Главная / Математика / Авторская программа элективного курса по математике "Методы решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными" "

Авторская программа элективного курса по математике "Методы решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными" "

Программа элективного курса для 9 класса

«Методы решения систем нелинейных уравнений с двумя неизвестными».



Пояснительная записка



Предлагаемый элективный курс «Методы решения нелинейных систем уравнений с двумя неизвестными» содержит материал, недостаточно проработанный в базовом курсе школьной математики, так как в школьной программе рассматриваются в основном методы подстановки и алгебраического сложения, которых недостаточно при решении более сложных систем уравнений.

Этот элективный курс сможет заинтересовать учащихся 9 классов, стремящихся овладеть методами и приемами решения нелинейных систем уравнений, научится применять их при составлении математических моделей текстовых задач и задач на прогрессии. Чаще всего проблема состоит не в том, чтобы записать систему, соответствующую текстовому условию задачи, а в том, чтобы эту систему решить. На решение этой проблемы направлен этот элективный курс.

Данный элективный курс может быть предложен учащимся 9 классов, проявляющих интерес к математике, так как формирует целостную систему знаний о различных методах решения систем нелинейных уравнений, которые понадобятся в дальнейшем при решении систем логарифмических, показательных, тригонометрических систем уравнений и систем уравнений смешанного типа часто встречающихся в заданиях ГИА и ЕГЭ. Курс также имеет и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся, формированию графических навыков.

Элективный курс направлен на развитие учебно-познавательной компетенции учащихся, практических умений самостоятельно искать и применять рациональные способы решения систем нелинейных уравнений, на формирование исследовательских навыков. Учащиеся овладевают приемами поисково-исследовательской деятельности при отыскании метода решения систем нелинейных уравнений, учатся составлять математические модели текстовых задач и задач на геометрическую и арифметическую прогрессии, применять изученные методы при решении систем нелинейных уравнений. Изучение данного курса тесно связано с такими дисциплинами, как алгебра, физика, алгебра и начала анализа.

С целью активизации познавательных интересов в программу элективного курса включены исследовательские задания, содержащие параметр; творческие задания, предусматривающие графическую интерпретацию решения системы нелинейных систем уравнений; темы для проектной деятельности с последующей защитой исследовательских проектов.

Элективный курс содержит теоретический материал с примерами типовых заданий, а также упражнения для практической работы, кроме того, есть задания для решения в группах при организации поисково-исследовательской деятельности учащихся.

Содержание курса предполагает работу с различными источниками математической литературы, ресурсами Интернета при подготовке исследовательских проектов.



Цели курса:


- расширить и углубить сферу математических знаний учащихся о методах решения систем нелинейных уравнений с двумя неизвестными;


- продемонстрировать применение полученных знаний при решении задач практического содержания;


  • развивать математические, интеллектуальные способности в процессе поисково-исследовательской деятельности.


  • формировать образовательную, информационно-коммуникативную, рефлексивную компетентность старшеклассников.



Для достижения поставленных целей в процессе обучения

решаются следующие задачи:


  1. познакомить учащихся с методами решения систем нелинейных уравнений (методом подстановки, разложения на множители, заменой переменных и другими);


  1. научить составлять систему нелинейных уравнений по условию задачи и выбирать рациональный метод ее решения;


  1. создавать условия для творческой и исследовательской деятельности учащихся.



Данный курс рассчитан на 17 часов, предполагает краткое изложение теории вопросов курса, образцы решения типовых задач, задачи для самостоятельного решения, а также задачи повышенного уровня для решения в группах. Содержание некоторых ключевых тем включает в себя самостоятельную работу учащихся.

Основные формы организации учебных занятий: объяснение, практическая работа, работа в парах, поисковая и исследовательская деятельность, творческая деятельность, работа в проблемной ситуации. Возможны и разные формы индивидуальной и групповой деятельности учащихся.

Программа курса будет интересна учащимся с разным уровнем подготовки, так как включает задания различной трудности, кроме того, такие виды деятельности как работа в группах, творческая деятельность позволят учащимся чувствовать себя комфортно, выбирать для себя задания в соответствии с собственными возможностями.

В результате изучения курса учащиеся должны научится применять теоретические знания при решении нелинейных систем уравнений, знать методы решения систем уравнений, осуществлять практическое применение в текстовых задачах и в задачах на прогрессии, приобрести коммуникативные умения, работая в различных группах, развить у себя исследовательские умения.



Учебно-тематический план


п/п

Наименование тем курса

Всего часов

В том числе

Форма контроля

теория

практика

семинар

1.

Системы уравнений. Равносильные системы уравнений.

1.

0,5

0,5


Проверка заданий практической работы.

2.

Метод подстановки.

1.

0,5

0,5


Проверка заданий практической работы.

3.

Метод алгебраического сложения.

2.

0,5

1,5


Самостоятельная работа.

4.

Метод разложения на множители.

2.

0,5

1,5


Проверка заданий практической работы.

5.

Метод замены переменных.

2.

0,5

0,5

1

Самостоятельная работа, оценка результатов исследовательской деятельности.

6.

Графический метод решения систем нелинейных уравнений.

2.

0,5

0,5

1

Оценка результатов творческих работ.

7.

Решение задач с помощью систем нелинейных уравнений.

2.

0,5

1,5


Проверка заданий практической работы.

8.

Метод почленного умножения и деления уравнений системы.

2.

0,5

0,5

1

Самостоятельная работа, оценка результатов исследовательской деятельности.

9.

Решение задач на прогрессии.

2.

0,5

1,5


Проверка заданий практической работы.

10.

Решение систем нелинейных уравнений различными методами.

1



1

Защита исследовательских проектов.




Основные компоненты содержания.


Тема 1. Системы уравнений. Равносильные системы уравнений.


Понятие системы уравнений. Запись систем уравнений. Что значит решить систему уравнений. Несовместные системы уравнений. Равносильные системы уравнений. Геометрический смысл решения систем уравнений. Утверждения о равносильности систем уравнений. Совокупность систем уравнений. Классификация систем нелинейных уравнений по количеству решений (неопределенные, однозначные, несовместные)


Тема 2. Метод подстановки.


Алгоритм решения систем нелинейных уравнений методом подстановки. Использование формул для нахождения корней квадратных и биквадратных уравнений. Решение систем нелинейных уравнений методом подстановки.


Тема 3. Метод алгебраического сложения.


Применение метода алгебраического сложения для систем нелинейных уравнений. Формулы равносильного перехода. Использование пропорциональности коэффициентов при подобных неизвестных.


Тема 4. Метод разложения на множители.


Применение метода разложения на множители для систем нелинейных уравнений. Приемы понижения степени уравнений, входящих в систему. Использование формул сокращенного умножения, способа группировки для разложения на множители одного из уравнений системы.


Тема 5. Метод замены переменных.


Симметрические системы уравнений. Системы уравнений, одно из которых однородно. Использование основных тождеств для симметрических систем. Применение теоремы Виета при решении однородных систем уравнений. Понятие системы нелинейных уравнений с параметрами. Параметр и количество решений системы нелинейных уравнений.



Тема 6. Графический метод решения систем нелинейных уравнений.


Геометрическое истолкование решения систем нелинейных уравнений. Построение графиков квадратичной функции, обратной пропорциональности, уравнения окружности. Использование графических иллюстраций в системах нелинейных уравнений с параметрами.




Тема 7. Решение задач с помощью систем нелинейных уравнений.


Алгоритм решения задач с помощью систем нелинейных уравнений. Использование алгоритма решения дробно-рациональных уравнений. Применение таблицы для записи условия текстовых задач. Использование свойств делимости чисел, теоремы Пифагора, понятий, связанных с совместной работой и движением при решении текстовых задач.







Тема 8. Метод почленного умножения и деления уравнений системы.


