Главная / Математика / Численные методы. Лабораторно-практические раюоты.

Численные методы. Лабораторно-практические раюоты.



hello_html_m314f7d1f.gif

Рассмотрено на заседании МО естественно-математических дисциплин

«___» ________________ 201__ года

Протокол № _____





Оглавление

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 4

Указания по выполнению лабораторных работ. 6

Лабораторная работа №1 Тема: Элементарная теория погрешностей. 7

Лабораторная работа №2 Тема: Погрешности результата 9

Лабораторная работа №3. Тема: Отделение корней. Метод проб. 11

Лабораторная работа №4. Тема: Отделение корней. Метод хорд. 12

Лабораторная работа №5. Тема: Отделение корней. Метод касательных 14

Лабораторная работа №6. Тема: Отделение корней. Комбинированный метод. 15

Лабораторная работа №7. Тема: Отделение корней. Метод итерации. 16

Лабораторная работа № 8. Тема: Решение нелинейных задач. 17

Лабораторная работа № 10. Тема: Решение систем линейных уравнений. 19

Лабораторная работа № 11. Тема Решение систем линейных уравнений методом Крамера. 22

Лабораторная работа № 12. Тема: Решение систем линейных уравнений. 24

Лабораторная работа №13. Тема: Решение систем линейных уравнений 27

Лабораторная работа №15. Тема: Интерполирование функций. 36

Лабораторная работа № 16. Тема: Интерполирование функций. 40

Лабораторная работа №17. Тема: Интерполирование функций. 44

Лабораторная работа №18. Тема: Интерполирование функций. 47

Лабораторная работа № 19. Тема: Симплекс-метод решения задач линейного программирования. 50

Лабораторная работа №20. Тема: Транспортная задача. Метод потенциалов. 57

Литература 67


ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Настоящий сборник лабораторно-практических работ для проведения факультативных занятий в старших классах школ естественно-математического направления разработан с целью повышения уровня математической подготовки учащихся старших классов. Программа предусматривает профориентационную направленность факультативных занятий, так как показывает область применения математических знаний при выполнении практических задач в программе Excel.

Общий объем - 136 часа, из них:

  • Теоретических занятий - 68 часов;

  • Лабораторно-практических занятий - 68 часов

Распределение часов на изучение факультативного курса по классам следующее:

10 класс – 68 часов

11 класс – 68 часов.

Факультативный курс «Численные методы» предусматривает изучение учащимися основных методов и средств выполнения вычислений на ЭВМ.

В ходе освоения факультативного курса учащиеся должны:

Иметь понятие:

  • О роли и месте математических знаний при решении задач в программе Excel;

  • О решении задач на ЭВМ с заданной точностью;

  • Об определении погрешностей вычислений;

  • О возможностях решения математических задач на ЭВМ для обеспечения потребностей пользователей;

  • О видах погрешностей, основных методах решения нелинейных уравнений и систем уравнений, задаче интерполяции, интегралах, дифференциальных уравнениях:

Уметь:

  • Выбирать метод решения задач;

  • Составлять алгоритмы программ для решения математических задач.

Изучение факультативного курса «Численные методы» способствует развитию математического, логического мышления, что является необходимым для учащихся классов естественно-математического направления. Изучение дисциплины имеет практическую направленность и проводится в тесной связи с другими дисциплинами.

Пререквизиты: изучение факультативного курса основывается на имеющихся знаниях, полученных учащимся по дисциплинам «Математика», «Алгебра и начала анализа», «Информатика».

Постреквизиты: изучение факультативного курса «Численные методы» подготавливает к изучению программирования, к решению математических задач на ЭВМ.

Использование межпредметных связей обеспечивает преемственность в изучении материала, исключает дублирование материала и позволяет рационально распределять время.

Для закрепления теоретических знаний и приобретения необходимых практических навыков и умений проводятся практические и лабораторные работы, перечень которых указан в тематическом плане дисциплины.

В настоящий сборник входят 20 работ по всем изучаемым темам. Сборник подготовлен таким образом, что лабораторно-практические занятия могут проводиться в кабинетах, оснащенных компьютерной техникой и в кабинетах, где таковая отсутствует.

Каждая работа содержит теоретический материал по рассматриваемой теме, руководство по проведению работы, представленное на примере выполнения конкретного задания, и задания для самостоятельного выполнения. Часть лабораторно-практических работ можно использовать для организации самостоятельной работы обучающихся или как индивидуальные домашние задания (ИДЗ).



Тематическое планирование


п/п

Тема

Количество часов

теория

практика

10 класс

1

Теория погрешностей

6

6

2

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

10

10

3

Интерполирование функций

4

4

4

Метод наименьших квадратов

4

4

5

Решение систем линейных уравнений различными способами

10

10

11 класс

6

Численное интегрирование функций

4

4

7

Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

4

4

8

Метод квадратного корня

4

4

9

Метод простых итераций

4

4

10

Линейное программирование

4

4

11

Симплекс-метод решения задач линейного программирования

8

8

12

Транспортная задача. Метод потенциалов

6

6

Итого

68

68



Указания по выполнению лабораторных работ.


Задание к лабораторной работе состоит из двух частей – практической и теоретической. Практическая часть лабораторной работе выполняется в компьютерных классах, согласно расписанию занятий.

Перед началом выполнения практической части задания обучающийся обязан ознакомиться с теоретическим материалом по теме занятия и законспектировать его в тетради для лабораторных работ.

После того, как обучающийся продемонстрировал конспект преподавателю, он может приступать к выполнению практического задания, при этом


запрещается:

1. Самовольно, без разрешения преподавателя покидать свое рабочее место.

2. Рвать, мять и делать пометки в сборниках лабораторных работ.

3. Пользоваться флеш-картами и другими съемными носителями, непроверенными на наличие вирусов.

4. Удалять файлы, созданные другими пользователями.

5. Настраивать оформление рабочего стола и других элементов пользовательского интерфейса, если этого не требует выполнение работы.


При выполнении лабораторных работ обучающийся обязан:

1. Выполнять правила техники безопасности.

2. Выполнять указания преподавателя.

3. Выполнять инструкции, содержащиеся в описании работы и теоретическом материале.


При выполнении работы учащийся имеет право:

1. Получать консультацию учителя по возникающим вопросам

2. Выполнять работу как на бумажных носителях, так и с использованием ПК.

3. Выполнять работу на личном ноутбуке.

4. Сохранять решенные задания на съемных носителях

Лабораторная работа №1 Тема: Элементарная теория погрешностей.

Цель: Научиться находить предельные абсолютные и предельные относительные погрешности.

Задание 1.

Определить какое равенство точнее hello_html_me852cbb.gif=0,818 или hello_html_m37a2b5c.gif=4,24

Решение:

  1. Находим значение данных выражений с большим числом десятичных знаков:

аhello_html_4ab98f23.gif=hello_html_me852cbb.gif=0,81818… аhello_html_3500b51c.gif=4,2426…

  1. Затем вычисляем предельные абсолютные погрешности, округляя их с избытком:

∆ аhello_html_4ab98f23.gif=|0,81818-0,818|≤ 0.00019 ∆аhello_html_3500b51c.gif=|4.2426-4.24|≤ 0.0027

  1. Предельные относительные погрешности составляют

δhello_html_m55cce8d1.gif=hello_html_m7a7468f6.gif=hello_html_m769f09c4.gif=0,00024=0,024% δhello_html_561db733.gif=hello_html_m1c8925c.gif=hello_html_m6569e510.gif=0,00064=0,064%

4. Так как δа< δhello_html_561db733.gif, то равенство hello_html_me852cbb.gif=0,818 является более точным

Это был ручной способ поиска равенства, являющегося более точным. Для автоматического поиска более точного равенства можно использовать среду программирования MS Excel. Для этого необходимо подготовить рабочий лист так, как показано на рисунке 1.1


hello_html_58a587be.png

Рисунок 1.1 Элементарная теория погрешностей


Здесь в ячейки А4 и В4 заносятся условия задачи: в А4 – 0,818, В4 – 4,24

В ячейки В6 и В7 записывают значения данных выражений с большим числом десятичных знаков (число знаков должно быть на два знака больше): В6 – 0,81818, В7 – 4,2426

В ячейки D6 и D7 записывают формулы для вычисления предельных абсолютных погрешностей для первого и второго равенств соответственно: D6= В6-А4+0,00001 (соответственно 0,81818-0,818+0,00001 т.к. мы брали 5 знаков после запятой, а по условию необходимо абсолютные погрешности округлять с избытком)

D7=В7-В4+0,0001( соответственно 4,2426-4,24+0,0001 т.к. мы брали 4 знака после запятой, а по условию необходимо абсолютные погрешности округлять с избытком)

В ячейки D9 и D10 записывают формулы для вычисления предельных относительных погрешностей для первого и второго равенств соответственно:

D9=D6/А4 (соответственно 0,00019/0,818)

D10=D7/В4 (соответственно 0,0027/4,24)

В ячейке D12 отображается результат выполнения задачи. Для вывода результата используется функция ЕСЛИ (рис.1.2). В строке Логическое выражение записываем условие для исполнения. В оставшихся двух строках записываем результат вывода, который будет выведен, если Логическое выражение примет истину (первое равенство является более точным) или ложь (второе равенство является более точным). В строке формул для этой ячейки будет записана следующая формула:

D12=ЕСЛИ (D9< D10: «первое равенство является более точным»; «второе равенство является более точным»)


hello_html_35b28f8c.png

Рисунок 1.2 Функция ЕСЛИ


Задания для самоконтроля: Определить какое равенство точнее:

1. hello_html_m65e5f644.gif=0,463 и hello_html_224c3d45.gif=6,63;

2. hello_html_mb2c7f5a.gif=0,235 и hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_1befef0b.gif=3,24;

3. hello_html_56b806c1.gif=0,857 и hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m41ef43b7.gif=2,19.

Задание 2.

Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки:

А) в узком смысле 72,353(±0,026);

В) в широком смысле 2,3544, если δ=0,2%.

Решение:

А) Пусть 72,353(±0,026)= а. Согласно условию, предельная абсолютная погрешность только ∆ а=0,026. в узком смысле это необходимо сравнить с 0,05(т.к. после запятой только один нуль). Сравнивая, получаем: 0,026<0.05. это означает, что в числе 72,353 верными в узком смысле являются цифры 7,2,3. По правилам округления найдем приближенное значение числа 72,353, сохранив десятые доли и обозначим за аhello_html_4ab98f23.gif=72,4

Далее находим ∆hello_html_mfd0e811.gif(округленное): ∆hello_html_mfd0e811.gif=| аhello_html_4ab98f23.gif-а|=|72.4-72.353|=0.047

Затем определяем предельную абсолютную погрешность числа аhello_html_4ab98f23.gif

∆ аhello_html_4ab98f23.gif=∆hello_html_e1c33a8.gif+∆hello_html_mfd0e811.gif=0,026+0,047=0,073

Полученная погрешность больше 0,05; значит, нужно уменьшить число цифр в приближенном в числе до двух:

аhello_html_3500b51c.gif =72; ∆hello_html_mfd0e811.gif=|аhello_html_3500b51c.gif-а|=|72-72.353|=0.353;

∆аhello_html_3500b51c.gif= ∆а+∆hello_html_mfd0e811.gif=0,026+0,353=0,379.

Полученное число (0,379) сравниваем с 0,5(т.к. после запятой нет нулей). Получаем, что ∆аhello_html_3500b51c.gif<0,05 откуда следует, что обе оставшиеся цифры верны в узком смысле.

Б) Пусть а= 2,3544; δ=0,2%.

Находим предельную абсолютную погрешность числа а: ∆ а= а* δhello_html_67e4b5fa.gif= 2,3544*0,002=0,00471. В широком смысле это число также необходимо сравнить с 0,005(т.к. после запятой два нуля). Сравнивая, получаем: 0,00471<0,005. Это означает , что в данном числе являются числа 2,3,5. Поэтому округляем его, сохраняя эти цифры: аhello_html_4ab98f23.gif=2,35.

Находим ∆hello_html_mfd0e811.gif:∆hello_html_mfd0e811.gif=| аhello_html_4ab98f23.gif-a|=|2.35+2.3544|=0.0044.

Теперь определяем предельную абсолютную погрешность числа аhello_html_4ab98f23.gif

∆ аhello_html_4ab98f23.gif=∆hello_html_e1c33a8.gif+∆hello_html_mfd0e811.gif=0,00471+0,0044=0,00911

Полученное число (0,00911) сравниваем с числом 0,005 (т.к. после запятой два нуля). Получаем, что ∆ аhello_html_4ab98f23.gif>0,005. Значит и в округленном числе 2,35 все три цифры верны в широком смысле.

Задания для самоконтроля: Определить какое равенство точнее:

1. а)23,543(±0,016)

б)2,8546; δ=0,3%.

2. а)5,436(±0,0028)

б)10,8441; δ=0,04%.

3. а)2,45431(±0,0003)

б)24,5643; δ=0,1%.


Лабораторная работа №2 Тема: Погрешности результата

Задание 1:

Вычислить и определить погрешности результата

Х=hello_html_m1801f350.gif, где m=28.3(±2,02),n=7,45(±0,01),k=0,678(±0,003)

Решение: для начала необходимо определить mhello_html_m3172e248.gif,nhello_html_23814d62.gif и hello_html_me36e67e.gif. Получаем:

mhello_html_m3172e248.gif=(28,3)hello_html_m3172e248.gif=800,9; nhello_html_23814d62.gif=(7,45)hello_html_23814d62.gif=413,5; hello_html_me36e67e.gif=1,8234;

Далее определяем Х без учета абсолютных погрешностей: Х=hello_html_m4aecf69c.gif=402,200

Теперь определяем предельные относительные погрешности для m, n и k:

δhello_html_m1443a218.gif=0,02/28,3=0,00071; δhello_html_772f9caf.gif=0,01/7,45=0,00134; δhello_html_4e1a5f30.gif=0,003/0,678=0,00442

Получив эти данные, определим погрешность результата:

δhello_html_51b260eb.gif=2 δhello_html_m1443a218.gif+3 δhello_html_772f9caf.gif+0,5 δhello_html_4e1a5f30.gif, где 2 δhello_html_m1443a218.gif т.к по условию дано mhello_html_m3172e248.gif, 3 δhello_html_772f9caf.gif т.к. по условию дано nhello_html_23814d62.gif, 0,5 δhello_html_4e1a5f30.gif т.к. по условию дано khello_html_6abd9f33.gif

Таким образом, δhello_html_51b260eb.gif=2 δhello_html_m1443a218.gif+3 δhello_html_772f9caf.gif+0,5 δhello_html_4e1a5f30.gif=2*0,00071+3*0,00135+0,5*0,00443=

=0,00142+0,00405+0,00222=0,00769=0,77%

В заключении определим предельную абсолютную погрешность результата:

hello_html_51b260eb.gif=Х* δhello_html_51b260eb.gif=402,200*0,0077=3,096994.

Ответ: Х=402,200(±3,097); δhello_html_51b260eb.gif=0,77%

Задание 2:

Вычислить и определить погрешности результата:

N=hello_html_1fca33da.gif, где n=3,0567(±0,0001), m=5,72(±0,02)

Для начала находим

n-1 =2,0567(±0,0001) (2,0567 получается из 3,0567-1),

m+n=5,72(±0,02)+3,0567(±0,0001)=8,7767(±0,0201),

m-n=5,72(±1,02)-3,0567(±0,0001)=2,6633(±0,0201) (погрешности складываются)

Далее определяем N без учета абсолютных погрешностей:

N=hello_html_4c6b5794.gif=hello_html_m5e7f0d66.gif=2,545≈2,55;

Теперь определим предельные относительные погрешности для (n-1),(m+n) и (m-n)hello_html_m3172e248.gif.

δhello_html_76bd6c54.gif=0,0001/2,0567=0,000049;

δhello_html_m2bce257.gif=1,0201/8,7767=0,0023;

δhello_html_m7cd0e9a1.gifhello_html_m3172e248.gif=0,0201/2,6633=0,0075, откуда определим погрешность результата:

δhello_html_m58c8d766.gif= δhello_html_76bd6c54.gif+ δhello_html_m2bce257.gif + 2δhello_html_m7cd0e9a1.gifhello_html_m3172e248.gif,здесь 2δhello_html_m7cd0e9a1.gifhello_html_m3172e248.gif т.к. по условию дано (m-n)hello_html_m3172e248.gif

hello_html_m58c8d766.gif= δhello_html_76bd6c54.gif+ δhello_html_m2bce257.gif +2δhello_html_m7cd0e9a1.gifhello_html_m3172e248.gif=0,000049+0,0023+2*0,0075=0,0173=1,74%

В заключении определим предельную абсолютную погрешность результата:

hello_html_m58c8d766.gif= N* δhello_html_m58c8d766.gif=2,55*0,0173=0,044

Ответ: N ≈2,55(±0,044); δhello_html_m58c8d766.gif=1,74%

Автоматический поиск погрешностей результата

Для автоматического поиска погрешностей результата начертите следующую таблицу в Excel т.к. показано на рис.2.1


hello_html_4b56c163.png

Рис.2.1. Автоматический поиск погрешностей результата


Определяем mhello_html_m3172e248.gif:Ячейка F5=В5^2.

nhello_html_23814d62.gif: Ячейка F6=В6^3.

hello_html_me36e67e.gif: Ячейка F7=КОРЕНЬ(В7).

