Инфоурок › Математика ›Другие методич. материалы›Численные методы. Лабораторно-практические раюоты.

Численные методы. Лабораторно-практические раюоты.

Рассмотрено на заседании МО естественно-математических дисциплин

«___» ________________ 201__ года

Протокол № _____

Оглавление

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.. 4

Указания по выполнению лабораторных работ. 6

Лабораторная работа №1 Тема: Элементарная теория погрешностей. 7

Лабораторная работа №2 Тема: Погрешности результата. 9

Лабораторная работа №3. Тема: Отделение корней. Метод проб. 11

Лабораторная работа №4. Тема: Отделение корней. Метод хорд. 12

Лабораторная работа №5. Тема: Отделение корней. Метод касательных. 14

Лабораторная работа №6. Тема: Отделение корней. Комбинированный метод. 15

Лабораторная работа №7. Тема: Отделение корней. Метод итерации. 16

Лабораторная работа № 8. Тема: Решение нелинейных задач. 17

Лабораторная работа № 10. Тема: Решение систем линейных уравнений. 19

Лабораторная работа № 11. Тема Решение систем линейных уравнений методом Крамера. 22

Лабораторная работа № 12. Тема: Решение систем линейных уравнений. 24

Лабораторная работа №13. Тема: Решение систем линейных уравнений. 28

Лабораторная работа №14. Тема: Интерполирование функций. 31

Лабораторная работа №15. Тема: Интерполирование функций. 36

Лабораторная работа № 16. Тема: Интерполирование функций. 39

Лабораторная работа №17. Тема: Интерполирование функций. 43

Лабораторная работа №18. Тема: Интерполирование функций. 46

Лабораторная работа № 19. Тема: Симплекс-метод решения задач линейного программирования. 49

Лабораторная работа №20. Тема: Транспортная задача. Метод потенциалов. 56

Литература. 64

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Настоящий сборник лабораторно-практических работ для проведения факультативных занятий в старших классах школ естественно-математического направления разработан с целью повышения уровня математической подготовки учащихся старших классов. Программа предусматривает профориентационную направленность факультативных занятий, так как показывает область применения математических знаний при выполнении практических задач в программе Excel.

Общий объем - 136 часа, из них:

• Теоретических занятий - 68 часов;

• Лабораторно-практических занятий - 68 часов

Распределение часов на изучение факультативного курса по классам следующее:

10 класс – 68 часов

11 класс – 68 часов.

Факультативный курс «Численные методы» предусматривает изучение учащимися основных методов и средств выполнения вычислений на ЭВМ.

В ходе освоения факультативного курса учащиеся должны:

Иметь понятие:

• О роли и месте математических знаний при решении задач в программе Excel;

• О решении задач на ЭВМ с заданной точностью;

• Об определении погрешностей вычислений;

• О возможностях решения математических задач на ЭВМ для обеспечения потребностей пользователей;

• О видах погрешностей, основных методах решения нелинейных уравнений и систем уравнений, задаче интерполяции, интегралах, дифференциальных уравнениях:

Уметь:

· Выбирать метод решения задач;

· Составлять алгоритмы программ для решения математических задач.

Изучение факультативного курса «Численные методы» способствует развитию математического, логического мышления, что является необходимым для учащихся классов естественно-математического направления. Изучение дисциплины имеет практическую направленность и проводится в тесной связи с другими дисциплинами.

Пререквизиты: изучение факультативного курса основывается на имеющихся знаниях, полученных учащимся по дисциплинам «Математика», «Алгебра и начала анализа», «Информатика».

Постреквизиты: изучение факультативного курса «Численные методы» подготавливает к изучению программирования, к решению математических задач на ЭВМ.

Использование межпредметных связей обеспечивает преемственность в изучении материала, исключает дублирование материала и позволяет рационально распределять время.

Для закрепления теоретических знаний и приобретения необходимых практических навыков и умений проводятся практические и лабораторные работы, перечень которых указан в тематическом плане дисциплины.

В настоящий сборник входят 20 работ по всем изучаемым темам. Сборник подготовлен таким образом, что лабораторно-практические занятия могут проводиться в кабинетах, оснащенных компьютерной техникой и в кабинетах, где таковая отсутствует.

Каждая работа содержит теоретический материал по рассматриваемой теме, руководство по проведению работы, представленное на примере выполнения конкретного задания, и задания для самостоятельного выполнения. Часть лабораторно-практических работ можно использовать для организации самостоятельной работы обучающихся или как индивидуальные домашние задания (ИДЗ).

Тематическое планирование

№ п/п	Тема	Количество часов
№ п/п	Тема	теория	практика
10 класс
1	Теория погрешностей	6	6
2	Решение алгебраических и трансцендентных уравнений	10	10
3	Интерполирование функций	4	4
4	Метод наименьших квадратов	4	4
5	Решение систем линейных уравнений различными способами	10	10
11 класс
6	Численное интегрирование функций	4	4
7	Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений	4	4
8	Метод квадратного корня	4	4
9	Метод простых итераций	4	4
10	Линейное программирование	4	4
11	Симплекс-метод решения задач линейного программирования	8	8
12	Транспортная задача. Метод потенциалов	6	6
Итого		68	68

Указания по выполнению лабораторных работ.

Задание к лабораторной работе состоит из двух частей – практической и теоретической. Практическая часть лабораторной работе выполняется в компьютерных классах, согласно расписанию занятий.

Перед началом выполнения практической части задания обучающийся обязан ознакомиться с теоретическим материалом по теме занятия и законспектировать его в тетради для лабораторных работ.

После того, как обучающийся продемонстрировал конспект преподавателю, он может приступать к выполнению практического задания, при этом

запрещается:

1. Самовольно, без разрешения преподавателя покидать свое рабочее место.

2. Рвать, мять и делать пометки в сборниках лабораторных работ.

3. Пользоваться флеш-картами и другими съемными носителями, непроверенными на наличие вирусов.

4. Удалять файлы, созданные другими пользователями.

5. Настраивать оформление рабочего стола и других элементов пользовательского интерфейса, если этого не требует выполнение работы.

При выполнении лабораторных работ обучающийся обязан:

1. Выполнять правила техники безопасности.

2. Выполнять указания преподавателя.

3. Выполнять инструкции, содержащиеся в описании работы и теоретическом материале.

При выполнении работы учащийся имеет право:

1. Получать консультацию учителя по возникающим вопросам

2. Выполнять работу как на бумажных носителях, так и с использованием ПК.

3. Выполнять работу на личном ноутбуке.

4. Сохранять решенные задания на съемных носителях

Лабораторная работа №1 Тема: Элементарная теория погрешностей.

Цель: Научиться находить предельные абсолютные и предельные относительные погрешности.

Задание 1.

Определить какое равенство точнее =0,818 или =4,24

Решение:

Находим значение данных выражений с большим числом десятичных знаков:

а==0,81818… а=4,2426…

Затем вычисляем предельные абсолютные погрешности, округляя их с избытком:

∆ а=|0,81818-0,818|≤ 0.00019 ∆а=|4.2426-4.24|≤ 0.0027

Предельные относительные погрешности составляют

δ===0,00024=0,024% δ===0,00064=0,064%

4. Так как δа< δ, то равенство =0,818 является более точным

Это был ручной способ поиска равенства, являющегося более точным. Для автоматического поиска более точного равенства можно использовать среду программирования MS Excel. Для этого необходимо подготовить рабочий лист так, как показано на рисунке 1.1

Рисунок 1.1 Элементарная теория погрешностей

Здесь в ячейки А4 и В4 заносятся условия задачи: в А4 – 0,818, В4 – 4,24

В ячейки В6 и В7 записывают значения данных выражений с большим числом десятичных знаков (число знаков должно быть на два знака больше): В6 – 0,81818, В7 – 4,2426

В ячейки D6 и D7 записывают формулы для вычисления предельных абсолютных погрешностей для первого и второго равенств соответственно: D6= В6-А4+0,00001 (соответственно 0,81818-0,818+0,00001 т.к. мы брали 5 знаков после запятой, а по условию необходимо абсолютные погрешности округлять с избытком)

D7=В7-В4+0,0001( соответственно 4,2426-4,24+0,0001 т.к. мы брали 4 знака после запятой, а по условию необходимо абсолютные погрешности округлять с избытком)

В ячейки D9 и D10 записывают формулы для вычисления предельных относительных погрешностей для первого и второго равенств соответственно:

D9=D6/А4 (соответственно 0,00019/0,818)

D10=D7/В4 (соответственно 0,0027/4,24)

В ячейке D12 отображается результат выполнения задачи. Для вывода результата используется функция ЕСЛИ (рис.1.2). В строке Логическое выражение записываем условие для исполнения. В оставшихся двух строках записываем результат вывода, который будет выведен, если Логическое выражение примет истину (первое равенство является более точным) или ложь (второе равенство является более точным). В строке формул для этой ячейки будет записана следующая формула:

D12=ЕСЛИ (D9< D10: «первое равенство является более точным»; «второе равенство является более точным»)

Рисунок 1.2 Функция ЕСЛИ

Задания для самоконтроля: Определить какое равенство точнее:

1. =0,463 и =6,63;

2. =0,235 и =3,24;

3. =0,857 и =2,19.

Задание 2.

Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки:

А) в узком смысле 72,353(±0,026);

В) в широком смысле 2,3544, если δ=0,2%.

Решение:

А) Пусть 72,353(±0,026)= а. Согласно условию, предельная абсолютная погрешность только ∆ а=0,026. в узком смысле это необходимо сравнить с 0,05(т.к. после запятой только один нуль). Сравнивая, получаем: 0,026<0.05. это означает, что в числе 72,353 верными в узком смысле являются цифры 7,2,3. По правилам округления найдем приближенное значение числа 72,353, сохранив десятые доли и обозначим за а=72,4

Далее находим ∆(округленное): ∆=| а-а|=|72.4-72.353|=0.047

Затем определяем предельную абсолютную погрешность числа а

∆ а=∆+∆=0,026+0,047=0,073

Полученная погрешность больше 0,05; значит, нужно уменьшить число цифр в приближенном в числе до двух:

а =72; ∆=|а-а|=|72-72.353|=0.353;

∆а= ∆а+∆=0,026+0,353=0,379.

Полученное число (0,379) сравниваем с 0,5(т.к. после запятой нет нулей). Получаем, что ∆а<0,05 откуда следует, что обе оставшиеся цифры верны в узком смысле.

Б) Пусть а= 2,3544; δ=0,2%.

Находим предельную абсолютную погрешность числа а: ∆ а= а* δ= 2,3544*0,002=0,00471. В широком смысле это число также необходимо сравнить с 0,005(т.к. после запятой два нуля). Сравнивая, получаем: 0,00471<0,005. Это означает , что в данном числе являются числа 2,3,5. Поэтому округляем его, сохраняя эти цифры: а=2,35.

Находим ∆:∆=| а-a|=|2.35+2.3544|=0.0044.

Теперь определяем предельную абсолютную погрешность числа а

∆ а=∆+∆=0,00471+0,0044=0,00911

Полученное число (0,00911) сравниваем с числом 0,005 (т.к. после запятой два нуля). Получаем, что ∆ а>0,005. Значит и в округленном числе 2,35 все три цифры верны в широком смысле.

Задания для самоконтроля: Определить какое равенство точнее:

1. а)23,543(±0,016)

б)2,8546; δ=0,3%.

2. а)5,436(±0,0028)

б)10,8441; δ=0,04%.

3. а)2,45431(±0,0003)

б)24,5643; δ=0,1%.

Лабораторная работа №2 Тема: Погрешности результата

Задание 1:

Вычислить и определить погрешности результата

Х=, где m=28.3(±2,02),n=7,45(±0,01),k=0,678(±0,003)

Решение: для начала необходимо определить m,n и . Получаем:

m=(28,3)=800,9; n=(7,45)=413,5; =1,8234;

Далее определяем Х без учета абсолютных погрешностей: Х==402,200

Теперь определяем предельные относительные погрешности для m, n и k:

δ=0,02/28,3=0,00071; δ=0,01/7,45=0,00134; δ=0,003/0,678=0,00442

Получив эти данные, определим погрешность результата:

δ=2 δ+3 δ+0,5 δ, где 2 δ т.к по условию дано m, 3 δ т.к. по условию дано n, 0,5 δ т.к. по условию дано k

Таким образом, δ=2 δ+3 δ+0,5 δ=2*0,00071+3*0,00135+0,5*0,00443=

=0,00142+0,00405+0,00222=0,00769=0,77%

В заключении определим предельную абсолютную погрешность результата:

∆=Х* δ=402,200*0,0077=3,096994.

