

Доказательство:

Пусть а < с < b и функция f (x) неотрицательна на [a,b]. Согласно геометрическому свойству определенного интеграла есть площади соответствующих криволинейных трапеций. Тогда при сделанных предположениях имеем равенство между площадями S = S 1 + S 2.

hello_html_72ba9d48.pnghello_html_m20429c12.png

7. Если f(x) ≥ 0 hello_html_mb807737.gif[a; b], то hello_html_5b1410bb.gif a < b.

8. Если интегрируемые функции f(x) и φ(x) удовлетворяют неравенству f(x) ≥ φ(x) hello_html_6abb82bc.gif[a; b], то hello_html_m53aea1df.gifa >b. Обе части неравенства можно проинтегрировать, при этом смысл неравенства остаётся прежним.

9. (Об оценке определенного интеграла). Если m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], то

hello_html_3fafe8e8.gifa < b.

Доказательство: Предварительно вычислим с помощью интегральной суммы

hello_html_m2d1b9554.png

По условию hello_html_m6b42d9b1.png

Проинтегрируем данное неравенство, используя свойство 8:

 hello_html_m4d99c12c.png.

Затем, используя свойство 4 и только что полученный результат, имеем

 hello_html_597f99c7.png

Подставляя их в предыдущее неравенство, получим нужное неравенство.

10. (Теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка hello_html_m6a957ee.gif[a; b], что

hello_html_29e4583b.gifт. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования [a; b] и длины b-a этого отрезка.

Доказательство:

По свойству функций, непрерывных на отрезке hello_html_m1f36a008.png достигает своего наименьшего hello_html_m54756cb4.png  и наибольшегоhello_html_m440cd967.png значений и принимает все промежуточные значения между hello_html_m54756cb4.pngиhello_html_m440cd967.png: hello_html_a0c2f8c.png.

В силу свойства 9, предположив, что a<b , имеем

hello_html_63115e7c.png

Обозначим hello_html_46bbcdc2.png тогда hello_html_aa836fa.png

По свойству непрерывных функций найдется значение hello_html_6bf68e.png такое, что hello_html_4034280c.png,

Следовательно, из равенства  hello_html_776bc023.png  получим нужное соотношение.

Методы вычисления определенного интеграла.

До сих пор мы рассматривали свойства определенного интеграла с постоянными пределами интегрирования a и b. Если оставить постоянным нижний предел интегрирования a, а верхний х изменять так, чтобы x є [a; b], то величина интеграла будет изменяться.

Интеграл вида: hello_html_17c3e0b4.gifx є [a; b], называется определенным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х. Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой t, а верхний предел интегрирования – буквой х.

1. Теорема: Производная определенного интеграла от непрерывной функции f(x) по его переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела:

hello_html_m19052532.gif- Формула Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона-Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке [a; b] от непрерывной функции f(x) равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при x=b и x=a.

2. Замена переменной. Этот метод, позволяет упростить вычисления, т. е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.

Теорема: Если функция f(x) непрерывная на отрезке [a; b], а функция x=φ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [t1; t2], причем φ([t1;t2])=[a;b] и φ(t1)=a, φ(t2)=b,

то справедлива формула: hello_html_m5d7df715.gif

Доказательство: Пусть F(x) первообразная f(x), то есть Fl(x)=f(x). Тогда, по формуле Ньютона-Лейбница hello_html_m19052532.gif

Покажем, что F [φ(t)]- первообразная f [φ(t)] φl(t).

hello_html_5b1b9b3f.gif

по формуле Ньютона-Лейбница

hello_html_m1c043e6a.gifч.т.д.

3. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Пусть u(x) и v(x)-дифференцируемые на отрезке [a; b] функции переменной х. Тогда d(uv)=udv+vdu. Проинтегрируем обе части последнего равенства на отрезке [a; b]: hello_html_m78db03d3.gif С другой стороны, по формуле Ньютона-Лейбница hello_html_m20740c48.gif

Следовательно, формула принимает вид: hello_html_6106e5f9.gif

Метод замены переменной и интегрирование по частям являются самыми распространенными при решении определенного интеграла, но не единственными.

При вычисление определенных интегралов нередко приходится пользоваться таблицей интегралов (таблица 1).


Таблица 1.

Интегрируемая функция

Формула

1

  Степенная функция

 

 
частные случаи

hello_html_4ea260d5.pnghello_html_1413144e.png

hello_html_m7187f44d.png, hello_html_13452c2d.png

2

Показательная функция

 
частный случай

hello_html_m65481c35.png

hello_html_m4010ffe8.png

3

 

Рациональные функции

hello_html_2d8a48a.png

hello_html_m56116f73.png

4

Иррациональные функции

hello_html_m5f350494.png

hello_html_56c1f707.png

5

Тригонометрические функции

 

hello_html_67229c5.png

hello_html_m64387821.png

hello_html_m7e73dee5.png

hello_html_5a8d51bc.png

6

  Содержит тригонометрические функции

hello_html_m2aaa1b8.png

hello_html_4e7fc960.png

hello_html_e8aa57b.png


Универсальная подстановка:

hello_html_4f9ae6a0.gif; hello_html_m1f2f6f0b.gif; hello_html_m15d99185.gif ; hello_html_67ae2249.gif.

Пример 1. Вычислить определенный интеграл hello_html_45911e84.png.

Решение:
hello_html_28137525.png

(1) Выносим константу за знак интеграла.

(2) Интегрируем с помощью формулы hello_html_2e628a9b.png.

Появившуюся константу hello_html_m1f444628.png целесообразно отделить от hello_html_m7f59c5e2.png и вынести за скобку. (3)Используем формулу Ньютона-Лейбница

hello_html_m3a87ad04.png.

Сначала подставляем в hello_html_m7f59c5e2.png верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.



Пример 2. Вычислить определенный интеграл hello_html_m478212f5.png

Решение:
hello_html_7ad57cd0.png

Пример 3. Вычислить определенный интеграл hello_html_m7e945d4e.png

Решение:
hello_html_m68f09dd4.png

Интегрируем по частям:
hello_html_m6368f7d3.gif

hello_html_3936123b.gif

hello_html_m14209110.gif

hello_html_m408330fd.png

hello_html_m12f91ea0.png

Проверка:

hello_html_m6c6df4d8.png

применение формулы Ньютона-Лейбница


hello_html_m769fb49f.png

Пример 4. Вычислить hello_html_m460c2dfd.gif.

Решение: hello_html_m206bc4d0.gif

Пример 5. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной hello_html_1fff2bf3.gif

Решение:

hello_html_m453711e8.gif

Определенный интеграл - это предел интегральных сумм или точнее число. Свойства и методы вычисления определенного интеграла тесно взаимодействуют. Универсальных методов численного интегрирования не существует, каждый из них отличается степенью сложности, точности и особенностями применения.



Глава II. Применение определенного интеграла

при решении прикладных задач


2.1. Применение определенного интеграла в геометрии

1. Вычисление длины дуги плоской кривой.

Прямоугольные координаты. Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y = f (x), где axb (рис. 2).

Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю. Применим схему I (метод сумм).