Алгоритм решения систем уравнений методом почленного умножения и деления уравнений. Использование свойств степеней при делении и умножении. Использование различных способов для разложения многочленов на множители: вынесение общего множителя за скобку, способ группировки, формулы сокращенного умножения. Исследование нелинейных систем уравнений с применением нестандартных способов преобразований многочленов высших степеней: выделение полного квадрата, разбиение слагаемых на группы, дополнение до полного квадрата. Применение теоремы Виета для уравнений высших степеней.



Тема 9. Решение задач на прогрессии.


Определение арифметической и геометрической прогрессий. Характеристические свойства прогрессий. Формулы для n-го члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий. Использование теоремы Безу при решении кубических уравнений. Использование алгоритма решения возвратных уравнений четвертой степени. Применение теоремы Виета для уравнений высших степеней.




Тема 10. Решение систем уравнений различными методами.


Выбор рациональных методов решения систем нелинейных уравнений. Использование изученных методов решения систем нелинейных уравнений. Применение равносильных переходов при решении систем нелинейных уравнений.





Методические рекомендации по содержанию и проведению занятий.



Тема 1. Системы уравнений. Равносильные системы уравнений.



На первом занятии учитель знакомит учащихся с содержанием и структурой курса, предлагает темы исследовательских проектов, знакомит с критериями оценивания групповой и исследовательской деятельности, предлагает рассаживаться так, чтобы работа в парах была продуктивной для обоих учащихся. Затем рекомендуется прочитать ознакомительную лекцию о системах уравнений, равносильных системах, несовместных системах, сформулировать утверждения о равносильности. Затем предложить учащимся привести примеры равносильных систем уравнений. После чего организовать работу в парах с последующей проверкой.


Тема 2. Метод подстановки и алгебраического сложения.



Напомнить учащимся, что эти методы они уже применяли при решении линейных систем уравнений. Сформулировать алгоритмы и рассмотреть решения систем нелинейных уравнений методом подстановки и алгебраического сложения. На практических занятиях продолжать применять индивидуальные и фронтальные формы деятельности. На одном из последних уроков организовать работу в группе, ознакомив с памяткой анализа групповой деятельности.





Тема 3. Метод разложения на множители.


На этих занятиях нужно рассмотреть примеры разложения одного из уравнений системы на множители и сведению к совокупности двух систем. Напомнить учащимся способы разложения многочленов на множители. На практическом занятии рекомендуется ввести проблемную ситуацию при решении системы уравнений, где разложение на множители выражено неявно. С помощью побуждающего диалога вывести учащихся к решению проблемы.


Тема 4. Метод замены переменных.


В содержании данной темы раскрываются теоретические сведения о симметрических и однородных многочленах и их особенностях, доказываются основные тождества, рассматриваются примеры решения симметрических и однородных систем уравнений. Учащиеся должны представлять план исследования систем уравнений с параметрами, знать, как должен выглядеть ответ в задачах с параметрами. Организация исследовательской деятельности осуществляется в малых группах. На семинаре учащиеся представляют свои исследовательские работы в виде рефератов, сообщений, презентаций.


Тема 5. Графический метод решения систем нелинейных уравнений.


На занятиях нужно повторить графики основных функций: линейной, квадратичной, обратной пропорциональности, уравнений окружности и эллипса, рассмотреть примеры наглядной иллюстрации аналитического решения систем нелинейных уравнений. Можно воспользоваться средствами мультимедийной презентации для демонстрации графического метода решения систем нелинейных уравнений. В завершении этой темы целесообразно провести семинар, где рассмотреть и оценить творческие задания, выполненные учащимися.


Тема 6. Метод почленного умножения и деления уравнений системы.


На занятиях по этой теме необходимо рассмотреть примеры решения систем нелинейных уравнений методом почленного умножения и деления уравнений системы. Учащиеся должны применять изученные ранее способы разложения многочленов на множители, свойства степеней, формулы сокращенного умножения. Последний урок лучше проводить в виде семинара, на котором рассматриваются и оцениваются исследовательские задания, выполненные учащимися.


Тема 6. Применение систем нелинейных уравнений при моделировании текстовых задач и задач на прогрессии.


На этих уроках подчеркивается прикладная направленность систем нелинейных уравнений. Учащиеся учатся пользоваться приобретенными знаниями для решения познавательных и практических задач. На практических занятиях применяются различные формы работы: индивидуальная работа, работа в парах, работа в группах. Необходимо организовать самостоятельную работу учащихся с учебной литературой, дополнительными источниками информации.


Тема 7. Решение систем уравнений различными методами.


Этот урок зачетный, на нем учащиеся представляют исследовательские проекты, доклады, творческие работы. Урок проводится в виде семинара. Учащиеся должны понимать, какой метод рациональнее применить к данной системе уравнений, уметь решать системы нелинейных уравнений различными методами.







Занятие 1.

Системы уравнений. Равносильные системы уравнений.


Цели: познакомить с понятиями системы нелинейных уравнений, утверждениями о равносильности систем уравнений; формировать умение классифицировать системы уравнений по количеству решений; развивать логическое мышление, активизировать работу в парах.


Пусть заданы два уравнения F1(х, у) = 0 и F2 (х, у) = 0. Будем считать, что первое из этих уравнений задает на плоскости переменных линию Г1, а второе – линию Г2 .Чтобы найти точки пересечения этих линий, надо найти все пары чисел (а, b), такие, что при замене в данных уравнениях неизвестной х на число а и неизвестной у на число в получаются верные числовые равенства. Если поставлена задача об отыскании всех таких пар чисел, то говорят, что задана система уравнений, и записывают эту систему с помощью фигурной скобки в следующем виде:

hello_html_3e17535f.gif



Решить систему уравнений - значит найти все пары чисел (х, у), каждая из которых является решением каждого из уравнений, входящих в систему, или доказать, что таких пар чисел не существует.

Системы уравнений, не имеющие решений, называются несовместными.


Пример 1. Доказать, что система уравнений:

hello_html_m8053905.gifнесовместна.


Решение:


Из первых двух уравнений этой системы находим, что х = 4, у = 2. При подстановке найденных значений в третье уравнение получаем неверное равенство 42 + 22 = 16 + 4 = 20 = 10. Следовательно, исходная система несовместна. Геометрический смысл полученного результата состоит в том, что окружность х2 + у2 = 10 не проходит через точку. А(4;2) пересечения прямых

х - у = 2 и х + у = 6.




Равносильные системы уравнений.


Определение:

Две системы уравнений hello_html_685ff711.gif и hello_html_m77d4ecff.gif называются равносильными, если любая пара чисел (а, b), удовлетворяющая первой системе, удовлетворяет и второй, а любая пара чисел, удовлетворяющая второй системе, удовлетворяет первой (иначе говоря, системы уравнений равносильны, если множества их решений совпадают).

В частности, если обе системы несовместны, то их также считают равносильными.

При решении систем уравнений их заменяют более простыми, равносильными им системами.



Утверждения о равносильности систем уравнений:


  1. Если изменить порядок уравнений системы, то полученная система будет равносильна первоначальной.

  2. Если одно из уравнений системы заменить на равносильное ему уравнение, то полученная система уравнений будет равносильна данной системе.

  3. Если какое-либо уравнение системы заменить уравнением, равным сумме первого уравнения, умноженного на некоторое отличное от нуля число, то полученная система уравнений будет равносильна данной.

  4. Если неизвестное х выражено из первого уравнения системы, то подставив во второе уравнение системы вместо х эту функцию от у, получим систему, равносильную данной.


Упражнения для работы в парах:


Задание № 1.


Являются ли равносильными следующие системы уравнений:

а) hello_html_7249f5d.gif и hello_html_11d309a0.gif



б) hello_html_4a97bbd9.gif и hello_html_4673432d.gif


Задание № 2.


Какой совокупности систем равносильна система:

hello_html_6053e29.gif


Задание № 3.


Докажите, что система hello_html_m5f371f2f.gif равносильна совокупности систем


hello_html_m490c772e.gifи hello_html_m20c7b716.gif

Занятие 2.

Метод подстановки.


Цели: ввести алгоритм решения систем методом подстановки; формировать умение решать системы нелинейных уравнений методом подстановки; развивать навыки работы в парах, умение анализировать и проводить аналогию.