Ответ: Х=402,200(±3,097); δ=0,77%

Задание 2:

Вычислить и определить погрешности результата:

N=, где n=3,0567(±0,0001), m=5,72(±0,02)

Для начала находим

n-1 =2,0567(±0,0001) (2,0567 получается из 3,0567-1),

m+n=5,72(±0,02)+3,0567(±0,0001)=8,7767(±0,0201),

m-n=5,72(±1,02)-3,0567(±0,0001)=2,6633(±0,0201) (погрешности складываются)

Далее определяем N без учета абсолютных погрешностей:

N===2,545≈2,55;

Теперь определим предельные относительные погрешности для (n-1),(m+n) и (m-n).

δ=0,0001/2,0567=0,000049;

δ=1,0201/8,7767=0,0023;

δ=0,0201/2,6633=0,0075, откуда определим погрешность результата:

δ= δ+ δ + 2δ,здесь 2δ т.к. по условию дано (m-n)

∆= δ+ δ +2δ=0,000049+0,0023+2*0,0075=0,0173=1,74%

В заключении определим предельную абсолютную погрешность результата:

∆= N* δ=2,55*0,0173=0,044

Ответ: N ≈2,55(±0,044); δ=1,74%

Автоматический поиск погрешностей результата

Для автоматического поиска погрешностей результата начертите следующую таблицу в Excel т.к. показано на рис.2.1

Рис.2.1. Автоматический поиск погрешностей результата

Определяем m:Ячейка F5=В5^2.

n: Ячейка F6=В6^3.

: Ячейка F7=КОРЕНЬ(В7).

Далее определяем X без учета абсолютных погрешностей: Ячейка В10= (F5*F6)/F7.

Теперь определим предельные относительные погрешности для

m: Ячейка С12=С5/В5.

n: Ячейка С13=С6/В6.

k: Ячейка С14=С7/В7.

Откуда определим погрешность результата δ: Ячейка С15=2*С12+3*С13+0,5*С14.

В заключении определим предельную абсолютную погрешность результата ∆: Ячейка С16=В10+С15.

Задания для самоконтроля: Определить какое равенство точнее:

1. а) X= , a=228,6(±0,06),b=86,4(±0,02),c=68,7(±0,5).

Б) X= , m=4,22(±0,004), a=13,5(±0,02), b=3,7(±0,02), c=34,5(±0,02), d=23,725(±0,005)/

2. а) X=, a=3,845(±0,04),b=16,2(±0,05),c=10,8(±0,1).

Б) X= , a=2,754(±0,001), b=11,7(±0,04), m=0,56(±0,005), c=10,536(±0,002), d=6,32(±0,008).

3. a) X=, a=3,456(±0,002),b=0,642(±0,0005), c=7,12(±0,004).

Б) X=, a=23,16(±0,02), b=8,23(±0,005), c=145,5(±0,08), d=28,6(±0,1), m=0,28(±0,006).

Лабораторная работа №3. Тема: Отделение корней. Метод проб.

Задание 1. отделить корни аналитически и уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01. х-x-2x+3x-3=0

Решение: Полагаем, что f(x)= х-x-2x+3x-3. Определим f(x), а затем найдем корни уравнения.

F(x) = х-x-2x+3x-3=0

4x(x-1)-3(x-1) =0

(x-1)(4x-3)=0

1) (x-1)=0 2) (4x-3)=0

x = 1 x=3/4

x = -1

x = 1

Составим таблицу знаков функции f(x) (табл.3.1):

Таблица 3.1

Таблица знаков функции

x	-∞	-1	3/4	1	+∞
Знак функции f(x)	+	-	-	-	+

Из таблицы видно, что уравнение имеет два действительных корня: x€ [-∞;-1];x€ [1;+∞]

Уменьшим промежутки, в которых находятся корни (табл. 3.2):

Таблица 3.2

Определение промежутков, содержащих корни уравнения

x	-2	-1	1	2
Знак функции f(x)	+	-	-	+
	a	b	-	+

Следовательно, x€ [-2;-1];x€ [1;2].

Уточним один из корней, например на промежутке [-2;-1], методом проб до сотых долей. Все вычисления удобно производить, используя следующую таблицу:

· если в столбце f(x) отрицательное число, то полученное число x=… заносится в столбец, где a или b отрицательно;

· если в столбце f(x) положительное число, то полученное число x=… заносится в столбец, где a или b положительно.

Знак a и b определяется из таблицы 3.2 знаков функции. В нашем случае a имеет знак “+”, т.е. a, а b имеет знак “-‘, т.е. b).

Таблица 3.3

Таблица решения уравнения

N	a	b	X=	f(x)	\|a-b\|
0	-2	-1	-1,5	-3,5625	1
1	-2	-1,5	-1,750	0,3633	0,5
2	-1,750	-1,5	-1,625	-1,8923	0,25
3	-1,750	-1,625	-1,688	-0,8432	0,125
4	-1,750	-1,688	-1,719	-0,2555	0,062
5	-1,750	-1,719	-1,735	0,0488	0,031
6	-1,735	-1,719	-1,727	-0,0998	0,016
7	-1,735	-1,727	-1,731	-0,0208	0,008

Вычисляем до тех пор, пока |a-b|≤0.01

Ответ:х≈-1,73 (взяли меньшее)

Реализация этого метода в MS Exсel осуществляется следующим образом (Рис. 3.1)

Здесь вычисляемыми являются столбцы Н (т.е. х=). I(т.е. f(х)), J(т.е. |a-b|)

H9=(F9+G9)/2 и аналогично для остальных a и b.

I9=H9^4- H9^3-2* H9^2+3* H9-3 и аналогично для остальных х

J9=ABC(F9-G9) и аналогично для остальных a и b.

Затем в зависимости от того является ли f(x) положительным или отрицательным числом, записываем x в a или в b

Рисунок 3.1 Реализация метода проб в среде Exсel

Задания для самоконтроля. Отделить корни аналитически и уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01.

Вариант 1.

1. 2x-9x-60x+1=0;

2. 3x+8x+6x-10=0;

3. 3x -8x-18x+2=0.

Вариант 2.

1. 2x+8x+8x-1=0;

2. x+4x-8x-17=0;

3. 3x+4x-12x+1=0.

Лабораторная работа №4. Тема: Отделение корней. Метод хорд.

Задание: Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом хорд с точностью до 0,001.

x-0,2x+0,5x+1,5=0

Решение: Полагаем, что f(x)= x-0,2x+0,5x+1,5. Определим f’(x), а затем найдем корни уравнения.

f’(x)=3x-0,4x+0,5=0

D=b-4ac=0,16-4*3*0,5=0,16-6= -5,84

D<0, следовательно непосредственно корни найти нельзя. Следовательно, необходимо найти интервал, в котором находятся корни данного уравнения f(x)=0. Возьмем любую точку, например, x=0 и будем перебирать все точки до тех пор, пока функция не изменит знак. И точки, в которых функция меняет знак, примем за границы интервала (табл.4.1).

Таблица 4.1

X	-∞	-1	0	1	+∞
Знак f(x)	-	-	+	+	+

Следовательно, уравнение имеет один действительный корень, лежащий в промежутке [-1;0].

Чтобы уточнить корень, находим вторую производную f’(x)=6х-0,4; в промежутке [-1;0] выполняется неравенство f”(x)<0. Подставляем интервал [-1;0] в функцию f”(x) и f(x) и находим, при каком значении х знаки f”(x) и f(x) совпадают:

f ”(-1)<0 f”(0)<0

f(-1)<0 f(0)<0

т.е. при х = -1 знаки f”(x) и f(x) совпадают

Следовательно, а = -1 – неподвижная точка

х = 0 – подвижная точка

Для вычислений применяем формулу

х = а - *(x-a)

Все вычисления располагаем в таблице 4.2:

Таблица 4.2

N	x	x
0	x=0	-0,882
1	x= -0,882	-0,943
2	x= -0,943	-0,946
3	x= -0,946	-0,946

a=-1; f(-1)=-1+0,2-0,5+1,5= -0,2

x=0; f(0)=0-0+0+1,5=1,5

x=0

х=а - *(x-a)=

= -1- *(0-(-1))= -1- *(0+1) = -0,882

х=а - *(x-a)= -1 - * (-0,882-(-1)) = -1- * 0,118= -0,943

х=а - *(x-a)= -1 - * (-0,943-(-1)) = -1- * 0,057 = -0,946

х=а - *(x-a)= -1 - * (-0,946-(-1)) = -1- * 0,054 = -0,946

|x-x| = |-0,946-(-0,946)| = 0 ≤ 0,001

Вычисляем до тех пор, пока |x-x| ≤ 0,001

F(-0,882)=(-0,882)+0,2*(-0,882)+0,5*(-0,882)+1,5=-0,686-0,156-0,441+1,5=0,217

F(-0,943)=(-0,943)+0,2*(-0,943)+0,5*(-0,943)+1,5=-0,839-0,178-0,472+1,5=0,011

F(-0,946)=(-0,946)+0,2*(-0,946)+0,5*(-0,946)+1,5=-0,847-0,179-0,473+1,5=0,001

Ответ: x≈-0,946

Задания для самоконтроля: Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом хорд с точностью до 0,001

1. х-3х+6х+3=0;

2. х+0,2х+0,5х-2=0;

Задания для самостоятельной работы: Разработать требования к реализации этого метода в MS Excel

Лабораторная работа №5. Тема: Отделение корней. Метод касательных

Задание: Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом касательных с точностью до 0,001

х-0,2х+0,5х-1,5=0;

Решение: Полагаем, что f (x)= х-0,2х+0,5х-1,5. Определим f’(x), а затем найдем корни уравнения

f’(x)= 3х-0,4х+0,4х+0,5=0

D=b-4ac=0.16-4*3*0.5=0.16-6= -5.84

D<0, поэтому непосредственно действительные корни найти нельзя. Следовательно, необходимо найти интервал, в котором находятся корни данного уравнения f (x)=0. Возьмем любую точку, например, х=0 и будем перебирать все точки до тех пор, пока функция не изменит знак. И точки, в которых функция меняет знак, примем за границы интервала.

Таблица 5.1

X	-∞	-1	0	1	+∞
Знак f(x)	-	-	+	+	+

Следовательно, уравнение имеет один действительный корень, лежащий в промежутке [-1;0].

Чтобы уточнить корень, находим вторую производную f”=6x-0,4; в промежутке [-1;0]выполняется неравенство f”(х). Подставляем интервал [-1;0] в функции f”(х) и f(х) и находим при каком х знаки f”(х) и f(х) совпадают:

f ”(-1)<0 f”(0)<0

f(-1)<0 f(0)<0

т.е.при х=-1 знаки f”(х) и f(х) совпадают

Следовательно, а=0 – неподвижная точка

х=-1 – подвижная точка

Т.е. в данном методе всё наоборот, чем в методе хорд. Для вычисления применяем формулу

х=х-

Все вычисления располагаем в таблице (табл.5.2): f(x) = 3x-0,4x+0,5

Таблица 5.2

N	х	х
0	-1	-0,949
1	-0,949	-0,946
2	-0,946	-0,946

x= -1

x=x-= -1- = -1- = -1+0,051= -0,949;

x=x-= -0,949- = -0,949- = -0,949 + 0,003= -0,946;

x=x-= -0,946- = -0,946- = -0,946-0,0002= -0,9458;

|x-x|=|-0,9458-(-0,0946)|=0,0002≤0,001.

Вычисляем до тех пор, пока |x-x|≤0,001.

f (-0,949)=(-0,949)-0,2*(-0,949)+0,5*(-0,949)+1,5= -0,855-0,180-0,475+1,5= -0,01;

f’(-0,949)=3* (-0,949)+0,4*(-0,949)+0,5=2,702+0,380+0,5=3,582;

f (-0,946)=(-0,946)-0,2*(-0,946)+0,5*(-0,946)+1,5= -0,847-0,179-0,473+1,5= 0,001;

f’(-0,946)=3* (-0,946)+0,4*(-0,946)+0,5=2,685+0,378+0,5=3,563.

Ответ: x≈ -0,946.

Задания для самоконтроля: Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом касательных с точностью до 0,001

1. x-3x+6x+3=0;

2. x-0,2x+0,3x-1,2=0.

Задания для самостоятельной работы: Разработать требования к реализации этого метода в MS Excel.

Лабораторная работа №6. Тема: Отделение корней. Комбинированный метод.

