Главная / Информатика / Арифметические операции в системах счисления.

Арифметические операции в системах счисления.

Арифметические операции в системах счисления.
  • Информатика
Описание:

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.

Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления. Если количество таких цифр равно P, то система счисления называется P-ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.

Запись произвольного числа x в P-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена

x = anPn + an-1Pn-1 + ... + a1P1 + a0P0 + a-1P-1 + ... + a-mP-m

 

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию P системы счисления.

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P > 1 обычно используют следующий алгоритм:

1) если переводится целая часть числа, то она делится на P, после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;

2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая дробь в системе счисления с основанием P. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P.

 

Примеры решения задач

 

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную:
а) 464(10); б) 380,1875(10); в) 115,94(10) (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении).

Решение.

464 | 0 380 | 0 |1875 115 | 1 |94 232 | 0 190 | 0 0|375 57 | 1 1|88 116 | 0 95 | 1 0|75 28 | 0 1|76 58 | 0 47 | 1 1|5 14 | 0 1|52 а) 29 | 1 б) 23 | 1 1|0 в) 7 | 1 1|04 14 | 0 11 | 1 3 | 1 0|08 7 | 1 5 | 1 1 | 1 0|16 3 | 1 2 | 0 1 | 1 1 | 1

а) 464(10) = 111010000(2); б) 380,1875(10) = 101111100,0011(2); в) 115,94(10) » 1110011,11110(2) (в настоящем случае было получено шесть знаков после запятой, после чего результат был округлен).

Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени, и использовать приведенный ниже алгоритм. Например, если перевод осуществляется в восьмеричную систему, то группы будут содержать три цифры (8 = 23). Итак, в целой части будем производить группировку справа налево, в дробной — слева направо. Если в последней группе недостает цифр, дописываем нули: в целой части — слева, в дробной — справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы. Соответствия приведены в таблицах.

 P   2   00   01   10   11  4 0 1 2 3
 P   2   000   001   010   011   100   101   110   111  8 0 1 2 3 4 5 6 7
 P   2   0000   0001   0010   0011   0100   0101   0110   0111   1000   1001   1010   1011   1100   1101   1110   1111  16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Переведем из двоичной системы в восьмеричную число 1111010101,11(2).

001 111 010 101,110(2) = 1725,6(8).

Переведем из двоичной системы в шестнадцатеричную число 1111010101,11(2).

0011 1101 0101,1100(2) = 3D5,C(16). Соответствие между шестнадцатеричными цифрами и десятичными числами 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

При переводе чисел из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и в дробной части, начиная с разряда сразу после запятой слева направо (начальный номер -1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления.

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления.

Некоторые неотрицательные степени числа 2 (в десятичной системе счисления) Показатель 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Степень 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 65536 Некоторые отрицательные степени числа 2 (в десятичной системе счисления) Показатель -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 Степень 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,03125 0,015625 0,0078125

а) 1000001(2).

1000001(2)=1× 26+0× 25+0× 24+0× 23+0× 22+ 0× 21+1× 20 = 64+1=65(10).

Замечание. Очевидно, что если в каком-либо разряде стоит нуль, то соответствующее слагаемое можно опускать.

б) 1000011111,0101(2).

1000011111,0101(2)=1×29 + 1×24 + 1×23 + 1×22 + 1×21 + 1×20 + 1×2-2 + 1×2-4 = 512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,3125(10). Некоторые неотрицательные степени числа 8 (в десятичной системе счисления) Показатель 0 1 2 3 4 Степень 1 8 64 512 4096 Некоторые отрицательные степени числа 8 (в десятичной системе счисления) Показатель -1 -2 Степень 0,125 0,015625

в) 1216,04(8).

1216,04(8)=1×83+2×82+1×81+6×80+4× 8-2 = 512+128+8+6+0,0625 = 654,0625(10). Некоторые неотрицательные степени числа 16 (в десятичной системе счисления) Показатель 0 1 2 3 4 Степень 1 16 256 4096 65536 Некоторые отрицательные степени числа 16 (в десятичной системе счисления) Показатель -1 -2 Степень 0,0625 0,00390625

г) 29A,5(16).

29A,5(16) = 2×162+9×161+10×160+5×16-1 = 512+144+10+0,3125 = 656,3125(10).

Для выполнения арифметических операций в системе счисления с основанием P необходимо иметь соответствующие таблицы сложения и умножения. Для P = 2, 8 и 16 таблицы представлены ниже.