Метод подстановки основан на том, что если из одного уравнения системы выразить одну переменную через другую и подставить полученное выражение во второе уравнение, то системы


hello_html_79cbc9ee.gifи hello_html_m56fdbd19.gifравносильны. Решение последней системы сводится к решению уравнения F(х, f(х)) = 0 с одной переменной х. Подставляя затем найденные х в уравнение у = f(х), находим соответствующие значения у.

Этот метод особенно удобен, если в одно из уравнений системы какая-нибудь переменная входит в первой степени.


Пример 1.


Решить систему уравнений: hello_html_m27dc43b3.gif


Решение:


Из первого уравнения находим у = hello_html_m3bf94547.gif 0, так как в противном случае первое уравнение не обращается в верное равенство ни при каких значениях у и система не имеет решений). Подставляя это выражение для у во второе уравнение данной системы, получаем систему, равносильную исходной: hello_html_m4cfb6722.gif


Умножив второе уравнение полученной системы на х2, получим биквадратное уравнение

х4 - 5х2 + 4 = 0,

корнями которого являются х1 = 1, х2 = -1, х3 = 2, х4 = -2. Им соответствуют значения у1 = 2, у2 = -2, у3 = 1, у4 = -1.Следовательно, решением данной системы является множество пар чисел hello_html_21fed30a.gif(1;2),(-1;-2), (2;1),(-2;-1)}.

Ответ: {(1;2),(-1;-2), (2;1),(-2;-1)}.


Упражнения для работы в парах:


Решите систему уравнений:

1. hello_html_376b7240.gif . Ответ: (1; 1), (2; 0).


2. hello_html_738e56fe.gif Ответ: (3; 2), (2; 3).


3. hello_html_m2e701ae6.gif Ответ: (5; 1), (-1; -5).


4. hello_html_m39f87c9a.gif . Ответ: (0; 0), (2; 2), (-2; -2).


5. hello_html_43f257cc.gif . Ответ: (0; 1), (0; -1), (-0,5; 0).


Занятие 3,4.

Метод алгебраического сложения.


Цели: ввести алгоритм решения систем методом алгебраического сложения; формировать умение использовать пропорциональность коэффициентов при подобных слагаемых, решать системы нелинейных уравнений методом алгебраического сложения; развивать коммуникативные навыки работы в группе, умения анализировать и обобщать.


Метод алгебраического сложения уравнений основан на том, что если к обеим частям одного из уравнений системы прибавить соответствующие части другого уравнения, умноженные на одно и то же число, а другое уравнение оставить без изменения, то получим систему, равносильную данной, то есть системы

hello_html_m50f212e3.gifи hello_html_m3cd85113.gif равносильны.


Обычно с помощью этого метода получают систему, к которой затем применяют метод подстановки.


Пример 1.


Решить систему уравнений:

hello_html_m1ddd2ea0.gif


Решение:


Заметим, что коэффициенты при квадратах неизвестных в уравнениях исходной системы пропорциональны. Преобразуем уравнения так, чтобы эти коэффициенты были одинаковы, для этого умножим первое уравнение на 3, второе на 2. Получим систему, равносильную исходной

hello_html_52aacc70.gif


Вычитая из первого уравнения полученной системы второе, найдем у + 3х =5, откуда у = 5 - 3х.


Подставляя найденное выражение у через х, например, в первое уравнение исходной системы, получим уравнение


2 + 2(5 - 3х)2 - 3х + 5(5 - 3х) = 3,


откуда, после несложных преобразований, определим значения х1 = 2 и х2 = hello_html_m713a2a17.gif.



Тогда у1= 5 – 3 . 2 = -1 и у2 = 5 – 3 . hello_html_m713a2a17.gif = - hello_html_241beab6.gif.


Ответ: (2; -1), (hello_html_m713a2a17.gif; - hello_html_241beab6.gif).



Упражнения для практической работы:

Решите систему уравнений:

1. hello_html_m5c97f1e7.gif Ответ: (1; 2), (2; 1), (-2; -1), (-1; -2).


2. hello_html_m245753d8.gif Ответ: (2; 1), (2; -1),(-2; -1), (-2; 1).


3. hello_html_1ba68c98.gif Ответ: (1; 2), (1; 0,5).



4. hello_html_m50545459.gif Ответ: (2; 3), (3; 2).


5. hello_html_m4943dc71.gif Ответ: (5 hello_html_m36741a0.gif;hello_html_m36741a0.gif), (-5 hello_html_m36741a0.gif;-hello_html_m36741a0.gif).


Задания для групповой деятельности:



6. hello_html_1b3d9023.gif Ответ: (1; 4), (-1; -4), (-5; 4), (5; -4).


7. hello_html_2baea8ea.gif Ответ: (-1; 1), (х; hello_html_42567408.gif), где х € R.





Занятие 5,6.

Метод разложения на множители.


Цели: ввести алгоритм решения систем методом разложения на множители, повторить способы разложения многочленов на множители; формировать умение решать системы нелинейных уравнений методом разложения на множители; развивать навыки рефлексии, самооценки учебно-познавательной деятельности.


Нередко для понижения степени уравнений входящих в систему, используется метод разложения одного из уравнений на множители и замена исходной системы уравнений равносильной ей совокупностью более простых систем уравнений. Метод разложения на множители основывается на том, что если выражения hello_html_m415ce429.gif и hello_html_15cb69d7.gifопределены для всех значений переменных hello_html_m5547f17b.gifи hello_html_m11fb3721.gif, то система hello_html_m47fe71af.gif


равносильна совокупности систем



hello_html_3d4c9738.gifи hello_html_m771b3dbb.gif





Пример 1.


Решить систему уравнений:

hello_html_2b660398.gif


Решение:


Пользуясь тождеством х3 – у3 - 3(х - у) = (х -у)(х2 + ху + у2) - 3(х - у) = (х - у)(х2 +ху + у2 - 3) можно представить первое уравнение системы как произведение двух сомножителей. Поскольку произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой существует, то исходную систему можно преобразовать к равносильной ей совокупности двух систем:

hello_html_m129adc2b.gifи


hello_html_767e4c64.gif


Решим первую систему совокупности. Из первого уравнения находим х = у, а подстановка этого результата во второе уравнение первой системы дает 5у2 = 10, откуда получаем у1,2 = ± hello_html_1caef8ee.gif. Таким образом, решениями первой системы совокупности являются пары чисел

(hello_html_1caef8ee.gif; hello_html_1caef8ee.gif) и (-hello_html_1caef8ee.gif; - hello_html_1caef8ee.gif).

Для решения второй системы совокупности умножим первое уравнение этой системы на 2 и вычтем из него второе уравнение. Получим уравнение ху = -4. Отсюда находим у = -hello_html_m5d3c59a8.gif , и подставляя это выражение во второе уравнение второй системы, приходим к уравнению х2 – 7 + hello_html_m39e5e3e.gif = 0. Данное уравнение приводится к биквадратному уравнению х4 - 7х2 + 16 = 0, которое не имеет решений. Таким образом, вторая система уравнений совокупности решений не имеет, и решением совокупности являются лишь решения первой системы.


Ответ: (hello_html_1caef8ee.gif; hello_html_1caef8ee.gif) , (-hello_html_1caef8ee.gif; - hello_html_1caef8ee.gif).


Пример 2.


Решить систему уравнений:

hello_html_5322ee4d.gif(Проблема!)


  • Какое из двух уравнений системы можно разложить на множители?


  • Как разложить на множители многочлен х2 + 3ху + 2у2?