1.Точками Xhello_html_7cec0eee.gif= a, Xhello_html_248119e4.gif, … , Xhello_html_m601acf03.gif=b (Xhello_html_7cec0eee.gifXhello_html_248119e4.gif≤ … ≤ Xhello_html_m601acf03.gif) разобьем отрезок [a, b] на n частей. Пусть этим точкам соответствуют точки Mhello_html_7cec0eee.gif= A, Mhello_html_m34745add.gif ,…, Mhello_html_m9e24951.gif= B на кривой AB.

Проведем хорды Mhello_html_7cec0eee.gifMhello_html_m34745add.gif, Mhello_html_m34745add.gifMhello_html_m4bcd60e4.gif,…, Mhello_html_m6c2a04b0.gifMhello_html_m9e24951.gif, длины которых обозначим соответственно через ΔLhello_html_m34745add.gifLhello_html_m4bcd60e4.gif,…, ΔLhello_html_m9e24951.gif.

hello_html_68938791.png

Рис. 2


Получим ломанную Mhello_html_7cec0eee.gifMhello_html_m34745add.gifMhello_html_m4bcd60e4.gifMhello_html_m6c2a04b0.gifMhello_html_m9e24951.gif, длина, которой равна Lhello_html_m9e24951.gif = ΔLhello_html_m34745add.gif+ ΔLhello_html_m4bcd60e4.gif+ … + ΔLhello_html_m9e24951.gif = hello_html_m7303e569.gif ΔLhello_html_589afdc8.gif.

2.Длину хорды (или звена ломанной) ΔLhello_html_589afdc8.gif можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами ΔXhello_html_589afdc8.gif и ΔYhello_html_589afdc8.gif:

ΔLhello_html_589afdc8.gif = hello_html_5d470649.gif, где ΔXhello_html_589afdc8.gif = Xhello_html_589afdc8.gif - Xhello_html_1797143d.gif, ΔYhello_html_589afdc8.gif = f(Xhello_html_589afdc8.gif) – f(Xhello_html_1797143d.gif).

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции ΔYhello_html_589afdc8.gif = hello_html_579bf7c2.gif(Chello_html_589afdc8.gif) ΔXhello_html_589afdc8.gif, где Chello_html_589afdc8.gif hello_html_m289d78ff.gif (Xhello_html_1797143d.gif, Xhello_html_589afdc8.gif). Поэтому ΔLhello_html_589afdc8.gif = hello_html_77160694.gif = hello_html_24fe83b7.gif ,

а длина всей ломанной Mhello_html_7cec0eee.gifMhello_html_m34745add.gifMhello_html_m4bcd60e4.gifMhello_html_m6c2a04b0.gifMhello_html_m9e24951.gif равна

Lhello_html_6cbbd0a.gifhello_html_m9e24951.gif =hello_html_m7303e569.gif ΔLhello_html_589afdc8.gif = hello_html_m7303e569.gifhello_html_24fe83b7.gif. Длина кривой AB, по определению, равна L = hello_html_2463d464.gifLhello_html_m9e24951.gif = hello_html_2463d464.gifhello_html_m7303e569.gif ΔLhello_html_589afdc8.gif. Заметим, что при ΔLhello_html_589afdc8.gif hello_html_m6b7fc4d1.gif 0 также и ΔXhello_html_589afdc8.gifhello_html_m6b7fc4d1.gif 0 (ΔLhello_html_589afdc8.gif = hello_html_5d470649.gif и следовательно | ΔXhello_html_589afdc8.gif | < ΔLhello_html_589afdc8.gif). Функция hello_html_m53ce95e2.gif непрерывна на отрезке [a, b], так как, по условию, непрерывна функция fhello_html_m6df252db.gif (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы Lhello_html_m9e24951.gif=hello_html_m7303e569.gif ΔLhello_html_589afdc8.gif=hello_html_m7303e569.gifhello_html_24fe83b7.gif, кода max ΔXhello_html_589afdc8.gifhello_html_m6b7fc4d1.gif 0:

L = hello_html_182942f4.gifhello_html_m7303e569.gifhello_html_24fe83b7.gif = hello_html_m375e98ee.gifhello_html_m53ce95e2.gifdx.

Таким образом, L = hello_html_m375e98ee.gifhello_html_m53ce95e2.gifdx.

Пример 1. Найти длину окружности радиуса R. (рис. 3).

Решение: Найдем ¼ часть ее длины от точки (0;R) до точки (R;0). Так как y = hello_html_m415fa644.gif,

¼L = hello_html_m33bb2c87.gifhello_html_55301993.gifdx = R arcsinhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_4c0ded9c.gif = R hello_html_m7a909234.gif.

Значит L = 2hello_html_1bfc1af9.gifR.


Полярные координаты

Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r(hello_html_6f95504e.gif), hello_html_m3b2dacb4.gif. Предположим, что r(hello_html_6f95504e.gif) и rhello_html_m6df252db.gif(hello_html_6f95504e.gif) непрерывны на отрезке [hello_html_660ca0ba.gif]. Если в равенствах x = rcoshello_html_6f95504e.gif, y = rsinhello_html_6f95504e.gif, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол hello_html_6f95504e.gif, то кривую AB можно задать параметрически hello_html_m27f594ba.gif, тогдаhello_html_10ef4d1b.gif

Поэтому hello_html_m40173e24.gif = hello_html_12b86ca1.gif =

hello_html_m7e6e3194.gif

Применяя формулу L = hello_html_1fa9d915.gifhello_html_m5159a226.gif, получаем L = hello_html_1fa9d915.gifhello_html_5977c38b.gif

Пhello_html_61d73402.gifример 2. Найти длину кардиоиды r = a(1 + coshello_html_6f95504e.gif).

Р

Рис 4

ешение: Кардиоида r = a(1 +coshello_html_6f95504e.gif) симметрична относительно полярной оси. Найдем половину (рис. 4) длины кардиоиды:

½ L = hello_html_m4969238b.gifhello_html_m6eb3f072.gif =

a hello_html_m4969238b.gifhello_html_6a5d8de9.gif = a hello_html_m4969238b.gifhello_html_m504da10b.gif =

2a hello_html_m4969238b.gifcoshello_html_24669527.gif dhello_html_6f95504e.gif = 4a sinhello_html_24669527.gifhello_html_49007f67.gif = 4a.


2. Вычисление объема тела.

Произвольное ограниченное множество точек пространства будем называть телом.

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. Пусть требуется найти объем V тела (рис. 5), причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, на­пример оси Ox: S = S(x), a x b.

hello_html_mec0a768.gif

Применим схему II (метод дифференциала).

1.Через произвольную точку x hello_html_m289d78ff.gif [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяю­щейся при изменении x. Через v(x) обозна­чим объем части тела, лежащее левее плос­кости П. Будем считать, что на отрезке [а; x] величина v есть функция от x, т. е. v = у(x) (v(a) = 0, v(b) = V).

2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой

элементарный слой” тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках x и x + Δx, который при­ближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(х) dх.