Задание: Комбинированным методом хорд и касательных решить уравнение третье степени, вычислив корни с точностью до 0,001.

x- 2x-4x+7=0.

Решение: Полагаем f(x)= x- 2x-4x+7=0. Определим f’(x)= 3x-4x-4=0.

Составим таблицу знаков функции для определения интервала, в котором лежат корни уравнения:

Таблица 6.1

X	-2	-1	0	1	2	3
Знак f(x)	-	+	+	+	-	+

Т.е. корни уравнения находятся в интервалах [-2;-1], [1;2], [2;3].

Уточним корни уравнения комбинированным методом на одном из интервалов, например, на интервале [-2;-1]. Находим вторую производную f”(x)= 6x-4. Подставляем интервал [-2;-1] в функции f”(x) и f(x) и находим, при каком значении х знаки f”(x) и f(x) совпадают:

f ”(-2)<0 f”(-1)>0

f(-2)<0 f(-1)<0

т.е. при х=-2 знаки f”(x) и f(x) совпадают.

Следовательно: = -2, а х= -1.

Для расчетов применяем формулы:

x=x- *(-x); = - .

Все вычисления располагаем в таблице 6.2:

Таблица 6.2

N	x	x
N
0	-1	-1,889
0	-2	-1,938
1	-1,889	-1,9353
1	-1,938	-1,9354

Вычисляем до тех пор, пока | - x|≤0,001.

x= -1.

= -2.

x=x- * (- x)= -1 - *(-1+2)= -1,889.

= - = -2 - = -1,938.

f(x) = f(-1)= -1-2+4+7= 8 f()=f(-2)=-8-8+8+7= -1 f’()=f(-2)=12+8-4=16

x=x- * (- x) = -1,889- * (-1,938+1,889)= -1,9353.

= - = -1,938- = -1,9354

f(x) = f(-1,889)= -6,741-7,137+7,556+7=0,678 f()=f(-1,938)=-7,279-7,512+7,752+7= -0,039

f() = f(-1,938) = 11,268+7,752-4= 15,02

|- x|= | -1,9354-(-1,9353)|=0,0001. Ответ: х ≈ -1,935.

Задания для самоконтроля:

1. x+4x-24x-10=0;

2. 2x+9x-21=0.

Лабораторная работа №7. Тема: Отделение корней. Метод итерации.

Задание: Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом итерации с точностью до 0,001. x-2x+7x+3=0.

Решение: Полагаем f(x)= x-2x+7x+3=0. Составим таблицу (табл. 7.1) знаков функции для определения интервала, в котором лежат корни уравнения:

Таблица 7.1

X	-2	-1	0	1	2
Знак f(x)	-	-	+	+	+

Т.е. корни уравнения находятся в интервалах [-1;0].

Уточним этот корень методом итерации. Для этого приведём функцию к виду x= φ(x), где | φ(x)|<1.

1. Находим f’(x)=3x-4x+7.

2. f’(-1)=3+4+7=14 f’(0)=0-0+7=7.

3. Q =max| f’(x)|= max(14 и 7)=14.

4. Определяем k=10. (берем меньшее ближайшее удобное число к 14)

5. φ(x)= х - ; φ(x)= х - + - - = х -0,1х+0,2х-0,7х-0,3

6. φ(x)= -0,1х+0,2х-0,3х-0,3.

7. Пусть х=0, тогда х= φ(x). Все вычисления располагаем в таблице7.2:

Таблица 7.2

N	х	φ(x)
0	0	-0,3
1	-0,3	-0,3693
2	-0,3693	-0,3784
3	-0,3784	-0,3795
4	-0,3795	-0,3796
5	-0,3796

Вычисляем до тех пор, пока |x-x|≤0,001.

F(0)= -0,3;

f(-0,3)= 0,0027+0,018-0,09-0,3= -0,3693;

f(-0,3693)= 0,0050+0,0273-0,1107-0,3= -0,3784;

f(-0,3784)= 0,0054+0,0286-0,1135-0,3= -0,3795;

f(-0,3795)= 0,0055+0,0288-0,1139-0,3= -0,3796;

|x-x|= |-0,3796-(-0,3795)|=0,001.

Ответ: х ≈ -0,3796.

Задания для самоконтроля: Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом итерации с точностью до 0,001.

1. x-3x+9x-10=0;

2. x+0,4x+2,6x-1,6=0;

3. x+3x+12x+3=0;

4. 2x+0,2x+0,5x +0,8=0.

Задания для самостоятельной работы: Разработать требования к реализации этого метода в MS Excel.

Лабораторная работа № 8. Тема: Решение нелинейных задач.

Задание. Решить нелинейное уравнение указанными в таблице 8.1 методами, предварительно определив интервал [a;b], на котором существует решение уравнения.

Методические рекомендации:

1. Метод перебора. На интервале [x; x+h] существует решение уравнения при условии F(x) * F(x+h)< 0

2. Метод половинного деления. На интервале [a;b] середина задаётся формулой c= и проверяется условие F(a) * F(c) < 0. Если условие выполняется, то в среднюю точку переносим правую границу интервала b. Если не выполняется, то переносим левую границу интервала а. Деление отрезка выполняется до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность, т.е. пока > ε.

3. Метод хорд. Для получения координаты точки пересечения касательной с осью абсцисс используется формула c=a+(b-a) и проверка условия F(a) * F(c) < 0. в случае положительного ответа правую границу b переносим в точку с. Поиск решения прекращается, когда получена задания точность <ε.

4. Метод касательных. Для определения корня уравнения, используется формула , и вычисления выполняются до тех пор, пока не получена заданная точность, т.е.

5. Метод хорд-касательных. Расчётная формула

Таблица 8.1.

Вариант	Уравнение	Методы решения
1	x=	Перебора и половинного деления
2	X=cos x	Перебора и хорд
3	X=	Перебора и касательных
4	X=2	Перебора и хорд-касательных
5	X=	Перебора и половинного деления
6	X=3cosx	Перебора и хорд
7	X=	Перебора и касательных
8	X=tgx	Перебора и хорд-касательных
9	X=cos2x	Перебора и половинного деления
10	X=tg2x-1	Перебора и хорд
11	X=	Перебора и касательных
12	X=	Перебора и хорд-касательных
13	X=lnx+2	Перебора и половинного деления
14	X=	Перебора и хорд
15		Перебора и касательных
16	X=2	Перебора и хорд-касательных
17	X=	Перебора и половинного деления
18	X=lnx+3	Перебора и хорд
19	X=3	Перебора и касательных
20		Перебора и хорд-касательных
21	X=	Перебора и половинного деления
22	X = tg x	Перебора и хорд
23	X=cos2x	Перебора и касательных
24	X=tg2x-1	Перебора и хорд-касательных
25	X=	Перебора и половинного деления

Лабораторная работа № 9. Тема: Решение матричных уравнений.

Цель: научиться решать матричные уравнения.

Таблица 9.1. Виды матричных уравнений:

Уравнение	решение
A*X=B	X=A*B
X*A=B	X=B*A
AXB=C	X=ACB

Задание. Решить матричное уравнение:

1. * х =

Решение:

1) ΔА=2*9-(-1)*5=23≠0 →матрица, обратная А, существует.

2) определим вид союзной матрицы:

А=9,А=-5,А=1,А=2

Следовательно: А*=

3) Определим вид обратной матрицы А :

А=*

4) Найдем матрицу Х, используя формулу: Х=А*В:

Х=* Х=

Реализация решения в МS Excel:

Содержимое ячейки В25 вычисляем по формуле ƒ (х) =B21*E4+C21*E5

Таблица 9.2

	А	В	С	D	E	F
3	Матрица А:			Матрица В
4		2	5		-2	3
5		-1	9		1	-1
6
7	Определитель А
8		23
9
10	Номер элемента		Алгебраическое дополнение
11	11		9
12	21		-5
13	12		1
14	22		2
15
16	Союзная матрица
17		9	-5
18		1	2
19
20	Обратная матрица:
21		9/23	-5/23
22		1/23	2/23
23
24	Матрица Х:
25		-1	22/23
26		0	5/23
27

Контрольное задание: Решить уравнение:

Х*=

Лабораторная работа № 10. Тема: Решение систем линейных уравнений.

1. Метод Крамера.

Пример: Найти решение следующей системы линейных уравнений, используя метод Крамера.

-х+х+х+х=4;

2х+х+2х+3х=1;

3х+х+х+2х=1;

4х+3х+2х+х= -5.

Решение: Метод Крамера заключается в следующем:

1) Для начала вычисляем главный определитель системы, состоящий из коэффициентов при неизвестных

-1 1 1 1

∆ = 2 1 2 3 = -20

3 2 1 2

4 3 2 1

2) Теперь определяем дополнительные определители.

∆х(заменяем первый столбец в определителе ∆ столбцом свободных членов)

4 1 1 1

∆х= 1 1 2 3 = 40

1 2 1 2

-5 3 2 1

∆х (заменяем второй столбец в определителе ∆ столбцом свободных членов)

-1 4 1 1

∆х= 2 1 2 3 = -40

3 1 1 2

4 -5 2 1

∆х (заменяем третий столбец в определителе ∆ столбцом свободных членов)

-1 1 4 1

∆х= 2 1 1 3 = 60

3 2 1 2

4 3 -5 1

∆х (заменяем четвертый столбец в определителе ∆ столбцом свободных членов)

-1 1 1 4

∆х= 2 1 2 1 = -60

3 2 1 1

4 3 2 -5

Затем по формулам Крамера определяем корни уравнения

х=∆х/∆=40/(-20) = -2

х=∆х/∆= -40/(-20) =2

х=∆х/∆=60/(-20) = -3

х=∆х/∆= -60/(-20) =3

Реализация метода Крамера в среде Excel.

Коэффициенты исходной системы внесём в ячейки блока А3:Е6 (рис. 10.1). В ячейках блока А9:D12 заносим значения определителя ∆х. В ячейках блока А15:D18 заносим значения определителя ∆х. В ячейках блока А21:D24 заносим значения определителя ∆х. В ячейках блока А27:D30 заносим значения определителя ∆х.

В ячейку G3 вводим формулу = МОПРЕД (А3:D6) (рис. 10.2) для вычисления главного определителя. В строке Массив записываем массив значений для вычислений определителя.

Аналогично определяем значения вспомогательных определителей:

∆х: H3=МОПРЕД(А9:D12) ∆х= 40

∆x:I3=МОПРЕД(А15:D18) ∆x= -40

∆x:J3=МОПРЕД(А21:D24) ∆x= 60

∆x:K3=МОПРЕД(А27:D30) ∆x= -60

После этого в ячейку Н7 вводим формулу = Н3/G3 для вычисления первого корня системы х=∆х/∆, которую копируем в ячейки I7:К7.

Рисунок 10.1

Рисунок 10.2

2.Метод Гаусса.

Метод Гаусса представляет собой метод последовательного исключения неизвестных. В результате чего система сводится к треугольному виду.

Пример: Найти решение системы линейных уравнений, используя метод Гаусса.

5х+8у-z= -7;

x+2y+3z= 1;

2x-3y+2z= 9.

Решение: Разделим первое уравнение на коэффициент при х (5), получим ведущее уравнение.

x+1,6y-0,2z= -1,4

Вычтем из второго уравнения системы ведущее уравнение, умноженное на коэффициент перед х второго уравнения (1). Вычтем из третьего уравнения системы ведущее уравнение, умноженное на коэффициент перед y третьего уравнения (2). Получим систему 2-х уравнений с двумя неизвестными:

(2-1,6)у + (3+0,2)z = (1+1,4); 0,4у + 3,2z = 2,4;

(-3-3,2)у + (2+0,4)z = (9+2,8); -6,2у + 2,4z = 11,8.

Вновь разделим первое уравнение полученной системы на коэффициент при у (0,4), получим ведущее уравнение

у + 8z = 6

Вычтем из второго уравнения полученной системы ведущее уравнение, умноженное на коэффициент перед у второго уравнения (-6,2). Получим одно уравнение с одним неизвестным 52z = 49, которое приводим к виду z = 0,942308, разделив обе части уравнения на коэффициент 52.

Зная значение последнего корня z, переходим к ведущему уравнению у + 8z = 6, из которого находим у = 6 – 8z = 6 - 8*0,942308= -1,53846.

А затем из первого ведущего уравнения х + 1,6у – 0,2z = -1,4 находим последний корень х = -1,4 – 1,6у + 0,2z = -1,4 – 1,6*(-1,53846) + 0,2*0,942308 = 1,25.