Решение:


Рассмотрим многочлен х2 + 3ху + 2у2 . Приравняем его к нулю и решим полученное уравнение

х2 + 3ху + 2у2 = 0 как квадратное относительно х. Получим, что должно выполнятся одно из следующих двух равенств: х1 = -у; х2 = -2у, то есть этот многочлен можно разложить на множители


х2 + 3ху + 2у2 = (х + у)(х + 2у). Тогда второе уравнение исходной системы примет вид х2 + 3ху + 2у2 + 2х + 4у = (х + у)(х + 2у) + 2(х + 2у) = (х + 2у)(х + у + 2) = 0. Исходная система равносильна совокупности двух систем

hello_html_m46ca83de.gifи


hello_html_b3e482e.gif


Решая эти системы методом подстановки, получим решение (0; 0), (2; -1), (-hello_html_m68002b8a.gif; - hello_html_m6a19cb80.gif).

hello_html_m53d4ecad.gif Ответ: (0; 0), (2; -1), (-hello_html_m68002b8a.gif; - hello_html_m6a19cb80.gif).



Упражнения для практической работы:



1. hello_html_m30c14dda.gif Ответ: (hello_html_m686f0007.gif), (-hello_html_5d9200d4.gif), (hello_html_m59c8c0fc.gif; hello_html_m59c8c0fc.gif), (-hello_html_m59c8c0fc.gif; -hello_html_m59c8c0fc.gif).


2. hello_html_m12518964.gif Ответ: (hello_html_m59c8c0fc.gif; hello_html_m59c8c0fc.gif), (-hello_html_m59c8c0fc.gif; - hello_html_m59c8c0fc.gif), (3; -1), (-1; 3).


3. hello_html_m1a33b193.gif Ответ: (0; 0), (0; 3), (3; 3).


4.hello_html_m14f716dd.gif Указание: hello_html_9350a40.gif Вычитая из первого уравнения второе, получим hello_html_m8a6c943.gifили hello_html_fec0727.gif

Ответ: (2; 2), (-3; -3), (hello_html_150ec725.gif;hello_html_257059ed.gif), (hello_html_257059ed.gif;hello_html_6760ed4.gif).


5. hello_html_m33f6be1a.gif Указание: Рассмотрите разность уравнений системы и, записав полученное уравнение в виде (hello_html_668dd112.gif)2 - (hello_html_m7d290e7f.gif)2 =0 разложите левую часть на множители.

Ответ: (2; 1), (-4; -5), (0; 3).


6. hello_html_558d1b8.gif Ответ: (hello_html_474af344.gif), (3; 1), (-1; -3).


7. hello_html_20b12c22.gif Указание: Имеем, hello_html_1aaf5c96.gif Замечаем, что hello_html_m5b608197.gif тогда уравнение можно записать в виде (hello_html_m75a77c5f.gif)((hello_html_m7d36df78.gif)2 + 3 hello_html_m7d36df78.gif+ 7) = 0. Ответ: (2; 1).



Занятие 7,8.

Метод замены переменных.


Цели: ввести определения симметрических и однородных систем уравнений, алгоритм решения систем методом замены; формировать умение выявить подходящую замену с помощью преобразований многочленов, решать системы уравнений методом замены переменных; развивать навыки

исследовательской деятельности.



Для решения систем уравнений часто применяется метод замены переменных, когда некоторые выражения от исходных переменных принимаются за новые переменные, в результате чего получается более простая система уравнений относительно этих переменных. После того, как эта система решена, надо по найденным значениям выбранных нами выражений найти значения исходных переменных.

Общего правила выбора новых переменных не существует. Имеется два вида систем, для которых можно указать подходящую замену:

  1. система симметрических уравнений;

  2. система уравнений, одно из которых однородно.


Рассмотрим симметрические системы. Напомним, что многочлен называется симметрическим, если при любой перестановке входящих в него переменных получается тождественно равный ему многочлен. Если оба уравнения системы являются симметрическими многочленами х и у, полезно за новые переменные принять следующие: u = х + у, v = ху. Отметим еще одну очевидную особенность симметрических систем: если пара чисел (х0; у0) является решением симметрической системы, то и пара (у0; х0) является решением этой системы.


Могут быть полезны следующие тождества:


  • х2 + у2 = (х + у)2 - 2ху = u2 – 2v;

  • х3 + у3 = (х + у)(х2 – ху + у2) = u(u2 – 3v);

  • х4 + у4 = (х2 + у2)2 - 2х2у2 = (u2 – 2v)2 – 2v2.


Эти выражения не обязательно помнить, но нужно уметь выводить их самостоятельно.


Пример 1.


Решить систему уравнений:

hello_html_m753d589f.gif


Решение:


Легко видеть, что при замене х на у, а у на х система не изменяет своего вида. Следовательно, данная система – симметрическая. Введем новые переменные u = х + у, v = ху, и выразим через них левые части уравнений


х2 + ху + у2 = (х + у)2 – ху = u2 - v;

х + ху + у = u + v.


Исходная система сведена к следующей


hello_html_m52fabcf6.gif(I)


Сложив уравнения этой системы друг с другом, получаем квадратное уравнение


u2 + u – 30 = 0.


Из него следует, что u1 = 5 и u2 = - 6. Так как v = 9 – u, то v1 = 4 и v2 = 15. Таким образом, получены две пары (5; 4) и (-6; 15), удовлетворяющие системе уравнений (I). Переходя теперь к исходным переменным, заключаем, что исходная система уравнений свелась к совокупности двух систем


hello_html_a433cbd.gifи hello_html_m24b8d4db.gif


Решая первую из полученных систем (например, методом подстановки), находим

х1 = 1, у1 = 4, х2 = 4, у2 = 1.


Вторая система решений не имеет, а потому решениями совокупности являются только решения первой системы.


Ответ: (1; 4), (4; 1).


Пример 2.


Решить систему уравнений:


hello_html_m4a40ae71.gif



Решение:


После замены u = х + у, v = ху, получаем систему hello_html_m734896bd.gif


Решив эту систему методом подстановки, найдем u1 = 0, u2 = -1, u3 = 9.


Получаем три системы уравнений:

hello_html_599a3409.gif


hello_html_422afd88.gif


hello_html_ma85343d.gif


Решив эти системы получим решения: (0; 0), (-2; 1), (1; -2), (3; 6), (6; 3).


Ответ: (0; 0), (-2; 1), (1; -2), (3; 6), (6; 3).




Теперь обратимся к системам, в которых одно из уравнений однородно или в которых можно выделить однородное уравнение второй степени вида ах2 + bх + с = 0. Многочлен от двух переменных hello_html_m5547f17b.gif и hello_html_m11fb3721.gifтакой, что степень каждого его члена равна одному и тому же числу hello_html_m5faf1d98.gif, называется однородным многочленом степени hello_html_m5faf1d98.gif.

Уравнение hello_html_503546ae.gif=0 называется однородным уравнением степени hello_html_m5faf1d98.gifотносительно hello_html_m5547f17b.gif и hello_html_m11fb3721.gif, если hello_html_503546ae.gif- однородный многочлен степени hello_html_m5faf1d98.gif. Однородное уравнение относительно hello_html_m5547f17b.gif и hello_html_m11fb3721.gifделением на hello_html_m5284ed95.gif превращается в уравнение относительно неизвестного hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m7d36df78.gif. Это свойство однородного уравнения помогает решать многие задачи.


Пример 3.


Решить систему уравнений:


hello_html_e6ab5a.gif



Решение:


Среди уравнений этой системы однородного уравнения не содержится. Однако тот факт, что система содержит члены х2 , у2 и ху позволяет предположить, что однородное уравнение можно получить путем алгебраического сложения первого и второго уравнений. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе уравнение на 17 и сложим получившиеся при этом уравнения. Приходим к однородному уравнению 20х2 – 34 ху + 6у2 = 0.

Разделив это уравнение на 2у2 ( у ≠ 0, поскольку при у = 0 система не имеет решений), получим квадратное уравнение относительно t = hello_html_m7d36df78.gif


10 t2 – 17 t + 3 = 0, решая которое, найдем t1 = hello_html_63234fa9.gif и t2 = hello_html_615a29fb.gif.

Таким образом, исходная система равносильна совокупности двух систем:


hello_html_3c0c7db7.gif


hello_html_2eb455a4.gif



откуда получаем решение: (- hello_html_1b9e5cff.gif; - hello_html_m7459d61a.gif), ( hello_html_1b9e5cff.gif; hello_html_m7459d61a.gif), (-3; -2), (3; 2).