3.Находим искомую величину V путем интегрирования dА в пределах от a до b:

V = hello_html_md2a2805.gifS(x) dx

Формула объема тела по площади параллельных сечений

hello_html_m606ca45d.png

Пример 3. Найти объем эллипсоида hello_html_47d2bf2f.gif (рис. 6).

Р

Рис. 6

ешение: Рассекая эллипсоид плоскостью,


параллельной плоскости OYZ и на расстоянии х от нее (-a x b.), получим эллипс

hello_html_739027b8.gif

Площадь этого эллипса равна S(x) = hello_html_1bfc1af9.gifbc(1 - hello_html_26a0a2c2.gif). Поэтому, по формуле имеем V = hello_html_1bfc1af9.gifbchello_html_m205d1898.gif(1 - hello_html_26a0a2c2.gif)dx = hello_html_6cb59819.gifhello_html_1bfc1af9.gifabc.

Объем тела вращения

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = f(х) ≥ 0, отрезком а ≤ х b и прямыми х = а и

х = b (рис. 7). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Oх), есть круг с радиусом у = f(х). Следовательно, hello_html_5ebe7e4c.gifS(x)=hello_html_1bfc1af9.gifyhello_html_4fbf37b8.gif. Применяя формулу V = hello_html_md2a2805.gifS(x) dx объема тела по площади параллельных сечений, получаем Vhello_html_m30899562.gif = hello_html_1bfc1af9.gifhello_html_m375e98ee.gifyhello_html_4fbf37b8.gifdx. Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x = hello_html_6f95504e.gif(x) ≥ 0 и прямыми x = 0, y = c, y = d (c < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой

V = hello_html_md2a2805.gifS(x) dx, равен V =hello_html_1bfc1af9.gifhello_html_md2a2805.gifxhello_html_4fbf37b8.gifdy.

Пример 4. Найти объем тела, образован­ного вращением фигуры, ограниченной линия­ми у = hello_html_m4db057ac.gif, x = 0, у = 2hello_html_1caef8ee.gif вокруг оси Оу.

Решение: По формуле V =hello_html_1bfc1af9.gifhello_html_md2a2805.gifxhello_html_4fbf37b8.gifdy находим:

Vhello_html_m7ff7e0f0.gif = hello_html_1bfc1af9.gifhello_html_m7fd7b037.gif2ydy = hello_html_1bfc1af9.gifyhello_html_4fbf37b8.gifhello_html_2cf7d811.gif = 8hello_html_1bfc1af9.gif.

Пример 5. Найти объем тела, которое будет получено при вращении около оси абсцисс криволинейной трапеции у=1-х2, у=0.

Решение: Объем тела вычисляется по формуле V=hello_html_80d04fc.gif(x)dx. Найдем промежуток интегрирования 1-х2=0, имеем х1=1 и х2=-1. Поэтому V=hello_html_m44310134.gifhello_html_m51dd42d6.gif+hello_html_m1a703811.gifhello_html_m2cd9cd81.gif+hello_html_78b0b93b.gifhello_html_678e5c7e.gif=hello_html_m476d5d2d.gif куб.ед.


3. Вычисление площади поверхности вращения.

Пусть кривая АВ является графиком функции у = f(х) ≥ 0, где х hello_html_m289d78ff.gif [а;b], а функция у = f(х) и ее производная у' = f'(х) непрерывны на этом отрезке.

Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох (рис. 8). Применим схему II (метод дифференциала).

1hello_html_m527ca5a8.gif. Через произвольную точку х hello_html_m289d78ff.gif [а; b] проведем плос­кость П, перпендикулярную оси Ох. Плоскость П пере­секает поверхность вращения по окружности с радиусом у - f(х). Величина S поверхности части фи­гуры вращения, лежащей левее плоскости, является функ­цией от х, т. е. s = s(х)

(s(а) = 0 и s(b) = S).

2. Дадим аргументу х приращение Δх = dх. Через точку х + dх hello_html_m289d78ff.gif [а; b] также проведем плоскость, перпендику­лярную оси Ох. Функция s = s(х) получит приращение Δs, изображенного на рисунке в виде “пояска”.

Найдем дифференциал площади ds, заменяя образо­ванную между сечениями фигуру усеченным конусом, об­разующая которого равна dl, а радиусы оснований рав­ны у и у + dу. Площадь его боковой поверхности равна ds = hello_html_1bfc1af9.gif (у + у + dу) • d1 = 2hello_html_1bfc1af9.gifydl + hello_html_1bfc1af9.gifdydl. Отбрасывая произведение dу d1 как бесконечно малую высшего порядка, чем ds, получаем ds = 2hello_html_1bfc1af9.gifуdl, или, так как d1 = hello_html_m4fc14498.gifdx.

1.Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем

Shello_html_m30899562.gif= 2hello_html_1bfc1af9.gifhello_html_m375e98ee.gifyhello_html_m4fc14498.gifdx.

Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), thello_html_m34745add.gift hello_html_m34745add.gifthello_html_m4bcd60e4.gif, то формула для площади поверхности вращения принимает вид

Shello_html_m30899562.gif = 2hello_html_39a0f97.gifdt.

Пример 6. Найти площадь поверхности шара радиуса R.

Решение: Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности y = hello_html_1842cd2d.gif, -RxR, вокруг оси Ox. По формуле Shello_html_m30899562.gif= 2hello_html_1bfc1af9.gifhello_html_m375e98ee.gifyhello_html_m4fc14498.gifdx находим S = 2hello_html_m6d6b979b.gif =

hello_html_240b5d6.gif


4. Вычисление площадей плоских фигур.

Прямоугольные координаты

Пусть функция f(х) непрерывна на сегменте [а;b]. Если f(х )≥0 на [а; b] то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями у =f(х), у = 0, х = а, х = b, равна интегралу hello_html_79f8c51d.gif Если же f(x) ≤ 0 на [а; b] то f(х) ≥ 0 на [а; b]. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции выразится формулой:

hello_html_426efc86.gifили hello_html_6a8cf81.gif

Еhello_html_m1bcb0db0.gifсли, наконец, кривая y=f(х) пересекает ось Ох, то сегмент [а;b] надо разбить на части, в пределах которых f(х) не меняет знака, и к каждой такой части применить ту из формул, которая ей соот­ветствует.


Пример 7. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой y = x2, прямыми х=1, х = 3 и осью Ох (рис. 9) .

Решение: Пользуясь формулой hello_html_79f8c51d.gif, нахо­дим искомую площадь S = hello_html_m19442dd.gif

Пример 8. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции у = sinх и осью абс­цисс при условии hello_html_m38049d45.gif (рис. 10).

Рhello_html_m2f58181b.gifешение: Разбиваем сег­мент [0; hello_html_m1efba63a.gif] на два сегмента [0; hello_html_1bfc1af9.gif] и [hello_html_1bfc1af9.gif; 2hello_html_1bfc1af9.gif]. На первом из них sinx ≥ 0, на втором sinx ≤ 0. Следовательно, ис­пользуя формулы hello_html_79f8c51d.gif и hello_html_426efc86.gif , имеем, что искомая площадь hello_html_m4125b7e7.gif

Полярные координаты.

