Главная / Математика / Арифметическая прогрессия (9 класс)

Арифметическая прогрессия (9 класс)

Обобщающий урок в 9-м классе по теме: "Арифметическая прогрессия"

Хайфуллина Г.Д., учитель математики



Цели:

  • Обобщить и систематизировать материал по данной теме.

  • Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её применение для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.

  • Содействовать рациональной организации труда; развивать познавательные процессы, память, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность; выработать критерии оценки своей работы и работы товарища; повысить интерес к нестандартным задачам, сформировать у них положительный мотив учения.

Содержание темы: данная тема по программе 9 класса с углублённым изучением математики и может быть использована по программе 9 класса любого действующего учебника по алгебре из Федерального комплекта.

Тип урока. Урок обобщения и систематизации знаний.

Организационные формы общения. Работа в парах, индивидуальная.

Структура урока:

  1. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели.

  2. Историческая справка.

  3. Проверка домашнего задания.

  4. Актуализация опорных знаний.

  5. Диагностика усвоения системы знаний с последующей взаимопроверкой.

  6. Решение задач повышенного уровня сложности из вступительных экзаменов в ВУЗы и централизованного тестирования выпускников.

  7. Подведение итогов урока.

  8. Домашнее задание.

ХОД УРОКА

I. Беседа с учащимися, сообщение темы и цели урока.

Во время беседы учащимся сообщается план урока, тема и цели урока. Обращается внимание на то, что данная тема изучается в 9 классе, а задания встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы страны, на централизованном тестировании выпускников средней школы и на ЕГЭ.

II. Историческая справка

Сообщение ученика по теме “Фигурные числа” (см. Приложение 1, Энциклопедический словарь юного математика. М.,– 1985, с.314–315)

В данном сообщении раскрываются: понятие фигурных чисел (треугольных, квадратных, пятиугольных и др.) и применение арифметической прогрессии для вычисления формулы nго К-угольного числа: Рhello_html_m69ae29fc.png = hello_html_1c9cfac3.png

III. Проверка домашнего задания

Осуществляется с помощью кодоскопа (см. Приложение 2)

684.
Задайте формулой nго члена последовательность:
а) треугольных чисел;
б) пятиугольных чисел.

694.

Задана последовательность чисел аn = 2,5 n + 2. Найти сумму членов данной последовательности с 11го по 21й

IV. Актуализация опорных знаний

Фронтальный опрос:

1. Дайте определение арифметической прогрессии.
2. Перечислите свойства арифметической прогрессии.
3. Последовательность задана формулой: hello_html_6bb7f81d.png= 2n + 3.
4. Дана арифметическая прогрессия (hello_html_6bb7f81d.png): 5; 8; … Найти: d , hello_html_m56d8237d.png, hello_html_23e6fb89.png, Shello_html_1a8cc19d.png

V. Диагностика усвоения системы знаний

Математический диктант с использованием блокнотов с копировальной бумагой. Учащиеся выполняют работу под копирку, один экземпляр оставляют себе, а другой сдают учителю. После проведения диктанта ученики меняются листочками, проверяют и оценивают работу одноклассников.
Для проведения математического диктанта можно использовать кодоскоп.

Вариант 1.

1. Дано: (hello_html_6bb7f81d.png): 7; 4;…– арифм.прогрессия.

Найти:

а) d
б) hello_html_16cdd567.png
в) S10

2. Дано: (hello_html_6bb7f81d.png) – арифм.прогрессия.

hello_html_m792e575.pnghello_html_755cbfdd.png= 15, hello_html_m792e575.pnghello_html_m2f8ae632.png= 25 hello_html_m792e575.png

Найти: hello_html_28f3f72.png

3. Дано: (hello_html_6bb7f81d.png) – арифм.прогрессия.

hello_html_1e86a4f6.png= 3, hello_html_7a6ab11a.png= 2.

В = 10

Вариант 2.

1. Дано: (hello_html_6bb7f81d.png) : 6; 4;… – арифм.прогрессия.