Ответ: (- hello_html_1b9e5cff.gif; - hello_html_m7459d61a.gif), ( hello_html_1b9e5cff.gif; hello_html_m7459d61a.gif), (-3; -2), (3; 2).


Мы получили решения системы путем выведения из заданных уравнений вспомогательного следствия. Такой способ решения систем в некоторых случаях приводит к появлению «посторонних» корней – значений hello_html_m5547f17b.gif и hello_html_m11fb3721.gif, не удовлетворяющих исходной системе. Поэтому найденные корни надо проверить, подставив их в исходную систему и убедившись, что уравнения системы обращаются в верные числовые равенства.


Упражнения для практической работы:


Решите симметрические системы уравнений:


1. hello_html_m7b49a14c.gif Ответ: (6; 7), (7; 6), (-5 + hello_html_bf8cd8c.gif; -5 - hello_html_bf8cd8c.gif;), (-5 - hello_html_bf8cd8c.gif; -5 + hello_html_bf8cd8c.gif).


2. hello_html_m5b5a8219.gif Ответ: (-1; -1).


3. hello_html_me7ce098.gif Ответ: (-1 + hello_html_bf8cd8c.gif; -1 + hello_html_bf8cd8c.gif), : (-1 - hello_html_bf8cd8c.gif; -1 - hello_html_bf8cd8c.gif), (2; 1), (1; 2).


4. hello_html_m4590f4d7.gif Ответ: (1; -2), (-2; 1).


5. hello_html_m64def82a.gif Ответ: (3; 4), (4; 3), (11+ 2hello_html_51e6083c.gif; 11- 2hello_html_51e6083c.gif), (11- 2hello_html_51e6083c.gif; 11+ 2hello_html_51e6083c.gif).



Решите однородные системы уравнений и приводящиеся к ним системы:


1. hello_html_5c0262f7.gif . Ответ: (1; 3), (-1; -3).


2. hello_html_m223f3555.gif Ответ: (2; 1), (-2; -1), (hello_html_402176f2.gif; - hello_html_m4506170b.gif), (-hello_html_402176f2.gif; hello_html_m4506170b.gif).


3. hello_html_1dc49b49.gif Ответ: (-1; 1), (1; -1).


4. hello_html_m3c0be911.gif Ответ: (0; 1), (0; -1), (1; 1), (-1; -1).


5. hello_html_67f570e8.gif Ответ: ( 0; 0), (1; 1), (1,6; - 3,2).




Задания для исследовательской деятельности:



Иногда в системах уравнений некоторые коэффициенты или числа заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами. Такие буквы называются параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения, то есть система уравнений с параметрами задает множество систем уравнений для всех возможных значений параметров.


Решить систему уравнений с параметрами означает следующее:


  1. Исследовать, при каких значениях параметров система уравнений имеет решение и сколько решений при разных значениях параметров;

  2. Найти все выражения для решений системы уравнений и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет решение системы уравнений.


Ответ к задаче «решить систему уравнений с параметрами» должен выглядеть следующим образом: система уравнений при таких-то значениях параметров имеет единственное решение…, при таких-то значениях параметров – имеет два решения…, при остальных значениях параметров система уравнений решений не имеет.


При каком значении параметра а система уравнений имеет единственное решение. Найдите это решение:


1.hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_6a34dc35.gif Ответ: а = 6, (3; 3); а = -6, (-3; -3).


2. hello_html_m306e4279.gif Ответ: а = 2, (1; 1); а = -2, (-1; -1).



При каких значениях параметра а система уравнений имеет два решения:


1. hello_html_m4ce67282.gif . Ответ: а = 2,5.


2. hello_html_m5a35770.gif . Ответ: а = 0,75.

























Занятие 9,10.

Графический метод решения систем нелинейных уравнений.


Цели: ввести понятие геометрической интерпретации решения систем нелинейных уравнений, повторить графики элементарных функций; формировать умение решать системы нелинейных уравнений графическим методом; развивать чертежные навыки, активизировать творческую деятельность.


Решение системы нелинейных уравнений геометрически истолковывается как определение координат точек пересечения линий, задаваемых уравнениями системы. Этим обстоятельством можно воспользоваться для наглядной иллюстрации аналитического решения, а в случае, когда аналитическое решение затруднено, и для приближенного решения систем уравнений.


Пhello_html_m2b5f9b17.jpgример 1.


Решить систему уравнений:



hello_html_m35e053cc.gif


hello_html_m53d4ecad.gif


Решение:


Уравнение у = х2 + 5х задает на плоскости переменных x, у параболу с осью, параллельной оси ординат, а уравнение х = у2 + 5у задает параболу с осью, параллельной оси абсцисс. Эти две параболы изображены на рисунке. Имеем четыре точки пересечения О, А, В, С, а потому решение имеет вид (0; 0), (-4; -4), (≈ -4,7; ≈ -1,3), (≈ - 1,3; ≈ - 4,7). Решения, получаемые графическим методом, являются лишь приближенными. Для нахождения точных координат точек В и С вычтем из первого уравнения исходной системы второе и, после преобразований, получим решения: (0; 0), (-4; -4), (-3 - hello_html_m980c3de.gif; -3 + hello_html_m980c3de.gif); (-3 + hello_html_m980c3de.gif; -3 - hello_html_m980c3de.gif).

Ответ: (0; 0), (-4; -4), (-3 - hello_html_m980c3de.gif; -3 + hello_html_m980c3de.gif); (-3 + hello_html_m980c3de.gif; -3 - hello_html_m980c3de.gif).




Упражнения для практической работы:

hello_html_1f8d1e51.jpg

Решите графически систему уравнений:


1. hello_html_m483365cb.gif Ответ: (4; 1), (1; 4).




hello_html_m4ac09d1b.jpg

2. hello_html_66ade36f.gif Ответ: (4; 9).



hello_html_1eb54c1e.png3. hello_html_77a8ac24.gif Ответ: (3; 1).


hello_html_m283cd0a8.jpg


4. hello_html_m5ef77fa2.gif Ответ: (1; 4), (3; 4).

hello_html_763b3aa4.jpg


5. hello_html_1a735217.gif Ответ: (1; 0), (-1; 3).


Задания для творческих работ:


  1. Сколько решений в зависимости от а имеет система уравнений:

hello_html_35792cdb.gifОтвет: Нет решений при а < -3hello_html_1caef8ee.gif, а > 3; одно решение при а = 3; два решения при –3 < а < 3, а = -3hello_html_1caef8ee.gif.


  1. При каких значениях параметра а система уравнений имеет три решения? Найдите эти решения:

hello_html_m2eb9e3b1.gifОтвет: а = -2, (0; -2), (hello_html_m980c3de.gif; 1), (-hello_html_m980c3de.gif; 1).


3. Найдите все значения параметра а, при которых окружности hello_html_2d4a9fec.gif и hello_html_m7f5dc46e.gif

касаются.

Ответ: а = ± 1, а = ± 3.


  1. Прямая hello_html_16b17848.gif проходит через центр окружности hello_html_54d1aa6.gif Найдите координаты точек пересечения прямой и окружности.

Ответ: (2;3), (0; -7).




Занятие 11,12.


Решение задач с помощью систем нелинейных уравнений.


Цели: Использовать полученные ранее знания при решении текстовых задач, показывать прикладную направленность математики; формировать умение математического моделирования текстовых задач; развивать навыки работы в группе, навыки владения приемами составления систем нелинейных уравнений в нестандартных ситуациях.


Текстовые задачи, как правило, решают по следующей схеме: выбирают неизвестные; составляют уравнение или систему уравнений, а в некоторых задачах – неравенство или систему неравенств; решают полученную систему (иногда достаточно найти из системы какую – то комбинацию неизвестных, а не решать ее в обычном смысле). Приведем примеры решения задач на составление систем уравнений.




Пример 1.


