Главная / Математика / Дидактический материал по теме "Показательные уравнения" (10 класс)

Дидактический материал по теме "Показательные уравнения" (10 класс)



Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Гимназия №25» города Курска








Дидактический материал по теме:

"Показательные уравнения"

(математика, 10 класс)







Жиленкова Н.Н.

учитель математики и информатики,

высшая квалификационная категория
















Пояснительная записка

В различных теоретических и практических исследованиях часто приходится сталкиваться с необходимостью решения показательных уравнений. Поэтому изучению методов их решения должно быть уделено значительное внимание.

Показательные уравнения, изучаемые в старшей школе, осваиваются учащимися хуже, так как на их рассмотрение отводится незначительное количество часов, а при их решении ученику необходимо владеть комплексом умений, полученных в основной школе, а также новыми знаниями, связанными с каждым из новых видов уравнений. Такого объема упражнений, который обычно предлагается в учебниках по алгебре и началам анализа для 10–11-х классов, явно недостаточно для формирования умения решать показательные уравнения. Восполнить этот пробел помогут данные дидактические материалы.

В дидактических материалах предоставлены теоретические материалы по теме «Показательные уравнения», рассмотрены методы решения уравнений, предложены задания для самостоятельного изучения и закрепления новых знаний и умений. Это пособие поможет подготовиться к ЕГЭ по математике.

Цель работы направлена на обучение решения показательных уравнений стандартного вида. При подготовке к ЕГЭ эти задачи входят в группы А и В.

Работа состоит из двух частей: теоретической и практической. Это позволяет быстро и легко изучить теоретический материал и отработать его на практике. Главная задача работы заключается в том, чтобы объяснение было доступно каждому ученику независимо от его успеваемости в школе.

Данные дидактические материалы можно использовать, как в школе, так и для индивидуального обучения, а также для тех, кто хочет углубить свои знания по теме «Показательные уравнения». Теория написана доступным языком даже для тех, кто плохо усваивает учебный материал. Практические задачи подобраны так, чтобы начать с самых простейших уравнений и закончить более сложными.

Предлагаемое пособие состоит из трёх блоков. В первом блоке рассмотрен краткий теоретический материал, способствующий более эффективному развитию навыков решения уравнений и неравенств. Во втором блоке рассмотрены решения типовых примеров. В третьем блоке предложены задания для самостоятельной работы (тренажёр, тесты, индивидуальные задания).

Данные дидактические материалы создают условия для открытия новых знаний: методов решения показательных уравнений, формирования умений и навыков правильно определять и применять эти методы при решении конкретных показательных уравнений.

Они способствуют развитию моторной и смысловой памяти, умений анализировать, сравнивать, отбирать теоретический материал, умений отбирать ключевые задачи по теме и методы их решения. Так же они способствуют становлению информационной компетенции (работа со справочником, дополнительной литературой).

Теоретический материал и задания данных дидактических материалов построены в соответствии с требованиями государственного стандарта, на основе материалов учебника и дополнительных сведений из области дидактики. Материалы могут использоваться при прохождении соответствующей темы по любому из ныне принятых стандартных учебников.













Блок 1: «Показательные уравнения»

  1. Уравнение-это равенство, содержащее неизвестную величину, значение которой нужно найти.

  2. Корень уравнения – это значение неизвестной величины, при котором равенство не теряет смысла.

  3. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

  4. Функция, заданная формулой у = ах (где а > 0, а≠ 1), называется показательной функцией с основанием а.

D (y) = R (область определения – множество всех действительных чисел).

E (y) = R+ (область значений – все положительные числа).

При а > 1, функция возрастает. При 0 < а < 1, функция убывает.

hello_html_3d65861b.pnghello_html_343ca228.png

Определение 1. Показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную в показателе степени.

Например: hello_html_7d1b3be8.gif.