Далее определяем X без учета абсолютных погрешностей: Ячейка В10= (F5*F6)/F7.

Теперь определим предельные относительные погрешности для

m: Ячейка С12=С5/В5.

n: Ячейка С13=С6/В6.

k: Ячейка С14=С7/В7.

Откуда определим погрешность результата δhello_html_4e44409e.gif: Ячейка С15=2*С12+3*С13+0,5*С14.

В заключении определим предельную абсолютную погрешность результата ∆hello_html_4e44409e.gif: Ячейка С16=В10+С15.

Задания для самоконтроля: Определить какое равенство точнее:

  1. а) X= hello_html_m6958962.gif, a=228,6(±0,06),b=86,4(±0,02),c=68,7(±0,5).

Б) X= hello_html_6852daec.gif, m=4,22(±0,004), a=13,5(±0,02), b=3,7(±0,02), c=34,5(±0,02), d=23,725(±0,005)/

2. а) X=hello_html_m6958962.gif, a=3,845(±0,04),b=16,2(±0,05),c=10,8(±0,1).

Б) X= hello_html_5bf4e22d.gif, a=2,754(±0,001), b=11,7(±0,04), m=0,56(±0,005), c=10,536(±0,002), d=6,32(±0,008).

3. a) X=hello_html_m221b0fd9.gif, a=3,456(±0,002),b=0,642(±0,0005), c=7,12(±0,004).

Б) X=hello_html_b38bf02.gif, a=23,16(±0,02), b=8,23(±0,005), c=145,5(±0,08), d=28,6(±0,1), m=0,28(±0,006).

Лабораторная работа №3. Тема: Отделение корней. Метод проб.

Задание 1. отделить корни аналитически и уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01. хhello_html_m57b7fea7.gif-xhello_html_23814d62.gif-2xhello_html_m3172e248.gif+3x-3=0

Решение: Полагаем, что f(x)= хhello_html_m57b7fea7.gif-xhello_html_23814d62.gif-2xhello_html_m3172e248.gif+3x-3. Определим f(x), а затем найдем корни уравнения.

F(x) = хhello_html_m57b7fea7.gif-xhello_html_23814d62.gif-2xhello_html_m3172e248.gif+3x-3=0

4x(xhello_html_m3172e248.gif-1)-3(xhello_html_m3172e248.gif-1) =0

(xhello_html_m3172e248.gif-1)(4x-3)=0

1) (xhello_html_m3172e248.gif-1)=0 2) (4x-3)=0

xhello_html_m3172e248.gif = 1 xhello_html_m27f31a3a.gif=3/4

xhello_html_4ab98f23.gif = -1

xhello_html_3500b51c.gif = 1

Составим таблицу знаков функции f(x) (табл.3.1):

Таблица 3.1

Таблица знаков функции

x

-∞

-1

3/4

1

+∞

Знак функции f(x)

+

-

-

-

+


Из таблицы видно, что уравнение имеет два действительных корня: xhello_html_4ab98f23.gif€ [-∞;-1];xhello_html_3500b51c.gif€ [1;+∞]

Уменьшим промежутки, в которых находятся корни (табл. 3.2):

Таблица 3.2

Определение промежутков, содержащих корни уравнения

x

-2

-1

1

2

Знак функции f(x)

+

-

-

+


ahello_html_772f9caf.gifhello_html_m799b1ce3.gif

bhello_html_772f9caf.gifhello_html_m1f5e0004.gif

-

+


Следовательно, xhello_html_4ab98f23.gif€ [-2;-1];xhello_html_3500b51c.gif€ [1;2].

Уточним один из корней, например на промежутке [-2;-1], методом проб до сотых долей. Все вычисления удобно производить, используя следующую таблицу:

  • если в столбце f(xhello_html_772f9caf.gif) отрицательное число, то полученное число xhello_html_772f9caf.gif=… заносится в столбец, где ahello_html_772f9caf.gif или bhello_html_772f9caf.gif отрицательно;

  • если в столбце f(xhello_html_772f9caf.gif) положительное число, то полученное число xhello_html_772f9caf.gif=… заносится в столбец, где ahello_html_772f9caf.gif или bhello_html_772f9caf.gif положительно.

Знак ahello_html_772f9caf.gif и bhello_html_772f9caf.gif определяется из таблицы 3.2 знаков функции. В нашем случае ahello_html_772f9caf.gif имеет знак “+”, т.е. ahello_html_772f9caf.gifhello_html_m799b1ce3.gif, а bhello_html_772f9caf.gif имеет знак “-‘, т.е. bhello_html_772f9caf.gifhello_html_m1f5e0004.gif).

Таблица 3.3

Таблица решения уравнения

N

ahello_html_772f9caf.gifhello_html_m799b1ce3.gif

bhello_html_772f9caf.gifhello_html_m1f5e0004.gif

Xhello_html_772f9caf.gif=hello_html_m4a66d65e.gif

f(xhello_html_772f9caf.gif)

|ahello_html_772f9caf.gif-bhello_html_772f9caf.gif|

0

-2

-1

-1,5

-3,5625

1

1

-2

-1,5

-1,750

0,3633

0,5

2

-1,750

-1,5

-1,625

-1,8923

0,25

3

-1,750

-1,625

-1,688

-0,8432

0,125

4

-1,750

-1,688

-1,719

-0,2555

0,062

5

-1,750

-1,719

-1,735

0,0488

0,031

6

-1,735

-1,719

-1,727

-0,0998

0,016

7

-1,735

-1,727

-1,731

-0,0208

0,008

Вычисляем до тех пор, пока |ahello_html_772f9caf.gif-bhello_html_772f9caf.gif|≤0.01

Ответ:х≈-1,73 (взяли меньшее)

Реализация этого метода в MS Exсel осуществляется следующим образом (Рис. 3.1)

Здесь вычисляемыми являются столбцы Н (т.е. хhello_html_772f9caf.gif=hello_html_m4a66d65e.gif). I(т.е. f(хhello_html_772f9caf.gif)), J(т.е. |ahello_html_772f9caf.gif-bhello_html_772f9caf.gif|)

H9=(F9+G9)/2 и аналогично для остальных ahello_html_772f9caf.gif и bhello_html_772f9caf.gif.

I9=H9^4- H9^3-2* H9^2+3* H9-3 и аналогично для остальных хhello_html_772f9caf.gif

J9=ABC(F9-G9) и аналогично для остальных ahello_html_772f9caf.gif и bhello_html_772f9caf.gif.

Затем в зависимости от того является ли f(xhello_html_772f9caf.gif) положительным или отрицательным числом, записываем xhello_html_772f9caf.gif в ahello_html_772f9caf.gifhello_html_m799b1ce3.gif или в bhello_html_772f9caf.gifhello_html_m1f5e0004.gif


hello_html_4a2ccb7c.png

Рисунок 3.1 Реализация метода проб в среде Exсel


Задания для самоконтроля. Отделить корни аналитически и уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01.

Вариант 1.

1. 2xhello_html_23814d62.gif-9xhello_html_m3172e248.gif-60x+1=0;

2. 3xhello_html_m57b7fea7.gif+8xhello_html_23814d62.gif+6xhello_html_m3172e248.gif-10=0;

3. 3xhello_html_m57b7fea7.gif -8xhello_html_23814d62.gif-18xhello_html_m3172e248.gif+2=0.

Вариант 2.

  1. 2xhello_html_m57b7fea7.gif+8xhello_html_23814d62.gif+8xhello_html_m3172e248.gif-1=0;

  2. xhello_html_m57b7fea7.gif+4xhello_html_23814d62.gif-8xhello_html_m3172e248.gif-17=0;

  3. 3xhello_html_m57b7fea7.gif+4xhello_html_23814d62.gif-12xhello_html_m3172e248.gif+1=0.

Лабораторная работа №4. Тема: Отделение корней. Метод хорд.

Задание: Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом хорд с точностью до 0,001.

xhello_html_23814d62.gif-0,2xhello_html_m3172e248.gif+0,5x+1,5=0

Решение: Полагаем, что f(x)= xhello_html_23814d62.gif-0,2xhello_html_m3172e248.gif+0,5x+1,5. Определим f’(x), а затем найдем корни уравнения.

f’(x)=3xhello_html_m3172e248.gif-0,4x+0,5=0

D=bhello_html_m3172e248.gif-4ac=0,16-4*3*0,5=0,16-6= -5,84

D<0, следовательно непосредственно корни найти нельзя. Следовательно, необходимо найти интервал, в котором находятся корни данного уравнения f(x)=0. Возьмем любую точку, например, x=0 и будем перебирать все точки до тех пор, пока функция не изменит знак. И точки, в которых функция меняет знак, примем за границы интервала (табл.4.1).


Таблица 4.1

X

-∞

-1

0

1

+∞

Знак f(x)

-

-

+

+

+


Следовательно, уравнение имеет один действительный корень, лежащий в промежутке [-1;0].

Чтобы уточнить корень, находим вторую производную f’(x)=6х-0,4; в промежутке [-1;0] выполняется неравенство f”(x)<0. Подставляем интервал [-1;0] в функцию f”(x) и f(x) и находим, при каком значении х знаки f”(x) и f(x) совпадают:

f ”(-1)<0 f”(0)<0

f(-1)<0 f(0)<0

т.е. при х = -1 знаки f”(x) и f(x) совпадают

Следовательно, а = -1 – неподвижная точка

хhello_html_m221db12.gif = 0 – подвижная точка

Для вычислений применяем формулу

х hello_html_m4d339ea9.gif= а - hello_html_m4c3f7d52.gif*(xhello_html_772f9caf.gif-a)

Все вычисления располагаем в таблице 4.2:

Таблица 4.2

N

xhello_html_772f9caf.gif

xhello_html_m4d339ea9.gif

0

xhello_html_m221db12.gif=0

-0,882

1

xhello_html_4ab98f23.gif= -0,882

-0,943

2

xhello_html_3500b51c.gif= -0,943

-0,946

3

xhello_html_m27f31a3a.gif= -0,946

-0,946

a=-1; f(-1)=-1+0,2-0,5+1,5= -0,2


xhello_html_m221db12.gif=0; f(0)=0-0+0+1,5=1,5

xhello_html_m221db12.gif=0

хhello_html_4ab98f23.gifhello_html_m53d4ecad.gif=а - hello_html_20f7c19.gif*(xhello_html_m221db12.gif-a)=

= -1- hello_html_3c135e5c.gif*(0-(-1))= -1- hello_html_m696aaaf8.gif*(0+1) = -0,882

hello_html_m53d4ecad.gifхhello_html_3500b51c.gifhello_html_m53d4ecad.gif=а - hello_html_50ae520a.gif*(xhello_html_4ab98f23.gif-a)= -1 - hello_html_m42f6cf16.gif* (-0,882-(-1)) = -1- hello_html_m30afa3ca.gif * 0,118= -0,943

хhello_html_m27f31a3a.gifhello_html_m53d4ecad.gif=а - hello_html_7f1c3494.gif*(xhello_html_3500b51c.gif-a)= -1 - hello_html_7466dc0a.gif* (-0,943-(-1)) = -1- hello_html_m4f828350.gif * 0,057 = -0,946

хhello_html_53c5a9fd.gifhello_html_m53d4ecad.gif=а - hello_html_m7d7425fa.gif*(xhello_html_m27f31a3a.gifhello_html_3500b51c.gif-a)= -1 - hello_html_m6cbfe597.gif* (-0,946-(-1)) = -1- hello_html_m53cafff1.gif * 0,054 = -0,946

|xhello_html_m311efa08.gif-xhello_html_772f9caf.gif| = |-0,946-(-0,946)| = 0 ≤ 0,001

Вычисляем до тех пор, пока |xhello_html_m311efa08.gif-xhello_html_772f9caf.gif| ≤ 0,001

F(-0,882)=(-0,882)hello_html_23814d62.gif+0,2*(-0,882)hello_html_m3172e248.gif+0,5*(-0,882)+1,5=-0,686-0,156-0,441+1,5=0,217

F(-0,943)=(-0,943)hello_html_23814d62.gif+0,2*(-0,943)hello_html_m3172e248.gif+0,5*(-0,943)+1,5=-0,839-0,178-0,472+1,5=0,011

F(-0,946)=(-0,946)hello_html_23814d62.gif+0,2*(-0,946)hello_html_m3172e248.gif+0,5*(-0,946)+1,5=-0,847-0,179-0,473+1,5=0,001

Ответ: x≈-0,946

Задания для самоконтроля: Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом хорд с точностью до 0,001

  1. хhello_html_23814d62.gif-3хhello_html_m3172e248.gif+6х+3=0;

  2. хhello_html_23814d62.gif+0,2хhello_html_m3172e248.gif+0,5х-2=0;

Задания для самостоятельной работы: Разработать требования к реализации этого метода в MS Excel

Лабораторная работа №5. Тема: Отделение корней. Метод касательных

Задание: Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом касательных с точностью до 0,001

хhello_html_23814d62.gif-0,2хhello_html_m3172e248.gif+0,5х-1,5=0;

Решение: Полагаем, что f (x)= хhello_html_23814d62.gif-0,2хhello_html_m3172e248.gif+0,5х-1,5. Определим f’(x), а затем найдем корни уравнения

f’(x)= 3хhello_html_23814d62.gif-0,4хhello_html_m3172e248.gif+0,4х+0,5=0

D=bhello_html_m3172e248.gif-4ac=0.16-4*3*0.5=0.16-6= -5.84

D<0, поэтому непосредственно действительные корни найти нельзя. Следовательно, необходимо найти интервал, в котором находятся корни данного уравнения f (x)=0. Возьмем любую точку, например, х=0 и будем перебирать все точки до тех пор, пока функция не изменит знак. И точки, в которых функция меняет знак, примем за границы интервала.

Таблица 5.1

X

-∞

-1

0

1

+∞

Знак f(x)

-

-

+

+

+


Следовательно, уравнение имеет один действительный корень, лежащий в промежутке [-1;0].

Чтобы уточнить корень, находим вторую производную f”=6x-0,4; в промежутке [-1;0]выполняется неравенство f”(х). Подставляем интервал [-1;0] в функции f”(х) и f(х) и находим при каком х знаки f”(х) и f(х) совпадают:

f ”(-1)<0 f”(0)<0

f(-1)<0 f(0)<0

т.е.при х=-1 знаки f”(х) и f(х) совпадают

Следовательно, а=0 – неподвижная точка

хhello_html_m221db12.gif=-1 – подвижная точка

Т.е. в данном методе всё наоборот, чем в методе хорд. Для вычисления применяем формулу

хhello_html_m4d339ea9.gifhello_html_772f9caf.gif-hello_html_2275c157.gif

Все вычисления располагаем в таблице (табл.5.2): f(x) = 3xhello_html_m3172e248.gif-0,4x+0,5


Таблица 5.2


N

хhello_html_772f9caf.gif

хhello_html_m4d339ea9.gif

0

-1

-0,949

1

-0,949

-0,946

2

-0,946

-0,946



xhello_html_m221db12.gif= -1

xhello_html_4ab98f23.gif=xhello_html_m221db12.gif-hello_html_m3bbdfa3a.gif= -1- hello_html_2b69aead.gif= -1- hello_html_m6e32a298.gif= -1+0,051= -0,949;

xhello_html_3500b51c.gif=xhello_html_4ab98f23.gif-hello_html_m794b1c72.gif= -0,949- hello_html_4f4a44ec.gif= -0,949- hello_html_33cf8faf.gif= -0,949 + 0,003= -0,946;

xhello_html_m27f31a3a.gif=xhello_html_3500b51c.gif-hello_html_m51cbf36e.gif= -0,946- hello_html_m30738e0b.gif= -0,946- hello_html_4809295f.gif= -0,946-0,0002= -0,9458;

|xhello_html_m4d339ea9.gif-xhello_html_772f9caf.gif|=|-0,9458-(-0,0946)|=0,0002≤0,001.

Вычисляем до тех пор, пока |xhello_html_m4d339ea9.gif-xhello_html_772f9caf.gif|≤0,001.

f (-0,949)=(-0,949)hello_html_23814d62.gif-0,2*(-0,949)hello_html_m3172e248.gif+0,5*(-0,949)+1,5= -0,855-0,180-0,475+1,5= -0,01;

f’(-0,949)=3* (-0,949)hello_html_m3172e248.gif+0,4*(-0,949)+0,5=2,702+0,380+0,5=3,582;

f (-0,946)=(-0,946)hello_html_23814d62.gif-0,2*(-0,946)hello_html_m3172e248.gif+0,5*(-0,946)+1,5= -0,847-0,179-0,473+1,5= 0,001;

f’(-0,946)=3* (-0,946)hello_html_m3172e248.gif+0,4*(-0,946)+0,5=2,685+0,378+0,5=3,563.