Два поезда отправляются навстречу друг другу из городов А и В. Если поезд из города А отправится на 1,5 ч раньше, чем поезд из города В, то они встретятся на середине пути. Если оба поезда выйдут одновременно, то через 6 ч они еще не встретятся, а расстояние между ними со-

ставит десятую часть первоначального. За сколько часов может проехать каждый поезд расстояние между А и В.


Решение:


Пусть расстояние между городами А и В равно S км, скорость поезда, отправляющегося из города А, равна x км/ч, скорость поезда, отправляющегося из города В, равна у км/ч. Тогда hello_html_m1bf820b5.gif ч – время, за которое преодолевает половину пути первый поезд (отправляющийся из города А), hello_html_3a6d445b.gifч – время, за которое проходит половину пути второй поезд. Из условия задачи заключаем, что hello_html_m69fea318.gif. Кроме того, (6hello_html_78501ee2.gif) км – расстояние, которое преодолели бы оба поезда за 6 ч, если бы выехали одновременно, - равно 0,9S км. Таким образом, получаем систему уравнений: hello_html_m7e4567d6.gif

Решим эту систему методом подстановки.

Количество уравнений в системе меньше количества неизвестных, но в задаче требуется найти время, за которое каждый из поездов преодолевает расстояние S км, т. е. фактически требуется найти hello_html_4e910bb.gif и hello_html_72c896aa.gif. Тогда первое уравнение системы примет вид hello_html_m18693603.gif, а второе уравнение системы после деления обеих частей на 3S преобразуется к виду hello_html_m739aad3b.gif. Решая систему уравнений относительно t1 и t2, находим t1 = 12, t2 = 15.


Ответ: 12 ч, 15 ч.



Пример 1.


Две бригады рабочих начали работу в 8 часов. Сделав вместе 72 детали, они стали работать раздельно. В 15 часов выяснилось, что за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая. На другой день первая бригада делала за 1 час на одну деталь больше, а вторая бригада за 1 час на одну деталь меньше. Работу бригады начали вместе в 8 ч и, сделав 72 детали, снова стали работать раздельно. Теперь за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая, уже к 13 ч. Сколько деталей в час делала каждая бригада?


Решение:


Пусть первая бригада изготовляла х деталей в час, а вторая бригада у деталей в час. Тогда 72 детали бригады изготовили вместе за hello_html_7605db65.gif часа, значит, в первый день они работали раздельно (7 - hello_html_7605db65.gif) ч. За время раздельной работы первая бригада изготовила ( 7 - hello_html_7605db65.gif) hello_html_m5547f17b.gif деталей, а вторая - ( 7 - hello_html_7605db65.gif) hello_html_m11fb3721.gif деталей. Из условия задачи заключаем:


( 7 - hello_html_7605db65.gif) hello_html_m5547f17b.gif - ( 7 - hello_html_7605db65.gif) hello_html_m11fb3721.gif = 8 (I)


Во второй день первая бригада изготовляла (hello_html_m1089999d.gif) деталей в час, а вторая - (hello_html_450361f1.gif) деталей в час. Значит, 72 детали бригады изготовили вместе за hello_html_7605db65.gifчаса, таким образом, во второй день бригады работали раздельно (5 - hello_html_7605db65.gif) часов и изготовили за это время (5 - hello_html_7605db65.gif)(hello_html_m1089999d.gif) деталей – первая бригада и (5 - hello_html_7605db65.gif)(hello_html_450361f1.gif) деталей – вторая. Из условия задачи заключаем, что


(5 - hello_html_7605db65.gif)(hello_html_m1089999d.gif) - (5 - hello_html_7605db65.gif)(hello_html_450361f1.gif) = 8 (II)


Итак, условия (I) и (II) дают систему уравнений:


hello_html_1a8f9625.gif


Решим эту систему методом подстановки. Положим hello_html_m5f8df842.gif, тогда


hello_html_m3aa100f4.gif


Выразим из первого уравнения переменную hello_html_mcbbf10b.gifи подставим во второе уравнение системы:


hello_html_55a00ea6.gif

Второе уравнение последней системы приводится к виду hello_html_3910068a.gif, откуда hello_html_m52bd0252.gif Теперь находим соответствующие значения hello_html_mcbbf10b.gif: hello_html_m141af6a2.gif, hello_html_27aca88a.gif (не удовлетворяет условию задачи hello_html_m5547f17b.gif hello_html_m11fb3721.gif). Следовательно, для определения hello_html_m5547f17b.gif и hello_html_m11fb3721.gif имеем систему уравнений hello_html_m348f4149.gif Откуда hello_html_m23a274ac.gif, hello_html_2d2baf2b.gif.


Ответ: 13 деталей в час изготовляла первая бригада, 11 деталей в час изготовляла вторая бригада.


Упражнения для практической работы:


Решите задачи, составив систему двух уравнений:


  1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 3hello_html_m59c8c0fc.gifм. Найдите катеты, если известно, что после того, как один из них увеличить на 133hello_html_m19e8bb17.gif%, а другой – на 16hello_html_42567408.gif%, сумма их длин станет равной 14 м.


Указание:


п/п

Первоначальная длина катетов.

Длина катетов после увеличения.

Сумма катетов.

1.

hello_html_m5547f17b.gifм

hello_html_16769788.gifм




14 м

2.

hello_html_m11fb3721.gifм

hello_html_m51b80528.gifм



hello_html_119ef091.gif


Ответ: 3 м, 6 м.


  1. Двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр, а квадрат этой суммы в 2,25 раза больше самого числа. Найдите это число.


Указание:


Пусть hello_html_m5547f17b.gifчисло десятков, а hello_html_m11fb3721.gif число единиц.

hello_html_m6dae95a4.gif


Ответ: 36.


Задания для групповой деятельности:



  1. Каждый из рабочих должен был изготовить 36 одинаковых деталей. Первый рабочий приступил к выполнению своего задания на 4 мин позже второго, но hello_html_m19e8bb17.gifзадания они выполнили одновременно. Полностью выполнив свое задание, первый рабочий после двухминутного перерыва снова приступил к работе и к моменту выполнения задания вторым рабочим изготовил еще две детали. Сколько деталей в час изготавливал каждый рабочий?


Указание:


Пусть hello_html_m5547f17b.gif, hello_html_m11fb3721.gifдеталей в час изготавливают соответственно I и II рабочий. 4 мин = hello_html_2fb7bb17.gif ч.


hello_html_mb69bc4d.gif


Ответ: 20 и 18 деталей в час.


  1. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 20 км, выехал велосипедист, а через 15 минут вслед за ним со скоростью 15 км/ч отправился другой велосипедист, который, догнав первого, повернул назад и возвратился в А за 45 минут до прибытия первого велосипедиста в В. Найдите скорость первого велосипедиста.


Указание:


Пусть hello_html_m5547f17b.gifкм/ч – скорость I велосипедиста, hello_html_m11fb3721.gif км – расстояние от А до встречи со II велосипедистом. Тогда составим систему уравнений:


hello_html_m247fe9d9.gif


Ответ: 10 км/ч.


  1. После деления некоторого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7 и в остатке 6. После деления этого же двузначного числа на произведение его цифр в частном получается 3 и в остатке 11. Найдите это двузначное число.



Указание:


Пусть hello_html_m5547f17b.gif- число десятков, hello_html_m11fb3721.gif- число единиц.


hello_html_439ee8a9.gif


Ответ: 83.




Занятие 13,14.

Метод почленного умножения и деления уравнений системы.


Цели: формировать умения решать системы нелинейных уравнений методом почленного умножения и деления уравнений системы; формировать исследовательскую культуру учащихся; развивать умения выявления проблем.


Решая системы уравнений, обычно заменяют данную систему другой, равносильной исходной, которую решать проще. При этом если левые и правые части уравнений системы можно разложить на множители, применяют метод почленного умножения и деления уравнений системы, основанной на утверждении о равносильности систем уравнений: если одно из уравнений системы заменить частным (произведением) каких либо двух уравнений данной системы, то получим систему, равносильную исходной.


