- Учебник: «Информатика (углублённый уровень) (в 2 частях)», Семакин И.Г., Шеина Т.Ю., Шестакова Л.В.
- Тема: 1.3.2. Перевод десятичных чисел в другие системы счисления
- 01.10.2020
- 1535
- 66
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.
Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.
Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления. Если количество таких цифр равно P, то система счисления называется P-ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.
Запись произвольного числа x в P-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена
x = anPn + an-1Pn-1 + ... + a1P1 + a0P0 + a-1P-1 + ... + a-mP-m
Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию P системы счисления.
При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P > 1 обычно используют следующий алгоритм:
1) если переводится целая часть числа, то она делится на P, после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;
2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая дробь в системе счисления с основанием P. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P.
Примеры решения задач
1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную:
а) 464(10); б) 380,1875(10); в) 115,94(10) (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении).
Решение.
464 | 0 380 | 0 |1875 115 | 1 |94 232 | 0 190 | 0 0|375 57 | 1 1|88 116 | 0 95 | 1 0|75 28 | 0 1|76 58 | 0 47 | 1 1|5 14 | 0 1|52 а) 29 | 1 б) 23 | 1 1|0 в) 7 | 1 1|04 14 | 0 11 | 1 3 | 1 0|08 7 | 1 5 | 1 1 | 1 0|16 3 | 1 2 | 0 1 | 1 1 | 1а) 464(10) = 111010000(2); б) 380,1875(10) = 101111100,0011(2); в) 115,94(10) » 1110011,11110(2) (в настоящем случае было получено шесть знаков после запятой, после чего результат был округлен).
Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени, и использовать приведенный ниже алгоритм. Например, если перевод осуществляется в восьмеричную систему, то группы будут содержать три цифры (8 = 23). Итак, в целой части будем производить группировку справа налево, в дробной — слева направо. Если в последней группе недостает цифр, дописываем нули: в целой части — слева, в дробной — справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы. Соответствия приведены в таблицах.
P 2 00 01 10 11 4 0 1 2 3Переведем из двоичной системы в восьмеричную число 1111010101,11(2).
001 111 010 101,110(2) = 1725,6(8).Переведем из двоичной системы в шестнадцатеричную число 1111010101,11(2).
0011 1101 0101,1100(2) = 3D5,C(16). Соответствие между шестнадцатеричными цифрами и десятичными числами 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15При переводе чисел из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и в дробной части, начиная с разряда сразу после запятой слева направо (начальный номер -1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления.
2. Перевести данное число в десятичную систему счисления.
Некоторые неотрицательные степени числа 2 (в десятичной системе счисления) Показатель 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Степень 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 65536 Некоторые отрицательные степени числа 2 (в десятичной системе счисления) Показатель -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 Степень 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,03125 0,015625 0,0078125а) 1000001(2).
1000001(2)=1× 26+0× 25+0× 24+0× 23+0× 22+ 0× 21+1× 20 = 64+1=65(10).Замечание. Очевидно, что если в каком-либо разряде стоит нуль, то соответствующее слагаемое можно опускать.
б) 1000011111,0101(2).
1000011111,0101(2)=1×29 + 1×24 + 1×23 + 1×22 + 1×21 + 1×20 + 1×2-2 + 1×2-4 = 512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,3125(10). Некоторые неотрицательные степени числа 8 (в десятичной системе счисления) Показатель 0 1 2 3 4 Степень 1 8 64 512 4096 Некоторые отрицательные степени числа 8 (в десятичной системе счисления) Показатель -1 -2 Степень 0,125 0,015625в) 1216,04(8).
1216,04(8)=1×83+2×82+1×81+6×80+4× 8-2 = 512+128+8+6+0,0625 = 654,0625(10). Некоторые неотрицательные степени числа 16 (в десятичной системе счисления) Показатель 0 1 2 3 4 Степень 1 16 256 4096 65536 Некоторые отрицательные степени числа 16 (в десятичной системе счисления) Показатель -1 -2 Степень 0,0625 0,00390625г) 29A,5(16).
29A,5(16) = 2×162+9×161+10×160+5×16-1 = 512+144+10+0,3125 = 656,3125(10).Для выполнения арифметических операций в системе счисления с основанием P необходимо иметь соответствующие таблицы сложения и умножения. Для P = 2, 8 и 16 таблицы представлены ниже.