Реализация метода Гаусса в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 10.3

Рисунок 10.3

После этого в ячейку А6 вводим формулу =А3/$А3 для вычисления коэффициентов первой разрешающей строки, копируем эти формулу в ячейки всей строки. Далее, в ячейку В7 вводим формулу =B4-$A4*B$6 для вычисления коэффициентов полученной системы двух уравнений с двумя неизвестными. Копируем данную формулу на все ячейки блока B7:D8. В ячейку В9 вводим формулу =В7/$B7 для вычислений коэффициентов второй разрешающей строки. В ячейку С10 вводим =С8-$B8*C$9 и копируем её в ячейку D10. в ячейку С11 вводим формулу =C10/$C10 и копируем её в ячейку D11.

В ячейке D11 получено значение корня уравнения z = 0,942308. Для нахождения остальных корней системы оформим блок решения системы G4:I4 – в ячейку I4 копируем содержимое ячейки D11, в ячейку Н4 вводим формулу =D9-C9*I4, а в ячейку G4=D6-B6*H4-C6*I4.

Задания для самоконтроля: Найти решение системы линейных уравнений, используя 1) формулы Крамера; 2) метод Гаусса

x + 2y + z = 4; 3x + 2y + z = 5;

а) 3x – 5y + 3z = 1; б) 2x + 3y + z = 1;

2x + 7y – z = 8. 2x + y + 3z = 11.

4 x - 3y + 2z = 9; 2x - y - z = 4;

в) 2x + 5y - 3z = 4; г) 3x + 4y - 2z = 11;

5x + 6y – 2z = 18. 3x - 2y + 4z = 11.

Лабораторная работа № 11. Тема Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Цель: научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера.

Теорема Крамера:

Система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:

Х= Х = Х= - формулы Крамера.

Задание 1. Решить по формулам Крамера систему линейных уравнений .

Х+ Х+ 2Х= -1

2 Х- Х+2Х= -4

4 Х+ Х+4 Х= -2

Решение: 1. Вычисляем определитель системы:

D= ;

2. Вычисляем определители, составленные из коэффициентов при неизвестных Х, Х, Х:

D= ; D = ; D =

3. Используя формулы Крамера, находим решение системы:

Х==1; Х==2 Х=

Реализация решения СЛУ методом Крамера в МS Excel:

Содержимое ячейки B13 вычисляем по формуле ƒ(х) = МОПРЕД(А8:С10)

Таблица 11.1

	А	В	С	D	Е	F	G
1		Решение СЛУ методом Крамера
2	СЛУ:
3	Х1+Х2+2*Х3=-1
4	2Х1-Х2+2Х3=-4
5	4Х1+Х2+4Х3=-2
6
7	Матрица СЛУ:				Свободные члены
8	1	1	2		-1
9	2	-1	2		-4
10	4	1	4		-2
11
12	Определитель СЛУ
13		6
14
15	Определители из коэффициентов
16	d1
17	-1	1	2	6
18	-4	-1	2
19	-2	1	4
20
21	d2
22	1	-1	2	12
23	2	-4	2
24	4	-2	4
25
26	d3
27	1	1	-1	-12
28	2	-1	-4
29	4	1	-2
30
31	Решение СЛУ
32
33	Х1=1	Х2=2		Х3=-2

Задание 2.Решить систему линейных уравнений методом Крамера :

2х-х+ х+3х=-1

х+ х- х-4х=6

3х- х+ х+ х=4

х-3х+3х=-5

Лабораторная работа № 12. Тема: Решение систем линейных уравнений.

3.Метод главных элементов.

Пример: Найти решение систем, используя метод главных элементов.

2,74x – 1,18x + 3,17x = 2,18;

1,12x + 0,83x - 2,16x = -1,15;

0,18x + 1,27x + 0,76x = 3,23.

Решение: Вычисления производим по следующей схеме (рис.12.1)

	m(j)	коэффициенты при неизвестных			Свободные члены
		x1	x2	x3
1	-1 0,6814 -0,2397	2,74 1,12 0,18	-1,18 0,83 1,27	3,17	2,18 -1,15 3,23
				-2,16 0,76
2	-1 0,1597	2,9870	0,0260 1,5529		0,3354 2,7074
		-0,4769
3			1,5570		2,7609
		0,0969	1,7732	1,2640

Рисунок 12.1

Выберем нулевой, как правило, наибольший по модулю, не принадлежащий к столбцу свободных членов любой элемент, например 3,17(элемент а), которой называется главным элементом, а соответствующая строка – главной строкой. Вычислим m = -(а/а), т.е. m = -(3,17/3,17) = -1; m = -(-2,16/3,17) = 0,6814; m = -(0,76/3,17) = -0,2397.

Теперь к каждой неглавной строке прибавим главную строку, умноженную на соответствующий множитель m для этой строки. В результате получим новую матрицу, в которой третий столбец состоит из одних нулей (рис.12.2):

(а)2,9870

(а)0,0260

(а)1,5529

0,3354

2,7074

(а)-0,4769

Рисунок 12.2

т.е. а =m*a + a =0,6814*2,74 + 1,12 = 2,9870;

а =m*a + a = -0,2397*2,74 + 0,18 = -0,4769;

а =m*a + a =0,6814* -1,18 + 0,83= 0,0260;

b =m*b + b =0,6814*2,18 + -1,15 = 0,3354;

b =m*b + b = -0,2397*2,18+3,23= 2,7074.

Теперь опять выбираем главный элемент, например 2,9870 (элемент а) и вычислим m

m = -(2,9870/2,9870)= -1;

m = -(-0,4769/2,9870)= 0,1597.

Теперь ко второй неглавной строке прибавим главную строку, умноженную на соответствующий множитель m для этой строки. В результате получим новую матрицу (3), в которой первый столбец также состоит из одних нулей (рис.12.3):

1,5570

2,7609

Рисунок 12.3

т.е. а =m*a + a =0,1597*0,0260+ 1,5529= 1,5570;

b =m*b + b =0,1597*0,3354+ 2,7074= 2,7609.

Теперь непосредственно находим корни уравнения:

1) находим х т.к. последний разрешающий элемент находится в столбце х.

х= b/a = 2,7609/1,5570= 1,7732.

2) находим х т.к. предпоследний разрешающий элемент находится в столбце х.

х = (b-a*x)= (0,3354 -0,0260*1,7732)/2,9870= 0,0969.

3) находим х т.к. первый разрешающий элемент находится в столбце х.

х= (b-a*x-a*x)/a= 2,18- (-1,18)*1,7732- 2,74*0,0969= 1,2640.

Ответ: х = 0,097;

х = 1,773;

х = 1,264.

Реализация данного метода в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 12.4.

Рисунок 12.4.

Коэффициенты исходной системы вносим в ячейки блока В3:Е5. Выбираем главный элемент – 3,17(ячейка D3). В ячейки блока А3:А5 записываем формулы для вычисления m:

А3= -(D3/D3);

A4= -(D4/D3);

A5= -(D5/D3).

Для получения системы двух уравнений с двумя неизвестными выполняем следующие действия:

B6= A4*B3+B4; C6= A4*C3+C4; E6= A4*E3+E4;

B7= A5*B3+B5; C7= A5*C3+C5; E7= A5*E3+E5;

Выбираем главный элемент – 2,9870(ячейка В6). Теперь вычисляем m для этой системы:

А6= -(В6/В6);

А7= -(В7/В6).

Для получения уравнения с одним неизвестным выполняем следующие действия:

С8=А7*С6+С7; Е8=А7*Е6+Е7.

Теперь непосредственно находим корни уравнения:

х: С9=Е8/С8ж

х: В9=(Е6-С6*С9)/В6;

х: D9=(E3-C3*C9-B3*B9)/D3.

Ответ: х= 0,097; х= 1,773; х= 1,264.

4.Метод квадратных корней.

Пример: Найти решение системы, используя метод квадратных корней

4,25х-1,48х+0,73х =1,44

-1,48х+1,73х-1,85х =2,73

0,73х+-1,85х+1,93х = -0,64

Решение: Вычисления производим по следующей схеме (рис. 12.5)

Коэффициенты при неизвестных			Свободные члены
Х1	Х2	Х3	Свободные члены
4,25 -1,48 0,73	-1,48 1,73 -1,85	0,75 -1,85 1,93	1,44 2,73 -0,64	А
2,0616	-0,7179	0,3541 -1,4480 0,5403	0,6985\2,9321 -6,2149	Т
	1,1021

-2,0214	-12,4508	-11,5017

Рисунок 12.5

Для получения матрицы Т используют следующие формулы:

t=, t=, где j>1 y=

t=, где 1<i≤n y=, i>1

t=, где i>j

t=0 при i>j

Т.е. t=, t=, t=

t=, t= -

t=, t=0, t=0, t=0

Корни уравнения определяем аналогично предыдущему примеру

Реализация данного метода системы как показано на рисунке 12.6

Рисунок 12.6

Коэффициенты исходной системы вносим в ячейки блока A3:D5.

Затем вычисляем матрицу Т:

А6=КОРЕНЬ (А3)

B6=B3/A6; C6=C3/A6; D6=D3/A6;

B7=КОРЕНЬ(B4-B6^2);

C7=(C4-B6*C6)/B7; D7=(D4-B6*D6)/B7;

C8=Корень (-(С5-С6:2-С7:2)), ставим в корне перед скобкой минус т.к. под корнем отрицательное положение

D8= - (D5-C6*D6-C7*D7)/C8, ставим перед формулой знак минус т.к. в этой строке в подкоренном выражении мы меняем знак.

И в завершении определяем корни уравнения аналогично предыдущему примеру:

C9=D8/C8;

B9=(D7-C7*C9)/B7;

A9=(D6-C6*C9-B6*B9)/A6

Задания для самоконтроля: Найти решение системы, используя:

метод главных элементов

0,64х-0,83х+4,2х=2,23; 1,26х-2,34х+1,17х=3,14

А) 0,58х-0,83х+1,43х=1,71; Б) 0,75х+1,24-0,48х=-1,17

0,86х+0,77х+0,88х=-0,54; 3,44х-1,85х+1,16х=1,83

Метод квадратных корней

2,44х-1,16х+0,83х=0,65 1,63х+1,27х-0,84х=1,51

А) -1,16х+3,45х+0,57х=1,88 Б) 1,27х+1,65х+1,27х=-0,63

0,83х+0,57х-1,71х=0,74 -0,84х+1,27х-1,21х=2,15

Лабораторная работа №13. Тема: Решение систем линейных уравнений

5. Метод итерации

Пример: Методом итерации решить систему с точностью до 0,001

х=0,32х-0,05х+0,11х-0,08х+2,15

х=0,11х-0,16х-0,28х-0,06х-0,83

х=0,08х-0,15х+0,02х+1,16

х=-0,21х+0,13х-0,27х+0,44

Решение: Для начала выбираем нулевые приближения (за нулевые приближения берем свободные члены):

х=2,15; х=-0,83; х=1,16; х=0,44;

Подставляя эти значения в правые части уравнения системы, получаем первые приближения корней:

х=0,32*2,15-0,05*(-0,83)+0,11*1,16-0,08*0,44+2,15=2,9719

х=0,11*2,15+0,16*(-0,83)-0,28*1,16-0,16*0,44-0,83=-1,0775

х=0,08*2,15-0,15*(-0,83)+0,12*0,44+1,16=1,5093

х=-0,21*2,15+0,13*(-0,83)-0,27*1,16+0,44= -0,4326

х=2,9719; х=-1,0775; х=1,5093; х=-0,4326.