Пример 1.


Решите систему уравнений: hello_html_m15be72d1.gif


Решение:


hello_html_m691f0e60.gifhello_html_m56a1dff1.gifhello_html_m3a5741a6.gifДалее система распадается на совокупность двух систем, hello_html_5f5ae333.gif и hello_html_33b6dc99.gif решая которые методом подстановки,


получим решение (2; 1), (-2; -1).


Ответ: (2; 1), (-2; -1).


Пример 2.


Решите систему уравнений: hello_html_m2f0e5368.gif



Решение:



hello_html_m5895e966.gifhello_html_m27c7ff0b.gifhello_html_5d772b75.gif


hello_html_m1d0d1116.gifhello_html_m161f8f0d.gifhello_html_m1acd9545.gif


Далее решая систему методом подстановки, получим решение: (1; 1), (7; -2).


Ответ: (1; 1), (7; -2).



Упражнения для практической работы:


Решите системы уравнений:


1. hello_html_m6a84a81d.gif 2. hello_html_m36de0a42.gif


Ответ: (1; 2), (-1; -2), (-1; 2), (1; -2). Ответ: (2; 1).


3. hello_html_3082d4cd.gif 4. hello_html_3aeb1589.gif

Ответ: (3; 2). Ответ: (2; 1).


5. hello_html_4799e95.gif 6. hello_html_2305e214.gif

Ответ: (2; 1), (1; 2). Ответ: (1; 1), (-1; -1), (1; -1), (-1; 1).



7. hello_html_m6cc665a3.gif 8. hello_html_282f3294.gif

Ответ: (2; 1), (-4; -2). Ответ: (3; 1), (1; 3), (-3; -1), (-1; -3).

Указание: используйте равенство


hello_html_e6a0f76.gif



Задания для исследовательской деятельности:


Решите системы уравнений:


1.hello_html_m360bd4a6.gif Ответ: (2; 1).

Указание. Преобразуйте систему к виду hello_html_31a6c68a.gif и почленно разделите одно уравнение на другое.


2. hello_html_6ba42b74.gif Ответ: (1; 2), (-1; -2), (2hello_html_1caef8ee.gif; hello_html_755ba318.gif), (-2hello_html_1caef8ee.gif; - hello_html_755ba318.gif).

Указание. Используйте равенство hello_html_5359014d.gif


.


Занятие 15,16.

Решение задач на прогрессии.


Цели: формировать умения математического моделирования задач на прогрессии, применять изученные методы решения систем уравнений в практических целях; развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации.


Системы нелинейных уравнений очень часто применяются при решении задач на прогрессии. Арифметической прогрессией называется такая последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называемым разностью прогрессии. Таким образом, если числа а1, а2,…, аn, … образуют арифметическую прогрессию, то справедливы следующие формулы:


1) hello_html_m69be9c38.gif- формула n-го члена арифметической прогрессии;

2) hello_html_53a2f7c6.gif - характеристическое свойство членов арифметической прогрессии;

3) hello_html_491aab40.gif - формула суммы n первых членов;


Геометрической прогрессией называется такая последовательность чисел, в которой первый член отличен от нуля, а каждый из последующих равен предыдущему, умноженному на постоянное, отличное от нуля число, которое называется знаменателем прогрессии. Таким образом, если положительные числа b1, b2, …, bn, … образуют геометрическую прогрессию, то справедливы следующие формулы:


  1. bn = b1.qn – 1 - формула n-го члена геометрической прогрессии;


2) hello_html_fe94482.gif - характеристическое свойство членов геометрической прогрессии;


3) hello_html_m15fefbaa.gif при hello_html_7220742b.gif- формула суммы n первых членов;



С помощью приведенных выше формул удается, как правило, свести задачи на арифметическую или геометрическую прогрессии к решению систем уравнений. Рассмотрим ряд примеров.


Пример 1.


Сумма трех чисел, образующих геометрическую прогрессию, равна 13, а сумма их квадратов равна 91. Найдите эти числа.


Решение:


Задача сводится к системе уравнений hello_html_7b3296c.gif

Разделим второе уравнение на первое, а затем, освободившись от знаменателя, приведем подобные члены. В результате получим уравнение hello_html_70449d6c.gif, у которого есть корни hello_html_57ed66bf.gifhello_html_m4c2a1f0f.gif Подставляя эти значения в систему уравнений получим две последовательности чисел: 1, 3, 9 и 9, 3, 1.


Ответ: 1, 3, 9 или 9, 3, 1.


Пример 2.


Решите уравнение, зная, что его корни образуют геометрическую прогрессию: hello_html_m38f16dc2.gif(Проблема!)


  • Как решить уравнения высших степеней?


  • Является ли это уравнение приведенным?


Указание: вспомнить теорему Виета для уравнений высших степеней.

Пусть многочлен hello_html_m3b47122d.gifимеет hello_html_m601acf03.gifразличных корней hello_html_m1277146e.gif. Тогда выполняются равенства: hello_html_m1a1cf320.gif

hello_html_m7c23297b.gif,

…………………………….

hello_html_m70575131.gif.

Решение:


Обозначим корни уравнения через hello_html_m7d400f82.gif, hello_html_m8c2e9dd.gif, hello_html_121ef80f.gif. Тогда, используя теорему Виета, получим систему уравнений, hello_html_m2ef00131.gif которая равносильна системе hello_html_m2cb3c69.gif

hello_html_m53d4ecad.gif


Применяя метод почленного деления уравнений системы, а затем метод подстановки, получим корни уравнения hello_html_442568a8.gif.


Ответ: hello_html_442568a8.gif.



Пример3.


Произведение третьего и шестого членов арифметической прогрессии равно 406. При делении девятого члена этой прогрессии на ее четвертый член в частном получается 2, а в остатке 6. Найти первый член и разность прогрессии.


Решение:


Согласно условию, имеем систему hello_html_m312b291f.gif hello_html_m10b3975a.gif

Решая систему методом подстановки, находим два решения 1) hello_html_m711e9ed1.gif; hello_html_m4072f801.gif; 2) hello_html_3fc286a4.gif, hello_html_32712fff.gif. Условию задачи удовлетворяет только первое из них.


Ответ: hello_html_m711e9ed1.gif; hello_html_m4072f801.gif.


Упражнения для практической работы:


  1. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна hello_html_m2565a827.gif. Найти эти числа.

Указание: Согласно условию получаем систему hello_html_m282e564b.gif. Используя формулу характеристического свойства арифметической прогрессии, имеем hello_html_c1b4d0b.gif, откуда hello_html_7864627f.gif и, значит, hello_html_43a80973.gif. Таким образом, приходим к системе hello_html_m3b51e252.gif, решив которую получим hello_html_319879dd.gif, hello_html_48924d14.gif либо hello_html_m677e2038.gif, hello_html_m42372a8b.gif. Итак, искомыми числами являются hello_html_m19e8bb17.gif; hello_html_42567408.gif; 1.


  1. Найти натуральные числа, образующие арифметическую прогрессию, если произведения трех и четырех первых ее членов равны соответственно 6 и 24.


Указание: В силу условия имеем систему hello_html_6f442a1f.gif hello_html_7ceb41cc.gif hello_html_49a3e23d.gifТаким образом приходим к кубическому уравнению hello_html_4d4ae072.gifУсловию задачи удовлетворяет только корень hello_html_12248532.gifИтак, получаем ответ: 1; 2; 3; 4.


  1. Найти четыре числа, первые три из которых составляют геометрическую прогрессию, а последние три – арифметическую прогрессию. Сумма крайних чисел равна 21, а сумма средних равна 18.


Указание: Пусть hello_html_37f38c1c.gif- искомые числа. Используя условия, а также формулы характеристических свойств прогрессий, получим систему hello_html_m349d342e.gif



Ответ: 1) 3; 6; 12; 18; 2) 18,75; 11,25; 6,75; 2,25.


  1. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической, а если после этого увеличить последнее число на 9, то прогрессия снова станет геометрической. Найти эти числа.