Найти:

а) d
б) hello_html_16cdd567.png
в) S10

2. Дано: (hello_html_6bb7f81d.png) – арифм.прогрессия.

hello_html_m792e575.pnghello_html_m62b27231.png= 22, hello_html_m792e575.pnghello_html_m91ab4fe.png= 32 hello_html_m792e575.png

Найти : hello_html_6f0c5aa1.png

3. Дано: (hello_html_6bb7f81d.png) – арифм.прогрессия.

hello_html_1e86a4f6.png= 5, hello_html_7a6ab11a.png= 3.

В = 14

Является ли число в членом данной арифм. прогрессии.

VI. Решение задач

Учащимся предлагается решить задачи, встречающиеся на вступительных экзаменах в ВУЗы, централизованном тестировании выпускников, ЕГЭ.

  • 1 группа: 4 ученика работают по карточкам на боковой доске.

  • 2 группа учеников со слабой математической подготовкой работают на местах по карточкам (8 человек).

  • 3 группа: остальные ученики с высоким уровнем математической подготовки выполняют задания повышенного уровня сложности.

Задания для учащихся первой группы

а) В арифметической прогрессии (hello_html_6bb7f81d.png) известно, что hello_html_1e86a4f6.png= 2, hello_html_m792e575.pnghello_html_6f0c5aa1.png= – 5. Найти разность арифметической прогрессии.

б) Является ли число 22,5 членом арифметической прогрессии (hello_html_6bb7f81d.png): 6,8; 8; ..?

в) Между числами 64 и 46 вставьте пять чисел, чтобы последовательность чисел образовала арифметическую прогрессию.

г) Найдите сумму всех целых чисел К, каждое из которых делится без остатка на 24 и удовлетворяет условию – 313 < К < 385. (Задание из централизованного тестирования)

Задание для учеников второй группы

а) В арифметической прогрессии (hello_html_6bb7f81d.png) известно, что hello_html_1e86a4f6.png= 3, hello_html_m792e575.pnghello_html_m4729cfcc.png= 7. Найти разность арифметической прогрессии и десятый член.

б) В арифметической прогрессии (hello_html_6bb7f81d.png): 2; 5; … Найти сумму девяти первых членов.

в) Является ли число 15 членом арифметической прогрессии, где hello_html_1e86a4f6.png= 2, hello_html_m4729cfcc.png= 4.

г) Докажите, что последовательность hello_html_6bb7f81d.png= 3n +2 является арифметической прогрессией.

Задание для сильных учеников

а) В арифметической прогрессии сумма первых трёх членов равно 30, разность шестого и четвёртого равно – 4, а n-ный член равен –10. Найдите hello_html_3028d8e5.png. (Задание из централизованного тестирования)

б) Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равно 111. Второе число больше первого в 5 раз. Найти эти числа. (Задание из централизованного тестирования)

в) Найти сумму всех трёхзначных натуральных чисел, каждое из которых кратно 7 и не превосходит 353. (Задание из централизованного тестирования)

г) В арифметической прогрессии (hello_html_6bb7f81d.png) известно, что шестой член прогрессии больше, чем третий в 1,5 раза, а сумма первых шести членов равна 156. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (№ 696(б) из учебника “Алгебра” 9 класс автор Макарычев Ю.Н. и др.)

VII. Подведение итогов урока

Обобщается материал урока. Учитель оценивает индивидуальную работу учащихся.

VIII. Задание на дом:

969 (а) из учебника “Алгебра” 9 класс автор Макарычев Ю.Н. и др. Составить вариант зачётной работы по данной теме.





Приложение 1.

Фигурные числа

Фигурные числа были известны еще в Древнем Вавилоне. В V - IV веках до нашей эры ученые, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование. С их помощью можно выложить правильные геометрические фигуры: треугольники, квадраты, пирамиды и т.д.

Увлеклись, причем независимо друг от друга, нахождением таких чисел Б. Паскаль и П. Ферма.