Пусть требует­ся определить площадь сектора ОАВ, ограниченного лу­чами hello_html_6f95504e.gif = hello_html_2e28ff68.gif, hello_html_6f95504e.gif = hello_html_m154a5599.gif и кривой АВ (рис. 11), заданной в полярной системе координат уравнением r = r (hello_html_6f95504e.gif), где r (hello_html_6f95504e.gif) — функция, непрерывная на сегменте [hello_html_2e28ff68.gif; hello_html_m154a5599.gif].

Рhello_html_m397fd5ca.gifазобьем отрезок [hello_html_2e28ff68.gif; hello_html_m154a5599.gif] на п частей точками

hello_html_2e28ff68.gif= hello_html_6f95504e.gifо<hello_html_6f95504e.gif1 < ...< hello_html_6f95504e.gifhello_html_m5271f7b0.gif <hello_html_6f95504e.gifhello_html_m601acf03.gif = hello_html_m154a5599.gif и положим: Δhello_html_7f12389f.gif = hello_html_7f12389f.gifhello_html_23f665be.gifk = 1, 2, ..., n. Наи­большую из этих разностей обозначим через hello_html_6694b9a8.gif: hello_html_6694b9a8.gif= max Δhello_html_7f12389f.gif.

Разо­бьем данный сектор на п частей лучами hello_html_3c4c5ec1.gif = hello_html_7f12389f.gif (k=1, 2, ..., п — 1). Заменим k-й элементарный сектор круговым сектором радиуса r(hello_html_m344df5f2.gif), где hello_html_m344df5f2.gifhello_html_876cf10.gif.

Тогда сумма hello_html_m6b6b50b4.gif - приближенно площадь сектора OAB. Отсюда:

hello_html_365c7f9a.gif

Пример 9. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кардиоидой г = a(1+соshello_html_3c4c5ec1.gif) (рис. 12).

Решение: Учитывая симметричность кривой относительно полярной оси, по формуле hello_html_365c7f9a.gif получаем:

hello_html_6e8a5e4c.gifhello_html_m6c59127.gif

hello_html_m1ef58d51.gif



2.2. Применение определенного интеграла в физике

1. Работа переменной силы.

Определенный интеграл широко применяется при решении различных физических задач. С помощью определенного интеграла можно вычислять: путь, пройденный материальной точкой, если известна скорость движения; работу переменной силы; силу давления жидкости на плоскую фигуру; статические моменты и координаты центра масс плоской кривой и плоской фигуры; вычислить кинетическую и потенциальную энергию тела в поле сил и т.д.

Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под дей­ствием переменной силы F=F(х), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b (а <bЬ), находится по формуле: A = hello_html_m7a718e78.gif

Пример 1. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?

Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, про­порциональна этому растяжению х, т. е. F = kх, где k — коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растяги­вает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = k 0,01, откуда k = 10000; следовательно, F =10000х.

Искомая работа на основании формулы A = hello_html_m7a718e78.gif равна

A = hello_html_1a47a609.gif

Пример 2. Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резер­вуара высоты Н м и радиусом основания R м (рис. 13).

Рhello_html_m5a7f8f4d.gifешение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна р • Н. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова.

Для решения поставленной задачи применим схему II (метод дифференциала). Введем систему координат.

1.Работа, затрачиваемая на выкачивание из резер­вуара слоя жидкости толщиной х (0 ≤ х Н), есть функция от х, т. Е. А = А(х),

где (0 ≤ х Н)( A(0) = 0, A(H) = А0).

2. Находим главную часть приращения ΔA при из­менении х на величину Δх = dx, т. Е. находим диффе­ренциал dА функции А(х).

Ввиду малости dх считаем, что “элементарный” слой жидкости находится на одной глубине х (от края резервуара). Тогда dА = dрх, где dр-вес этого слоя; он равен ghello_html_m3252403.gif АV, где g-ускорение свободногопадения, hello_html_368a497d.gif-плотность жидкости, dv -объем “элементарного” слоя жидкости (на рисунке он выделен), т. Е. dр = ghello_html_m3252403.gif. Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен hello_html_1e8bba5d.gif, где dx-высота цилиндра (слоя), hello_html_m3cf5bca2.gif-площадь его основания, т. Е. dv = hello_html_1e8bba5d.gif.

Таким образом, dр = hello_html_7f871234.gif. И hello_html_7bddb316.gif

3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н, находим

Ahello_html_4b780e8.gif


2. Путь, пройденный телом.

Пример 3. Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной ско­ростью v =v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от thello_html_m34745add.gif до t2.

Решение: Из физического смысла производной известно, что при дви­жении точки в одном направлении “скорость прямолинейного движения

равна производной от пути по времени”, т. Е. v(t) = hello_html_m3e1515d3.gif. Отсюда следует, что dS = v(t)dt. Интегрируя полученное равенство в пределах от thello_html_m34745add.gif до thello_html_m4bcd60e4.gif,

получаем S = hello_html_m19c8aacb.gif

Пример 4. Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t) = 10t + 2 (м/с).

Решение: Если v(t) = 10t + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от на­чала движения (t = 0) до конца 4-й секунды, равен

S = hello_html_6d5b65cd.gif


3. Давление жидкости на вертикальную пластинку.

По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а вы­сотой — глубину ее погружения от свободной поверхности жидкости, т. Е. Р =ghello_html_m5f69a67c.gif, где gускорение свободного падения, hello_html_368a497d.gif — плотность жидкости, S — площадь пластинки, hглубина ее погружения.

Пhello_html_m415f7b01.gifо этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глу­бинах.

Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная ли­ниями х = а, х = b, yhello_html_m72f7277.gif и yhello_html_me37df37.gif. Для нахождения давления Р жидкости на эту пластину применим схему II (метод дифференциала).

1. Пусть часть искомой величины Р есть функция от х: р = р(х), т. Е. р = р(х) — да­вление на часть пластины, соответствующее от­резку [а; b] значений переменной х, где х hello_html_m289d78ff.gif [a; b] (р(a) = 0, р(b) = Р).


2

Рис 14

. Дадим аргументу х приращение Δx = dх. Функция р(х) получит приращение Δр (на рис.14 - полоска-слой толщины dх). Найдем диффе­ренциал dр этой функции. Ввиду малости dх бу­дем приближенно считать полоску прямоуголь­ником, все точки которого находятся на одной глубине х, т. Е. пластинка эта — горизонталь­ная.

Тогда по закону Паскаля dр =hello_html_m6359e280.gif.

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получим

P = hello_html_m792d8082.gif или P = hello_html_mc093348.gif

Пhello_html_mf084a6b.gifример 5. Определить величину давле­ния воды на полукруг, вертикально погружен­ный в жидкость, если его радиус R, а центр О находится на свободной поверхности воды (рис. 15).

Решение: Воспользуемся полученной форму­лой для нахождения давления жидкости на вер­тикальную пластинку. В данном случае пластинка ограничена линиями уhello_html_m34745add.gif= -hello_html_m7002a9ec.gif, yhello_html_m7ce8d42a.gif, x = 0, x = R.

P = hello_html_8f9093.gif

hello_html_m7d9a4cad.gifhello_html_m464fe30a.gif

hello_html_6540a370.gif



4. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой.

Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек Мhello_html_m34745add.gifhello_html_m34745add.gifhello_html_m34745add.gif), М22;yhello_html_m4bcd60e4.gif), … , Mhello_html_m9e24951.gif(xhello_html_m9e24951.gif;yhello_html_m9e24951.gif) соответственное массами mhello_html_m34745add.gif,mhello_html_m4bcd60e4.gif, … , m.

Статическим моментом SХ системы материальных точек относи­тельно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (т.е. на расстояния этих точек от оси Ох):

hello_html_maac0cf1.gifАналогично определяется статистический момент Shello_html_m7ff7e0f0.gif этой системы относительно оси Oy: Shello_html_m7ff7e0f0.gif= hello_html_5ed4d04e.gif.

Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой кри­вой, то для выражения статического момента понадобится интегрирова­ние. Пусть у =f(х) (aх b) — это уравнение материальной кривой АВ. Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью hello_html_368a497d.gif (hello_html_368a497d.gif = const).

Для произвольного х hello_html_m289d78ff.gif [а;b] на кривой АВ найдется точка с коорди­натами (х; у). Выделим на кривой элементарный участок длины dl, содер­жащий точку (х; у). Тогда масса этого участка равна hello_html_64ede811.gif. Примем этот участок dl приближенно за точку, отстоящую от оси Ох на расстоянии у. Тогда дифференциал статического момента dShello_html_m30899562.gif (“элементарный момент”) будет равен hello_html_4c5d4915.gif, т.е. hello_html_m3fbf96db.gif.

Отсюда следует, что статический момент SХ кри­вой АВ относительно оси Ох равен hello_html_mc1e1c7a.gif Аналогично находим Shello_html_m7ff7e0f0.gif:

hello_html_5f076593.gif

Статические моменты SХ и SУ кривой позволя­ют легко установить положение ее центра тяжести (центра масс).

Центром тяжести материальной плоской кривой у = f(х), х hello_html_m289d78ff.gif[а; b] называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу т заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен ста­тическому моменту всей кривой у = f(х) относительно той же оси. Обо­значим через С(хс; ус) центр тяжести кривой АВ.

Из определения центра тяжести следуют равенства hello_html_b12beac.gif и hello_html_3a9a237c.gif или hello_html_m76c9a8c4.gif и hello_html_m1c6c9c48.gif.

Отсюда hello_html_1a507135.gif, hello_html_2d56587d.gif или hello_html_m60711867.gifhello_html_m4ca78d71.gifhello_html_ee892be.gifhello_html_m52a04bb2.gif

Пример 6. Найти центр тяжести однородной дуги окружности xhello_html_4fbf37b8.gif + yhello_html_4fbf37b8.gif= R2, расположенной в первой координатной четверти (рис. 16).

Рhello_html_6198f2a2.gifешение: Очевидно, длина указанной окружности равна hello_html_m3ed2169e.gif, т.е. hello_html_6ea7df3e.gif. Найдем статистический момент ее относительно оси Ох. Так как уравнение дуги есть hello_html_1520f378.gif и hello_html_m3ceb5680.gif,

то (hello_html_20b32466.gif)

hello_html_50c14e55.gif

hello_html_m5353c237.gif.

Стало быть,

hello_html_5d7aad07.gif

Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, то хс= ус =hello_html_mcf970bf.gif

Итак, центр тяжести имеет координаты (hello_html_624e8005.gif;hello_html_624e8005.gif).

5. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры.

Пhello_html_390c3664.gifусть дана материальная плоская фигура (пластинка), 37ограничен кривой у = f(х) ≥ 0 и прямыми у = 0, х = а, х = b) (рис. 17).

Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна (hello_html_368a497d.gif = const). Тогда масса всей пластинки равна hello_html_m8d070f7.gif т. Е. hello_html_442658e3.gif. Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоугольником.

Тогда масса его равна hello_html_589f7fbf.gif. Центр тяжести hello_html_51352015.gif прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точка hello_html_51352015.gif отстоит от оси Ох на ½y, а от оси Оу на x (приближенно; точнее на расстоянии х+ ½Δx ). Тогда для элементарных статических моментов относительно осей Ох и Оу выполнены соотношения hello_html_m76c9a979.gif

и hello_html_m16b9b69f.gif

Следовательно, hello_html_7a8499d8.gif, hello_html_207f6d0e.gif По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты центра тяжести плоской фигуры (пластинки) через С(xhello_html_m53463e1f.gif;yhello_html_m53463e1f.gif), что hello_html_m2fb5a126.gifhello_html_6050adc4.gif.

Отсюда hello_html_m2883a87b.gif и hello_html_45397f0d.gif

или xhello_html_m70bc938e.gif,hello_html_253ec3b1.gif.

Пример 7. Найдем координаты центра тяжести полукруга hello_html_m3b3e3e45.gif (hello_html_368a497d.gif = const) (рис. 18).

hello_html_365c7f9a.gif

Рhello_html_207da62f.gifешение: Очевидно (ввиду симметрии фигуры относительно оси Oy), что hello_html_60e244b4.gif. Площадь полукруга равна hello_html_m5f2e1015.gif. Находим Sx: hello_html_7de6de2f.gif

hello_html_m412dcf0c.gif

Стало быть,

hello_html_3cfc5815.gif

Итак, центр тяжести имеет координаты С (0;hello_html_7795412f.gif).

Пример 8. Пирамида Хеопса представляет собой правильную четырехугольную пирамиду высотой 147м, в основании которой квадрат со стороной 232м. Она построена из камня, плотность которого 2,5г/см3. Найти работу против силы тяжести, затраченную при постройке.

Решение: Проведем вертикально вверх ось х с началом у основания пирамиды. По этой оси будем измерять высоту подъема камней. Пусть высота пирамиды равна Н, сторона основания а, а плотность камня hello_html_282a8168.gif. Обозначим через А(х) работу, которую надо совершить для постройки пирамиды от основания до высоты х. Найдем сначала сторону у квадрата, получающегося в горизонтальном сечении пирамиды на высоте х. из подобия треугольников получаем hello_html_m91782ea.gifhello_html_3fb79879.gif

Рассмотрим тонкий слой пирамиды, расположенный на расстоянии х от основания. Пусть толщина слоя равна dx. Слой можно приблизительно считать параллелепипедом. Масса его dm равна: hello_html_2c85626c.gif.

При подъеме этого слоя на высоту х была проделана работа dA, равная (gdm)x, где g- ускорение силы тяжести, т.е. hello_html_4f7db997.gif

Отсюда hello_html_1b2af8b0.gifhello_html_218d2e75.gif =

hello_html_5cf7cb95.gif

Подставляя числовые данные а=232м, Н=147м,

получаем А=2,37*1012 Дж=2,4*105тонно-километров.

Пример 9. Экспериментально установлено, что зависимость расхода бензина автомобиля от скорости на 100км пути выражается по формуле: Q=18 – 0,3v+0,003v2, где hello_html_me2891c1.gif Определить средний расход бензина, если скорость движения 50-60км/час.