Указание: По условию, числа hello_html_m734afb91.gif, hello_html_10454d8e.gif, hello_html_1375d202.gif образуют геометрическую прогрессию, числа hello_html_m734afb91.gif, hello_html_m5a338c80.gif, hello_html_1375d202.gif- арифметическую прогрессию, а числа hello_html_m734afb91.gif, hello_html_m5a338c80.gif, hello_html_ma148008.gif снова геометрическую прогрессию. Получим систему уравнений, hello_html_m3d39a6f6.gifиз которой находим два решения:

1) hello_html_m7b3a8821.gif; 2) hello_html_m53732655.gif.

Ответ: 1) 4; 8; 16; 2) hello_html_m12e0ad99.gif; hello_html_40a157fc.gif; hello_html_m649aad1.gif.


  1. Найти три числа, образующих геометрическую прогрессию, если известно, что их произведение равно 64, а их среднее арифметическое равно hello_html_m758b10be.gif.


Ответ: 1) 8; 4; 2; 2) 2; 4; 8.


  1. Сумма четырех чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна -40, а сумма их квадратов равна 3280. Найти эту прогрессию.


Указание: Легко установить, что hello_html_m5ed7e83a.gifСогласно условию, hello_html_mfd4a85e.gifПрименяя метод почленного деления уравнений системы, а затем метод подстановки, придем к уравнению четвертой степени (возвратному уравнению). Разделив все его члены на hello_html_m7dc7d5f5.gif, имеем 21hello_html_m592e6b98.gifРешая методом замены неизвестного находим hello_html_31ffce0d.gif и hello_html_698c3d09.gif, которым соответствуют значения hello_html_6a4ed241.gif и hello_html_7b721000.gif

Ответ: 2; -6; 18; -54 или -54; 18; -6; 2.




Занятие 17.

Решение систем нелинейных уравнений различными методами.


Цели: обобщить и систематизировать знания в ходе решения заданий для исследовательской деятельности; развивать системное мышление, умения планировать действия по реализации проекта, осуществлять рефлексию.


Задания для исследовательской деятельности:


Решите системы уравнений различными методами:


1. hello_html_m29fc2a5f.gif 2. hello_html_m4e06348e.gif


Ответ: (3; 2), (2; 3). Ответ: (1; 1), (1;-1), (hello_html_m416ee444.gif), (hello_html_5b9ac432.gif).


3. hello_html_6e8c4af0.gif 4. hello_html_1b1a23a9.gif


Ответ: (1; -1), (hello_html_m52bb78b6.gif). Ответ: (1; 2), (8; 0,5).


5. hello_html_mc11c43f.gif 6. hello_html_m7ee6732.gif

Ответ: (1; 1). Ответ: (1; 0), (-1; 0), (1; 1), (-1; -1).


7. hello_html_m6f927cfa.gif 8. hello_html_50d0ec75.gif


Ответ: (2; 1), (-2; -1). Ответ: (2hello_html_m980c3de.gif,hello_html_m980c3de.gif), (-2hello_html_m980c3de.gif;-hello_html_m980c3de.gif), (-2hello_html_78b3e969.gif;hello_html_78b3e969.gif), (2hello_html_78b3e969.gif;-hello_html_78b3e969.gif)



Темы исследовательских проектов.


  1. «Несовместные системы уравнений и их обоснование в текстовых задачах».


  1. «Системы уравнений в старинных русских задачах».


  1. «Геометрическая интерпретация систем нелинейных уравнений с двумя неизвестными».


  1. «Исследование систем нелинейных уравнений с параметрами».


  1. «Системы нелинейных уравнений в задачах практического содержания».





Измерители:


Самостоятельная работа по теме:

«Метод подстановки и алгебраического сложения».


Вариант I.

1. hello_html_m2c96d6cd.gif Ответ: (2; 1), (2; -1), (-2; hello_html_m59c8c0fc.gif), (-2; -hello_html_m59c8c0fc.gif).


2. hello_html_m44d8e8eb.gif Ответ: (-1; 2), (2; -1).


Вариант II


1. hello_html_26697f8b.gif Ответ: (1; 0), (0; 1), (-1; 2).


2. hello_html_m7b5823bc.gif Ответ: (1; -4), (4; -1).



Самостоятельная работа по теме:

«Метод почленного умножения и деления уравнений системы»


Вариант I


1. hello_html_7c785c86.gif Ответ: (2; -1), (-2; 1), (1; -2), (-1; 2).


2. hello_html_m587af28b.gif Ответ: (2; 2), (-hello_html_42567408.gif; -2).



Вариант II


1. hello_html_m6d0b9e60.gif Ответ: (2; 1).


2.hello_html_6d0f9119.gif Ответ: (2; 1), (-2; 1). Указание. Перемножьте уравнения системы.



Самостоятельная работа по теме:

«Метод замены переменной»


Вариант I


1. hello_html_m331db56d.gif Ответ: (1; 1).


2.hello_html_m444a78a3.gif Ответ: (hello_html_m60f7e3e3.gif; hello_html_m60f7e3e3.gif), : (-hello_html_m60f7e3e3.gif;- hello_html_m60f7e3e3.gif), (1; -1), (-1; 1).


Вариант II


1.hello_html_m7bc9fc2a.gif Ответ: (1; 1).


2. hello_html_m5ab66aa5.gif Ответ: (1; 1), (-1; -1), (hello_html_m69f88ca6.gif; hello_html_128f4198.gif), (-hello_html_m69f88ca6.gif; -hello_html_128f4198.gif),


























Литература:


    1. «Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов» Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики/ М. Л. Галицкий и др.- 5-е изд.-М.: Просвещение, 2000.


    1. «Сборник задач по алгебре для 10 – 11 классов» Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики/ М. Л. Галицкий и др.- 5-е изд.-М.: Просвещение, 2000.



    1. «Сборник задач по математике для поступающих в вузы»/ Под ред. М. И. Сканави. – 6-е изд.- М.: ООО «Издательство «Мир и образование», 2005.


    1. ЕГЭ 2006-2007. Математика. Суперрепетитор., - М.: Изд-во Эксмо, 2006./ Дорофеев Г. В., Седова Е. А. и др.



    1. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учеб. пособие для 10-11 кл. сред. шк./ Б. М. Ивлев, С. И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 1990.


    1. Алгебра для 9 класса шк. и кл. с углубл. изуч. математики/ Н. Я. Виленкин и др.- 2-е изд.-М.: Просвещение, 1998.


    1. «Системы уравнений» задание № 2 для 10 классов (2007-2008 учебный год). федеральная заочная физико-техническая школа при МФТИ. Составитель: Яковлева Т. Х.







































Авторская программа элективного курса по математике "Методы решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными" "
  • Математика
Описание:


            Предлагаемый элективный курс «Методы решения нелинейных систем уравнений с двумя неизвестными» содержит материал, недостаточно проработанный в базовом курсе школьной математики, так как в школьной программе рассматриваются в основном методы подстановки и алгебраического сложения, которых недостаточно при решении более сложных систем уравнений. 

 

             Этот элективный курс сможет заинтересовать учащихся 9 классов, стремящихся овладеть методами и приемами решения нелинейных систем уравнений, научится применять их при составлении математических моделей текстовых задач и задач на прогрессии. Чаще всего проблема состоит не в том, чтобы записать систему, соответствующую текстовому условию задачи, а в том, чтобы эту систему решить. На решение этой проблемы направлен этот элективный курс.

             Данный элективный курс может быть предложен учащимся 9 классов, проявляющих интерес к математике, так как формирует целостную систему знаний о различных методах решения систем нелинейных уравнений, которые понадобятся в дальнейшем при решении систем логарифмических, показательных, тригонометрических систем уравнений и систем уравнений смешанного типа часто встречающихся в заданиях ГИА и ЕГЭ. Курс также имеет и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся, формированию графических навыков.

Автор Миронова Лариса Алексеевна
Дата добавления 25.12.2014
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 1685
Номер материала 12085
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