Рассмотрим несколько рядов натуральных чисел

hello_html_m6f4ac798.png

Элемент ряда с номером hello_html_54e47201.gif называется линейным фигурным числом, или фигурным числом первого порядка . Фигурные числа второго порядка получаются вычислением последовательных сумм фигурных чисел первого порядка


Ряд первого порядка Ряд сумм - ряд второго порядка

123456... 136101521...

Получил название треугольные числа


Вычислим последовательные суммы элементов второго ряда линейных фигурных чисел. Получим ряд 14916 25...,получивший название квадратные числа.

Аналогично можно получить пятиугольные, шестиугольные и т.п. числа. Все эти многоугольные числа называют плоскими числами.

hello_html_m6f4ac798.png



Общий член каждого ряда плоских фигурных чисел - сумма n элементов соответствующего ряда линейных фигурных чисел, которые образуют арифметическую прогрессию, где

hello_html_m16ee015c.gif

hello_html_m5373cb99.gif, а разность d= 1,2,3, ...



Про числа 25,49, 100 говорят, что они являются квадратными. А почему? Потому , что они получаются, если возвести числа 5,7,10 в квадрат. В древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно, отмечали случаи, когда камешки можно было сложить в виде правильной фигуры. Кроме квадратных чисел были известны треугольные числа.


hello_html_6b3797f9.jpg



hello_html_5a0f5cf.jpg

На рисунке показано:

n-е квадратное число равно hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m6defec69.gif, а n-е число равно сумме всех целых чисел от одного до n, т.е. hello_html_3688da8c.gifhello_html_m53d4ecad.gif


Пятиугольные числа.

Чтобы сосчитать n-е пятиугольное число, его нужно разбить на три треугольных, после чего останется n точек, как показано на рисунке. В результате получаем, что n-е пятиугольное число равно hello_html_m2c0e34ee.gif. Подобным образом можно образовывать любые многоугольные числа.

Формула для n-го k –угольного числа такова:

hello_html_m2196e035.gif

При k=3 мы получаем треугольные числа, а k=4 – квадратные числа и т.д. Аналогично можно представить число в виде прямоугольника. Для числа 12 это можно сделать многими способами (рис.). Таким образом прямоугольными числами являются все составные числа, а не прямоугольными – простые числа. К фигурным числам также относятся пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидкой, как раньше складывали ядра около пушки. Нетрудно заметить, что n-е пирамидальное число равно сумме всех треугольных чисел – от первого до n-го.

Формула для вычисления n-го пирамидального числа имеет вид:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_3d962c6f.gif

В настоящее время происходит интенсивное развитие ряда областей комбинаторного анализа, быстро растёт число приложений этого раздела математики. Методы комбинаторики позволяют решать не только задачи, поставленные ею самой, но и входят как обязательные элементы в аппарат решения многочисленных задач в самые различных областях математики.



Приложение 2

Решение задач.

№694.

Дано:

(hello_html_38ea04c6.gif) –последовательность чисел

аn= 2,5 n + 2.

Найти: S 11-21

Рhello_html_m53d4ecad.gifешение.

1)Найдём разность между (n+1) и n –ым членами последовательности.

hello_html_187b2712.gif

hello_html_7437962b.gif=2,5, разность hello_html_7437962b.gif не зависит от n, значит, данная последовательность является арифметической прогрессией.

2)

hello_html_m45b24409.gif

hello_html_m3a3ed5a6.gif

hello_html_e6878de.gifhello_html_m53d4ecad.gif


hello_html_4ff9bcc1.gifhello_html_m53d4ecad.gif


Ответ: 407,5


№ 684.

Задайте формулой nго члена последовательность:

а) треугольных чисел;

б) пятиугольных чисел.