Определение 2. Простейшим показательным уравнением называется уравнение вида:

hello_html_m2110b678.gif.

hello_html_42dc8da4.png

При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводится к решению “простейших” показательных уравнений, то есть уравнений вида: 1) af(x) = ag(x) или 2) af(x) = b.

Очевидно, что уравнение типа 2 сводится к уравнению типа 1 с помощью основного логарифмического тождества: 3 af(x)= hello_html_2547dff8.gif.

Уравнение (1) равносильно уравнению f(x) = g(x) при а > 0, а ¹ 1.

Этот переход называется потенцированием.





Блок 2: «Виды показательных уравнени и способы их решения»

1вид: уравнения, решаемые приведением к одному основанию левой и правой частей, применяя свойства степеней:

Определения и свойства степени

Примеры

Определения:

1) a 1 = а (а hello_html_m1b762db3.gif R)

2) а n = а ∙ а ∙... ahello_html_m1b762db3.gif R, nhello_html_m1b762db3.gif N, n hello_html_m1545408.gif 0) 3) а 0=1hello_html_m1545408.gif0, аhello_html_m1b762db3.gifR)

4) а -n = hello_html_m699c4b61.gifhello_html_m1545408.gif0, а hello_html_m1b762db3.gifс R, n hello_html_m1b762db3.gif N)

5) hello_html_m555c0079.gif= hello_html_327dfb0a.gif (n hello_html_m1b762db3.gif N, m hello_html_m1b762db3.gifQ, а >0)


(-1,7в)1 = -1,7в

(-1,7в)3 = (-1,7в) (-1,7в) (-1,7в) = -4,913

(—1,7 в)0=1, если вhello_html_m1545408.gif 0


(—0,25) -3 = hello_html_m67a842cb.gif = (-4)3 = 64

hello_html_m6f5eb825.gif= hello_html_4d226cd8.gif= hello_html_730f8cf2.gif =hello_html_m14a9e6a4.gif= 8


Свойства:

Примеры


  1. ах · ау = ах+у



  1. х)у = аху



  1. ах : ау = ах-у



  1. ах · bх = (аb)х


  1. hello_html_327dfb0a.gif= hello_html_m555c0079.gif



m1,5m-2 = m1,5+(-2)= m-0,5

l,5.1,5 -0,5х= 1,52,5х

hello_html_m2422d2c8.gif=(0,25)-2 = 42 = 16

(5х)2 = 5= (52)х = 25х


m1,5 : m-2 = m1,5-(-2)= m3,5

l,5: 1,5 -0,5х= 1,53,5х


3· 5= (3∙5)=15


hello_html_5c3b0797.gif=34=81

а) hello_html_48afdeb.gif.

Проверка: hello_html_m648d4621.gif; hello_html_671fdcb2.gif; hello_html_560e332a.gif =hello_html_560e332a.gif;

Ответ: х =hello_html_m2e775d69.gif;



б) hello_html_2c51640d.gif.

Решение: hello_html_4e1583e4.gif; hello_html_m6c842878.gif; hello_html_6f241518.gif;

hello_html_m603649.gif; hello_html_6f1e4e9.gif; hello_html_m73680f54.gif;

(х+5)(х–3)=(х+25)(х–7); х2+5х–3х–15=х2+25х–7х–175; 16х=160; х=10.

Проверка: х=10. hello_html_6111bb52.gif; hello_html_6b19b614.gifhello_html_32b8cf2c.gif; hello_html_m7c3b9b6a.gif;

hello_html_m1223f657.gif; hello_html_m1fbd6b49.gif=hello_html_m1fbd6b49.gif– верно.

Ответ: х=10;

в) hello_html_3f2a7b23.gif.

Решение: hello_html_m414b8a86.gif; hello_html_m7a12d7b2.gif; hello_html_3a40c00d.gif; hello_html_m68cf966e.gif; hello_html_m374acc57.gif; x=1.

Проверка: hello_html_m3e17fb7b.gif; hello_html_24633d3f.gif; hello_html_25ec57b9.gif=hello_html_25ec57b9.gif– верно.