+ 0 1 0 0 1 1 1 10 ´ 0 1 0 0 0 1 0 1 + 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 10 2 2 3 4 5 6 7 10 11 3 3 4 5 6 7 10 11 12 4 4 5 6 7 10 11 12 13 5 5 6 7 10 11 12 13 14 6 6 7 10 11 12 13 14 15 7 7 10 11 12 13 14 15 16 ´ 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 4 6 10 12 14 16 3 0 3 6 11 14 17 22 25 4 0 4 10 14 20 24 30 34 5 0 5 12 17 24 31 36 43 6 0 6 14 22 30 36 44 52 7 0 7 16 25 34 43 52 61+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 2 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 3 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 4 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 5 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 6 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 7 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 8 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 9 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A C C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B D D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C E E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D F F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E ´ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 2 0 2 4 6 8 A C E 10 12 14 16 18 1A 1C 1E 3 0 3 6 9 C F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D 4 0 4 8 C 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C 5 0 5 A F 14 19 1E 23 28 2D 32 37 3C 41 46 4B 6 0 6 C 12 18 1E 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A 7 0 7 E 15 1C 23 2A 31 38 3F 46 4D 54 5B 62 69 8 0 8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78 9 0 9 12 1B 24 2D 36 3F 48 51 5A 63 6C 75 7E 87 A 0 A 14 1E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E 78 82 8C 96 B 0 B 16 21 2C 37 42 4D 58 63 6E 79 84 8F 9A A5 C 0 C 18 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90 9C A8 B4 D 0 D 1A 27 34 41 4E 5B 68 75 82 8F 9C A9 B6 C3 E 0 E 1C 2A 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2 F 0 F 1E 2D 3C 4B 5A 69 78 87 96 A5 B4 C3 D2 E1
3. Сложить числа:
а) 10000000100(2) + 111000010(2) = 10111000110(2).
б) 223,2(8) + 427,54(8) = 652,74(8).
в) 3B3,6(16) + 38B,4(16) = 73E,A(16).
Выполним проверку результатов расчетов переводом в десятичную систему счисления. Для этого переведем каждое слагаемое и сумму в десятичную систему счисления, выполним сложение слагаемых в десятичной системе счисления. Результат должен совпасть с суммой.
а) 10000000100(2)=1×210+1× 22 = 1024+4=1028(10)
111000010(2)=1×28+ 1×27+ 1×26+ 1×21 = 256+128+64+2 = 450(10)
10111000110(2)=1×210+ 1×28+ 1×27+ 1×26+ 1×22+ 1×21 = 1024+256+128+64+4+2 = 1478(10)
1028(10)+450(10) = 1478(10)
Результаты совпадают, следовательно, вычисления в двоичной системе счисления выполнены верно!
б) 223,2(8)=2×82+ 2×81+ 3×80+ 2×8-1 = 128+16+3+0,25 = 147,25(10)
427,54(8)= 4×82+ 2×81+ 7×80+ 5×8-1+ 4×8-2 = 256+16+7+0,625+0,0625 = 279,6875(10)
652,74(8)= 6×82+ 5×81+ 2×80+ 7×8-1+ 4×8-2 = 384+40+2+0,875+0,0625 = 426,9375(10)
147,25(10)+279,6875(10) = 426,9375(10)
Результаты совпадают, следовательно, вычисления в восьмеричной системе счисления выполнены верно!
в) 3B3,6(16)= 3×162+ 11×161+ 3×160+ 6×16-1 = 768+176+3+0,375 = 947,375(10)
38B,4(16)= 3×162+ 8×161+ 11×160+ 4×16-1 = 768+128+11+0,25 = 907,25(10)
73E,A(16)= 7×82+ 3×81+ 14×80+ 10×8-1 = 1792+48+14+0,625 = 1854,625(10)
947,375(10)+907,25(10) = 1854,625(10)
Результаты совпадают, следовательно, вычисления в шестнадцатеричной системе счисления выполнены верно!
4. Выполнить вычитание:
а) 1100000011,011(2) - 101010111,1(2) = 110101011,111(2).
б) 1510,2(8) - 1230,54(8) = 257,44(8).
в) 27D,D8(16) - 191,2(16) = EC,B8(16).
5. Выполнить умножение:
а) 100111(2) ´ 1000111(2) = 101011010001(2).
б) 1170,64(8) ´ 46,3(8) = 57334,134(8).
в) 61,A(16) ´ 40,D(16) = 18B7,52(16).
6. Выполнить деление:
а) 100110010011000(2) : 101011(2)=111001000(2);
б) 46230(8) : 53(8)=710(8);
в) 4C98(16) : 2B(16)=1C8(16).
Калькулятор для работы в системах счисления с основаниями 2-36
История систем счисления
Представление числовой информации в памяти ЭВМ
Задачи по позиционным системам счисления
6 660 026 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Юсупов Зиявдин Абдулкеримович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.