Ответ: x≈ -0,946.

Задания для самоконтроля: Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом касательных с точностью до 0,001

  1. xhello_html_23814d62.gif-3xhello_html_m3172e248.gif+6x+3=0;

  2. xhello_html_23814d62.gif-0,2xhello_html_m3172e248.gif+0,3x-1,2=0.

Задания для самостоятельной работы: Разработать требования к реализации этого метода в MS Excel.

Лабораторная работа №6. Тема: Отделение корней. Комбинированный метод.

Задание: Комбинированным методом хорд и касательных решить уравнение третье степени, вычислив корни с точностью до 0,001.

xhello_html_23814d62.gif- 2xhello_html_m3172e248.gif-4x+7=0.

Решение: Полагаем f(x)= xhello_html_23814d62.gif- 2xhello_html_m3172e248.gif-4x+7=0. Определим f’(x)= 3xhello_html_m3172e248.gif-4x-4=0.

Составим таблицу знаков функции для определения интервала, в котором лежат корни уравнения:

Таблица 6.1

X

-2

-1

0

1

2

3

Знак f(x)

-

+

+

+

-

+


Т.е. корни уравнения находятся в интервалах [-2;-1], [1;2], [2;3].

Уточним корни уравнения комбинированным методом на одном из интервалов, например, на интервале [-2;-1]. Находим вторую производную f”(x)= 6x-4. Подставляем интервал [-2;-1] в функции f”(x) и f(x) и находим, при каком значении х знаки f”(x) и f(x) совпадают:

f ”(-2)<0 f”(-1)>0

f(-2)<0 f(-1)<0

т.е. при х=-2 знаки f”(x) и f(x) совпадают.

Следовательно: hello_html_2bc82957.gifhello_html_m221db12.gif= -2, а хhello_html_m221db12.gif= -1.

Для расчетов применяем формулы:

xhello_html_m4d339ea9.gif=xhello_html_772f9caf.gif- hello_html_m3c360fa4.gif*(hello_html_77cd09fb.gif-xhello_html_772f9caf.gif); hello_html_1b2adf56.gif= hello_html_m3df88ad2.gif - hello_html_m2dfecf5e.gif.

Все вычисления располагаем в таблице 6.2:

Таблица 6.2

N

xhello_html_772f9caf.gif

xhello_html_m4d339ea9.gif

hello_html_m3df88ad2.gif

hello_html_1b2adf56.gif

0

-1

-1,889

-2

-1,938

1

-1,889

-1,9353

-1,938

-1,9354

Вычисляем до тех пор, пока |hello_html_m3df88ad2.gif - xhello_html_772f9caf.gif|≤0,001.

xhello_html_m221db12.gif= -1.

hello_html_2eb9ac8a.gif= -2.

xhello_html_4ab98f23.gif=xhello_html_m221db12.gif- hello_html_m224f8a8b.gif* (hello_html_2eb9ac8a.gif- xhello_html_m221db12.gif)= -1 - hello_html_57496b67.gif*(-1+2)= -1,889.

hello_html_6bc903f0.gif= hello_html_2eb9ac8a.gif - hello_html_5f8a439b.gif= -2 - hello_html_7972d9ea.gif= -1,938.

f(xhello_html_m221db12.gif) = f(-1)= -1-2+4+7= 8 f(hello_html_2eb9ac8a.gif)=f(-2)=-8-8+8+7= -1 f’(hello_html_2eb9ac8a.gif)=f(-2)=12+8-4=16

xhello_html_3500b51c.gif=xhello_html_4ab98f23.gif- hello_html_669864d.gif* (hello_html_6bc903f0.gif- xhello_html_4ab98f23.gif) = -1,889- hello_html_m49c036d9.gif* (-1,938+1,889)= -1,9353.

hello_html_m1850ae6a.gif= hello_html_6bc903f0.gif - hello_html_m1b810692.gif= -1,938- hello_html_m476737d2.gif= -1,9354

f(xhello_html_4ab98f23.gif) = f(-1,889)= -6,741-7,137+7,556+7=0,678 f(hello_html_6bc903f0.gif)=f(-1,938)=-7,279-7,512+7,752+7= -0,039

f(hello_html_6bc903f0.gif) = f(-1,938) = 11,268+7,752-4= 15,02

|hello_html_m1850ae6a.gif- xhello_html_3500b51c.gif|= | -1,9354-(-1,9353)|=0,0001. Ответ: х ≈ -1,935.

Задания для самоконтроля:

  1. xhello_html_23814d62.gif+4xhello_html_m3172e248.gif-24x-10=0;

  2. 2xhello_html_23814d62.gif+9xhello_html_m3172e248.gif-21=0.


Лабораторная работа №7. Тема: Отделение корней. Метод итерации.

Задание: Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом итерации с точностью до 0,001. xhello_html_23814d62.gif-2xhello_html_m3172e248.gif+7x+3=0.

Решение: Полагаем f(x)= xhello_html_23814d62.gif-2xhello_html_m3172e248.gif+7x+3=0. Составим таблицу (табл. 7.1) знаков функции для определения интервала, в котором лежат корни уравнения:


Таблица 7.1

X

-2

-1

0

1

2

Знак f(x)

-

-

+

+

+


Т.е. корни уравнения находятся в интервалах [-1;0].

Уточним этот корень методом итерации. Для этого приведём функцию к виду x= φ(x), где | φ(x)|<1.

  1. Находим f’(x)=3xhello_html_m3172e248.gif-4x+7.

  2. f’(-1)=3+4+7=14 f’(0)=0-0+7=7.

  3. Q =max| f’(x)|= max(14 и 7)=14.

  4. Определяем k=10. (берем меньшее ближайшее удобное число к 14)

  5. φ(x)= х - hello_html_m3171f5f4.gif; φ(x)= х - hello_html_m4d03ced5.gif+ hello_html_m46357670.gif- hello_html_m6702e649.gif- hello_html_m1bbbc207.gif = х -0,1хhello_html_23814d62.gif+0,2хhello_html_m3172e248.gif-0,7х-0,3

  6. φ(x)= -0,1хhello_html_23814d62.gif+0,2хhello_html_m3172e248.gif-0,3х-0,3.

  7. Пусть хhello_html_m221db12.gif=0, тогда хhello_html_m4d339ea9.gif= φ(xhello_html_772f9caf.gif). Все вычисления располагаем в таблице7.2:

Таблица 7.2

N

хhello_html_772f9caf.gif

φ(xhello_html_772f9caf.gif)

0

0

-0,3

1

-0,3

-0,3693

2

-0,3693

-0,3784

3

-0,3784

-0,3795

4

-0,3795

-0,3796

5

-0,3796



Вычисляем до тех пор, пока |xhello_html_m4d339ea9.gif-xhello_html_772f9caf.gif|≤0,001.

F(0)= -0,3;

f(-0,3)= 0,0027+0,018-0,09-0,3= -0,3693;

f(-0,3693)= 0,0050+0,0273-0,1107-0,3= -0,3784;

f(-0,3784)= 0,0054+0,0286-0,1135-0,3= -0,3795;

f(-0,3795)= 0,0055+0,0288-0,1139-0,3= -0,3796;

|xhello_html_m4d339ea9.gif-xhello_html_772f9caf.gif|= |-0,3796-(-0,3795)|=0,001.

Ответ: х ≈ -0,3796.

Задания для самоконтроля: Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом итерации с точностью до 0,001.

  1. xhello_html_23814d62.gif-3xhello_html_m3172e248.gif+9x-10=0;

  2. xhello_html_23814d62.gif+0,4xhello_html_m3172e248.gif+2,6x-1,6=0;

  3. xhello_html_23814d62.gif+3xhello_html_m3172e248.gif+12x+3=0;

  4. 2xhello_html_23814d62.gif+0,2xhello_html_m3172e248.gif+0,5x +0,8=0.

Задания для самостоятельной работы: Разработать требования к реализации этого метода в MS Excel.


Лабораторная работа № 8. Тема: Решение нелинейных задач.

Задание. Решить нелинейное уравнение указанными в таблице 8.1 методами, предварительно определив интервал [a;b], на котором существует решение уравнения.

Методические рекомендации:

  1. Метод перебора. На интервале [x; x+h] существует решение уравнения при условии F(x) * F(x+h)< 0

  2. Метод половинного деления. На интервале [a;b] середина задаётся формулой c=hello_html_176812a6.gif и проверяется условие F(a) * F(c) < 0. Если условие выполняется, то в среднюю точку переносим правую границу интервала b. Если не выполняется, то переносим левую границу интервала а. Деление отрезка выполняется до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность, т.е. пока hello_html_m1ca53e61.gif > ε.

  3. Метод хорд. Для получения координаты точки пересечения касательной с осью абсцисс используется формула c=a+hello_html_m7b66cb7b.gif(b-a) и проверка условия F(a) * F(c) < 0. в случае положительного ответа правую границу b переносим в точку с. Поиск решения прекращается, когда получена задания точность hello_html_m6212c6d3.gif<ε.

  4. Метод касательных. Для определения корня уравнения, используется формула hello_html_791dca78.gif, и вычисления выполняются до тех пор, пока не получена заданная точность, т.е. hello_html_m419931fb.gif

  5. Метод хорд-касательных. Расчётная формула hello_html_m51e91ad2.gif


Таблица 8.1.

Вариант

Уравнение

Методы решения

1

x=hello_html_6275d30c.gif

Перебора и половинного деления

2

X=cos x

Перебора и хорд

3

X=hello_html_4239c6e5.gif

Перебора и касательных

4

X=2hello_html_5b9fa83e.gif

Перебора и хорд-касательных

5

X=hello_html_1393ad9b.gif

Перебора и половинного деления

6

X=3cosx

Перебора и хорд

7

X=hello_html_4c4af2b7.gif

Перебора и касательных

8

X=tgx

Перебора и хорд-касательных

9

X=cos2x

Перебора и половинного деления

10

X=tg2x-1

Перебора и хорд

11

X=hello_html_40709dbe.gif

Перебора и касательных

12

X=hello_html_626b5c35.gif

Перебора и хорд-касательных

13

X=lnx+2

Перебора и половинного деления

14

X=hello_html_1393ad9b.gif

Перебора и хорд

15

hello_html_m2885a9fe.gif

Перебора и касательных

16

X=2hello_html_40709dbe.gif

Перебора и хорд-касательных

17

X=hello_html_m514e1ee4.gif

Перебора и половинного деления

18

X=lnx+3

Перебора и хорд

19

X=3hello_html_1393ad9b.gif

Перебора и касательных

20

hello_html_m9dfec52.gif

Перебора и хорд-касательных

21

X=hello_html_4c4af2b7.gif

Перебора и половинного деления

22

X = tg x

Перебора и хорд

23

X=cos2x

Перебора и касательных

24

X=tg2x-1

Перебора и хорд-касательных

25

X=hello_html_40709dbe.gif

Перебора и половинного деления


Лабораторная работа № 9. Тема: Решение матричных уравнений.

Цель: научиться решать матричные уравнения.


Таблица 9.1. Виды матричных уравнений:

Уравнение

решение

A*X=B

X=Ahello_html_m1c8d0c67.gif*B

X*A=B

X=B*Ahello_html_m1c8d0c67.gif

A*X*B=C

X=Ahello_html_m1c8d0c67.gif*C*Bhello_html_m1c8d0c67.gif


Задание. Решить матричное уравнение:

1. hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_de26fc8.gif* х =hello_html_m1bc7cbf1.gif

Решение:

1) ΔА=2*9-(-1)*5=23≠0 →матрица, обратная А, существует.

2) определим вид союзной матрицы:

Аhello_html_m3bc32b32.gif=9,Аhello_html_35797665.gif=-5,Аhello_html_3c2356be.gif=1,Аhello_html_m32990beb.gif=2

Следовательно: А*=hello_html_35aadfba.gif

3) Определим вид обратной матрицы Аhello_html_m1c8d0c67.gif :

Аhello_html_m1c8d0c67.gif=hello_html_31798177.gif*hello_html_35aadfba.gif

4) Найдем матрицу Х, используя формулу: Х=Аhello_html_m1c8d0c67.gif*В:

Х=hello_html_31798177.gifhello_html_35aadfba.gif*hello_html_m1bc7cbf1.gif Х=hello_html_31798177.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_2bd73157.gif


Реализация решения в МS Excel:

Содержимое ячейки В25 вычисляем по формуле ƒ (х) =B21*E4+C21*E5

Таблица 9.2



А

В

С

D

E

F

3

Матрица А:



Матрица В



4


2

5


-2

3

5


-1

9


1

-1

6







7

Определитель А






8


23





9







10

Номер элемента


Алгебраическое дополнение

11

11


9




12

21


-5




13

12


1




14

22


2




15







16

Союзная матрица






17


9

-5




18


1

2




19







20

Обратная матрица:






21


9/23

-5/23




22


1/23

2/23




23







24

Матрица Х:






25


-1

22/23




26


0

5/23




27







Контрольное задание: Решить уравнение:

Х*hello_html_94fa435.gif=hello_html_m71eec4a5.gif

Лабораторная работа № 10. Тема: Решение систем линейных уравнений.

1. Метод Крамера.

Пример: Найти решение следующей системы линейных уравнений, используя метод Крамера.

hello_html_60c4693b.gifhello_html_4ab98f23.gifhello_html_3500b51c.gifhello_html_m27f31a3a.gifhello_html_53c5a9fd.gif=4;

hello_html_4ab98f23.gifhello_html_3500b51c.gif+2хhello_html_m27f31a3a.gif+3хhello_html_53c5a9fd.gif=1;

hello_html_4ab98f23.gifhello_html_3500b51c.gifhello_html_m27f31a3a.gif+2хhello_html_53c5a9fd.gif=1;

hello_html_4ab98f23.gif+3хhello_html_3500b51c.gif+2хhello_html_m27f31a3a.gifhello_html_53c5a9fd.gif= -5.

Решение: Метод Крамера заключается в следующем:

  1. Для начала вычисляем главный определитель системы, состоящий из коэффициентов при неизвестных


hello_html_7b2dcded.gifhello_html_7b2dcded.gif -1 1 1 1

∆ = 2 1 2 3 = -20

3 2 1 2

4 3 2 1

2) Теперь определяем дополнительные определители.

∆хhello_html_4ab98f23.gif(заменяем первый столбец в определителе ∆ столбцом свободных членов)

hello_html_7b2dcded.gifhello_html_7b2dcded.gif 4 1 1 1

∆хhello_html_4ab98f23.gif= 1 1 2 3 = 40

1 2 1 2

-5 3 2 1

∆хhello_html_3500b51c.gif (заменяем второй столбец в определителе ∆ столбцом свободных членов)

hello_html_7b2dcded.gifhello_html_7b2dcded.gif -1 4 1 1

∆хhello_html_3500b51c.gif= 2 1 2 3 = -40

3 1 1 2

4 -5 2 1


∆хhello_html_m27f31a3a.gif (заменяем третий столбец в определителе ∆ столбцом свободных членов)

hello_html_7b2dcded.gifhello_html_7b2dcded.gif -1 1 4 1

∆хhello_html_m27f31a3a.gif= 2 1 1 3 = 60

3 2 1 2

4 3 -5 1

∆хhello_html_53c5a9fd.gif (заменяем четвертый столбец в определителе ∆ столбцом свободных членов)

hello_html_7b2dcded.gifhello_html_7b2dcded.gif -1 1 1 4

∆хhello_html_53c5a9fd.gif= 2 1 2 1 = -60

3 2 1 1

4 3 2 -5


Затем по формулам Крамера определяем корни уравнения

хhello_html_4ab98f23.gif=∆хhello_html_4ab98f23.gif/∆=40/(-20) = -2

хhello_html_3500b51c.gif=∆хhello_html_3500b51c.gif/∆= -40/(-20) =2

хhello_html_m27f31a3a.gif=∆хhello_html_m27f31a3a.gif/∆=60/(-20) = -3

хhello_html_53c5a9fd.gif=∆хhello_html_53c5a9fd.gif/∆= -60/(-20) =3

Реализация метода Крамера в среде Excel.

Коэффициенты исходной системы внесём в ячейки блока А3:Е6 (рис. 10.1). В ячейках блока А9:D12 заносим значения определителя ∆хhello_html_4ab98f23.gif. В ячейках блока А15:D18 заносим значения определителя ∆хhello_html_3500b51c.gif. В ячейках блока А21:D24 заносим значения определителя ∆хhello_html_m27f31a3a.gif. В ячейках блока А27:D30 заносим значения определителя ∆хhello_html_53c5a9fd.gif.

В ячейку G3 вводим формулу = МОПРЕД (А3:D6) (рис. 10.2) для вычисления главного определителя. В строке Массив записываем массив значений для вычислений определителя.