Снова подставляем эти значения в правые части уравнений, получаем вторые приближения корней:

х= 0,32*2,9719-0,05*(-1,0775)+0,11*1,5093-0,08*(-0,4326)+2,15=3,3555

х=0,11*2,9719+0,16*(-1,0775)-0,28*1,5093-0,06*(-0,4326)-0,83=-1,0721

х=0,08*2,9719-0,15*(-1,0775)+0,12*(-0,4326)+1,16=1,5075

х= -0,21*2,9719+0,13*(-1,0775)-0,27*1,5093+0,44= -0,7317

х=3,3555; х=-1,0721; х=1,5075; х= -0,7317;

Снова подставляем эти значения в правые части уравнений, получаем третьи приближения корней и т.д. до тех пор, пока последующее значение корня минус предыдущее не станет меньше 0,001, т.е.

|x-x|<=0.001;

Реализация данного метода в среде Excel

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 13.1

Рисунок 13.1

Коэффициенты исходной системы вносим в ячейки А3:Е6. В ячейки блока G3:G6 записываем начальные приближения, которые равны свободным членам. В ячейки блока A10:D10 записываем последующие приближения:

Для х: A10=$A$3*A9+$B$3*B9+$C$3*C9+$d$3*D9+$E$3;

Для х: B10=$A$4*A9+$B$4*B9+$C$4*C9+$d$4*D9+$E$4;

Для х: С10=$A$5*A9+$B$5*B9+$C$5*C9+$d$5*D9+$E$5;

Для х: D10=$A$6*A9+$B$6*B9+$C$6*C9+$d$6*D9+$E$6;

Затем копируем данные формулы:

A10 в A11; B10 в B11; C10 в C11; D10 в D11;

Проделываем эти операции до тех пор пока |x-x|<=0.001; |x-x|<=0.001;

|x-x|<=0.001; |x-x|<=0.001;

Данная разность вычисляется в ячейках блока F9:I9

Для х: F9=ABS(A10-A9);

Для х: G9=ABS(B10-B9);

Для х: H9=ABS(C10-C9);

Для х: I9=ABS(D10-D9);

Затем копируем данные формулы: F9 в F10; G9 в G10; H9 в H10; I9 в I10 и т.д.

Ответ: х=3,571; х= -0,957; х=1,489; х= -0,836;

6. Метод Зейделя

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итерации. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (к+1)-го приближения неизвестной х учитываются уже вычисленные ранее (к+1)-го приближения неизвестных

х, х … х

Например: х=а* х+а*х

х=а* х+а*х

Пример: Метод Зейделя решить систему с точностью до 0,001

4,5х-1,8х+3,6х=-1,7

3,1х+2,3х-1,2х=3,6

1,8х+2,5х+4,6х=2,2

Решение: приведем систему к виду, в котором элементы главной диагонали превосходили бы остальные элементы строк:

7,6х+0,5х+2,4х=1,9 [(1)+(2)]

2,2х+9,1х+4,4х=9,7 [2*(3)+(2)-(1)]

-1,3х+0,2х+5,8х= -1,4 [(3)-(2)]

Теперь в левой части оставляем 10х, а оставшиеся компоненты переносим в правую часть:

10х=2,4х-0,5х-2,4х+1,9

10х= -2,2х+0,9х-4,4х+9,7

10х=1,3х-0,2х-4,2х-1,4

Теперь каждое уравнение делим на 10:

х=0,24х-0,05х-0,24х+0,19

х= -0,22х+0,09х-0,44х+0,97

х=0,13х-0,02х-0,42х-0,14

Для начала выбираем нулевые приближения (за нулевые приближения берем свободные члены):

х =0,19; х =0,97; х = -0,14.

Теперь вычисляем первые приближения:

х=а*х+а*х+а*х+b=0,24*0,19-0,05*0,97-0,24*(-0,14)+0,19=0,2207

х=а*х+а*х+а*х+b= -0,22*0,2207+0,09*0,97-0,44*(-0,14)+0,97=1,0703

х=а*х+а*х+а*х+b=0,13*0,2207-0,02*1,0703-0,42*(-0,14)-0,14= - 0,1915

Затем вычисляем вторые приближения, третьи и т.д. До тех пор пока последующее значение корня минус предыдущее не станет меньше 0,001

Реализация данного метода в среде Excel

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 13.2

Рисунок 13.2

Коэффициенты исходной системы вносим в ячейки блока A3:D5. В ячейки блока B9:B11 записываем начальные приближения, которые равны свободным членам. В ячейки блока A14:C14 записываем последующие приближения:

Для х: А15=$G$3*A14+$I$3*B14+$K$3*C14+$M$3;

Для х: B15=$G$4*A15+$I$4*B14+$K$4*C14+$M$4;

Для х: С15=$G$5*A15+$I$5*B15+$K$5*C14+$M$5;

Затем копируем данные формулы: A15 в A16; B15 в B16; C15 в C16;

Проделываем эти операции до тех пор, пока |x-x|<=0.001; |x-x|<=0.001; |x-x|<=0.001; |x-x|<=0.001;

Данная разность вычисляется в ячейках блока N14:P14

Для х: N14=ABS(A15-A14);

Для х: O14=ABS(B15-B14);

Для х: P14=ABS(C15-C14);

Затем копируем данные формулы: N14 в N15; O14 в O15; P14 в P15;

Ответ: х=0,247; х=1,114; х= -0,224

Задания для самоконтроля: решить систему с точностью до 0,001

Метод итерации

х=0,32х-0,18 х+0,02 х+0,21 х+1,83

А) х=0,16х+0,12 х-0,14 х+0,27 х-0,65

х=0,37х+0,27х-0,02 х-0,24 х+2,23

х=0,12х+0,21х-0,18 х+0,25 х-1,13

х=0,42х-0,32х0,03 х+0,44

х=0,11х-0,26х-0,36 х +1,42

Б) х=0,12х+0,08х-0,14 х-0,24 х-0,83

х=0,15х-0,35х-0,18 х-1,42

х=0,18х-0,34х-0,12 х+0,15 х-1,33

В) х=0,11х+0,23х-0,15 х+0,32+0,84

х=0,05х-0,12х+0,14 х-0,18 х-1,16

х=0,12х+0,08х0,06 х+0,57

х=0,13х+0,23х-0,44 х-0,05 х+2,13

Г) х=0,24х-0,31 х+0,15 х-0,18

х=0,06х-0,15х-0,23 х+1,44

х=0,72х-0,08х-0,05 х+2,42

Метод Зейделя

3,7х-3,1х+4,0х=5,0

А) 4,1х+4,5х-4,8х=4,9

-2,1х+3,7х+1,8х=2,7

3,3х-3,7х-4,2х=5,8

Б) 2,7х+2,3х-2,9х=8,1

4,1х+1,8х+5,0х= -1,9

Лабораторная работа №14. Тема: Интерполирование функций.

Формула Лагранжа для неравноотстоящих значений аргумента.

Пример 1.Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана в неравноотстоящих узлах таблицы.

Условие задачи:

х	у
0,05	0,050042
0,10	0,100335
0,17	0,171657
0,25	0,255342
0,30	0,309336
0,36	0,376403

Вычислить значение функции f(x) = y(x) при х = 0,263.

Решение:

Для вычисления f(x) необходимо воспользоваться формулой f(x) ≈ П_n+1*(y_i/D_i), где П_n+1 =(x-x₀)*(x-x₁)*…*(x-x_n)

D_i = (x_i-x₀)*(x_i-x₁)*…*(x_i-x_i-1)*(x-x_i)*(x_i–x_i+1)*…*(x_i–x_n).

Все вычисления произведем по таблице (рис.14.1):

i	Разности						D_i	y_i/D_i
0	(x-x₀)	(x-x₀)	(x₀-x₂)	(x₀-x₃)	(x₀-x₄)	(x₀-x₅)	Сумма по 0-строке
1	(x₁-x₀)	(x-x₁)	(x₁-x₂)	(x₁-x₃)	(x₁-x₄)	(x₁-x₅)	Сумма по 1-строке
2	(x₂-x₀)	(x₂-x₁)	(x-x₂)	(x₂-x₃)	(x₂-x₄)	(x₂-x₅)	Сумма по 2-строке
3	(x₃-x₀)	(x₃-x₁)	(x₃-x₂)	(x-x₃)	(x₃-x₄)	(x₃-x₅)	Сумма по 3-строке
4	(x₄-x₀)	(x₄-x₁)	(x₄-x₂)	(x₄-x₃)	(x-x₄)	(x₄-x₅)	Сумма по 4-строке
5	(x₅-x₀)	(x₅-x₁)	(x₅-x₂)	(x₅-x₃)	(x₅-x₄)	(x-x₅)	Сумма по 5-строке

Рисунок 14.1

Т.е. вычисляются как:

D₀ = (x-x₀)* (x-x₀)* (x₀-x₂)* (x₀-x₃)* (x₀-x₄)* (x₀-x₅);

D₁ = (x₁-x₀)* (x-x₁)* (x₁-x₂)* (x₁-x₃)* (x₁-x₄)* (x₁-x₅);

D₂= (x₂-x₀)* (x₂-x₁)* (x-x₂)* (x₂-x₃)* (x₂-x₄)* (x₂-x₅);

D₃ = (x₃-x₀)* (x₃-x₁)* (x₃-x₂)* (x-x₃)* (x₃-x₄)* (x₃-x₅);

D₄ = (x₄-x₀)* (x₄-x₁)* (x₄-x₂)* (x₄-x₃)* (x-x₄)* (x₄-x₅);

D₅ = (x₅-x₀)* (x₅-x₁)* (x₅-x₂)* (x₅-x₃)* (x₅-x₄)* (x-x₅);

Производя эти вычисления, получим следующую таблицу (рис.14.2)

i	Разности						D_i	y/D_i
0	0,213	-0,05	-0,12	-0,2	-0,25	-0,31	-1,9809Е-05	-2526,23
1	0,05	0,163	-0,07	-0,15	-0,2	-0,26	4,4499Е-06	22547,7
2	0,12	0,07	0,093	-0,08	-0,13	-0,19	-1,54365Е-06	-111202
3	0,2	0,15	0,08	0,013	-0,05	-0,11	1,716Е-07	1488007
4	0,25	0,2	0,13	0,05	-0,037	-0,06	7,215Е-07	428740,1
5	0,31	0,26	0,19	0,11	0,06	-0,097	-9,80402Е-06	-38392,7

Рисунок 14.2

Итак, П₅₊₁ = 0,213*0,163*0,093*0,013*(-0,037)*(-0,097)= 1,50649Е-07= 0,150649*10^-6.

(y_i /D_i)= -2526,23+25547,7-111202+1488007+428740,1-38392,7= 1787173,95.

Теперь непосредственно вычисляем

f(0,263)= П₅₊₁* (y_i /D_i)= 0,150649*10^-6 * 1787173,95= 0,26924.

Ответ: 0,26924.

Реализация в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 14.3.

В ячейку А9 вносим значение х.

Рисунок 14.3

Данную таблицу заполняем согласно таблице (рис.14.1).

По диагонали вычисляем значения (х – х_i),чтобы затем определить П_n+1

E3=A9+A3;

F4= A9+A4;

G5= A9+A5;

H6= A9+A6;

I7= A9+A7;

J8= A9+A8;

Теперь заполняем ячейки, которые находятся ниже диагонали:

E4=A4-$A$3……………………Копируем эту формулу в ячейки Е5, Е6, Е7 и Е8.

F5= A5-$A$4………………….. Копируем эту формулу в ячейки F6, F7, F8.

G6= A6-$A$5………………….. Копируем эту формулу в ячейки G7, G8.

H7= A7-$A$6…………………… Копируем эту формулу в ячейки H8.

I8= A8-$A$7.

Теперь заполняем ячейки, которые находятся выше диагонали:

F3=$A$3-A4

G3=A3-$A$5……………………Копируем эту формулу в ячейку G4.

H3= A3-$A$6………………….. Копируем эту формулу в ячейки H4,H5.

I3= A3-$A$7………………….. Копируем эту формулу в ячейки I4, I5, I6.

J3= A3-$A$8…………………… Копируем эту формулу в ячейки J4, J5, J6, J7.

Теперь определяем D_i

K3=E3*F3*G3*H3*I3*J3 Копируем эту формулу в ячейки К4, К5, К6, К7, К8.

Определяем y_i /D_i

L3=B3/K3 Копируем эту формулу в ячейки L4, L5, L6, L7, L8.

Определяем П_n+1

E10=E3*F4*G5*H6*I7*J8= 1,50649Е-07.

Определяем (y_i /D_i)

Е11=СУММ(L3:L8)= 1,7872Е+06.

Теперь непосредственно вычисляем f(0,263)= П₅₊₁* (y_i /D_i)

Е12=Е10*Е11=0,26924.

Ответ:0,26924.

Формула Лагранжа для равноотстоящих значений аргумента.

Пример 1. Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана в равноотстоящих узлах таблицы.

Условие задачи:

х	у
0,101	1,26183
0,106	1,27644
0,111	1,29122
0,116	1,30617
0,121	1,32130
0,126	1,32660

Вычислить значение функции f(x)=y(x) при х = 0,1157.

Решение:

Для вычисления f(x) необходимо воспользоваться формулой f(x)≈П_n+1(t)* , где П_n+1(t) = (t-0)*(t-1)*…*(t-n); t=(x-x₀)/h; h=x_i+1- x_i – шаг интерполяции.

C_i= (-1)^n-1 *i! * (n-i)!.