Ответ: х=1;

г) hello_html_m3d10541c.gif.

Решение: hello_html_41f7f5e6.gif; ½3х–4½=4х–4,

для х ³hello_html_3294b63c.gifимеем ½3х–4½=3х–4 и тогда уравнение запишем в виде
3х–4=4х–4; –х=0; х=0; для х <hello_html_3294b63c.gifимеем ½3х–4½=4–3х и уравнение запишем в виде 4–3х=4х–4; –7х=–8; х=hello_html_m4945e5c4.gif.

Проверка: х=0. hello_html_34797e8c.gif; hello_html_m385b50d5.gif; hello_html_m19d03e7c.gif – не верно.

х=hello_html_m4945e5c4.gif. hello_html_m695abe0.gif; hello_html_m457adcd2.gif; hello_html_m13452c51.gifhello_html_527ff2d0.gif – верно.

Ответ: х=hello_html_m4945e5c4.gif.

2 вид – уравнения вида P(ax)=0, где P(y) – многочлен 2 или 3 степени, или уравнения, сводящиеся к ним. Такие уравнения решаются методом подстановки: ax=y, решаем уравнение P(y)=0, находим его корни yi и потом решаем простейшее уравнение ax= yi.

Пример: а) hello_html_52909050.gif.

Решение: hello_html_52e00413.gif.

Обозначаем: hello_html_m1ca4d1a3.gif = y; 3y2–10y+3=0; D=25–9=16; y1=3; y2=hello_html_3fd6018b.gif.

Получаем: 1. hello_html_m1ca4d1a3.gif=3; hello_html_md9e2bab.gif; hello_html_75db72e9.gif; х1=2.

 2. hello_html_m1ca4d1a3.gif=hello_html_3fd6018b.gif; hello_html_m64282dec.gif; hello_html_m363ecef3.gif; х2=–2.

Проверка: 1. hello_html_m1a2465e8.gif; 3×9–10×3+3=0 – верно.

2. hello_html_m7c5f3927.gif; hello_html_2b26ba4d.gif; hello_html_m445388ca.gif – верно.

Ответ: х=2; х=–2;

б) hello_html_m544ec4e7.gif.

Решение: hello_html_m69a38a6c.gif. Пусть 4х=y, y2+12y–64=0,

y1,2=–6±hello_html_65feea65.gif=–6±10,

y1=4; y2=–16 (п.к.), т.к. 4х> 0, 4х=4 Þ х=1.

Проверка: hello_html_619918f1.gif; 16+3×16–64=0; 16+48–64=0 – верно.

Ответ: х=1;

в) hello_html_2d35136a.gif.

Решение: hello_html_5036c600.gif, hello_html_3964d76f.gif.

Пусть hello_html_m6250def6.gif, hello_html_m509beba.gif,hello_html_6ce8e7b5.gif,

hello_html_m351efcf.gif,

hello_html_a8d0ddb.gif; hello_html_m186bfec5.gif; hello_html_6fd5680f.gif; hello_html_4e5c494c.gif; hello_html_3ef1007f.gif; hello_html_m2b8de957.gif; x=20.

Проверка: x=20. hello_html_m1ca5eba5.gif, hello_html_m7998239a.gif – верно.

Ответ: х=20.

г) hello_html_m4977699e.gif.

Решение: hello_html_m1e3dd6f4.gif. Пусть hello_html_m236427fb.gif; тогда уравнение запишем в виде hello_html_39ee74f1.gif; y1,2=2hello_html_m2243feda.gif; y1=3 и y2=1; hello_html_7f5cf512.gif или hello_html_m53966a40.gif; x2–1=1; x2–1=0; x=hello_html_2548cba7.gif; x= ±1.

Проверка: x=hello_html_2548cba7.gif; hello_html_m2c36b951.gif; 9–12+3=0 – верно;

х= ±1; hello_html_m5ecffb8d.gif; 1–4+3=0 – верно.