Аналогично определяем значения вспомогательных определителей:

∆хhello_html_4ab98f23.gif: H3=МОПРЕД(А9:D12) ∆хhello_html_4ab98f23.gif= 40

∆xhello_html_3500b51c.gif:I3=МОПРЕД(А15:D18) ∆xhello_html_3500b51c.gif= -40

∆xhello_html_m27f31a3a.gif:J3=МОПРЕД(А21:D24) ∆xhello_html_m27f31a3a.gif= 60

∆xhello_html_53c5a9fd.gif:K3=МОПРЕД(А27:D30) ∆xhello_html_53c5a9fd.gif= -60

После этого в ячейку Н7 вводим формулу = Н3/G3 для вычисления первого корня системы хhello_html_4ab98f23.gif=∆хhello_html_4ab98f23.gif/∆, которую копируем в ячейки I7:К7.


hello_html_me4aba5d.png

Рисунок 10.1


hello_html_286688ae.png


Рисунок 10.2

2.Метод Гаусса.

Метод Гаусса представляет собой метод последовательного исключения неизвестных. В результате чего система сводится к треугольному виду.

Пhello_html_5b902363.gifример: Найти решение системы линейных уравнений, используя метод Гаусса.

5hello_html_m71eadfad.gifх+8у-z= -7;

x+2y+3z= 1;

2x-3y+2z= 9.

Решение: Разделим первое уравнение на коэффициент при х (5), получим ведущее уравнение.

x+1,6y-0,2z= -1,4

Вычтем из второго уравнения системы ведущее уравнение, умноженное на коэффициент перед х второго уравнения (1). Вычтем из третьего уравнения системы ведущее уравнение, умноженное на коэффициент перед y третьего уравнения (2). Получим систему 2-х уравнений с двумя неизвестными:


(hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gif2-1,6)у + (3+0,2)z = (1+1,4); 0,4у + 3,2z = 2,4;

(-3-3,2)у + (2+0,4)z = (9+2,8); -6,2у + 2,4z = 11,8.


Вновь разделим первое уравнение полученной системы на коэффициент при у (0,4), получим ведущее уравнение

у + 8z = 6

Вычтем из второго уравнения полученной системы ведущее уравнение, умноженное на коэффициент перед у второго уравнения (-6,2). Получим одно уравнение с одним неизвестным 52z = 49, которое приводим к виду z = 0,942308, разделив обе части уравнения на коэффициент 52.

Зная значение последнего корня z, переходим к ведущему уравнению у + 8z = 6, из которого находим у = 6 – 8z = 6 - 8*0,942308= -1,53846.

А затем из первого ведущего уравнения х + 1,6у – 0,2z = -1,4 находим последний корень х = -1,4 – 1,6у + 0,2z = -1,4 – 1,6*(-1,53846) + 0,2*0,942308 = 1,25.

Реализация метода Гаусса в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 10.3


hello_html_m3b60488b.png

Рисунок 10.3


После этого в ячейку А6 вводим формулу =А3/$А3 для вычисления коэффициентов первой разрешающей строки, копируем эти формулу в ячейки всей строки. Далее, в ячейку В7 вводим формулу =B4-$A4*B$6 для вычисления коэффициентов полученной системы двух уравнений с двумя неизвестными. Копируем данную формулу на все ячейки блока B7:D8. В ячейку В9 вводим формулу =В7/$B7 для вычислений коэффициентов второй разрешающей строки. В ячейку С10 вводим =С8-$B8*C$9 и копируем её в ячейку D10. в ячейку С11 вводим формулу =C10/$C10 и копируем её в ячейку D11.

В ячейке D11 получено значение корня уравнения z = 0,942308. Для нахождения остальных корней системы оформим блок решения системы G4:I4 – в ячейку I4 копируем содержимое ячейки D11, в ячейку Н4 вводим формулу =D9-C9*I4, а в ячейку G4=D6-B6*H4-C6*I4.


Задания для самоконтроля: Найти решение системы линейных уравнений, используя 1) формулы Крамера; 2) метод Гаусса

hello_html_5b902363.gifhello_html_5b902363.gif

x + 2y + z = 4; 3x + 2y + z = 5;

а) 3x – 5y + 3z = 1; б) 2x + 3y + z = 1;

2x + 7y – z = 8. 2x + y + 3z = 11.


hello_html_5b902363.gifhello_html_5b902363.gif 4 x - 3y + 2z = 9; 2x - y - z = 4;

в) 2x + 5y - 3z = 4; г) 3x + 4y - 2z = 11;

5x + 6y – 2z = 18. 3x - 2y + 4z = 11.


Лабораторная работа № 11. Тема Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Цель: научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера.

Теорема Крамера:

Система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:

Хhello_html_4ab98f23.gif=hello_html_m6489c98c.gifХhello_html_3500b51c.gif = hello_html_7a2e7b94.gifХhello_html_772f9caf.gif= hello_html_289b78d9.gif - формулы Крамера.

Задание 1. Решить по формулам Крамера систему линейных уравнений .

Хhello_html_4ab98f23.gif+ Хhello_html_3500b51c.gif+ 2Хhello_html_m27f31a3a.gif= -1

2 Хhello_html_4ab98f23.gif- Хhello_html_3500b51c.gif+2Хhello_html_m27f31a3a.gif= -4

4 Хhello_html_4ab98f23.gif+ Хhello_html_3500b51c.gif+4 Хhello_html_m27f31a3a.gif= -2

Решение: 1. Вычисляем определитель системы:

D= hello_html_m6d272b63.gif;

  1. Вычисляем определители, составленные из коэффициентов при неизвестных Хhello_html_4ab98f23.gif, Хhello_html_3500b51c.gif, Хhello_html_m27f31a3a.gif:

D= hello_html_m71b47c18.gif; Dhello_html_3500b51c.gif = hello_html_794df0f.gif; Dhello_html_m53d4ecad.gif = hello_html_m73cc0a57.gif

  1. Используя формулы Крамера, находим решение системы:

Хhello_html_4ab98f23.gif=hello_html_m7b225813.gif=1; Хhello_html_3500b51c.gif=hello_html_m5fccf0c2.gif=2 Хhello_html_m27f31a3a.gif=hello_html_2fcabe10.gif

Реализация решения СЛУ методом Крамера в МS Excel:

Содержимое ячейки B13 вычисляем по формуле ƒ(х) = МОПРЕД(А8:С10)

Таблица 11.1


А

В

С

D

Е

F

G

1


Решение СЛУ методом Крамера

2

СЛУ:







3

Х1+Х2+2*Х3=-1





4

2*Х1-Х2+2*Х3=-4





5

4*Х1+Х2+4*Х3=-2





6








7

Матрица СЛУ:



Свободные члены

8

1

1

2


-1



9

2

-1

2


-4



10

4

1

4


-2



11








12

Определитель СЛУ





13


6






14








15

Определители из коэффициентов


16

d1







17

-1

1

2

6




18

-4

-1

2





19

-2

1

4





20








21

d2







22

1

-1

2

12




23

2

-4

2





24

4

-2

4





25








26

d3







27

1

1

-1

-12




28

2

-1

-4





29

4

1

-2





30








31

Решение СЛУ






32








33

Х1=1

Х2=2


Х3=-2




Задание 2.Решить систему линейных уравнений методом Крамера :


hello_html_4ab98f23.gifhello_html_3500b51c.gif+ хhello_html_m27f31a3a.gif+3хhello_html_53c5a9fd.gif=-1

хhello_html_4ab98f23.gif+ хhello_html_3500b51c.gif- хhello_html_m27f31a3a.gif-4хhello_html_53c5a9fd.gif=6

hello_html_4ab98f23.gif- хhello_html_3500b51c.gif+ хhello_html_m27f31a3a.gif+ хhello_html_53c5a9fd.gif=4

хhello_html_4ab98f23.gif-3хhello_html_3500b51c.gif+3хhello_html_53c5a9fd.gif=-5


Лабораторная работа № 12. Тема: Решение систем линейных уравнений.

3.Метод главных элементов.

Пример: Найти решение систем, используя метод главных элементов.

hello_html_m3544cdd1.gif 2,74xhello_html_4ab98f23.gif – 1,18xhello_html_3500b51c.gif + 3,17xhello_html_m27f31a3a.gif = 2,18;

1,12xhello_html_4ab98f23.gif + 0,83xhello_html_3500b51c.gif - 2,16xhello_html_m27f31a3a.gif = -1,15;

0,18xhello_html_4ab98f23.gif + 1,27xhello_html_3500b51c.gif + 0,76xhello_html_m27f31a3a.gif = 3,23.


Решение: Вычисления производим по следующей схеме (рис.12.1)


m(j)

коэффициенты при неизвестных

Свободные

члены

x1

x2

x3

1

-1

0,6814

-0,2397

2,74

1,12

0,18

-1,18

0,83

1,27

3,17

2,18

-1,15

3,23

-2,16

0,76

2

-1

0,1597

2,9870

0,0260

1,5529


0,3354

2,7074

-0,4769

3



1,5570


2,7609



0,0969

1,7732

1,2640


Рисунок 12.1


Выберем нулевой, как правило, наибольший по модулю, не принадлежащий к столбцу свободных членов любой элемент, например 3,17(элемент аhello_html_m22f92aaf.gif), которой называется главным элементом, а соответствующая строка – главной строкой. Вычислим mhello_html_m26572838.gif = -(аhello_html_m3bc32b32.gifhello_html_m22f92aaf.gif), т.е. mhello_html_4ab98f23.gif = -(3,17/3,17) = -1; mhello_html_3500b51c.gif = -(-2,16/3,17) = 0,6814; mhello_html_m27f31a3a.gif = -(0,76/3,17) = -0,2397.

Теперь к каждой неглавной строке прибавим главную строку, умноженную на соответствующий множитель mhello_html_m26572838.gif для этой строки. В результате получим новую матрицу, в которой третий столбец состоит из одних нулей (рис.12.2):


hello_html_35797665.gif)2,9870

hello_html_m32990beb.gif)0,0260

hello_html_m4c53cdf0.gif)1,5529

0

0

0,3354

2,7074

hello_html_m345d2eaf.gif)-0,4769

Рисунок 12.2


т.е. аhello_html_35797665.gif =mhello_html_3500b51c.gif*ahello_html_m3bc32b32.gif + ahello_html_35797665.gif =0,6814*2,74 + 1,12 = 2,9870;

аhello_html_m345d2eaf.gif =mhello_html_m27f31a3a.gif*ahello_html_m3bc32b32.gif + ahello_html_m345d2eaf.gif = -0,2397*2,74 + 0,18 = -0,4769;

аhello_html_m32990beb.gif =mhello_html_3500b51c.gif*ahello_html_3c2356be.gif + ahello_html_m32990beb.gif =0,6814* -1,18 + 0,83= 0,0260;

bhello_html_3500b51c.gif =mhello_html_3500b51c.gif*bhello_html_4ab98f23.gif + bhello_html_3500b51c.gif =0,6814*2,18 + -1,15 = 0,3354;

bhello_html_m27f31a3a.gif =mhello_html_m27f31a3a.gif*bhello_html_4ab98f23.gif + bhello_html_m27f31a3a.gif = -0,2397*2,18+3,23= 2,7074.

Теперь опять выбираем главный элемент, например 2,9870 (элемент аhello_html_35797665.gif) и вычислим mhello_html_m26572838.gif

mhello_html_4ab98f23.gif = -(2,9870/2,9870)= -1;

mhello_html_3500b51c.gif = -(-0,4769/2,9870)= 0,1597.

Теперь ко второй неглавной строке прибавим главную строку, умноженную на соответствующий множитель mhello_html_m26572838.gif для этой строки. В результате получим новую матрицу (3), в которой первый столбец также состоит из одних нулей (рис.12.3):

0

1,5570

0

2,7609

Рисунок 12.3


т.е. аhello_html_m4c53cdf0.gif =mhello_html_3500b51c.gif*ahello_html_m32990beb.gif + ahello_html_m4c53cdf0.gif =0,1597*0,0260+ 1,5529= 1,5570;

bhello_html_m27f31a3a.gif =mhello_html_3500b51c.gif*bhello_html_3500b51c.gif + bhello_html_m27f31a3a.gif =0,1597*0,3354+ 2,7074= 2,7609.

Теперь непосредственно находим корни уравнения:

  1. находим хhello_html_3500b51c.gif т.к. последний разрешающий элемент находится в столбце хhello_html_3500b51c.gif.

хhello_html_3500b51c.gif= bhello_html_m27f31a3a.gif/ahello_html_m4c53cdf0.gif = 2,7609/1,5570= 1,7732.

2) находим хhello_html_4ab98f23.gif т.к. предпоследний разрешающий элемент находится в столбце хhello_html_4ab98f23.gif.

хhello_html_4ab98f23.gif = (bhello_html_3500b51c.gif-ahello_html_m32990beb.gif*xhello_html_3500b51c.gif)= (0,3354 -0,0260*1,7732)/2,9870= 0,0969.

3) находим хhello_html_m27f31a3a.gif т.к. первый разрешающий элемент находится в столбце хhello_html_m27f31a3a.gif.

хhello_html_m27f31a3a.gif= (bhello_html_4ab98f23.gif-ahello_html_3c2356be.gif*xhello_html_3500b51c.gif-ahello_html_m3bc32b32.gif*xhello_html_4ab98f23.gif)/ahello_html_m22f92aaf.gif= 2,18- (-1,18)*1,7732- 2,74*0,0969= 1,2640.

Ответ: хhello_html_4ab98f23.gif = 0,097;

хhello_html_3500b51c.gif = 1,773;

хhello_html_m27f31a3a.gif = 1,264.

Реализация данного метода в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 12.4.


hello_html_6fd1b5c1.png

Рисунок 12.4.


Коэффициенты исходной системы вносим в ячейки блока В3:Е5. Выбираем главный элемент – 3,17(ячейка D3). В ячейки блока А3:А5 записываем формулы для вычисления mhello_html_m26572838.gif:

hello_html_57f3aad5.gif




Для получения системы двух уравнений с двумя неизвестными выполняем следующие действия:

B6= A4*B3+B4; C6= A4*C3+C4; E6= A4*E3+E4;

B7= A5*B3+B5; C7= A5*C3+C5; E7= A5*E3+E5;

Выбираем главный элемент – 2,9870(ячейка В6). Теперь вычисляем mhello_html_m26572838.gif для этой системы:

А6= -(В6/В6);

А7= -(В7/В6).

Для получения уравнения с одним неизвестным выполняем следующие действия:

С8=А7*С6+С7; Е8=А7*Е6+Е7.

Теперь непосредственно находим корни уравнения:

хhello_html_3500b51c.gif: С9=Е8/С8ж

хhello_html_4ab98f23.gif: В9=(Е6-С6*С9)/В6;

хhello_html_m27f31a3a.gif: D9=(E3-C3*C9-B3*B9)/D3.

Ответ: хhello_html_4ab98f23.gif= 0,097; хhello_html_3500b51c.gif= 1,773; хhello_html_m27f31a3a.gif= 1,264.

4.Метод квадратных корней.

Пример: Найти решение системы, используя метод квадратных корней

4,25хhello_html_4ab98f23.gif-1,48хhello_html_3500b51c.gif+0,73хhello_html_m27f31a3a.gif =1,44

-1,48хhello_html_4ab98f23.gif+1,73хhello_html_3500b51c.gif-1,85хhello_html_m27f31a3a.gif =2,73

0,73хhello_html_4ab98f23.gif+-1,85хhello_html_3500b51c.gif+1,93хhello_html_m27f31a3a.gif = -0,64


Решение: Вычисления производим по следующей схеме (рис. 12.5)


Коэффициенты при неизвестных

Свободные

члены


Х1

Х2

Х3


4,25

-1,48

0,73

-1,48

1,73

-1,85

0,75

-1,85

1,93

1,44

2,73

-0,64

А

2,0616

-0,7179

0,3541

-1,4480

0,5403

0,6985\2,9321

-6,2149

Т


1,1021


-2,0214

-12,4508

-11,5017



Рисунок 12.5


Для получения матрицы Т используют следующие формулы:

thello_html_m3bc32b32.gif=hello_html_m6ba863a7.gif, thello_html_678562dc.gif=hello_html_70938d66.gif, где j>1 yhello_html_4ab98f23.gif=hello_html_m44f8acb7.gif

thello_html_3312611e.gif=hello_html_m53db614a.gif, где 1=hello_html_1306c73.gif, i>1

thello_html_m34f21c92.gif=hello_html_m25f02bba.gif, где i>j

thello_html_m34f21c92.gif=0 при i>j

Т.е. thello_html_m3bc32b32.gif=hello_html_m6ba863a7.gif, thello_html_3c2356be.gif=hello_html_m13890a99.gif, thello_html_m22f92aaf.gif=hello_html_17375ea9.gif

thello_html_m32990beb.gif=hello_html_m1e443325.gif, thello_html_5289b1ff.gif= - hello_html_ae0502.gif

thello_html_2c4377fa.gif=hello_html_m2680067b.gif, thello_html_35797665.gif=0, thello_html_m345d2eaf.gif=0, thello_html_m4c53cdf0.gif=0

Корни уравнения определяем аналогично предыдущему примеру

Реализация данного метода системы как показано на рисунке 12.6


hello_html_3053e5ed.png

Рисунок 12.6


Коэффициенты исходной системы вносим в ячейки блока A3:D5.