Здесь h=0,106-0,101= 0,005

t=(0,1157-0,101)/0,005= 2,94

Все вычисления произведём по таблице (рис.14.4)

I	t-i	C_i=(-1)^n-1i!(n-i)!	(t-i)*C_i	y_i/((t-i)*C_i)
0	t-0=2,94-0=2,94	(-1)^5-00!(5-0)!=-120	2,94*(-120)= -352,8
1	t-1=2,94-1=1,94	(-1)^5-11!(5-1)!=24	1,94*24=46,56
2	t-2=2,94-2=0,94	(-1)^5-22!(5-2)!=-12	0,94*(-12)= -11,28
3	t-3=2,94-3=-0,06	(-1)^5-33!(5-3)!=12	-0,06*12= -0,72
4	t-4=2,94-4=-1,06	(-1)^5-44!(5-4)!=-24	-1,06*(-24)=25,44
5	t-5=2,94-5=-2,06	(-1)^5-55!(5-5)!=120	-2,06*120= -247,2

Рисунок 14.4.

В результате вычислений получаем следующую таблицу (рис.14.5)

i	t-i	C_i	(t-i)*C_i	y_i/((t-i)*C_i)
0	2,94	-120	-352,8	-0,0035766
1	1,94	24	46,56	0,0274149
2	0,94	-12	-11,28	-0,1144699
3	-0,06	12	-0,72	-1,8141250
4	-1,06	-24	25,44	0,0519379
5	-2,06	120	-247,2	-0,0053665

Рисунок 14.5

Итак П₅₊₁(t)= 2,94*1,94*0,94*(-0,06)*(-1,06)*(-2,06)= -0,7024271

= -0,0035766 *(0,0274149)*(-0,1144699)*(-1,8141250)*(0,0519379)*(0,0053665) = -1,858185

Следовательно, = -0,7024271*(-1,858185)= 1,30524

Ответ: 1,30524.

Реализация в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 14.6.

В ячейку А9 вносим значение х.

Рисунок 14.6

Данную таблицу заполняем согласно условию задачи.

Для начала вычислим (t-i): Е3=$B$11-D3…

Копируем эту формулу в ячейки Е4,Е5,Е6,Е7,Е8.

Теперь вычислим C_i

F3=((-1)^(5-D3))*ФАКТР(D3)*ФАКТР(5-D3).

Копируем эту формулу в ячейки F4,F5,F6,F7,F8.

Теперь вычислим (t-i)*C_i

G3=E3*F3. Копируем эту формулу в ячейки G4, G5, G6, G7, G8.

Теперь вычислим y_i/((t-i)*C_i)

H3= B3/G3. Копируем эту формулу в ячейки H4, H5,H6,H7,H8.

Определяем П₅₊₁Е10=ПРОИЗВЕД(Е3:Е8)= -0,7024271.

Определяем :Е11= СУММ(Н3:Н8 = -1,858185.

Теперь непосредственно вычисляем f(0,1157)= П₅₊₁* :Е12= Е10*Е11=1,30524.

Ответ: 1,30524.

Задания для самоконтроля.

Формула Лагранжа для неравноотстоящих значений аргумента.

А)

х	у
0,43	1,63597
0,48	1,73234
0,55	1,87686
0,62	2,03345
0,70	2,22846
0,75	2,35973

Вычислить значение функции f(x)=y(x) при x=0,512.

Б)

х	у
0,02	1,02316
0,08	1,09590
0,12	1,14725
0,17	1,21483
0,23	1,30120
0,30	1,40976

Вычислить значение функции f(x)=y(x) при x=0,203.

В)

х	у
0,35	2,73951
0,41	2,30080
0,47	1,96864
0,51	1,78776
0,56	1,59502
0,64	1,34310

Вычислить значение функции f(x)=y(x) при x=0,482.

Формула Лагранжа для равноотстоящих значений аргумента.

А)

х	у
1,375	5,04192
1,380	5,17744
1,385	5,32016
1,390	5,47069
1,395	5,62968
1,400	5,79788

Вычислить значение функции f(x)=y(x) при x=0,3926.

Б)

х	у
0,115	8,65729
0,120	8,29329
0,125	7,95829
0,130	7,64893
0,135	7,36235
0,140	7,09613

Вычислить значение функции f(x)=y(x) при x=0,1334.

В)

х	у
0,150	6,61659
0,155	6,39989
0,160	6,19658
0,165	6,00551
0,170	5,82558
0,175	5,65583

Вычислить значение функции f(x)=y(x) при x=0,1662.

Лабораторная работа №15. Тема: Интерполирование функций.

Линейная интерполяция.

Пример 1: используя линейную интерполяцию, вычислить значения функции для заданных значений аргумента. при х=0,1662.

Решение: Вычислим, используя функцию Excel, несколько значений Sin(x) и таблицу разностей первого и второго порядков (таблица 15.1):

Таблица 15.1

x	sin(x)
0,63	0,5891	0,0081	-0,0001
0,64	0,5972	0,0088	-0,0001
0,65	0,6052	0,0079	-0,0001
0,66	0,6131	0,0079	-0,0001
0,67	0,6210	0,0078
0,68	0,6288

На возможность использования линейной интерполяции указывает тот факт, что разности первого порядка практически постоянны, а также выполняется соотношение

Действительно. .

При вычислении пользуемся формулой

, где g=

- шаг интерполяции

- ближайшее меньшее

h=0,64-0,63=0,01.

Если x=0,6682, то примем (берем ближайшее меньшее).

Эта строка будет нулевой, т.е .

Тогда

Ответ: sin(0,6682)=0,6196

Реализация в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 15.1

Рисунок 15.1

В ячейку А8 вносим значения х.

Вычисляем первые интерполяционные разности

D2=B3-B2. Копируем эту формулу в ячейки D4, D5, D6.

Вычисляем вторые интерполяционные разности

E2=D3-D2. Копируем эту формулу в ячейки Е4, Е5.

Теперь проверяем выполнение условия

ЯчейкеI2 присваиваем значение 0,0001.

В ячейку G2 вносим формулу для вычисления G2-(1/8)*MAKCA(ABS(E2))

В ячейке H2 определяем знак

H2=ЕСЛИ(G2<12;”<”;”>”)

(берем ближайшее меньшее). Эта строка (5 строка) будет нулевой.

Определяем h: D9=A3-A2=0,01

Определяем g: D10=(A8-A5)/D9=0,82

Теперь непосредственно определяем значение f(x)=y(x) при x=0,6682

D11=B5+D10*D5=0,6196.

Ответ: sin(0,6682)=0,6196.

Пример 2: используя линейную интерполяцию, вычислить значения функции y(x) при заданных значениях аргумента. Y(x)=cos(x) при x=0,3033.

Решение: Вычислим, используя функции Excel несколько значений cos(х) и составим таблицу разностей первого и второго порядков: (рисунок 15.2)

x	cos(x)
0,27	0,9638	-0,0027	-0,0001
0,28	0,9611	-0,0028	-0,0001
0,29	0,9582	-0,0029	-0,0001
0,3	0,9553	-0,0030	-0,0001
0,31	0,9623	-0,0031
0,32	0,9492

Рисунок 15.2

Разности первого порядка практически постоянны, а также справедливо соотношение

(т.к. 1/8-0,0001), указывает на возможность применения линейной интерполяции.

При вычислении пользуемся той же формулой , где

- шаг интерполяции.

- ближайшее меньшее

h =0,29-0,28=0,01

Если х=0,3033, то примем (берём ближайшее меньшее).

Эта строка будет нулевой, т.е. .

Тогда g =(0,3033)=0,9553+0,33*(-0,0030)=0,9543

Ответ: cos(0,3033)=0,9543

Реализация в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 15.3

Рисунок 15.3

Все вычисления производим аналогично вычислением, выполненным в примере лабораторной работы. В результате получаем ответ cos(0,3033)=0,9543

Ответ: cos(0,3033)=0,9543

Квадратичная интерполяция.

Пример: используя квадратичную интерполяцию, вычислить значение функции заданных значениях аргумента.

Условие задачи:

x	y
1,527	22,818
1,528	23,352
1,529	23,911
1,530	24,498
1,531	25,115
1,532	25,763

x= 1,5306

Решение: составим таблицу разностей первого, второго и третьего порядков (табл. 15.2)

Таблица 15.2

x	y
1,527	22,818	0,534	0,025	0,003
1,528	23,352	0,559	0,028	0,002
1,529	23,911	0,587	0,030	0,001
1,530	24,498	0,617	0,031
1,531	25,115	0,648
1,532	25,763

В этой таблице разности второго порядка практически постоянны, кроме того, справедливо соотношение (т.к. (1/15)*0,003<0,001; 0,0002<0,001). Все это указывает на возможность применения квадратичной интерполяции.

Для вычисления воспользуемся формулой:

, где

- шаг интерполяции

- ближайшее меньшее.

Если x=1,5306, то =1,530 (берём ближайшее меньшее).

Эта строка будет нулевой строкой, т.е. , , .

G=(1,5306-1,530)/0,001=0,6/

Тогда y=24,498+0,6*0,617+*0,031=24,8645

Ответ: 24,8645.

Реализация в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 15.4

Рисунок 15.4

Вычисляем первые интерполяционные разности

D2=B3-B2 ……… Копируем эту формулу в ячейки D3,D4,D5,D6.

Вычисляем вторые интерполяционные разности

E2=D3-D2 ……… Копируем эту формулу в ячейки E3,E4,E5.

Вычисляем третьи интерполяционные разности

F2=E3-E2 ……… Копируем эту формулу в ячейки F3,F4.

Теперь проверяем выполнение условия

Ячейке J2 присваиваем значение 0,001.

В ячейку Н2 вносим формулу для вычисления

H2=(1/15)* MAKC (ABS(F2:F4))

(берём ближайшее меньшее). Эта строка (5 строка) будет нулевой.

Определяем h

D9=A3-A2=0,001

Определяем g

D10=(A8-A5)/D9=0,6

Теперь непосредственно определяем значение у(х) при х=1,5306

D11=B5+D10*D5+((D10*(D10-1))*E5=24,8645.

Лабораторная работа № 16. Тема: Интерполирование функций.

1. Первая интерполяционная формула Гаусса.

Пример: Найти значение функции у(х) при следующих значениях аргумента х=0,168

Условие задачи:

х	у(х)
0,12	6,278
0,14	6,404
0,16	6,487
0,18	6,505
0,20	6,436
0,22	6,259
0,24	5,594

Решение:

Составим таблицу конечных разностей (рисунок 16.1)

х	у(х)
0,12	6,278	0,126	-0,043	-0,022
0,14	6,404	0,083	-0,065	-0,022
0,16	6,487	0,018	-0,087	-0,021
0,18	6,505	-0,069	-0,108	-0,02
0,20	6,436	-0,177	-0,128
0,22	6,259	-0,305
0,24	5,594

Рисунок 16.1

При составлении таблицы разностей ограничиваемся разностями третьего порядка, так как они практически постоянны. Для вычисления значения функции при х=0,168 воспользуемся первой формулой Гаусса:

Где

- шаг интерполяции.

- ближайшее меньшее.

Если х=0,168, то примем . Эта строка будет нулевой.

Тогда g=(0,168-0,16)/0,02=0,4.

Ответ: 6,5032.

2.Вторая интерполяционная формула Гаусса.

Пример: Найти значение функции у(х) при следующих значениях аргумента х=0,175.

Условие задачи:

х	у(х)
0,12	6,278
0,14	6,405
0,16	6,478
0,18	6,505
0,20	6,436
0,22	6,259
0,24	5,594

Решение:

Составим таблицу конечных разностей (рисунок 16.2).

х	у(х)
0,12	6,278	0,126	-0,043	-0,022
0,14	6,404	0,083	-0,065	-0,022
0,16	6,487	0,018	-0,087	-0,021
0,18	6,505	-0,069	-0,108	-0,02
0,20	6,436	-0,177	-0,128
0,22	6,259	-0,305
0,24	5,594

Рисунок 16.2

При составлении таблицы разностей ограничиваемся разностями третьего порядка так как они практически постоянны. Для вычисления значения функции при х=0,175 воспользуемся второй формулой Гаусса:

где

- шаг интерполяции.

- ближайшее меньшее.

Если х=0,175, то примем . Эта строка будет нулевой.

Тогда g=(0,175-0,18)/0,02=-0,25.

Ответ: 6,5078.

3. интерполяционная формула Бесселя.

Пример: Найти значение функции у(х) при следующих значениях х=0,192.