Ответ: x=hello_html_2548cba7.gif; х=±1.

3 вид – уравнения, решаемые методом вынесения общего множителя за скобки:

а) hello_html_7a670b1.gif.

Решение: hello_html_7998ed4c.gif; hello_html_mec73e6e.gif; hello_html_1ec80b52.gif;

hello_html_m766bd17a.gif; hello_html_2232a279.gif; hello_html_23c3ede.gif; х=0.

Проверка: hello_html_62683fb2.gif; hello_html_m623ffe99.gif; 0,992=0,992 – верно.

Ответ: х=0;

б) hello_html_m10687832.gif.

Решение: hello_html_1541240.gif; hello_html_m1a1dd7a9.gif;

hello_html_3f079e5e.gif; hello_html_34ba261d.gif; х=0.

Проверка: hello_html_4e9d7b6e.gif; 49–1+2–2=48; 48=48 – верно.

Ответ: х=0;

в) hello_html_14af5b16.gif.

Решение: hello_html_176a73a.gif; hello_html_608fef73.gif;

hello_html_m6f39fe9.gif; hello_html_2c7d605b.gif; hello_html_m3c8b35a.gif; hello_html_75db72e9.gif; х=2.

Проверка: hello_html_79912f43.gif; hello_html_m5ecf54e4.gif; 2–8+3=–3;

–3=–3 – верно.

Ответ: х=2.

4 вид – уравнения вида hello_html_2bb48aaf.gif решаются путем деления членов на hello_html_m40c7cd0.gif или hello_html_33f88d48.gif.

а) hello_html_30ba12b.gif.

Решение: Делим на hello_html_m67bef6b0.gif.

hello_html_3a780946.gif; hello_html_m67853ed5.gif.

Положим hello_html_4d212d61.gif, тогда имеем hello_html_23a4d2cf.gif; hello_html_m7ba546e0.gif. Решаем это уравнение и получаем y1=1, y2=hello_html_m59cd3818.gif. следовательно: hello_html_11fb3316.gif; hello_html_ma9056ee.gif.

Проверка: х=0; hello_html_23f1c8ea.gif; 3+2=5 – верно;

х=hello_html_7eb9c800.gif; hello_html_m52aadb44.gif; 12+18=30 – верно.

Ответ: х=0; х=hello_html_7eb9c800.gif.

б) hello_html_m7250d3e6.gif.

Решение: hello_html_261da954.gif; hello_html_1f066302.gif. Разделим обе части данного уравнения на hello_html_29a65714.gif. hello_html_51bf29fd.gif; hello_html_m75881a5c.gif. Пусть hello_html_62a51906.gif, тогда уравнение примет вид: hello_html_m43a3249e.gif; hello_html_6deb0af8.gif, hello_html_1af763c9.gif; hello_html_m6b55ea29.gif; hello_html_m5d3ce28a.gif;

hello_html_3ef245b9.gif; hello_html_1bfe13b3.gif.

Проверка: hello_html_54a7a78.gif; hello_html_5dd75ce6.gif. Делим на hello_html_3246a20f.gif.

hello_html_m2d47a47a.gif; hello_html_m7c72841e.gif; hello_html_md81b0d0.gif;

6=6 – верно;

hello_html_m53ee8eaf.gif; hello_html_afdac9e.gif. Делим на hello_html_m5f530a8f.gif;

hello_html_67d44273.gif; hello_html_4d801171.gif; 6=6 – верно.

Ответ: hello_html_54a7a78.gif; hello_html_m53ee8eaf.gif.


Блок 3: Задания для самостоятельной работы

1)Тренажёр

  1. hello_html_1fde84a3.gif.

  2. hello_html_m1f87284e.gif.

  3. hello_html_m510d8db6.gif.

  4. hello_html_m9909f70.gif.

  5. hello_html_2ab7b174.gif

  6. hello_html_117423a2.gif.