Затем вычисляем матрицу Т:

А6=КОРЕНЬ (А3)

B6=B3/A6; C6=C3/A6; D6=D3/A6;

B7=КОРЕНЬ(B4-B6^2);

C7=(C4-B6*C6)/B7; D7=(D4-B6*D6)/B7;

C8=Корень (-(С5-С6:2-С7:2)), ставим в корне перед скобкой минус т.к. под корнем отрицательное положение

D8= - (D5-C6*D6-C7*D7)/C8, ставим перед формулой знак минус т.к. в этой строке в подкоренном выражении мы меняем знак.

И в завершении определяем корни уравнения аналогично предыдущему примеру:

C9=D8/C8;

B9=(D7-C7*C9)/B7;

A9=(D6-C6*C9-B6*B9)/A6

Задания для самоконтроля: Найти решение системы, используя:

метод главных элементов

hello_html_5b902363.gifhello_html_5b902363.gif 0,64х-0,83х+4,2х=2,23; 1,26х-2,34х+1,17х=3,14

А) 0,58х-0,83х+1,43х=1,71; Б) 0,75х+1,24-0,48х=-1,17

0,86х+0,77х+0,88х=-0,54; 3,44х-1,85х+1,16х=1,83


Метод квадратных корней

hello_html_2ac7fd01.gifhello_html_2ac7fd01.gif 2,44х-1,16х+0,83х=0,65 1,63х+1,27х-0,84х=1,51

А) -1,16х+3,45х+0,57х=1,88 Б) 1,27х+1,65х+1,27х=-0,63

0,83х+0,57х-1,71х=0,74 -0,84х+1,27х-1,21х=2,15


Лабораторная работа №13. Тема: Решение систем линейных уравнений

5. Метод итерации

Пример: Методом итерации решить систему с точностью до 0,001

хhello_html_4ab98f23.gif=0,32хhello_html_4ab98f23.gif-0,05хhello_html_3500b51c.gif+0,11хhello_html_m27f31a3a.gif-0,08хhello_html_53c5a9fd.gif+2,15

хhello_html_3500b51c.gif=0,11хhello_html_4ab98f23.gif-0,16хhello_html_3500b51c.gif-0,28хhello_html_m27f31a3a.gif-0,06хhello_html_53c5a9fd.gif-0,83

хhello_html_m27f31a3a.gif=0,08хhello_html_4ab98f23.gif-0,15хhello_html_3500b51c.gif+0,02хhello_html_53c5a9fd.gif+1,16

хhello_html_53c5a9fd.gif=-0,21хhello_html_4ab98f23.gif+0,13хhello_html_3500b51c.gif-0,27хhello_html_m27f31a3a.gif+0,44


Решение: Для начала выбираем нулевые приближения (за нулевые приближения берем свободные члены):

хhello_html_m27178a98.gif=2,15; хhello_html_m6ad80cba.gif=-0,83; хhello_html_4a5d1f8d.gif=1,16; хhello_html_mc1d1059.gif=0,44;

Подставляя эти значения в правые части уравнения системы, получаем первые приближения корней:

хhello_html_7f156a54.gif=0,32*2,15-0,05*(-0,83)+0,11*1,16-0,08*0,44+2,15=2,9719

хhello_html_32daec7a.gif=0,11*2,15+0,16*(-0,83)-0,28*1,16-0,16*0,44-0,83=-1,0775

хhello_html_m125fff4f.gif=0,08*2,15-0,15*(-0,83)+0,12*0,44+1,16=1,5093

хhello_html_541ff09b.gif=-0,21*2,15+0,13*(-0,83)-0,27*1,16+0,44= -0,4326

хhello_html_7f156a54.gif=2,9719; хhello_html_32daec7a.gif=-1,0775; хhello_html_m125fff4f.gif=1,5093; хhello_html_541ff09b.gif=-0,4326.

Снова подставляем эти значения в правые части уравнений, получаем вторые приближения корней:

хhello_html_m5c677e73.gif= 0,32*2,9719-0,05*(-1,0775)+0,11*1,5093-0,08*(-0,4326)+2,15=3,3555

хhello_html_m11a8f85d.gif=0,11*2,9719+0,16*(-1,0775)-0,28*1,5093-0,06*(-0,4326)-0,83=-1,0721

хhello_html_312deb68.gif=0,08*2,9719-0,15*(-1,0775)+0,12*(-0,4326)+1,16=1,5075

хhello_html_m776de4be.gif= -0,21*2,9719+0,13*(-1,0775)-0,27*1,5093+0,44= -0,7317

хhello_html_m5c677e73.gif=3,3555; хhello_html_m11a8f85d.gif=-1,0721; хhello_html_312deb68.gif=1,5075; хhello_html_m776de4be.gif= -0,7317;

Снова подставляем эти значения в правые части уравнений, получаем третьи приближения корней и т.д. до тех пор, пока последующее значение корня минус предыдущее не станет меньше 0,001, т.е.

|xhello_html_m2c0b7750.gif-xhello_html_60e7d7ca.gif|<=0.001;

|xhello_html_4b9ef3b2.gif-xhello_html_mcc5be24.gif|<=0.001;

|xhello_html_7f5b78ee.gif-xhello_html_m7c993d20.gif|<=0.001;

|xhello_html_m1e51c7d.gif-xhello_html_m668ded0b.gif|<=0.001;


Реализация данного метода в среде Excel

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 13.1

hello_html_m4e616c80.png

Рисунок 13.1

Коэффициенты исходной системы вносим в ячейки А3:Е6. В ячейки блока G3:G6 записываем начальные приближения, которые равны свободным членам. В ячейки блока A10:D10 записываем последующие приближения:

Для хhello_html_7f156a54.gif: A10=$A$3*A9+$B$3*B9+$C$3*C9+$d$3*D9+$E$3;

Для хhello_html_32daec7a.gif: B10=$A$4*A9+$B$4*B9+$C$4*C9+$d$4*D9+$E$4;

Для хhello_html_m125fff4f.gif: С10=$A$5*A9+$B$5*B9+$C$5*C9+$d$5*D9+$E$5;

Для хhello_html_541ff09b.gif: D10=$A$6*A9+$B$6*B9+$C$6*C9+$d$6*D9+$E$6;

Затем копируем данные формулы:

A10 в A11; B10 в B11; C10 в C11; D10 в D11;

Проделываем эти операции до тех пор пока |xhello_html_m2c0b7750.gif-xhello_html_60e7d7ca.gif|<=0.001; |xhello_html_4b9ef3b2.gif-xhello_html_mcc5be24.gif|<=0.001;

|xhello_html_7f5b78ee.gif-xhello_html_m7c993d20.gif|<=0.001; |xhello_html_m1e51c7d.gif-xhello_html_m668ded0b.gif|<=0.001;

Данная разность вычисляется в ячейках блока F9:I9

Для хhello_html_7f156a54.gif: F9=ABS(A10-A9);

Для хhello_html_32daec7a.gif: G9=ABS(B10-B9);

Для хhello_html_m125fff4f.gif: H9=ABS(C10-C9);

Для хhello_html_541ff09b.gif: I9=ABS(D10-D9);

Затем копируем данные формулы: F9 в F10; G9 в G10; H9 в H10; I9 в I10 и т.д.

Ответ: хhello_html_4ab98f23.gif=3,571; хhello_html_3500b51c.gif= -0,957; хhello_html_m27f31a3a.gif=1,489; хhello_html_53c5a9fd.gif= -0,836;

6. Метод Зейделя

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итерации. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (к+1)-го приближения неизвестной хhello_html_4ab98f23.gif учитываются уже вычисленные ранее (к+1)-го приближения неизвестных

хhello_html_4ab98f23.gif, хhello_html_3500b51c.gif … хhello_html_m7ce985dc.gif

Например: хhello_html_32daec7a.gifhello_html_m3bc32b32.gif* хhello_html_7f156a54.gifhello_html_3c2356be.gifhello_html_4a5d1f8d.gif

хhello_html_m125fff4f.gifhello_html_m3bc32b32.gif* хhello_html_7f156a54.gifhello_html_3c2356be.gifhello_html_32daec7a.gif

Пример: Метод Зейделя решить систему с точностью до 0,001

4,5хhello_html_4ab98f23.gif-1,8хhello_html_3500b51c.gif+3,6хhello_html_m27f31a3a.gif=-1,7

3,1хhello_html_4ab98f23.gif+2,3хhello_html_3500b51c.gif-1,2хhello_html_m27f31a3a.gif=3,6

1,8хhello_html_4ab98f23.gif+2,5хhello_html_3500b51c.gif+4,6хhello_html_m27f31a3a.gif=2,2


Решение: приведем систему к виду, в котором элементы главной диагонали превосходили бы остальные элементы строк:

7,6хhello_html_4ab98f23.gif+0,5хhello_html_3500b51c.gif+2,4хhello_html_m27f31a3a.gif=1,9 [(1)+(2)]

2,2хhello_html_4ab98f23.gif+9,1хhello_html_3500b51c.gif+4,4хhello_html_m27f31a3a.gif=9,7 [2*(3)+(2)-(1)]

-1,3хhello_html_4ab98f23.gif+0,2хhello_html_3500b51c.gif+5,8хhello_html_m27f31a3a.gif= -1,4 [(3)-(2)]

Теперь в левой части оставляем 10хhello_html_m26572838.gif, а оставшиеся компоненты переносим в правую часть:

10хhello_html_4ab98f23.gif=2,4хhello_html_4ab98f23.gif-0,5хhello_html_3500b51c.gif-2,4хhello_html_m27f31a3a.gif+1,9

10хhello_html_3500b51c.gif= -2,2хhello_html_4ab98f23.gif+0,9хhello_html_3500b51c.gif-4,4хhello_html_m27f31a3a.gif+9,7

10хhello_html_m27f31a3a.gif=1,3хhello_html_4ab98f23.gif-0,2хhello_html_3500b51c.gif-4,2хhello_html_m27f31a3a.gif-1,4

Теперь каждое уравнение делим на 10:

хhello_html_4ab98f23.gif=0,24хhello_html_4ab98f23.gif-0,05хhello_html_3500b51c.gif-0,24хhello_html_m27f31a3a.gif+0,19

хhello_html_3500b51c.gif= -0,22хhello_html_4ab98f23.gif+0,09хhello_html_3500b51c.gif-0,44хhello_html_m27f31a3a.gif+0,97

хhello_html_m27f31a3a.gif=0,13хhello_html_4ab98f23.gif-0,02хhello_html_3500b51c.gif-0,42хhello_html_m27f31a3a.gif-0,14

Для начала выбираем нулевые приближения (за нулевые приближения берем свободные члены):

хhello_html_m27178a98.gif =0,19; хhello_html_m6ad80cba.gif =0,97; хhello_html_4a5d1f8d.gif = -0,14.

Теперь вычисляем первые приближения:

хhello_html_7f156a54.gifhello_html_m3bc32b32.gifhello_html_m27178a98.gifhello_html_3c2356be.gifhello_html_m6ad80cba.gifhello_html_m22f92aaf.gifhello_html_4a5d1f8d.gif+bhello_html_4ab98f23.gif=0,24*0,19-0,05*0,97-0,24*(-0,14)+0,19=0,2207

хhello_html_32daec7a.gifhello_html_35797665.gifhello_html_m27178a98.gifhello_html_m32990beb.gifhello_html_m6ad80cba.gifhello_html_2c4377fa.gifhello_html_4a5d1f8d.gif+bhello_html_3500b51c.gif= -0,22*0,2207+0,09*0,97-0,44*(-0,14)+0,97=1,0703

хhello_html_m125fff4f.gifhello_html_m345d2eaf.gifhello_html_m27178a98.gifhello_html_m4c53cdf0.gifhello_html_m6ad80cba.gifhello_html_5289b1ff.gifhello_html_4a5d1f8d.gif+bhello_html_m27f31a3a.gif=0,13*0,2207-0,02*1,0703-0,42*(-0,14)-0,14= - 0,1915

Затем вычисляем вторые приближения, третьи и т.д. До тех пор пока последующее значение корня минус предыдущее не станет меньше 0,001

Реализация данного метода в среде Excel

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 13.2


hello_html_m68da6f46.png

Рисунок 13.2


Коэффициенты исходной системы вносим в ячейки блока A3:D5. В ячейки блока B9:B11 записываем начальные приближения, которые равны свободным членам. В ячейки блока A14:C14 записываем последующие приближения:

Для хhello_html_7f156a54.gif: А15=$G$3*A14+$I$3*B14+$K$3*C14+$M$3;

Для хhello_html_32daec7a.gif: B15=$G$4*A15+$I$4*B14+$K$4*C14+$M$4;

Для хhello_html_m125fff4f.gif: С15=$G$5*A15+$I$5*B15+$K$5*C14+$M$5;

Затем копируем данные формулы: A15 в A16; B15 в B16; C15 в C16;

Проделываем эти операции до тех пор, пока |xhello_html_m2c0b7750.gif-xhello_html_60e7d7ca.gif|<=0.001; |xhello_html_4b9ef3b2.gif-xhello_html_mcc5be24.gif|<=0.001; |xhello_html_7f5b78ee.gif-xhello_html_m7c993d20.gif|<=0.001; |xhello_html_m1e51c7d.gif-xhello_html_m668ded0b.gif|<=0.001;

Данная разность вычисляется в ячейках блока N14:P14

Для хhello_html_7f156a54.gif: N14=ABS(A15-A14);

Для хhello_html_32daec7a.gif: O14=ABS(B15-B14);

Для хhello_html_m125fff4f.gif: P14=ABS(C15-C14);

Затем копируем данные формулы: N14 в N15; O14 в O15; P14 в P15;

Ответ: хhello_html_4ab98f23.gif=0,247; хhello_html_3500b51c.gif=1,114; хhello_html_m27f31a3a.gif= -0,224

Задания для самоконтроля: решить систему с точностью до 0,001

Мhello_html_60c4693b.gifетод итерации

хhello_html_4ab98f23.gif=0,32хhello_html_4ab98f23.gif-0,18 хhello_html_3500b51c.gif+0,02 хhello_html_m27f31a3a.gif+0,21 хhello_html_53c5a9fd.gif+1,83

А) хhello_html_3500b51c.gif=0,16хhello_html_4ab98f23.gif+0,12 хhello_html_3500b51c.gif-0,14 хhello_html_m27f31a3a.gif+0,27 хhello_html_53c5a9fd.gif-0,65

хhello_html_m27f31a3a.gif=0,37хhello_html_4ab98f23.gif+0,27хhello_html_3500b51c.gif-0,02 хhello_html_m27f31a3a.gif-0,24 хhello_html_53c5a9fd.gif+2,23

хhello_html_53c5a9fd.gif=0,12хhello_html_4ab98f23.gif+0,21хhello_html_3500b51c.gif-0,18 хhello_html_m27f31a3a.gif+0,25 хhello_html_53c5a9fd.gif-1,13

hello_html_60c4693b.gif хhello_html_4ab98f23.gif=0,42х-0,32hello_html_4ab98f23.gifхhello_html_3500b51c.gif0,03 хhello_html_m27f31a3a.gif+0,44

хhello_html_3500b51c.gif=0,11хhello_html_4ab98f23.gif-0,26хhello_html_3500b51c.gif-0,36 хhello_html_m27f31a3a.gif +1,42

Б) хhello_html_m27f31a3a.gif=0,12хhello_html_4ab98f23.gif+0,08хhello_html_3500b51c.gif-0,14 хhello_html_m27f31a3a.gif-0,24 хhello_html_53c5a9fd.gif-0,83

хhello_html_53c5a9fd.gif=0,15хhello_html_4ab98f23.gif-0,35хhello_html_3500b51c.gif-0,18 хhello_html_m27f31a3a.gif-1,42

hello_html_m248e259d.gif хhello_html_4ab98f23.gif=0,18хhello_html_4ab98f23.gif-0,34хhello_html_3500b51c.gif-0,12 хhello_html_m27f31a3a.gif+0,15 хhello_html_53c5a9fd.gif-1,33

В) хhello_html_3500b51c.gif=0,11хhello_html_4ab98f23.gif+0,23хhello_html_3500b51c.gif-0,15 х+0,32hello_html_m27f31a3a.gif+0,84

хhello_html_m27f31a3a.gif=0,05хhello_html_4ab98f23.gif-0,12хhello_html_3500b51c.gif+0,14 хhello_html_m27f31a3a.gif-0,18 хhello_html_53c5a9fd.gif-1,16

хhello_html_53c5a9fd.gif=0,12хhello_html_4ab98f23.gif+0,08хhello_html_3500b51c.gif0,06 хhello_html_m27f31a3a.gif+0,57

hello_html_m248e259d.gif хhello_html_4ab98f23.gif=0,13хhello_html_4ab98f23.gif+0,23хhello_html_3500b51c.gif-0,44 хhello_html_m27f31a3a.gif-0,05 хhello_html_53c5a9fd.gif+2,13

Г) хhello_html_3500b51c.gif=0,24хhello_html_4ab98f23.gif-0,31 хhello_html_3500b51c.gif+0,15 хhello_html_m27f31a3a.gif-0,18

хhello_html_m27f31a3a.gif=0,06хhello_html_4ab98f23.gif-0,15хhello_html_3500b51c.gif-0,23 хhello_html_m27f31a3a.gif+1,44

хhello_html_53c5a9fd.gif=0,72хhello_html_4ab98f23.gif-0,08хhello_html_3500b51c.gif-0,05 хhello_html_m27f31a3a.gif+2,42

Метод Зейделя

hello_html_5b902363.gif 3,7хhello_html_4ab98f23.gif-3,1хhello_html_3500b51c.gif+4,0хhello_html_m27f31a3a.gif=5,0

А) 4,1хhello_html_4ab98f23.gif+4,5хhello_html_3500b51c.gif-4,8хhello_html_m27f31a3a.gif=4,9

-2,1хhello_html_4ab98f23.gif+3,7хhello_html_3500b51c.gif+1,8хhello_html_m27f31a3a.gif=2,7

hello_html_5b902363.gif 3,3хhello_html_4ab98f23.gif-3,7хhello_html_3500b51c.gif-4,2хhello_html_m27f31a3a.gif=5,8

Б) 2,7хhello_html_4ab98f23.gif+2,3хhello_html_3500b51c.gif-2,9хhello_html_m27f31a3a.gif=8,1

4,1хhello_html_4ab98f23.gif+1,8хhello_html_3500b51c.gif+5,0хhello_html_m27f31a3a.gif= -1,9


Лабораторная работа №14. Тема: Интерполирование функций.