Условие задачи:

х	у(х)
0,12	6,278
0,14	6,405
0,16	6,478
0,18	6,505
0,20	6,436
0,22	6,259
0,24	5,594

Решение:

х	у(х)
0,12	6,278	0,126	-0,043	-0,022
0,14	6,404	0,083	-0,065	-0,022
0,16	6,487	0,018	-0,087	-0,021
0,18	6,505	-0,069	-0,108	-0,02
0,20	6,436	-0,177	-0,128
0,22	6,259	-0,305
0,24	5,594

Рисунок 16.3

При составлении таблицы разностей ограничиваемся разностями третьего порядка так как они практически постоянны. Для вычисления значения функции при х=0,192 воспользуемся формулой Бесселя:

где

- шаг интерполяции.

- ближайшее меньшее.

Если х=0,192, то примем =0,18. Эта строка будет нулевой.

h=0,14-0,12=0,02

Тогда g=(0,192-0,18)/0,02=0,6.

Ответ: 6,4754.

4. Интерполяционная формула Стирлинга.

Пример: Найти значение функции у(х) при следующих значениях х=0,204.

Условие задачи

х	у(х)
0,12	6,278
0,14	6,405
0,16	6,478
0,18	6,505
0,20	6,436
0,22	6,259
0,24	5,594

Решение:

х	у(х)
0,12	6,278	0,126	-0,043	-0,022
0,14	6,404	0,083	-0,065	-0,022
0,16	6,487	0,018	-0,087	-0,021
0,18	6,505	-0,069	-0,108	-0,02
0,20	6,436	-0,177	-0,128
0,22	6,259	-0,305
0,24	5,594

Рисунок 16.4

При составлении таблицы разностей ограничиваемся разностями третьего порядка так как они практически постоянны. Для вычисления значения функции при х=0,204 воспользуемся формулой Стирлинга:

где

- шаг интерполяции

- ближайшее меньшее.

Если х=0,204, то примем =0,20. Эта строка будет нулевой.

h=0,14-0,12=0,02

Тогда g=(0,204-0,20)/0,02=0,2

Ответ: 6,4099.

Задания для самоконтроля.

x	y	Вариант	Гаусса(1)	Гаусса(2)	Бессель	Стирлинг
1,50	15,132	1)	1,606	1,952	1,725	1,833
1,55	17,422	2)	1,612	1,953	1,727	1,836
1,60	20,393	3)	1,618	1,954	1,729	1,839
1,65	23,994	4)	1,624	1,955	1,731	1,842
1,70	28,160	5)	1,703	1,806	1,753	1,704
1,75	32,812	6)	1,703	1,809	1,755	1,705
1,80	37,587	7)	1,713	1,812	1,757	1,706
1,85	43,189	8)	1,718	1,815	1,759	1,701
1,90	48,689	9)	1,506	1,818	2,005	1,652
1,95	54,225	10)	1,507	1,821	2,009	1,654
2,00	59,653	11)	1,508	2,053	2,013	1,656
2,05	64,817	12)	1,509	2,055	2,017	1,658
2,10	69,550	13)	1,954	2,057	1,654	1,205
2,15	74,357	14)	1,958	2,059	1,655	1,207
2,20	79,650	15)	1,962	2,061	1,656	1,209
2,25	84,333	16)	1,966	2,063	1,657	1,211

Лабораторная работа №17. Тема: Интерполирование функций.

1. Первая интерполяционная формула Гаусса.

Пример: Найти значение функции у(х) при следующих значениях аргумента х=0,168

Условия задачи:

х	у(х)
0,12	6,278
0,14	6,404
0,16	6,487
0,18	6,505
0,20	6,436
0,22	6,259
0,24	5,594

Решение:

Составим таблицу конечных разностей (рисунок 17.1)

х	у(х)
0,12	6,278	0,126	-0,043	-0,022
0,14	6,404	0,083	-0,065	-0,022
0,16	6,487	0,018	-0,087	-0,021
0,18	6,505	-0,069	-0,108	-0,02
0,20	6,436	-0,177	-0,128
0,22	6,259	-0,305
0,24	5,594

Рисунок 13.1

Где

- шаг интерполяции.

- ближайшее меньшее.

Если х=0,168, то примем . Эта строка будет нулевой.

Тогда g=(0,168-0,16)/0,02=0,4.

Ответ: 6,5032.

2.Вторая интерполяционная формула Гаусса.

Пример: Найти значение функции у(х) при следующих значениях аргумента х=0,175.

Условие задачи:

х	у(х)
0,12	6,278
0,14	6,405
0,16	6,478
0,18	6,505
0,20	6,436
0,22	6,259
0,24	5,594

Решение:

Составим таблицу конечных разностей (рисунок 17.2).

х	у(х)
0,12	6,278	0,126	-0,043	-0,022
0,14	6,404	0,083	-0,065	-0,022
0,16	6,487	0,018	-0,087	-0,021
0,18	6,505	-0,069	-0,108	-0,02
0,20	6,436	-0,177	-0,128
0,22	6,259	-0,305
0,24	5,594

Рисунок 17.2

где

- шаг интерполяции.

- ближайшее меньшее.

Если х=0,175, то примем . Эта строка будет нулевой.

Тогда g=(0,175-0,18)/0,02=-0,25.

Ответ: 6,5078.

3. Интерполяционная формула Бесселя.

Пример: Найти значение функции у(х) при следующих значениях х=0,192.

Условие задачи:

х	у(х)
0,12	6,278
0,14	6,405
0,16	6,478
0,18	6,505
0,20	6,436
0,22	6,259
0,24	5,594

Решение:

х	у(х)
0,12	6,278	0,126	-0,043	-0,022
0,14	6,404	0,083	-0,065	-0,022
0,16	6,487	0,018	-0,087	-0,021
0,18	6,505	-0,069	-0,108	-0,02
0,20	6,436	-0,177	-0,128
0,22	6,259	-0,305
0,24	5,594

Рисунок 17.3

где

- шаг интерполяции.

- ближайшее меньшее.

Если х=0,192, то примем =0,18. Эта строка будет нулевой.

h=0,14-0,12=0,02

Тогда g=(0,192-0,18)/0,02=0,6.

Ответ: 6,4754.

4. Интерполяционная формула Стирлинга.

Пример: Найти значение функции у(х) при следующих значениях х=0,204.

х	у(х)
0,12	6,278
0,14	6,405
0,16	6,478
0,18	6,505
0,20	6,436
0,22	6,259
0,24	5,594

Решение:

х	у(х)
0,12	6,278	0,126	-0,043	-0,022
0,14	6,404	0,083	-0,065	-0,022
0,16	6,487	0,018	-0,087	-0,021
0,18	6,505	-0,069	-0,108	-0,02
0,20	6,436	-0,177	-0,128
0,22	6,259	-0,305
0,24	5,594

Рисунок 17.4

где

- шаг интерполяции

- ближайшее меньшее.

Если х=0,204, то примем =0,20. Эта строка будет нулевой.

h=0,14-0,12=0,02

Тогда g=(0,204-0,20)/0,02=0,2

Ответ: 6,4099.

Задания для самоконтроля.

x	y	Вариант	Гаусса(1)	Гаусса(2)	Бессель	Стирлинг
1,50	15,132	1)	1,606	1,952	1,725	1,833
1,55	17,422	2)	1,612	1,953	1,727	1,836
1,60	20,393	3)	1,618	1,954	1,729	1,839
1,65	23,994	4)	1,624	1,955	1,731	1,842
1,70	28,160	5)	1,703	1,806	1,753	1,704
1,75	32,812	6)	1,703	1,809	1,755	1,705
1,80	37,587	7)	1,713	1,812	1,757	1,706
1,85	43,189	8)	1,718	1,815	1,759	1,701
1,90	48,689	9)	1,506	1,818	2,005	1,652
1,95	54,225	10)	1,507	1,821	2,009	1,654
2,00	59,653	11)	1,508	2,053	2,013	1,656
2,05	64,817	12)	1,509	2,055	2,017	1,658
2,10	69,550	13)	1,954	2,057	1,654	1,205
2,15	74,357	14)	1,958	2,059	1,655	1,207
2,20	79,650	15)	1,962	2,061	1,656	1,209
2,25	84,333	16)	1,966	2,063	1,657	1,211

Лабораторная работа №18. Тема: Интерполирование функций.

Интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов.

Пример: Вычислить значения функции для заданных значений аргумента, используя интерполяционную формулу Ньютона для равноотстоящих узлов.

Условие задачи:

x	y
0,103	2,01284
0,108	2,03342
0,115	2,06070
0,120	2,07918
0,128	2,10721
0,136	2,13354
0,141	2,14922
0,150	2,17609

Вычислите значение функции у(х) при и .

Решение: вычисление производим по формуле

где

предварительно вычислим необходимые значения разделенных разностей (рисунок 18.1).

x	y	f	f
0,103	2,01284	4,1160	-18,23810
0,108	2,03342	3,8971	-16,76190
0,115	2,06070	3,6960	-14,78846
0,120	2,07918	3,5037	-13,28125
0,128	2,10721	3,2913	-11,94231
0,136	2,13354	3,1360	-10,74603
0,141	2,14922	2,9856
0,150	2,17609

Рисунок 18.1

1) Найдем значение f(0,112) взяв за (ближайшее меньшее). Эта строка будет нулевой строкой, т.е. , f, f

f(0,112) = 2,03342+3,8971*(0,112-0,108)+(-16,76190)*(0,112-0,108)*(0,112-0,115) = 2,04921.

2) Найдем значение f(0,133) взяв за (ближайшее меньшее). Эта строка будет нулевой строкой, т.е. , f f

f(0,133)=2,10721+3,2913*(0,133-0,128)+(-11,94231)*(0,133-0,128)*(0,133-0,136)=2,12385.

Ответ: f(0,112)= 2,04921.

f(0,133)= 2,12385.

Реализация в среде Excel.

Заполним исходные данные системы кК показано на рисунке 18.2.

В ячейку А11 вносим значение , в ячейку А12 вносим значение .

Рисунок 18.2

Вычисляем первые разделенные разности.

C2=(B3-B2)/(A3-A2). Копируем эту формулу в ячейки C3, C4, C5, C6, C7, C8.

Вычисляем первые разделенные разности.

D2=(C3-C2)/(A4-A2). Копируем эту формулу в ячейки D3, D4, D5, D6, D7.

Теперь непосредственно определяем значения f(x).

1) , C11=B3+C3*(A11-A3)*(A11-A4)=2,04921.

2) , C12=b6+c6*(a12-a6)+d6*(a12-a6)*(a12-a7)=2,12385.

Ответ: f(0,112)= 2,04921. f(0,133)= 2,12385.

Задания для самоконтроля.

1)Заполните таблицу, используя следующие данные:

x	y	x	y
0,298	3,25578	0,308
0,303	3,17639	0,314
0,310	3,12180	0,325
0,317	3,04819	0,312
0,329	2,98755	0,321
0,330	2,91950	0,304
0,339	2,83598	0,299

2)Заполните таблицу, используя следующие данные:

x	y	x	y
0,593	0,532050	0,608
0,598	0,535625	0,615
0,605	0,540598	0,622
0,613	0,546235	0,603
0,619	0,550431	0,610
0,627	0,555983	0,601
0,632	0,559428	0,594

3)Заполните таблицу, используя следующие данные:

x	y	x	y
0,095	1,09131	0,103
0,102	1,23490	0,109
0,104	1,27994	0,098
0,107	1,35142	0,105
0,110	1,42815	0,101
0,112	1,48256

Лабораторная работа № 19. Тема: Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

Пример: Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые ресурсы. Исходные данные приведены в таблице 19.1.

Таблица 19.1

Ресурсы	Нормы затрат на одно изделие		Количество ресурсов
Ресурсы	Стол	Шкаф	Количество ресурсов
Древесина (м): I вида II вида Трудоёмкость (чел-час)	0,2 0,1 1,2	0,1 0,3 1,5	40 60 371,1
прибыль от реализации одного изделия (тыс тнг.)	6	8

Определить, сколько шкафов и столов следует изготовить фабрике, чтобы прибыль реализации была максимальной.

Решение:

Составим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим через х - искомое количество столов.

х - искомое количество шкафов.

Тогда экономическо-математическая модель задачи примет вид:

Сформируем исходные данные, переменные и ограничения как показано на рисунке 19.1

Под переменную х выделим ячейку В12, а под переменную х-ячейку С12.

Рисунок 19.1

Введём зависимости из математической модели.

Для ввода формул используем мастер формул и операции копирования и вставки.