  +     0     1   0 0 1 1 1 10        ´     0     1   0 0 0 1 0 1  +   0   1   2   3   4   5   6   7  0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 10 2 2 3 4 5 6 7 10 11 3 3 4 5 6 7 10 11 12 4 4 5 6 7 10 11 12 13 5 5 6 7 10 11 12 13 14 6 6 7 10 11 12 13 14 15 7 7 10 11 12 13 14 15 16        ´    0   1   2   3   4   5   6   7  0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 4 6 10 12 14 16 3 0 3 6 11 14 17 22 25 4 0 4 10 14 20 24 30 34 5 0 5 12 17 24 31 36 43 6 0 6 14 22 30 36 44 52 7 0 7 16 25 34 43 52 61

 

 +   0  1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 2 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 3 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 4 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 5 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 6 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 7 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 8 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 9 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A C C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B D D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C E E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D   F     F    10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   1A   1B   1C   1D   1E         ´   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 2 0 2 4 6 8 A C E 10 12 14 16 18 1A 1C 1E 3 0 3 6 9 C F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D 4 0 4 8 C 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C 5 0 5 A F 14 19 1E 23 28 2D 32 37 3C 41 46 4B 6 0 6 C 12 18 1E 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A 7 0 7 E 15 1C 23 2A 31 38 3F 46 4D 54 5B 62 69 8 0 8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78 9 0 9 12 1B 24 2D 36 3F 48 51 5A 63 6C 75 7E 87 A 0 A 14 1E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E 78 82 8C 96 B 0 B 16 21 2C 37 42 4D 58 63 6E 79 84 8F 9A A5 C 0 C 18 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90 9C A8 B4 D 0 D 1A 27 34 41 4E 5B 68 75 82 8F 9C A9 B6 C3 E 0 E 1C 2A 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2   F     0     F    1E   2D   3C   4B   5A   69   78   87   96   A5   B4   C3   D2   E1 

3. Сложить числа:
а) 10000000100(2) + 111000010(2) = 10111000110(2).
б) 223,2(8) + 427,54(8) = 652,74(8).
в) 3B3,6(16) + 38B,4(16) = 73E,A(16).

10000000100 223,2 3B3,6 + 111000010 + 427,54 +38B,4 ------------ ------- ----- 10111000110 652,74 73E,A

 

Выполним проверку результатов расчетов переводом в десятичную систему счисления. Для этого переведем каждое слагаемое и сумму в десятичную систему счисления, выполним сложение слагаемых в десятичной системе счисления. Результат должен совпасть с суммой.

 

а) 10000000100(2)=1×210+1× 22 = 1024+4=1028(10)

111000010(2)=1×28+ 1×27+ 1×26+ 1×21 =  256+128+64+2 = 450(10)

10111000110(2)=1×210+ 1×28+ 1×27+ 1×26+ 1×22+ 1×21 =  1024+256+128+64+4+2 = 1478(10)

1028(10)+450(10) = 1478(10)

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в двоичной системе счисления выполнены верно!

 

б) 223,2(8)=2×82+ 2×81+ 3×80+ 2×8-1 =  128+16+3+0,25 = 147,25(10)

427,54(8)= 4×82+ 2×81+ 7×80+ 5×8-1+ 4×8-2 =  256+16+7+0,625+0,0625 = 279,6875(10)

652,74(8)= 6×82+ 5×81+ 2×80+ 7×8-1+ 4×8-2 =  384+40+2+0,875+0,0625 = 426,9375(10)

147,25(10)+279,6875(10) = 426,9375(10)

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в восьмеричной системе счисления выполнены верно!

 

в) 3B3,6(16)= 3×162+ 11×161+ 3×160+ 6×16-1 =  768+176+3+0,375 = 947,375(10)

38B,4(16)= 3×162+ 8×161+ 11×160+ 4×16-1 =  768+128+11+0,25 = 907,25(10)

73E,A(16)= 7×82+ 3×81+ 14×80+ 10×8-1 =  1792+48+14+0,625 = 1854,625(10)

947,375(10)+907,25(10) = 1854,625(10)

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в шестнадцатеричной системе счисления выполнены верно!

 

4. Выполнить вычитание:
а) 1100000011,011(2) - 101010111,1(2) = 110101011,111(2).
б) 1510,2(8) - 1230,54(8) = 257,44(8).
в) 27D,D8(16) - 191,2(16) = EC,B8(16).

1100000011,011 1510,2 27D,D8 - 101010111,1 -1230,54 -191,2 -------------- ------- ------ 110101011,111 257,44 EC,B8

5. Выполнить умножение:
а) 100111(2) ´   1000111(2) = 101011010001(2).
б) 1170,64(8) ´   46,3(8) = 57334,134(8).
в) 61,A(16) ´   40,D(16) = 18B7,52(16).

100111 1170,64 61,A *1000111 * 46,3 *40,D ------------- -------------- ---------- 100111 355 234 4F 52 + 100111 + 7324 70 + 1868 100111 47432 0 ---------- 100111 ------------- 18B7,52 ------------- 57334,134 101011010001

6. Выполнить деление:
а) 100110010011000(2) : 101011(2)=111001000(2);
б) 46230(8) : 53(8)=710(8);
в) 4C98(16) : 2B(16)=1C8(16).

Калькулятор для работы в системах счисления с основаниями 2-36

История систем счисления

Представление числовой информации в памяти ЭВМ

Задачи по позиционным системам счисления

Автор Юсупов Зиявдин Абдулкеримович
Дата добавления 05.01.2015
Раздел Информатика
Подраздел
Просмотров 359
Номер материала 31863
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