Формула Лагранжа для неравноотстоящих значений аргумента.

Пример 1.Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана в неравноотстоящих узлах таблицы.

Условие задачи:

х

у

0,05

0,050042

0,10

0,100335

0,17

0,171657

0,25

0,255342

0,30

0,309336

0,36

0,376403

Вычислить значение функции f(x) = y(x) при х = 0,263.

Решение:

Для вычисления f(x) необходимо воспользоваться формулой f(x) ≈ Пn+1*hello_html_m64359b32.gif(yi /Di), где Пn+1 =(x-x0)*(x-x1)*…*(x-xn)

Di = (xi-x0)*(xi-x1)*…*(xi -xi-1)*(x-xi)*(xi –xi+1)*…*(xi –xn).

Все вычисления произведем по таблице (рис.14.1):


i

Разности

Di

yi /Di

0

(x-x0)

(x-x0)

(x0-x2)

(x0-x3)

(x0-x4)

(x0-x5)

Сумма по 0-строке


1

(x1-x0)

(x-x1)

(x1-x2)

(x1-x3)

(x1-x4)

(x1-x5)

Сумма по 1-строке


2

(x2-x0)

(x2-x1)

(x-x2)

(x2-x3)

(x2-x4)

(x2-x5)

Сумма по 2-строке


3

(x3-x0)

(x3-x1)

(x3-x2)

(x-x3)

(x3-x4)

(x3-x5)

Сумма по 3-строке


4

(x4-x0)

(x4-x1)

(x4-x2)

(x4-x3)

(x-x4)

(x4-x5)

Сумма по 4-строке


5

(x5-x0)

(x5-x1)

(x5-x2)

(x5-x3)

(x5-x4)

(x-x5)

Сумма по 5-строке


Рисунок 14.1


Т.е. вычисляются как:

D0 = (x-x0)* (x-x0)* (x0-x2)* (x0-x3)* (x0-x4)* (x0-x5);

D1 = (x1-x0)* (x-x1)* (x1-x2)* (x1-x3)* (x1-x4)* (x1-x5);

D2= (x2-x0)* (x2-x1)* (x-x2)* (x2-x3)* (x2-x4)* (x2-x5);

D3 = (x3-x0)* (x3-x1)* (x3-x2)* (x-x3)* (x3-x4)* (x3-x5);

D4 = (x4-x0)* (x4-x1)* (x4-x2)* (x4-x3)* (x-x4)* (x4-x5);

D5 = (x5-x0)* (x5-x1)* (x5-x2)* (x5-x3)* (x5-x4)* (x-x5);

Производя эти вычисления, получим следующую таблицу (рис.14.2)


i

Разности

Di

y/Di

0

0,213

-0,05

-0,12

-0,2

-0,25

-0,31

-1,9809Е-05

-2526,23

1

0,05

0,163

-0,07

-0,15

-0,2

-0,26

4,4499Е-06

22547,7

2

0,12

0,07

0,093

-0,08

-0,13

-0,19

-1,54365Е-06

-111202

3

0,2

0,15

0,08

0,013

-0,05

-0,11

1,716Е-07

1488007

4

0,25

0,2

0,13

0,05

-0,037

-0,06

7,215Е-07

428740,1

5

0,31

0,26

0,19

0,11

0,06

-0,097

-9,80402Е-06

-38392,7

Рисунок 14.2


Итак, П5+1 = 0,213*0,163*0,093*0,013*(-0,037)*(-0,097)= 1,50649Е-07= 0,150649*10-6.

hello_html_38871109.gif(yi /Di)= -2526,23+25547,7-111202+1488007+428740,1-38392,7= 1787173,95.

Теперь непосредственно вычисляем

f(0,263)= П5+1* hello_html_38871109.gif(yi /Di)= 0,150649*10-6 * 1787173,95= 0,26924.

Ответ: 0,26924.

Реализация в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 14.3.

В ячейку А9 вносим значение х.


hello_html_m7f00a4fe.png

Рисунок 14.3


Данную таблицу заполняем согласно таблице (рис.14.1).

По диагонали вычисляем значения (х – хi),чтобы затем определить Пn+1

E3=A9+A3;

F4= A9+A4;

G5= A9+A5;

H6= A9+A6;

I7= A9+A7;

J8= A9+A8;

Теперь заполняем ячейки, которые находятся ниже диагонали:

E4=A4-$A$3……………………Копируем эту формулу в ячейки Е5, Е6, Е7 и Е8.

F5= A5-$A$4………………….. Копируем эту формулу в ячейки F6, F7, F8.

G6= A6-$A$5………………….. Копируем эту формулу в ячейки G7, G8.

H7= A7-$A$6…………………… Копируем эту формулу в ячейки H8.

I8= A8-$A$7.

Теперь заполняем ячейки, которые находятся выше диагонали:

F3=$A$3-A4

G3=A3-$A$5……………………Копируем эту формулу в ячейку G4.

H3= A3-$A$6………………….. Копируем эту формулу в ячейки H4,H5.

I3= A3-$A$7………………….. Копируем эту формулу в ячейки I4, I5, I6.

J3= A3-$A$8…………………… Копируем эту формулу в ячейки J4, J5, J6, J7.

Теперь определяем Di

K3=E3*F3*G3*H3*I3*J3 Копируем эту формулу в ячейки К4, К5, К6, К7, К8.

Определяем yi /Di

L3=B3/K3 Копируем эту формулу в ячейки L4, L5, L6, L7, L8.

Определяем Пn+1

E10=E3*F4*G5*H6*I7*J8= 1,50649Е-07.

Определяем hello_html_38871109.gif(yi /Di)

Е11=СУММ(L3:L8)= 1,7872Е+06.

Теперь непосредственно вычисляем f(0,263)= П5+1* hello_html_38871109.gif(yi /Di)

Е12=Е10*Е11=0,26924.

Ответ:0,26924.


Формула Лагранжа для равноотстоящих значений аргумента.

Пример 1. Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана в равноотстоящих узлах таблицы.

Условие задачи:

х

у

0,101

1,26183

0,106

1,27644

0,111

1,29122

0,116

1,30617

0,121

1,32130

0,126

1,32660

Вычислить значение функции f(x)=y(x) при х = 0,1157.


Решение:

Для вычисления f(x) необходимо воспользоваться формулой f(x)≈Пn+1(t)*hello_html_m64359b32.gif hello_html_78426cd4.gif, где Пn+1(t) = (t-0)*(t-1)*…*(t-n); t=(x-x0)/h; h=xi+1 - xi – шаг интерполяции.

Ci = (-1)n-1 *i! * (n-i)!.

Здесь h=0,106-0,101= 0,005

t=(0,1157-0,101)/0,005= 2,94

Все вычисления произведём по таблице (рис.14.4)

I

t-i

Ci =(-1)n-1 *i!*(n-i)!

(t-i)*Ci

yi /((t-i)*Ci)

0

t-0=2,94-0=2,94

(-1)5-0*0!*(5-0)!=-120

2,94*(-120)= -352,8


1

t-1=2,94-1=1,94

(-1)5-1*1!*(5-1)!=24

1,94*24=46,56


2

t-2=2,94-2=0,94

(-1)5-2*2!*(5-2)!=-12

0,94*(-12)= -11,28


3

t-3=2,94-3=-0,06

(-1)5-3*3!*(5-3)!=12

-0,06*12= -0,72


4

t-4=2,94-4=-1,06

(-1)5-4*4!*(5-4)!=-24

-1,06*(-24)=25,44


5

t-5=2,94-5=-2,06

(-1)5-5*5!*(5-5)!=120

-2,06*120= -247,2


Рисунок 14.4.


В результате вычислений получаем следующую таблицу (рис.14.5)


i

t-i

Ci

(t-i)*Ci

yi /((t-i)*Ci)

0

2,94

-120

-352,8

-0,0035766

1

1,94

24

46,56

0,0274149

2

0,94

-12

-11,28

-0,1144699

3

-0,06

12

-0,72

-1,8141250

4

-1,06

-24

25,44

0,0519379

5

-2,06

120

-247,2

-0,0053665

Рисунок 14.5


Итак П5+1(t)= 2,94*1,94*0,94*(-0,06)*(-1,06)*(-2,06)= -0,7024271

hello_html_38871109.gif hello_html_78426cd4.gif = -0,0035766 *(0,0274149)*(-0,1144699)*(-1,8141250)*(0,0519379)*(0,0053665) = -1,858185

Следовательно, hello_html_38871109.gif hello_html_78426cd4.gif= -0,7024271*(-1,858185)= 1,30524

Ответ: 1,30524.


Реализация в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 14.6.

В ячейку А9 вносим значение х.


hello_html_m63ca4d3e.pngРисунок 14.6


Данную таблицу заполняем согласно условию задачи.

Для начала вычислим (t-i): Е3=$B$11-D3…

Копируем эту формулу в ячейки Е4,Е5,Е6,Е7,Е8.

Теперь вычислим Ci

F3=((-1)^(5-D3))*ФАКТР(D3)*ФАКТР(5-D3).

Копируем эту формулу в ячейки F4,F5,F6,F7,F8.

Теперь вычислим (t-i)*Ci

G3=E3*F3. Копируем эту формулу в ячейки G4, G5, G6, G7, G8.

Теперь вычислим yi /((t-i)*Ci)

H3= B3/G3. Копируем эту формулу в ячейки H4, H5,H6,H7,H8.

Определяем П5+1 Е10=ПРОИЗВЕД(Е3:Е8)= -0,7024271.

Определяем hello_html_38871109.gif hello_html_78426cd4.gif:Е11= СУММ(Н3:Н8 = -1,858185.

Теперь непосредственно вычисляем f(0,1157)= П5+1*hello_html_38871109.gif hello_html_78426cd4.gif:Е12= Е10*Е11=1,30524.

Ответ: 1,30524.


Задания для самоконтроля.

Формула Лагранжа для неравноотстоящих значений аргумента.

А)

х

у

0,43

1,63597

0,48

1,73234

0,55

1,87686

0,62

2,03345

0,70

2,22846

0,75

2,35973


Вычислить значение функции f(x)=y(x) при x=0,512.




Б)

х

у

0,02

1,02316

0,08

1,09590

0,12

1,14725

0,17

1,21483

0,23

1,30120

0,30

1,40976


Вычислить значение функции f(x)=y(x) при x=0,203.


В)

х

у

0,35

2,73951

0,41

2,30080

0,47

1,96864

0,51

1,78776

0,56

1,59502

0,64

1,34310


Вычислить значение функции f(x)=y(x) при x=0,482.


Формула Лагранжа для равноотстоящих значений аргумента.

А)

х

у

1,375

5,04192

1,380

5,17744

1,385

5,32016

1,390

5,47069

1,395

5,62968

1,400

5,79788

Вычислить значение функции f(x)=y(x) при x=0,3926.


Б)

х

у

0,115

8,65729

0,120

8,29329

0,125

7,95829

0,130

7,64893

0,135

7,36235

0,140

7,09613


Вычислить значение функции f(x)=y(x) при x=0,1334.

В)

х

у

0,150

6,61659

0,155

6,39989

0,160

6,19658

0,165

6,00551

0,170

5,82558

0,175

5,65583


Вычислить значение функции f(x)=y(x) при x=0,1662.


Лабораторная работа №15. Тема: Интерполирование функций.

Линейная интерполяция.

Пример 1: используя линейную интерполяцию, вычислить значения функции для заданных значений аргумента. hello_html_753128d0.gifпри х=0,1662.

Решение: Вычислим, используя функцию Excel, несколько значений Sin(x) и таблицу разностей первого и второго порядков (таблица 15.1):

Таблица 15.1


x

sin(x)

hello_html_1bf81874.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m561cc188.gif

0,63

0,5891

0,0081

-0,0001

0,64

0,5972

0,0088

-0,0001

0,65

0,6052

0,0079

-0,0001

0,66

0,6131

0,0079

-0,0001

0,67

0,6210

0,0078


0,68

0,6288




На возможность использования линейной интерполяции указывает тот факт, что разности первого порядка практически постоянны, а также выполняется соотношение

hello_html_7f01be84.gif

Действительно. hello_html_m1f16d4b4.gif.

При вычислении пользуемся формулой

hello_html_3c3ff49.gif, где g=hello_html_625fabbe.gif

hello_html_m6c31eb9f.gif - шаг интерполяции

hello_html_55ad76ab.gif - ближайшее меньшее

h=0,64-0,63=0,01.

Если x=0,6682, то примем hello_html_19502424.gif (берем ближайшее меньшее).

Эта строка будет нулевой, т.е hello_html_42b24616.gif.

Тогда hello_html_m57587be1.gif

hello_html_m63de7076.gif

Ответ: sin(0,6682)=0,6196


Реализация в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 15.1


hello_html_m1d3556a5.png

Рисунок 15.1

В ячейку А8 вносим значения х.

Вычисляем первые интерполяционные разности hello_html_m7d32c2da.gif

D2=B3-B2. Копируем эту формулу в ячейки D4, D5, D6.

Вычисляем вторые интерполяционные разности hello_html_11dc1c86.gif

E2=D3-D2. Копируем эту формулу в ячейки Е4, Е5.

Теперь проверяем выполнение условия hello_html_m7e428aaa.gif

ЯчейкеI2 присваиваем значение 0,0001.

В ячейку G2 вносим формулу для вычисления hello_html_m4e5dd386.gifG2-(1/8)*MAKCA(ABS(E2))

В ячейке H2 определяем знак

H2=ЕСЛИ(G2<12;”<”;”>”)

hello_html_19502424.gif (берем ближайшее меньшее). Эта строка (5 строка) будет нулевой.

Определяем h: D9=A3-A2=0,01

Определяем g: D10=(A8-A5)/D9=0,82

Теперь непосредственно определяем значение f(x)=y(x) при x=0,6682

D11=B5+D10*D5=0,6196.

Ответ: sin(0,6682)=0,6196.


Пример 2: используя линейную интерполяцию, вычислить значения функции y(x) при заданных значениях аргумента. Y(x)=cos(x) при x=0,3033.


Решение: Вычислим, используя функции Excel несколько значений cos(х) и составим таблицу разностей первого и второго порядков: (рисунок 15.2)


x

cos(x)

hello_html_m7d32c2da.gif

hello_html_1695aed4.gif

0,27

0,9638

-0,0027

-0,0001

0,28

0,9611

-0,0028

-0,0001

0,29

0,9582

-0,0029

-0,0001

0,3

0,9553

-0,0030

-0,0001

0,31

0,9623

-0,0031


0,32

0,9492



Рисунок 15.2


Разности первого порядка практически постоянны, а также справедливо соотношение

hello_html_7f01be84.gif (т.к. 1/8-0,0001), указывает на возможность применения линейной интерполяции.

При вычислении пользуемся той же формулой hello_html_3c3ff49.gif, где hello_html_70aceb95.gif

hello_html_m6c31eb9f.gif - шаг интерполяции.

hello_html_55ad76ab.gif - ближайшее меньшее

h =0,29-0,28=0,01

Если х=0,3033, то примем hello_html_m28011cd5.gif (берём ближайшее меньшее).

Эта строка будет нулевой, т.е. hello_html_726e2be9.gif.

Тогда g =(0,3033)=0,9553+0,33*(-0,0030)=0,9543

Ответ: cos(0,3033)=0,9543


Реализация в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 15.3


hello_html_21642831.png

Рисунок 15.3


Все вычисления производим аналогично вычислением, выполненным в примере лабораторной работы. В результате получаем ответ cos(0,3033)=0,9543

Ответ: cos(0,3033)=0,9543


Квадратичная интерполяция.