Решение: Средний расход бензина составляет :

hello_html_mb602b58.gif

hello_html_1f85d2c4.gif

hello_html_m21567787.gif


2.3. Применение определенного интеграла в биологии

1. Численность популяции.

Число особей в популяции (численность популяции) меняется со временем. Если условия су­ществования популяции благоприятны, то рождаемость превышает смертность и общее число особей в популяции растет со временем. Назовем скоростью роста популяции прирост числа особей в едини­цу времени. Обозначим эту скорость v = v(t). В “старых”, уста­новившихся популяциях, давно обитающих в данной местности, скорость роста v (t) мала и медленно стремится к нулю. Но если популяция молода, ее взаимоотношения с другими местными по­пуляциями еще не установились или существуют внешние причины, изменяющие эти взаимоотношения, например сознательное вмеша­тельство человека, то v (t) может значительно колебаться, умень­шаясь или увеличиваясь.

Если известна скорость роста популяции, то мы можем найти прирост численности популяции за промежуток времени от tо до Т. В самом деле, из определения v(t) следует, что эта функ­ция является производной от численности популяции N (t) в момент t, и, следовательно, численность популяции N (t) является первообраз­ной для v (t). Поэтому

N(t) – N(thello_html_7cec0eee.gif) = hello_html_m2564aee9.gif.

Известно, что в условиях неограниченных ресурсов питания

скорость роста многих популяций экспоненциальна, т. е. v(t) = аеhello_html_m464639d5.gif. Популяция в этом случае как бы “не стареет”. Такие условия можно создать, например, для микроорганизмов, пересаживая время от времени развивающуюся культуру в новые емкости с питательной средой. Применяя формулу (1), в этом случае получим:

N(t) = N(thello_html_7cec0eee.gif) + ahello_html_m1108dce9.gif = N(thello_html_7cec0eee.gif) + hello_html_m3b34ee7b.gifehello_html_m464639d5.gifhello_html_5d62fc5b.gif = N(thello_html_7cec0eee.gif) + hello_html_m3b34ee7b.gif(ehello_html_m464639d5.gif - ehello_html_m261548bb.gif)

По формуле, N(t) = N(thello_html_7cec0eee.gif) + ahello_html_m1108dce9.gif = N(thello_html_7cec0eee.gif) + hello_html_m3b34ee7b.gifehello_html_m464639d5.gifhello_html_5d62fc5b.gif = N(thello_html_7cec0eee.gif) + hello_html_m3b34ee7b.gif(ehello_html_m464639d5.gif - ehello_html_m261548bb.gif) подсчитывают, в частности, численность культивируемых плесневых грибков, выделяющих пенициллин.



2. Биомасса популяции.

Рассмотрим популяцию, в которой масса особи заметно меняется в течение жизни, и подсчитаем общую биомассу популяции.

Пусть hello_html_m1ffc4960.gif означает возраст в тех или иных единицах времени, а N (hello_html_m1ffc4960.gif)-число особей популяции, возраст которых равен hello_html_m1ffc4960.gif. Пусть, наконец, P (hello_html_m1ffc4960.gif)-средняя масса особи возраста hello_html_m1ffc4960.gif, а М (hello_html_m1ffc4960.gif) - био­масса всех особей в возрасте от 0 до hello_html_m1ffc4960.gif.

Заметив, что произведение N(hello_html_m1ffc4960.gif) P (hello_html_m1ffc4960.gif) равно биомассе всех осо­бей возраста hello_html_m1ffc4960.gif, рассмотрим разность

M(hello_html_m1ffc4960.gif + Δhello_html_m1ffc4960.gif) – M(hello_html_m1ffc4960.gif),

где Δhello_html_m1ffc4960.gif>0. Очевидно, что эта разность, равная биомассе всех осо­бей в возрасте от hello_html_m1ffc4960.gif до hello_html_m1ffc4960.gif + Δhello_html_m1ffc4960.gif, удовлетворяет неравенствам:

N (hello_html_m24801ad5.gif) Р (hello_html_m24801ad5.gifhello_html_m1ffc4960.gifM (hello_html_m1ffc4960.gif + Δhello_html_m1ffc4960.gif) – M (hello_html_m1ffc4960.gif) ≤ N(hello_html_m6eedb7eb.gif)P(hello_html_m6eedb7eb.gifhello_html_m1ffc4960.gif,

где N (hello_html_m24801ad5.gif) Р (hello_html_m24801ad5.gif) - наименьшее, а - N(hello_html_m6eedb7eb.gif)P(hello_html_m6eedb7eb.gif) - наибольшее значения функции N (hello_html_m1ffc4960.gif) Р (hello_html_m1ffc4960.gif) на отрезке [hello_html_m1ffc4960.gif,hello_html_m1ffc4960.gif + Δhello_html_m1ffc4960.gif]. Учитывая, что Δhello_html_m1ffc4960.gif>0, из неравенств N (hello_html_m24801ad5.gif) Р (hello_html_m24801ad5.gifhello_html_m1ffc4960.gifM (hello_html_m1ffc4960.gif + Δhello_html_m1ffc4960.gif) – M (hello_html_m1ffc4960.gif) ≤ N(hello_html_m6eedb7eb.gif)P(hello_html_m6eedb7eb.gifhello_html_m1ffc4960.gif,

имеем:

N (hello_html_m24801ad5.gif) Р (hello_html_m24801ad5.gif) ≤ hello_html_51265d0f.gifN(hello_html_m6eedb7eb.gif)P(hello_html_m6eedb7eb.gif)

Из непрерывности функции N (hello_html_m24801ad5.gif) Р (hello_html_m24801ad5.gif) (ее непрерывность следует из непрерывности N (hello_html_m24801ad5.gif) и Р (hello_html_m24801ad5.gif) ) следует, что

hello_html_47415899.gif[N (hello_html_m24801ad5.gif) Р (hello_html_m24801ad5.gif)] = hello_html_47415899.gif [N(hello_html_m6eedb7eb.gif)P(hello_html_m6eedb7eb.gif)] = N (hello_html_m1ffc4960.gif) Р (hello_html_m1ffc4960.gif)

Поэтому будем иметь:

hello_html_47415899.gifhello_html_51265d0f.gif= N (hello_html_m1ffc4960.gif) Р (hello_html_m1ffc4960.gif)

Или hello_html_6bc1e352.gif = N (hello_html_m1ffc4960.gif) Р (hello_html_m1ffc4960.gif)

Следовательно, биомасса М (hello_html_m1ffc4960.gif) является перво­образной для N (hello_html_m1ffc4960.gif) Р (hello_html_m1ffc4960.gif). Отсюда: M(T) – M(0) = hello_html_m34cbffe3.gif N (hello_html_m1ffc4960.gif) Р (hello_html_m1ffc4960.gif)dt

где Т — максимальный возраст особи в данной популяции. Так как М (0), очевидно, равно нулю, то окончательно получаем:

М(Т)= hello_html_m34cbffe3.gif N (hello_html_m1ffc4960.gif) Р (hello_html_m1ffc4960.gif)dt

3. Средняя длина пролета.