  7. hello_html_5ac3f3cf.gif

  8. hello_html_5d2fc4d9.gif

  9. hello_html_m10672c3.gif

  10. hello_html_67481f1b.gif

  11. hello_html_m2e80460c.gif.

  12. hello_html_m7a3002.gif.

  13. hello_html_7008a242.gif,

  14. hello_html_29fc0780.gif.

  15. hello_html_24163dd8.gif.

  16. hello_html_m4f7010f6.gif.

  17. hello_html_m6426efa8.gif

  18. hello_html_33119d05.gif

  19. hello_html_m775006a4.gif

  20. hello_html_m15c035a8.gif

  21. hello_html_740ac7e5.gif

  22. hello_html_m5d7a2402.gif

  23. hello_html_18939703.gif.

  24. hello_html_e83d6b5.gif.

  25. hello_html_264bcb93.gif



2)Тест

1 вариант

1.Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения (hello_html_m4365f475.png)hello_html_m5934d460.png=125.

1. hello_html_m951a5b.png;
2.hello_html_m7ddc8c06.png;
3.hello_html_m67b3a3a8.png;
4.hello_html_753f5954.png.

2. Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения 3hello_html_m1e8e65b3.png.

1.hello_html_m1ec87dd8.png;
2.(-2;-1);
3. hello_html_m469d5d1.png;
4.(1;2)

3. Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения 5hello_html_m2fc399a6.png

1.hello_html_m66c24821.png;
2.(-1;1);
3. hello_html_1de638d7.png;
4.(-2;0).

4. Решите уравнение. В ответе укажите меньший корень hello_html_m2b6046cc.png.

5. Решите уравнение 7x5hello_html_m3c1135d5.png.

6. Решите уравнение hello_html_4d502098.png

7. Решите уравнение 6hello_html_651cd99b.png.

8. Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения 5hello_html_5740aa1d.png.

1.hello_html_3f4c9b9d.png;
2. hello_html_7de822ed.png;
3.hello_html_55954e3e.png;
4.hello_html_m4c221c8f.png.

9. Решите уравнение 3hello_html_7f04d943.png

10. Решите уравнение 3hello_html_5fb85d92.png

2 вариант

1. Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения 4hello_html_1e1d80da.png.

1. (-5;-2);
2. (1;2);
3. hello_html_m469d5d1.png;
4. hello_html_67e4cf89.png.

2.Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения 0,3hello_html_7bf3156c.png.

1. (-1;0);
2. (0;1);
3. (1;2);
4. (2;3).

3. Указать меньший корень уравнения 10hello_html_35eaa5ab.png

1. 5   2. 1   3.   -1 4. 0.

4. Решить уравнение hello_html_46b9307a.png

5. Решить уравнение 3hello_html_m17ee67b9.png

6. Решить уравнение hello_html_7449501a.png

7. Решить уравнение hello_html_375da89b.png

8. Решите уравнение и выберите правильный ответ: 5hello_html_5740aa1d.png.

1. 1 2. ±2 3. нет решений 4. ±5

9. Решите уравнение hello_html_1eff62ec.png

10. Решите уравнение 2x4hello_html_3edd80b4.png-5=0.