Пример: используя квадратичную интерполяцию, вычислить значение функции заданных значениях аргумента.


Условие задачи:

x

y

1,527

22,818

1,528

23,352

1,529

23,911

1,530

24,498

1,531

25,115

1,532

25,763

x= 1,5306


Решение: составим таблицу разностей первого, второго и третьего порядков (табл. 15.2)


Таблица 15.2

x

y

hello_html_1bf81874.gif

hello_html_m561cc188.gif

hello_html_m6958dd86.gif

1,527

22,818

0,534

0,025

0,003

1,528

23,352

0,559

0,028

0,002

1,529

23,911

0,587

0,030

0,001

1,530

24,498

0,617

0,031


1,531

25,115

0,648



1,532

25,763




В этой таблице разности второго порядка практически постоянны, кроме того, справедливо соотношение hello_html_29cd3617.gif (т.к. (1/15)*0,003<0,001; 0,0002<0,001). Все это указывает на возможность применения квадратичной интерполяции.

Для вычисления воспользуемся формулой:

hello_html_195873c8.gif, где hello_html_70aceb95.gif

hello_html_m25639eb3.gif - шаг интерполяции

hello_html_55ad76ab.gif - ближайшее меньшее.

Если x=1,5306, то hello_html_55ad76ab.gif=1,530 (берём ближайшее меньшее).

Эта строка будет нулевой строкой, т.е. hello_html_6e91b6be.gif, hello_html_234417e3.gif, hello_html_50c7ee14.gif.

G=(1,5306-1,530)/0,001=0,6/

Тогда y=24,498+0,6*0,617+hello_html_m34d84df6.gif*0,031=24,8645

Ответ: 24,8645.


Реализация в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке 15.4

hello_html_6c842ed2.png

Рисунок 15.4


Вычисляем первые интерполяционные разности

D2=B3-B2 ……… Копируем эту формулу в ячейки D3,D4,D5,D6.

Вычисляем вторые интерполяционные разности

E2=D3-D2 ……… Копируем эту формулу в ячейки E3,E4,E5.

Вычисляем третьи интерполяционные разности

F2=E3-E2 ……… Копируем эту формулу в ячейки F3,F4.

Теперь проверяем выполнение условия hello_html_29cd3617.gif

Ячейке J2 присваиваем значение 0,001.

В ячейку Н2 вносим формулу для вычисления hello_html_m49dbbd2d.gif

H2=(1/15)* MAKC (ABS(F2:F4))

hello_html_m5d191c55.gif (берём ближайшее меньшее). Эта строка (5 строка) будет нулевой.

Определяем h

D9=A3-A2=0,001

Определяем g

D10=(A8-A5)/D9=0,6

Теперь непосредственно определяем значение у(х) при х=1,5306

D11=B5+D10*D5+((D10*(D10-1))*E5=24,8645.


Лабораторная работа № 16. Тема: Интерполирование функций.

1. Первая интерполяционная формула Гаусса.

Пример: Найти значение функции у(х) при следующих значениях аргумента х=0,168

Условие задачи:

х

у(х)

0,12

6,278

0,14

6,404

0,16

6,487

0,18

6,505

0,20

6,436

0,22

6,259

0,24

5,594


Решение:

Составим таблицу конечных разностей (рисунок 16.1)

х

у(х)

hello_html_m7287eab6.gif

hello_html_m561cc188.gif

hello_html_m6958dd86.gif

0,12

6,278

0,126

-0,043

-0,022

0,14

6,404

0,083

-0,065

-0,022

0,16

6,487

0,018

-0,087

-0,021

0,18

6,505

-0,069

-0,108

-0,02

0,20

6,436

-0,177

-0,128


0,22

6,259

-0,305



0,24

5,594




Рисунок 16.1


При составлении таблицы разностей ограничиваемся разностями третьего порядка, так как они практически постоянны. Для вычисления значения функции при х=0,168 воспользуемся первой формулой Гаусса:

hello_html_3e033c46.gif

Где hello_html_70aceb95.gif

hello_html_m6282bc62.gif - шаг интерполяции.

hello_html_55ad76ab.gif- ближайшее меньшее.

Если х=0,168, то примем hello_html_m7e914a39.gif. Эта строка будет нулевой.

Тогда g=(0,168-0,16)/0,02=0,4.

hello_html_9836c6e.gifОтвет: 6,5032.

2.Вторая интерполяционная формула Гаусса.

Пример: Найти значение функции у(х) при следующих значениях аргумента х=0,175.

Условие задачи:

х

у(х)

0,12

6,278

0,14

6,405

0,16

6,478

0,18

6,505

0,20

6,436

0,22

6,259

0,24

5,594


Решение:

Составим таблицу конечных разностей (рисунок 16.2).

х

у(х)

hello_html_m7287eab6.gif

hello_html_m561cc188.gif

hello_html_m6958dd86.gif

0,12

6,278

0,126

-0,043

-0,022

0,14

6,404

0,083

-0,065

-0,022

0,16

6,487

0,018

-0,087

-0,021

0,18

6,505

-0,069

-0,108

-0,02

0,20

6,436

-0,177

-0,128


0,22

6,259

-0,305



0,24

5,594




Рисунок 16.2

При составлении таблицы разностей ограничиваемся разностями третьего порядка так как они практически постоянны. Для вычисления значения функции при х=0,175 воспользуемся второй формулой Гаусса:

hello_html_25d4de0d.gif

где hello_html_70aceb95.gif

hello_html_m6282bc62.gif - шаг интерполяции.

hello_html_55ad76ab.gif - ближайшее меньшее.

Если х=0,175, то примем hello_html_7b038758.gif. Эта строка будет нулевой.

hello_html_m5ded61f0.gif

Тогда g=(0,175-0,18)/0,02=-0,25.

hello_html_m1fa5ebdd.gifhello_html_m59fcf56e.gif

Ответ: 6,5078.


3. интерполяционная формула Бесселя.

Пример: Найти значение функции у(х) при следующих значениях х=0,192.

Условие задачи:

х

у(х)

0,12

6,278

0,14

6,405

0,16

6,478

0,18

6,505

0,20

6,436

0,22

6,259

0,24

5,594


Решение:

х

у(х)

hello_html_m7287eab6.gif

hello_html_m561cc188.gif

hello_html_m6958dd86.gif

0,12

6,278

0,126

-0,043

-0,022

0,14

6,404

0,083

-0,065

-0,022

0,16

6,487

0,018

-0,087

-0,021

0,18

6,505

-0,069

-0,108

-0,02

0,20

6,436

-0,177

-0,128


0,22

6,259

-0,305



0,24

5,594




Рисунок 16.3


При составлении таблицы разностей ограничиваемся разностями третьего порядка так как они практически постоянны. Для вычисления значения функции при х=0,192 воспользуемся формулой Бесселя:

hello_html_1960dc64.gif

где hello_html_70aceb95.gif

hello_html_m6282bc62.gif - шаг интерполяции.

hello_html_55ad76ab.gif - ближайшее меньшее.

Если х=0,192, то примем hello_html_55ad76ab.gif=0,18. Эта строка будет нулевой.

h=0,14-0,12=0,02

Тогда g=(0,192-0,18)/0,02=0,6.

hello_html_3693181d.gif

Ответ: 6,4754.


4. Интерполяционная формула Стирлинга.

Пример: Найти значение функции у(х) при следующих значениях х=0,204.

Условие задачи

х

у(х)

0,12

6,278

0,14

6,405

0,16

6,478

0,18

6,505

0,20

6,436

0,22

6,259

0,24

5,594


Решение:

х

у(х)

hello_html_m7287eab6.gif

hello_html_m561cc188.gif

hello_html_m6958dd86.gif

0,12

6,278

0,126

-0,043

-0,022

0,14

6,404

0,083

-0,065

-0,022

0,16

6,487

0,018

-0,087

-0,021

0,18

6,505

-0,069

-0,108

-0,02

0,20

6,436

-0,177

-0,128


0,22

6,259

-0,305



0,24

5,594




Рисунок 16.4


При составлении таблицы разностей ограничиваемся разностями третьего порядка так как они практически постоянны. Для вычисления значения функции при х=0,204 воспользуемся формулой Стирлинга:

hello_html_m4ff9e4a7.gif

где hello_html_70aceb95.gif

hello_html_m6282bc62.gif - шаг интерполяции

hello_html_55ad76ab.gif - ближайшее меньшее.

Если х=0,204, то примем hello_html_55ad76ab.gif=0,20. Эта строка будет нулевой.

h=0,14-0,12=0,02

Тогда g=(0,204-0,20)/0,02=0,2

hello_html_4b6a1bec.gifОтвет: 6,4099.

Задания для самоконтроля.


x

y

Вариант

Гаусса(1)

Гаусса(2)

Бессель

Стирлинг

1,50

15,132

1)

1,606

1,952

1,725

1,833

1,55

17,422

2)

1,612

1,953

1,727

1,836

1,60

20,393

3)

1,618

1,954

1,729

1,839

1,65

23,994

4)

1,624

1,955

1,731

1,842

1,70

28,160

5)

1,703

1,806

1,753

1,704

1,75

32,812

6)

1,703

1,809

1,755

1,705

1,80

37,587

7)

1,713

1,812

1,757

1,706

1,85

43,189

8)

1,718

1,815

1,759

1,701

1,90

48,689

9)

1,506

1,818

2,005

1,652

1,95

54,225

10)

1,507

1,821

2,009

1,654

2,00

59,653

11)

1,508

2,053

2,013

1,656

2,05

64,817

12)

1,509

2,055

2,017

1,658

2,10

69,550

13)

1,954

2,057

1,654

1,205

2,15

74,357

14)

1,958

2,059

1,655

1,207

2,20

79,650

15)

1,962

2,061

1,656

1,209

2,25

84,333

16)

1,966

2,063

1,657

1,211


Лабораторная работа №17. Тема: Интерполирование функций.

1. Первая интерполяционная формула Гаусса.

Пример: Найти значение функции у(х) при следующих значениях аргумента х=0,168

Условия задачи:

х

у(х)

0,12

6,278

0,14

6,404

0,16

6,487

0,18

6,505

0,20

6,436

0,22

6,259

0,24

5,594


Решение:

Составим таблицу конечных разностей (рисунок 17.1)


х

у(х)

hello_html_m7287eab6.gif

hello_html_m561cc188.gif

hello_html_m6958dd86.gif

0,12

6,278

0,126

-0,043

-0,022

0,14

6,404

0,083

-0,065

-0,022

0,16

6,487

0,018

-0,087

-0,021

0,18

6,505

-0,069

-0,108

-0,02

0,20

6,436

-0,177

-0,128


0,22

6,259

-0,305



0,24

5,594




Рисунок 13.1


При составлении таблицы разностей ограничиваемся разностями третьего порядка, так как они практически постоянны. Для вычисления значения функции при х=0,168 воспользуемся первой формулой Гаусса:

hello_html_3e033c46.gif

Где hello_html_70aceb95.gif

hello_html_m6282bc62.gif - шаг интерполяции.

hello_html_55ad76ab.gif- ближайшее меньшее.

Если х=0,168, то примем hello_html_m7e914a39.gif. Эта строка будет нулевой.

Тогда g=(0,168-0,16)/0,02=0,4.

hello_html_9836c6e.gifОтвет: 6,5032.


2.Вторая интерполяционная формула Гаусса.

Пример: Найти значение функции у(х) при следующих значениях аргумента х=0,175.

Условие задачи:

х

у(х)

0,12

6,278

0,14

6,405

0,16

6,478

0,18

6,505

0,20

6,436

0,22

6,259

0,24

5,594


Решение:

Составим таблицу конечных разностей (рисунок 17.2).

х

у(х)

hello_html_m7287eab6.gif

hello_html_m561cc188.gif

hello_html_m6958dd86.gif

0,12

6,278

0,126

-0,043

-0,022

0,14

6,404

0,083

-0,065

-0,022

0,16

6,487

0,018

-0,087

-0,021

0,18

6,505

-0,069

-0,108

-0,02

0,20

6,436

-0,177

-0,128


0,22

6,259

-0,305



0,24

5,594




Рисунок 17.2


При составлении таблицы разностей ограничиваемся разностями третьего порядка так как они практически постоянны. Для вычисления значения функции при х=0,175 воспользуемся второй формулой Гаусса:

hello_html_25d4de0d.gif

где hello_html_70aceb95.gif

hello_html_m6282bc62.gif - шаг интерполяции.

hello_html_55ad76ab.gif - ближайшее меньшее.

Если х=0,175, то примем hello_html_7b038758.gif. Эта строка будет нулевой.

hello_html_m5ded61f0.gif

Тогда g=(0,175-0,18)/0,02=-0,25.

hello_html_m1fa5ebdd.gifhello_html_m59fcf56e.gif

Ответ: 6,5078.


3. Интерполяционная формула Бесселя.


Пример: Найти значение функции у(х) при следующих значениях х=0,192.

Условие задачи:

х

у(х)

0,12

6,278

0,14

6,405

0,16

6,478

0,18

6,505

0,20

6,436

0,22

6,259

0,24

5,594


Решение:

х

у(х)

hello_html_m7287eab6.gif

hello_html_m561cc188.gif

hello_html_m6958dd86.gif

0,12

6,278

0,126

-0,043

-0,022

0,14

6,404

0,083

-0,065

-0,022

0,16

6,487

0,018

-0,087

-0,021

0,18

6,505

-0,069

-0,108

-0,02

0,20

6,436

-0,177

-0,128


0,22

6,259

-0,305



0,24

5,594




Рисунок 17.3


При составлении таблицы разностей ограничиваемся разностями третьего порядка так как они практически постоянны. Для вычисления значения функции при х=0,192 воспользуемся формулой Бесселя:

hello_html_1960dc64.gif

где hello_html_70aceb95.gif

hello_html_m6282bc62.gif - шаг интерполяции.

hello_html_55ad76ab.gif - ближайшее меньшее.

Если х=0,192, то примем hello_html_55ad76ab.gif=0,18. Эта строка будет нулевой.

h=0,14-0,12=0,02

Тогда g=(0,192-0,18)/0,02=0,6.

hello_html_3693181d.gif

Ответ: 6,4754.


4. Интерполяционная формула Стирлинга.


Пример: Найти значение функции у(х) при следующих значениях х=0,204.


х

у(х)

0,12

6,278

0,14

6,405

0,16

6,478

0,18

6,505

0,20

6,436

0,22

6,259

0,24

5,594



Решение:

х

у(х)

hello_html_m7287eab6.gif

hello_html_m561cc188.gif

hello_html_m6958dd86.gif

0,12

6,278

0,126

-0,043

-0,022

0,14

6,404

0,083

-0,065

-0,022

0,16

6,487

0,018

-0,087

-0,021

0,18

6,505

-0,069

-0,108

-0,02

0,20

6,436

-0,177

-0,128


0,22

6,259

-0,305



0,24

5,594




Рисунок 17.4


При составлении таблицы разностей ограничиваемся разностями третьего порядка так как они практически постоянны. Для вычисления значения функции при х=0,204 воспользуемся формулой Стирлинга:

hello_html_m4ff9e4a7.gif

где hello_html_70aceb95.gif

hello_html_m6282bc62.gif - шаг интерполяции

hello_html_55ad76ab.gif - ближайшее меньшее.

Если х=0,204, то примем hello_html_55ad76ab.gif=0,20. Эта строка будет нулевой.

h=0,14-0,12=0,02

Тогда g=(0,204-0,20)/0,02=0,2

hello_html_4b6a1bec.gifОтвет: 6,4099.


Задания для самоконтроля.


x

y

Вариант

Гаусса(1)

Гаусса(2)

Бессель

Стирлинг

1,50

15,132

1)

1,606

1,952

1,725

1,833

1,55

17,422

2)

1,612

1,953

1,727

1,836

1,60

20,393

3)

1,618

1,954

1,729

1,839

1,65

23,994

4)

1,624

1,955

1,731

1,842

1,70

28,160

5)

1,703

1,806

1,753

1,704

1,75

32,812

6)

1,703

1,809

1,755

1,705

1,80

37,587

7)

1,713

1,812

1,757

1,706

1,85

43,189

8)

1,718

1,815

1,759

1,701

1,90

48,689

9)

1,506

1,818

2,005

1,652

1,95

54,225

10)

1,507

1,821

2,009

1,654

2,00

59,653

11)

1,508

2,053

2,013

1,656

2,05

64,817

12)

1,509

2,055

2,017

1,658

2,10

69,550

13)

1,954

2,057

1,654

1,205

2,15

74,357

14)

1,958

2,059

1,655

1,207

2,20

79,650

15)

1,962

2,061

1,656

1,209

2,25

84,333

16)

1,966

2,063

1,657

1,211


Лабораторная работа №18. Тема: Интерполирование функций.

Интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов.

Пример: Вычислить значения функции для заданных значений аргумента, используя интерполяционную формулу Ньютона для равноотстоящих узлов.