1. Введем зависимость для целевой функции:

· установите курсор в В14;

· нажмите кнопку Мастер функций (f) на стандартной панели;

· на экране появляется диалоговое окно Мастера функций (Рис. 19.2):

Рисунок 19.2

· выбираем из категории Математические функцию СУММПРОИЗВ.

· появляется следующее диалоговое окно (Рис. 19.3):

Рисунок 19.3

· выводим данные в массивы (коэффициенты целевой функции и значения переменных).

2. Введем зависимости для левых частей ограничений задачи:

Рисунок 19.4

· установите курсор в ячейку В19

· нажмите кнопку Мастер функций (f) функцию СУММПРОИЗВ.

· В появившемся диалоговом окне вводим данные (Рис 19.4)

Скопируем эту формулу в ячейки В20:В21.

На этом ввод данных в таблицу закончен.

После ввода всех данных, переменных и ограничений рабочий лист должен выглядеть следующим образом (Рис. 19.5):

Рисунок 19.5

Программа Поиск решения.

Выберите пункт меню СервисПоиск решения;
В появившемся окне Поиск решения введите в поле Установить целевую ячейку значение $B$4, установите переключатель Равной максимальному значению, в поле Изменяя ячейки введите диапазон ячеек $B$12:$C$12 (Рис.19.6)

Рисунок 19.6

Для формирования ячеек нажмите кнопку Добавить, В результате на экране появиться окно Добавление ограничения (Рис.19.7);

Рисунок 19.7

В поле Ссылка на ячейку вводим последовательно левые части ограничений ($B$19,$B$20,$B$21), в раскрывшемся списке выбираем знак (<=), в поле Ограничение вводим последовательно правые части ограничений ($B$19,$B$20,$B$21), после ввода очередного ограничения нажимаем кнопку Добавить, после ввода последнего ограничения нажмите кнопку ОК, в результате этих действий окно Поиск решения примет вид (Рис. 19.8):

Рисунок 19.8

Нажмите кнопку Параметры, и в появившемся окне параметры поиска решения установите флажки Линейная модель и Неотрицательные значения (), в результате окно Параметры поиска решения примет вид (Рис. 15.9):

Рисунок 19.9

В окне Поиск решения нажмите кнопку Выполнить, в результате на экране появиться окно Результаты поиска решения (Рис 19.10):

Рисунок 19.10

В окне Результаты поиска решения выберите тип отчета Результаты и нажмите кнопку ОК, в результате этого рабочий лист примет вид (Рис. 19.11):

Рисунок 19.11

Для просмотра отчета щелкните по листу Отчет по результатам (рис. 19.12):

Рисунок 19.12

Анализ результатов решения задачи.

Для получения максимальной прибыли в размере 1940 тысячтенге необходимо выпустить столов в количестве 102 ед. и шкафов в количестве 166 ед.

Задания для самоконтроля.

Задача №1.

Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используют три вида сырья S1, S2, S3. Все необходимые данные приведены в таблице. Составить такой план выпуска продукции

Вид сырья	Запас сырья	Количество единиц сырья, идущих на изготовление единицы продукции
Вид сырья	Запас сырья	Р1	Р2
S1	20	2	5
S2	40	8	5
S3	30	5	6
Прибыль от единицы продукции		50	40

Задача №2.

Для изготовления столов и тумбочек используют три вида древесины. Составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль.

Вид сырья	Запас сырья	Количество единиц сырья, идущих на изготовление единицы продукции
Вид сырья	Запас сырья	*Стол*	*Тумбочка*
1 вид древесины	72	0,18	0,09
2 вид древесины	36	0,08	028
3 вид древесины	18	0,12	012
Прибыль от единицы продукции		11	7

Задача №3.

Для изготовления двух видов продукции А и В используют три вида сырья S1, S2, S3. Составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль.

Вид сырья	Запас сырья	Количество единиц сырья, идущих на изготовление единицы продукции
Вид сырья	Запас сырья	А	В
S1	1400	2	2
S2	1000	3	1
S3	600	4	1
Прибыль от единицы продукции		3	4

Лабораторная работа №20. Тема: Транспортная задача. Метод потенциалов.

Пример: Рассмотрим следующую транспортную задачу:

По условию задачи имеем трех поставщиков, которые обладают запасами груза в объеме 60, 80, 100 ед. однородного груза соответственно и трех потребителей, у которых потребности в данном грузе соответственно 40,60,80 и 60 ед. Стоимость перевозки груза от каждого поставщика потребителю даны в таблице.

Найти такой план перевозки груза, при котором транспортные издержки на перевозку груза будут минимальными.

потребители	40	60	80	60
поставщики	40	60	80	60
60	1	2	3	4
80	4	3	2	0
100	0	2	2	1

Решение:

Составим математическую модель данной задачи.

Обозначим - количество груза, отправляемого от i-ого поставщика j-ому потребителю.

Получим следующую математическую модель:

ограничения по поставщикам

ограничения по потребителям

Целевая функция задачи (стоимость перевозки груза) имеет вид:

Сформируем исходные данные, переменные и ограничения как показано на рис. 20.1.

Рисунок 20.1

Введем зависимости из математической модели.

Для ввода формул используйте Мастер формул и операции копирования и вставки.

1. Введём зависимость для целевой функции:

- Установим курсор в ячейку А13 и вызовем Мастер функций f().

- На экране диалоговое окно (Рис. 20.2).

Рисунок 20.2

- Выбираем из категории Математические функцию СУММПРОИЗВ.

- Появляется следующее диалоговое окно (Рис. 20.3):

Рисунок 20.3

2. Введем формулу зависимости для целевой функции:

- вводим данные в массивы.

3. Введём зависимости для левых частей ограничений задачи:

- установим курсор на ячейку А16

- нажмите кнопку Мастер функций f() на стандартной панели

- на экране появляется диалоговое окно (Рис 20.2);

- выбираем из категории Математические функцию СУММ;

- в появившемся диалоговом окне вводим данные (Рис. 20.4);

Рисунок 20.4.

В ячейки А16:А22 вводим соответственно формулы (построчно!) (в диалоговом окне последовательно или применяя операцию копирования формул):

=СУММ(B8:E8);

=СУММ(B9:E9);

=СУММ(B10:Е10);

=СУММ(B8:B10);

=СУММ(С8:С10);

=СУММ(D8:D10);

=СУММ(E8:E10);

(смотри порядок ввода формул в левые части ограничений – Рис 20.5);

Рисунок 20.5

На этом ввод данных в таблицу закончен.

Программа Поиск решения.

Выберите пункт меню СервисПоиск решения;
В появившемся окне Поиск решения введите в поле Установить целевую ячейку значение $А$13, установите переключатель Равной максимальному значению, в поле Изменяя ячейки введите диапазон ячеек $B$8:$Е$10 (Рис.20.6).

Рисунок 20.6

Для формирования ячеек нажмите кнопку Добавить, В результате на экране появиться окно Добавление ограничения (Рис.20.7);

Рисунок 20.7

В поле Ссылка на ячейку вводим последовательно левые части ограничений ($A$16, $A$17, $A$18, $A$19, $A$20, $A$21, $A$22), в раскрывшемся списке выбираем знак (<=), в поле Ограничение вводим последовательно правые части ограничений ($C$16, $C$17, $C$18, $C$19, $C$20, $C$21, $C$22), после ввода очередного ограничения нажимаем кнопку Добавить, после ввода последнего ограничения нажмите кнопку ОК, в результате этих действий окно Поиск решения примет вид (Рис. 20.8):

Рисунок 20.8.

Нажмите кнопку Параметры, и в появившемся окне параметры поиска решения установите флажки Линейная модель и Неотрицательные значения, в результате окно Параметры поиска решения примет вид (Рис. 20.9):

Рисунок 20.9

В окне Поиск решения нажмите кнопку Выполнить, в результате на экране появиться окно Результаты поиска решения (Рис 20.10):

Рисунок 20.10

В окне Результаты поиска решения выберите тип отчета Результаты и нажмите кнопку ОК, в результате этого рабочий лист примет вид (Рис. 20.11):

Рисунок 20.11

Для просмотра отчета щелкните по листу Отчет по результатам (рис. 20.12):

Рисунок 20.12

Анализ результата решения задачи.

Для получения минимальной прибыли в размере 280 ден. ед. первый поставщик должен отправить весь груз 60 ед. второму потребителю; второй поставщик распределяет груз между третьим (20 ед.) и четвертым (60 ед.) потребителям; третий поставщик поставляет груз: 40 ед. – первому потребителю, 60 ед. – третьему потребителю.

Задания для самоконтроля.

Задача №1.

Решить транспортную задачу по следующим исходным данным:

Запасы	Потребности
	40	20	30	60
80	1	4	3	5
40	3	2	2	3
30	4	4	2	3

Задача №2.

Решить транспортную задачу по следующим исходным данным:

Запасы	Потребности
	21	35	25	41
30	23	27	13	18
40	12	17	20	51
52	22	28	12	32

Задача №3.

Решить транспортную задачу по следующим исходным данным:

Запасы	Потребности
	320	480	620	110
500	8	7	6	9
560	4	10	8	3
470	2	3	6	5

Задача №4.

Решить транспортную задачу по следующим исходным данным:

Запасы	Потребности
	30	25	20	25
50	4	2	3	3
20	3	5	2	4
30	5	1	4	20

Литература

1. Боглаев Ю. П. Вычислительная математика и программирование. - М.: - Высшая школа, 1990.

2. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. - М.: - Наука, 1988.

3. Власов В. К., Королев Л. Н., Сотников А. Н. Элементы информатики. - М.: - Наука, 1988.

4. Воробьева Г. И., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. - М.: - Высшая школа, 1990.

5. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для персональных ЭВМ. - М.: - Наука, 1987.

6. Иванова Т. П., Пухова Г. В. Программирование и вычислительная математика. - М.: - Просвещение, 1998.

7. Кимбл Г. Как правильно пользоваться статистикой. - М.: - Финансы и статистика, 1982.

8. Козлов М. В., Прохоров А. В. Введение в математическую статистику. - М.: - Издательство МГУ, 1987.

9. Кузнецов Ю. Н., Кузубов В. И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. - М.: - Высшая школа, 1976.

10. Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики. - М.: - Наука, 1982.

Скачать материал

Скачать материал "Численные методы. Лабораторно-практические раюоты."

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Краткое описание документа:

Одна из самых больших проблем преподавателей математики в колледже состоит в том, что по дисциплине "Численные методы" практически нет ни учебников, ни пособий.

Вот и я в своё время стояла перед проблемой: предмет вести необходимо, а нет ни учебников, ни пособий. Что же делать?

Ответ был прост: искать любую, доступную информацию. Всё систематизировать и привести к виду, несущему максимум информации.

Результат моих поисков - перед Вами.

Данный сборник содержит теоретический материал по всем изучаемым методам.

Разработаный материал носит информационный, рекомендательный жарактер

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 654 974 материала в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

pptx

Презентация по математике на тему: "Старинные русские меры длины" Козлов Иван 5а класс

Учебник: «Математика», Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Тема: 1.3. Длина линии

30.09.2020
572
7

«Математика», Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.

pptx

Презентация по теме : "Старинные русские меры длины" Цвяткова Анастасия 5а класс.

Учебник: «Математика», Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Тема: 1.3. Длина линии

30.09.2020
515
4

docx

"Ондық бөлшек", 5 сынып

30.09.2020
448
0

zip

Презентация к уроку математики по теме "Уравнение" 4 класс мини-зачет

30.09.2020
453
1

docx

Интегрированный урок математики и краеведения "История школы в цифрах и фактах"

30.09.2020
565
11

zip

Презентация к уроку математики в 4 классе по теме "Уравнение"

30.09.2020
548
0

docx

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ - 2 КЛАСС

Учебник: «Математика (в 2 частях)», Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. и др.

30.09.2020
475
2

«Математика (в 2 частях)», Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. и др.

docx

Урок математики в 1 классе ФГОС

Учебник: «Математика (в 2 частях)», Моро М.И., Волкова С.И., Степанова С.В.
Тема: Сложение и вычитание

30.09.2020
852
4

«Математика (в 2 частях)», Моро М.И., Волкова С.И., Степанова С.В.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 20.12.2014 1662
- DOCX 4.2 мбайт
- 12 скачиваний
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Матушевич Лариса Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Матушевич Лариса Викторовна
- На сайте: 8 лет и 9 месяцев
- Подписчики: 4
- Всего просмотров: 13150
- Всего материалов: 12