3) Задания для индивидуальной работы



Индивидуальная работа № 1


Вариант 1

hello_html_5ad2f2cd.gif

Вариант 2

hello_html_22a4f90f.gif

Вариант 3

hello_html_m6d19c94e.gif

Вариант 4

hello_html_328e2b70.gif

Вариант 5

hello_html_15ab5012.gif

Вариант 6

hello_html_3bd5778.gif



Вариант 7

hello_html_m871b3ce.gif

Вариант 8

hello_html_m688174f3.gif

Вариант 9

hello_html_m6a18bffb.gif

Вариант 10

hello_html_m3a7b82f9.gif

Вариант 11

hello_html_md1dc6fc.gif

Вариант 12

hello_html_25e0dfe7.gif







Индивидуальная работа № 2


Вариант 1

hello_html_m5d2834b7.gif

Вариант 2

hello_html_m268c0445.gif

Вариант 3

hello_html_m53cd9795.gif

Вариант 4

hello_html_m17dc8426.gif

Вариант 5

hello_html_57842a3a.gif

hello_html_m633e085a.gif

Вариант 6

hello_html_7abc47fe.gif

Вариант 7

hello_html_64dcbb69.gif

Вариант 8

hello_html_5eac1b35.gif

Вариант 9

hello_html_m206df78.gif

Вариант 10

hello_html_m72441069.gif

Вариант 11

hello_html_m7454b820.gif

hello_html_a769efb.gif

Вариант 12

hello_html_19741c1b.gif








Индивидуальная работа № 3


Вариант 1

  1. hello_html_26d9a6bb.gif

  2. hello_html_4ae6f884.gif


  1. hello_html_7c55c31a.gif


  1. hello_html_24b7573c.gif


  1. hello_html_m22b9ab74.gif


  1. hello_html_71d27f52.gif


  1. hello_html_m64fea420.gif


  1. hello_html_52282ae4.gif


  1. hello_html_m4c63b461.gif


  1. hello_html_60c10968.gif


Вариант 2

  1. hello_html_64bde2c6.gif

  2. hello_html_m4085f659.gif


  1. hello_html_295ee7b.gif


  1. hello_html_7b14b22d.gif


  1. hello_html_m49b25c56.gif


  1. hello_html_mc0388ed.gif


  1. hello_html_m2ce17631.gif


  1. hello_html_m166ac730.gif


  1. hello_html_649192b9.gif


  1. hello_html_m282a4241.gif


Вариант 3

1. hello_html_m3edec059.gif

2. hello_html_cb916b.gif


3. hello_html_4f9b3bf2.gif


4. hello_html_1768e9f0.gif


5. hello_html_m59739306.gif


6. hello_html_e327ec8.gif


7. hello_html_506721d9.gif


8. hello_html_m5a7d58bd.gif


9. hello_html_m4c63b461.gif


10. hello_html_1680d6e9.gif

Вариант 4

1.hello_html_574adcba.gif

2. hello_html_m5e9c6919.gif


3. hello_html_41a59074.gif


4. hello_html_m414dcb21.gif


5. hello_html_13503f1.gif


6. hello_html_6576b816.gif


7. hello_html_5d93fef5.gif


8. hello_html_75683102.gif


9. hello_html_11c1f92a.gifhello_html_m53d4ecad.gif


10.hello_html_m6916df4e.gif

При разработке дидактических материалов использованы ресурсы сети Интернет:

http://www.korolewa-ow.narod.ru/sist_ind.htm


Дидактический материал по теме "Показательные уравнения" (10 класс)
  • Математика
Описание:

             В различных теоретических и практических исследованиях часто приходится сталкиваться с необходимостью решения показательных уравнений. Поэтому изучению методов их решения должно быть уделено значительное внимание.

            Показательные уравнения, изучаемые в старшей школе, осваиваются учащимися хуже, так как на их рассмотрение отводится незначительное количество часов, а при их решении ученику необходимо владеть комплексом умений, полученных в основной школе, а также новыми знаниями, связанными с каждым из новых видов уравнений. Такого объема упражнений, который обычно предлагается в учебниках по алгебре и началам анализа для 10–11-х классов, явно недостаточно для формирования умения решать показательные  уравнения. Восполнить этот пробел помогут данные дидактические материалы.

         В дидактических материалах предоставлены теоретические материалы по теме «Показательные уравнения», рассмотрены методы решения уравнений, предложены задания для самостоятельного изучения и закрепления новых знаний и умений. Это  пособие   поможет подготовиться  к ЕГЭ по математике.

 

         Цель работы направлена на обучение решения показательных уравнений стандартного вида. При подготовке к ЕГЭ эти задачи входят в группы А и В.

Автор Жиленкова Наталья Николаевна
Дата добавления 06.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 945
Номер материала 39152
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