Условие задачи:

x

y

0,103

2,01284

0,108

2,03342

0,115

2,06070

0,120

2,07918

0,128

2,10721

0,136

2,13354

0,141

2,14922

0,150

2,17609

Вычислите значение функции у(х) при hello_html_533a274e.gif и hello_html_mfb334ad.gif.


Решение: вычисление производим по формуле

hello_html_m7fc38653.gif,

где hello_html_15efb883.gifhello_html_m70711bb4.gif

предварительно вычислим необходимые значения разделенных разностей (рисунок 18.1).


x

y

fhello_html_79bcb135.gif

fhello_html_m4fbf1d29.gif

0,103

2,01284

4,1160

-18,23810

0,108

2,03342

3,8971

-16,76190

0,115

2,06070

3,6960

-14,78846

0,120

2,07918

3,5037

-13,28125

0,128

2,10721

3,2913

-11,94231

0,136

2,13354

3,1360

-10,74603

0,141

2,14922

2,9856


0,150

2,17609



Рисунок 18.1


1) Найдем значение f(0,112) взяв за hello_html_729c16c7.gif (ближайшее меньшее). Эта строка будет нулевой строкой, т.е. hello_html_6e48e158.gif, hello_html_m53d4ecad.giffhello_html_m221db12.gifhello_html_m5ee8c3a2.gif, fhello_html_4052c411.gif

f(0,112) = 2,03342+3,8971*(0,112-0,108)+(-16,76190)*(0,112-0,108)*(0,112-0,115) = 2,04921.

2) Найдем значение f(0,133) взяв за hello_html_598221c8.gif(ближайшее меньшее). Эта строка будет нулевой строкой, т.е. hello_html_m109718b.gif, fhello_html_m4f2e3306.gif fhello_html_m6d7fead8.gif

f(0,133)=2,10721+3,2913*(0,133-0,128)+(-11,94231)*(0,133-0,128)*(0,133-0,136)=2,12385.

Ответ: f(0,112)= 2,04921.

f(0,133)= 2,12385.

Реализация в среде Excel.

Заполним исходные данные системы кК показано на рисунке 18.2.

В ячейку А11 вносим значение hello_html_m8f106d0.gif, в ячейку А12 вносим значение hello_html_m74f24f74.gif.


hello_html_535f0289.png

Рисунок 18.2


Вычисляем первые разделенные разности.

C2=(B3-B2)/(A3-A2). Копируем эту формулу в ячейки C3, C4, C5, C6, C7, C8.

Вычисляем первые разделенные разности.

D2=(C3-C2)/(A4-A2). Копируем эту формулу в ячейки D3, D4, D5, D6, D7.

Теперь непосредственно определяем значения f(x).

1) hello_html_533a274e.gif, C11=B3+C3*(A11-A3)*(A11-A4)=2,04921.

2) hello_html_mfb334ad.gif, C12=b6+c6*(a12-a6)+d6*(a12-a6)*(a12-a7)=2,12385.

Ответ: f(0,112)= 2,04921. f(0,133)= 2,12385.


Задания для самоконтроля.

1)Заполните таблицу, используя следующие данные:


x

y


x

y

0,298

3,25578


0,308


0,303

3,17639


0,314


0,310

3,12180


0,325


0,317

3,04819


0,312


0,329

2,98755


0,321


0,330

2,91950


0,304


0,339

2,83598


0,299



2)Заполните таблицу, используя следующие данные:


x

y


x

y

0,593

0,532050


0,608


0,598

0,535625


0,615


0,605

0,540598


0,622


0,613

0,546235


0,603


0,619

0,550431


0,610


0,627

0,555983


0,601


0,632

0,559428


0,594



3)Заполните таблицу, используя следующие данные:

x

y


x

y

0,095

1,09131


0,103


0,102

1,23490


0,109


0,104

1,27994


0,098


0,107

1,35142


0,105


0,110

1,42815


0,101


0,112

1,48256





Лабораторная работа № 19. Тема: Симплекс-метод решения задач линейного программирования.


Пример: Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые ресурсы. Исходные данные приведены в таблице 19.1.

Таблица 19.1


Ресурсы

Нормы затрат на одно изделие


Количество

ресурсов

Стол

Шкаф

Древесина (мhello_html_23814d62.gif):

I вида

II вида

Трудоёмкость (чел-час)


0,2

0,1

1,2


0,1

0,3

1,5


40

60

371,1

прибыль от реализации одного изделия (тыс тнг.)

6

8



Определить, сколько шкафов и столов следует изготовить фабрике, чтобы прибыль реализации была максимальной.

Решение:

Составим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим через хhello_html_4ab98f23.gif - искомое количество столов.

хhello_html_3500b51c.gif - искомое количество шкафов.

Тогда экономическо-математическая модель задачи примет вид:

hello_html_m70cb98f6.gif

Сформируем исходные данные, переменные и ограничения как показано на рисунке 19.1

Под переменную хhello_html_4ab98f23.gif выделим ячейку В12, а под переменную хhello_html_3500b51c.gif-ячейку С12.


hello_html_3d063274.png



















Рисунок 19.1


Введём зависимости из математической модели.

Для ввода формул используем мастер формул и операции копирования и вставки.

1. Введем зависимость для целевой функции:

  • установите курсор в В14;

  • нажмите кнопку Мастер функций (fhello_html_51b260eb.gif) на стандартной панели;

  • на экране появляется диалоговое окно Мастера функций (Рис. 19.2):


hello_html_mb354436.png
















Рисунок 19.2


  • выбираем из категории Математические функцию СУММПРОИЗВ.

  • появляется следующее диалоговое окно (Рис. 19.3):

Рhello_html_11f3d079.pngисунок 19.3


  • выводим данные в массивы (коэффициенты целевой функции и значения переменных).

2hello_html_69d6b016.png. Введем зависимости для левых частей ограничений задачи:




















Рисунок 19.4


  • установите курсор в ячейку В19

  • нажмите кнопку Мастер функций (fhello_html_51b260eb.gif) функцию СУММПРОИЗВ.

  • В появившемся диалоговом окне вводим данные (Рис 19.4)

Скопируем эту формулу в ячейки В20:В21.

На этом ввод данных в таблицу закончен.

После ввода всех данных, переменных и ограничений рабочий лист должен выглядеть следующим образом (Рис. 19.5):


hello_html_2b10ba83.png

Рисунок 19.5


Программа Поиск решения.

  1. Выберите пункт меню Сервисhello_html_1b730b13.gifПоиск решения;

  2. В появившемся окне Поиск решения введите в поле Установить целевую ячейку значение $B$4, установите переключатель Равной максимальному значению, в поле Изменяя ячейки введите диапазон ячеек $B$12:$C$12 (Рис.19.6)


hello_html_714e055a.png

Рисунок 19.6


  1. Для формирования ячеек нажмите кнопку Добавить, В результате на экране появиться окно Добавление ограничения (Рис.19.7);

hello_html_718591b0.png








Рисунок 19.7


  1. В поле Ссылка на ячейку вводим последовательно левые части ограничений ($B$19,$B$20,$B$21), в раскрывшемся списке выбираем знак (<=), в поле Ограничение вводим последовательно правые части ограничений ($B$19,$B$20,$B$21), после ввода очередного ограничения нажимаем кнопку Добавить, после ввода последнего ограничения нажмите кнопку ОК, в результате этих действий окно Поиск решения примет вид (Рис. 19.8):


hello_html_5b1adc6e.png
















Рисунок 19.8


  1. Нажмите кнопку Параметры, и в появившемся окне параметры поиска решения установите флажки Линейная модель и Неотрицательные значения (hello_html_4e030fb9.gif), в результате окно Параметры поиска решения примет вид (Рис. 15.9):


hello_html_m3e2d609f.png

















Рисунок 19.9


  1. В окне Поиск решения нажмите кнопку Выполнить, в результате на экране появиться окно Результаты поиска решения (Рис 19.10):









hello_html_3fcc8f3b.png










Рисунок 19.10


  1. В окне Результаты поиска решения выберите тип отчета Результаты и нажмите кнопку ОК, в результате этого рабочий лист примет вид (Рис. 19.11):


Рhello_html_mde4f329.pngисунок 19.11


  1. Для просмотра отчета щелкните по листу Отчет по результатам (рис. 19.12):

Рhello_html_me46fcd6.pngисунок 19.12


Анализ результатов решения задачи.

Для получения максимальной прибыли в размере 1940 тысячтенге необходимо выпустить столов в количестве 102 ед. и шкафов в количестве 166 ед.


Задания для самоконтроля.

Задача №1.

Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используют три вида сырья S1, S2, S3. Все необходимые данные приведены в таблице. Составить такой план выпуска продукции



Вид сырья


Запас сырья

Количество единиц сырья, идущих на изготовление единицы продукции

Р1

Р2

S1

20

2

5

S2

40

8

5

S3

30

5

6

Прибыль от единицы продукции

50

40

Задача №2.

Для изготовления столов и тумбочек используют три вида древесины. Составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль.



Вид сырья


Запас сырья

Количество единиц сырья, идущих на изготовление единицы продукции

Стол

Тумбочка

1 вид древесины

72

0,18

0,09

2 вид древесины

36

0,08

028

3 вид древесины

18

0,12

012

Прибыль от единицы продукции

11

7





Задача №3.

Для изготовления двух видов продукции А и В используют три вида сырья S1, S2, S3. Составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль.



Вид сырья


Запас сырья

Количество единиц сырья, идущих на изготовление единицы продукции

А

В

S1

1400

2

2

S2

1000

3

1

S3

600

4

1

Прибыль от единицы продукции

3

4


Лабораторная работа №20. Тема: Транспортная задача. Метод потенциалов.

Пример: Рассмотрим следующую транспортную задачу:

По условию задачи имеем трех поставщиков, которые обладают запасами груза в объеме 60, 80, 100 ед. однородного груза соответственно и трех потребителей, у которых потребности в данном грузе соответственно 40,60,80 и 60 ед. Стоимость перевозки груза от каждого поставщика потребителю даны в таблице.

Найти такой план перевозки груза, при котором транспортные издержки на перевозку груза будут минимальными.


потребители


40


60


80


60

поставщики

60

1

2

3

4

80

4

3

2

0

100

0

2

2

1


Решение:

Составим математическую модель данной задачи.

Обозначим hello_html_717917f1.gif - количество груза, отправляемого от i-ого поставщика j-ому потребителю.

Получим следующую математическую модель:

hello_html_ma329cfa.gif ограничения по поставщикам

hello_html_1f878700.gif ограничения по потребителям

Целевая функция задачи (стоимость перевозки груза) имеет вид:

hello_html_m7814376c.gif

Сформируем исходные данные, переменные и ограничения как показано на рис. 20.1.






hello_html_7f14e9b.png






















Рисунок 20.1


Введем зависимости из математической модели.

Для ввода формул используйте Мастер формул и операции копирования и вставки.

1. Введём зависимость для целевой функции:

- Установим курсор в ячейку А13 и вызовем Мастер функций f(hello_html_51b260eb.gif).

- На экране диалоговое окно (Рис. 20.2).


hello_html_mb354436.png



















Рисунок 20.2


- Выбираем из категории Математические функцию СУММПРОИЗВ.

- Появляется следующее диалоговое окно (Рис. 20.3):

hello_html_679e9ce1.png

Рисунок 20.3


2. Введем формулу зависимости для целевой функции:

- вводим данные в массивы.

3. Введём зависимости для левых частей ограничений задачи:

- установим курсор на ячейку А16

- нажмите кнопку Мастер функций f(hello_html_51b260eb.gif) на стандартной панели

- на экране появляется диалоговое окно (Рис 20.2);

- выбираем из категории Математические функцию СУММ;

- в появившемся диалоговом окне вводим данные (Рис. 20.4);

hello_html_61f80764.png

Рисунок 20.4.


В ячейки А16:А22 вводим соответственно формулы (построчно!) (в диалоговом окне последовательно или применяя операцию копирования формул):

=СУММ(B8:E8);

=СУММ(B9:E9);

=СУММ(B10:Е10);

=СУММ(B8:B10);

=СУММ(С8:С10);

=СУММ(D8:D10);

=СУММ(E8:E10);

(смотри порядок ввода формул в левые части ограничений – Рис 20.5);


hello_html_m1158f2e6.png

Рисунок 20.5


На этом ввод данных в таблицу закончен.

Программа Поиск решения.

  1. Выберите пункт меню Сервисhello_html_1b730b13.gifПоиск решения;

  2. В появившемся окне Поиск решения введите в поле Установить целевую ячейку значение $А$13, установите переключатель Равной максимальному значению, в поле Изменяя ячейки введите диапазон ячеек $B$8:$Е$10 (Рис.20.6).


hello_html_149b3f71.png














Рисунок 20.6


  1. Для формирования ячеек нажмите кнопку Добавить, В результате на экране появиться окно Добавление ограничения (Рис.20.7);




hello_html_43730588.png







Рисунок 20.7


  1. В поле Ссылка на ячейку вводим последовательно левые части ограничений ($A$16, $A$17, $A$18, $A$19, $A$20, $A$21, $A$22), в раскрывшемся списке выбираем знак (<=), в поле Ограничение вводим последовательно правые части ограничений ($C$16, $C$17, $C$18, $C$19, $C$20, $C$21, $C$22), после ввода очередного ограничения нажимаем кнопку Добавить, после ввода последнего ограничения нажмите кнопку ОК, в результате этих действий окно Поиск решения примет вид (Рис. 20.8):


hello_html_m284b0efb.png

Рисунок 20.8.


  1. Нажмите кнопку Параметры, и в появившемся окне параметры поиска решения установите флажки Линейная модель и Неотрицательные значения, в результате окно Параметры поиска решения примет вид (Рис. 20.9):


hello_html_m7440eeee.png















Рисунок 20.9


  1. В окне Поиск решения нажмите кнопку Выполнить, в результате на экране появиться окно Результаты поиска решения (Рис 20.10):

hello_html_3fcc8f3b.png










Рисунок 20.10


  1. В окне Результаты поиска решения выберите тип отчета Результаты и нажмите кнопку ОК, в результате этого рабочий лист примет вид (Рис. 20.11):

hello_html_m2220a3fc.png

Рисунок 20.11

  1. Для просмотра отчета щелкните по листу Отчет по результатам (рис. 20.12):


hello_html_3bbf778e.png

Рисунок 20.12


Анализ результата решения задачи.

Для получения минимальной прибыли в размере 280 ден. ед. первый поставщик должен отправить весь груз 60 ед. второму потребителю; второй поставщик распределяет груз между третьим (20 ед.) и четвертым (60 ед.) потребителям; третий поставщик поставляет груз: 40 ед. – первому потребителю, 60 ед. – третьему потребителю.


Задания для самоконтроля.

Задача №1.

Решить транспортную задачу по следующим исходным данным:


Запасы

Потребности


40

20

30

60

80

1

4

3

5

40

3

2

2

3

30

4

4

2

3


Задача №2.

Решить транспортную задачу по следующим исходным данным:


Запасы

Потребности


21

35

25

41

30

23

27

13

18

40

12

17

20

51

52

22

28

12

32


Задача №3.

Решить транспортную задачу по следующим исходным данным:


Запасы

Потребности


320

480

620

110

500

8

7

6

9

560

4

10

8

3

470

2

3

6

5


Задача №4.

Решить транспортную задачу по следующим исходным данным:


Запасы

Потребности


30

25

20

25

50

4

2

3

3

20

3

5

2

4

30

5

1

4

20






























Литература

  1. Боглаев Ю. П. Вычислительная математика и программирование. - М.: - Высшая школа, 1990.

  2. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. - М.: - Наука, 1988.

  3. Власов В. К., Королев Л. Н., Сотников А. Н. Элементы информатики. - М.: - Наука, 1988.

  4. Воробьева Г. И., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. - М.: - Высшая школа, 1990.

  5. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для персональных ЭВМ. - М.: - Наука, 1987.

  6. Иванова Т. П., Пухова Г. В. Программирование и вычислительная математика. - М.: - Просвещение, 1998.

  7. Кимбл Г. Как правильно пользоваться статистикой. - М.: - Финансы и статистика, 1982.

  8. Козлов М. В., Прохоров А. В. Введение в математическую статистику. - М.: - Издательство МГУ, 1987.

  9. Кузнецов Ю. Н., Кузубов В. И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. - М.: - Высшая школа, 1976.

  10. Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики. - М.: - Наука, 1982.





Численные методы. Лабораторно-практические раюоты.
  • Математика
Описание:

Одна из самых больших проблем преподавателей математики в колледже состоит в том, что по дисциплине "Численные методы" практически нет ни учебников, ни пособий.

Вот и я в своё время стояла перед проблемой: предмет вести необходимо, а нет ни учебников, ни пособий. Что же делать? 

Ответ был прост: искать любую, доступную информацию. Всё систематизировать и привести к виду, несущему максимум информации. 

Результат моих поисков - перед Вами.

Данный сборник содержит теоретический материал по всем изучаемым методам.

Разработаный материал носит информационный, рекомендательный жарактер

Автор Матушевич Лариса Викторовна
Дата добавления 20.12.2014
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 1053
Номер материала 8951
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