В некоторых исследованиях необхо­димо знать среднюю длину пробега, или среднюю длину пути при прохождении животным некоторого фиксированного участка. При­ведем соответствующий расчет для птиц. Пусть участком будет круг радиуса R. Будем считать, что R не слишком велико, так что большинство птиц изучаемого вида пересекает этот круг по прямой.

hello_html_55476bb.gifПтица может под любым углом в любой точке пересечь окруж­ность. В зависимости от этого длина ее пролета над кругом может быть равной любой величине от 0 до 2Я (рис. 19). Нас интересует средняя длина пролета. Так как круг симметричен относительно любого своего диамет­ра, нам достаточно ограничиться лишь теми птицами, которые ле­тят в каком-нибудь одном направлении, параллельном оси Оу. Тогда средняя длина пролета — это среднее расстоя­ние между дугами АСВ и АСhello_html_m34745add.gifВ. Иными словами, это среднее зна­чение функции fhello_html_m34745add.gif(х) — fhello_html_m4bcd60e4.gif(х), где у = fhello_html_589afdc8.gif(х)- уравнение верхней дуги, а у = f2(х) -уравнение нижней дуги, т. е.

L = hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m49dd4dba.gif или L = hello_html_2b09aef3.gif.

Так как hello_html_6149c40b.gif равен площади криволинейной трапеции аАСВb), hello_html_5294bb34.gif

равен площади криволинейной трапеции аАСhello_html_m34745add.gifВb, то их разность равна площади круга, т. е. hello_html_1bfc1af9.gifR2. Разность b — а равна, очевидно, 2R. Подставив это в L = hello_html_2b09aef3.gif , получим: L = hello_html_104e9f79.gif = hello_html_m7a909234.gifR.

Приведенные примеры далеко не исчерпывают возможных приложений определенного интеграла в биологии.


2.4. Применение определенного интеграла в экономике

В курсе микроэкономики часто рассматривают так называемые предельные величины, т.е. для данной величины, представляемой некоторой функцией у =f(x), рассматривают ее производную f'x. Например, если дана функция издержек С в зависимости от объема q выпускаемого товара С = С(q), то предельные издержки будут за­даваться производной этой функции МС = С'(q). Ее экономический смысл - это издержки на производство дополнительной единицы выпускаемого товара. Поэтому часто приходится находить функ­цию издержек по данной функции предельных издержек.

Пhello_html_3024703e.gifри прогнозировании материальных затрат часто возникает необходимость вычисления площадей сложных фигур. Приведем соответствующий пример, для решения которого используется определенный интеграл.

Пример 1. Палуба корабля напоминает две пересекающиеся параболы. Сколько необходимо краски для ее покрытия, если длина корабля 80 м, ширина в центре – 20 м, а на каждый квадратный метр необходимо 0,25 кг краски.

Решение: Введем систему координат следующим образом: начало координат поместим в центре корабля, а ось x вдоль палубы (рис. 20). Чтобы найти площадь палубы, определим уравнение одной из парабол.


Общее уравнение параболы имеет видhello_html_2497cb57.gif.

Так как точки (-40;0), (40;0), (0;10) принадлежат параболе, то решением системы уравнений

hello_html_m5189759d.png,

являются следующие числа: а =-hello_html_7b9235e0.gif, b=0, с=10. Таким образом, уравнение искомой параболы имеет вид у=hello_html_4c28d5f0.gif.

Площадь половинки палубы корабля равна

hello_html_555258c.png

Для окраски половины палубы необходимо 0,25 S = hello_html_1bd33bbd.png(кг) краски. Поэтому для покраски всей палубы потребуется

20,25S=2hello_html_2612b739.gifhello_html_m632fb1ad.png 266,7 (кг).

Пример 2. Дана функция предельных издержек МС = Зq248q + 202, 1 ≤ q ≤ 20. Найти функцию издержек С = С(q) и вычис­лить издержки в случае производства 10 единиц товара, если из­вестно, что издержки для производства первой единицы товара со­ставили 50 руб.

Решение: Функцию издержек находим интегрированием:

C(q ) = hello_html_m2b5131a8.gif, где константа Со находится из данного условия С( 1) = 50, так что С0 = 50, поскольку интеграл обращается в нуль. Интегрируя, полу­чим функцию издержек C(q) = qhello_html_m65a57989.gif. Подставляя q = 10 в полученную формулу, находим искомое значение С(10) = 670.

Еще одним примером приложения определенного интеграла является нахождение дисконтированной стоимости денежного потока.

Допустим вначале, что для каждого дискретного момента времени t = 1, 2, 3, …задана величина денежного потока R((t). Если ставку процента обозначить через р, то дисконтированную стоимость каждой из величин R(1), R(2), R(3), ... найдем по известным формулам:

R(1)(1 + p)hello_html_m55d35225.gif, R(2)(1 + p)hello_html_m675b51fc.gif, R(3)(1 + p)hello_html_m76dcaf4f.gif, … .

Тогда дисконтированную стоимость денежного потока найдем, суммируя эти величины:

П = hello_html_6bd68f94.gif, где п - общее число периодов времени.

В непрерывной модели время изменяется непрерывно, т.е. для каждого момента времени 0 ≤ t Т, где [0, T] - рассматриваемый период времени, задана величина I(t) - скорость изменения денеж­ного потока (т.е. величина денежного потока за промежуток времени от t до t + dt приближенно равна I(t)dt. Для получения ве­личины П изменим формулу

П = hello_html_6bd68f94.gif. А именно, знак суммирования заменим на знак определенного интеграла, формулы вычисления дисконтированной стоимости в дискретном случае заменим на их непрерывный аналог, и тогда формула П = hello_html_6bd68f94.gif, примет следую­щий вид: П = hello_html_25bf20d9.gif.

Пример 3. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией f(t) = 3/(3t +1) + 4.

Решение: Если непрерывная функция f(t) характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t1 до t2 будет выражаться формулой:

hello_html_3918aa04.gif

В нашем случае

V =hello_html_544854d1.png = ln 10 + 12 - ln 7 - 8 = ln 10/7 + 4.

Пример 4. Под строительство гидроэлектростанции задан непрерывный денежный поток со скоростью I(t) = -t2 +20t +5 (млрд руб./год) в течение 20 лет с годовой процентной ставкой р = 5%. Найти дисконтированную стоимость этого потока.

Решение: По формуле П = hello_html_25bf20d9.gif имеем П = hello_html_1673d70a.gif.

Чтобы вычислить этот интеграл, выполним сначала замену переменной:

s = -0,05t, t = -20s, dt = -20ds.

При этом новые пределы интегрирования получаются подстановкой старых пределов в формулу замены: shello_html_7cec0eee.gif = 0, shello_html_m34745add.gif = -1. Имеем

П = -20hello_html_m46da14b5.gif(- 400s2 – 400s + 5)ehello_html_m2be5d993.gif = 20 hello_html_42bf8e52.gif (- 400s2 – 400s +5)ehello_html_m2be5d993.gifds.

К последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям, полагая и = -400shello_html_4fbf37b8.gif - 400s + 5, dи = (-800s - 400)ds, dv = ehello_html_m2be5d993.gifds, v= еhello_html_m2be5d993.gif. Поэтому

П = 20 ((-400s2 - 400s + 5)еhello_html_m2be5d993.gifhello_html_f32f076.gif + hello_html_42bf8e52.gifеhello_html_m2be5d993.gif(800s + 400)ds .

В первом слагаемом подставим пределы интегрирования, а ко вто­рому слагаемому еще раз применим формулу интегрирования по частям, полагая и = 800s + 400, dи = 800ds. Имеем

П = 20 (5 – 5ehello_html_m55d35225.gif + (800s + 400)ehello_html_m2be5d993.gifhello_html_5ed2ac7f.gif800ehello_html_m2be5d993.gifds) =

= 20(5 - - 1 +400 + (800 - 400)e - 1 - 800 + 800е - 1) =

= 20(1195е- 1 -395).

Окончательно получим П = 892 (млрд руб.).


Далее рассмотрим модель экономического роста, предложенную Е.Д. Домаром. Основные допущения этой модели сформулированы ниже.

1 . Всякое изменение величины скорости денежного потока I(t) влияет как на совокупный спрос, так и на изменение объема производства.

2. Скорость изменения величины спроса Y(t) пропорциональна производной скорости денежного потока с коэффициентом пропорциональности K = 1/s, где s - предельная величина накопления. Это предположение можно записать в виде уравнения

hello_html_4ef929d0.gif

3 Экономический потенциал к (т.е. величина стоимости товара -которые можно произвести) пропорционален объему оборот-' средств К с коэффициентом пропорциональности р, k = рК. Дифференцируя по t, получим

hello_html_m21e92003.gif.

В модели Домара предполагается, что весь экономический по­тенциал полностью используется, иными словами, У = к. Диффе­ренцируя по t, получим

hello_html_m209d66f2.gif.

Подставляя hello_html_4ef929d0.gif и hello_html_m21e92003.gif в hello_html_m209d66f2.gif, имеем hello_html_m5525593.gif = pI, hello_html_2a772d45.gif.

Чтобы найти функцию I(t) из уравнения hello_html_m5525593.gif = pI, hello_html_2a772d45.gif, проинтегрируем обе части последнего равенства по t от 0 до t. Получим

hello_html_55adcce8.gif, или ln|I(t)|hello_html_m7b021241.gif = psthello_html_m7b021241.gif,

Откуда ln|I| = ln|I(0)| + pst. Потенцируя последнее равенство, получим окончательное выражение для I(t):

I(t) = I(0)ehello_html_m56bb5bc6.gif, где I(0) – это скорость денежного потока в начальный момент времени.

Таким образом, для того чтобы поддерживать равновесие между объемом производимых благ и совокупным спросом на них, скорость денежного потока должна расти с экспоненциальной скоростью согласно формуле: I (t) = I (0)ehello_html_m56bb5bc6.gif

Определение интегральной суммы позволяет использовать понятие определенного интеграла в социально-экономической сфере. Его применение основано на том, что любой меняющийся социально-экономический процесс может быть интерпретирован как скачкообразный, скачки которого близки к нулю. Интегральное исчисление используют для прогнозирования материальных затрат, нахождения потребительского излишка (разница между той денежной суммой, за которую производитель был бы готов продать 100 единиц товара, и той суммой, которую он реально получает при продаже этого количества товара), определения объема выпуска продукции, определения экономической эффективности капитальных вложений (задача дисконтирования). И это далеко не полный список приложений. Определённый интеграл является не только мощным средством решения прикладных экономических задач, но и универсальным языком всей экономической теории, создает новые возможности для экономических исследований.



Заключение


Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись математические методы изучения реальных объектов и процессов. Одним из важнейших разделов математики, используемых для описания и решения прикладных задач, является интегральное исчисление.

Рассмотренные в данной выпускной работе примеры практических задач, дают нам ясное представление о значимости определенного интеграла. Так в процессе выполнения были рассмотрены примеры практических задач в области физики, геометрии, механики, биологии и экономики, решаемые с помощью определенного интеграла. Конечно, это еще далеко не исчерпывающий список задач, которые используют интегральный метод, но даже они показывают широкое применение этого метода при решении реальных прикладных задач. Всё это подчеркивает значимость и актуальность выполненной работы, и позволяет считать, что цель работы достигнута.

Выпускная квалификационная работа позволила автору глубже понять и систематизировать знания об определенном интеграле и возможностях его применения в различных областях науки. Рассмотренный материал работы может быть использован для проведения учебных занятий и элективных курсов в 11-х классах общеобразовательных школ, а также полезен студентам физико-математических и технических профилей, изучающим раздел «Интегральное исчисление».






Литература


  1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1993. – 319 с.

  2. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. – М.: Наука, 1971. – 736 с.

  3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – СПб.: Высшая школа, 2009. – 496 с.

  4. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов: учебное пособие. -М.: Инфра - М, 2000.- 208 с.

  5. Красс М.C Основы математики и ее приложения в экономическом образовании.- М.: Наука, 2001. - 154 с.

  6. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебное пособие для экон.спец.вузов. -М.: Юнити-Дана,2008.- 478 с.

  7. Липатникова И.Г., Поторочина К.С. Определенный интеграл.- Екатеренбург,2007. – 184 с.

  8. Ляпунова М.Г. Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики: Учебно-методическое пособие./ Благовещенск, 2000. – 44 с.

  9. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для вузов, том 2 -М.: Наука, 1985.- 560 с.

  10. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике – M.: Айрис – пресс, 2006. – 288 c.

  11. Смирнов В.И. Курс высшей математики том 1,2.- М: Наука, 1967.

  12. Солодовников А.С., Бабайцев В.А. Математика в экономике. M.: Финансы и статистика, 2005. – 560 c.

  13. Толмачев В.Н. Высшая математика: сборник задач и вопросов для самостоятельной работы - Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ,2004.-49 с.

  14. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, том 1.- СПб, Лань, 2001. - 422 с.

  15. Фихтенгольц Г.М Основы математического анализа, том 2.- СПб, Лань, 2001.– 464 с.

  16. Хавинсон С.Я. Лекции по интегральному исчислению. – М: Высшая школа, 1976. - 256 с.

  17. Шипачёв В.С. Высшая математика - М: Наука, 2003. – 684 c.hello_html_m3220337e.png

51


Доклад на тему : Применение определенного интеграла.
  • Математика
Описание:

Применение определеного интеграла в физике, экономике, биологии, экономике.

 

Определенный интеграл,

 

Ты мне ночами начал сниться,

 

Когда тебя впервые брал,

 

Я ощутил твои границы.

 

И ограниченность твоя

 

Мне придавала больше силы.

 

С тобой бороться должен я,

 

Но должен победить красиво!

 

Какое счастие познал

 

Я в выборе первообразной,

 

Как долго я ее искал,

 

Как мне далась она не сразу.

 

Замен и подстановок ряд

 

Привел к решению задачи.

 

Ты побежден! Ты мною взят!

 

Да и могло ли быть иначе…

 

 

 

 

 

 

 

Автор Мельникова Алена Сергеевна
Дата добавления 19.12.2014
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 8560
Номер материала 8122
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