А) Треугольные числа: 1;3;6;10;15


hello_html_m49617221.gif

hello_html_m7d973ecf.gif

hello_html_m4284081c.gif

hello_html_40e2d9b4.gif


hello_html_ma201744.gif


2) Пятиугольные числа: 1;5;12;22;…



hello_html_m3e19ab.gif

hello_html_5a847c73.gif

hello_html_m24363e79.gif

hello_html_mbb4e6b4.gif


hello_html_m3287b3a.gif




Арифметическая прогрессия (9 класс)
  • Математика
Описание:

Обобщающий урок в 9-м классе по теме: "Арифметическая прогрессия"

Хайфуллина Г.Д., учитель математики

 

 

Цели:

  • Обобщить и систематизировать материал по данной теме.
  • Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её применение для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.
  • Содействовать рациональной организации труда; развивать познавательные процессы, память, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность; выработать критерии оценки своей работы и работы товарища; повысить интерес к нестандартным задачам, сформировать у них положительный мотив учения.

Содержание темы: данная тема по программе 9 класса с углублённым изучением математики и может быть использована по программе 9 класса любого действующего учебника по алгебре из Федерального комплекта.

Тип урока. Урок обобщения и систематизации знаний.

Организационные формы общения. Работа в парах, индивидуальная.

Структура урока:

  1. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели.
  2. Историческая справка.
  3. Проверка домашнего задания.
  4. Актуализация опорных знаний.
  5. Диагностика усвоения системы знаний с последующей взаимопроверкой.
  6. Решение задач повышенного уровня сложности из вступительных экзаменов в ВУЗы и централизованного тестирования выпускников.
  7. Подведение итогов урока.
  8. Домашнее задание.

ХОД УРОКА

I. Беседа с учащимися, сообщение темы и цели урока.

Во время беседы учащимся сообщается план урока, тема и цели урока. Обращается внимание на то, что данная тема изучается в 9 классе, а задания встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы страны, на централизованном тестировании выпускников средней школы и на ЕГЭ.

II. Историческая справка

Сообщение ученика по теме “Фигурные числа” (см. Приложение 1, Энциклопедический словарь юного математика. М.,– 1985, с.314–315)

В данном сообщении раскрываются: понятие фигурных чисел (треугольных, квадратных, пятиугольных и др.) и применение арифметической прогрессии для вычисления формулы nго К-угольного числа: Р =

III. Проверка домашнего задания

Осуществляется с помощью кодоскопа (см. Приложение 2)

№ 684.
Задайте формулой nго члена последовательность:
а) треугольных чисел;
б) пятиугольных чисел.

№ 694.

Задана последовательность чисел аn = 2,5 n + 2. Найти сумму членов данной последовательности с 11го по 21й

IV. Актуализация опорных знаний

Фронтальный опрос:

1. Дайте определение арифметической прогрессии.
2. Перечислите свойства арифметической прогрессии.
3. Последовательность задана формулой: = 2n + 3.
4. Дана арифметическая прогрессия (): 5; 8; … Найти
: d , , , S

V. Диагностика усвоения системы знаний

Математический диктант с использованием блокнотов с копировальной бумагой. Учащиеся выполняют работу под копирку, один экземпляр оставляют себе, а другой сдают учителю. После проведения диктанта ученики меняются листочками, проверяют и оценивают работу одноклассников.
Для проведения математического диктанта можно использовать кодоскоп.

Вариант 1.

1. Дано: (): 7; 4;…– арифм.прогрессия.

Найти:

а) d
б)
в) S10

2. Дано: () – арифм.прогрессия.

= 15, = 25

Найти:

3. Дано: () – арифм.прогрессия.

= 3, = 2.

В = 10

Вариант 2.

1. Дано: () : 6; 4;… – арифм.прогрессия.

Найти:

а) d
б)
в) S10

2. Дано: () – арифм.прогрессия.

= 22, = 32

Найти :

3. Дано: () – арифм.прогрессия.

= 5, = 3.

В = 14

Является ли число в членом данной арифм. прогрессии.

VI. Решение задач

Учащимся предлагается решить задачи, встречающиеся на вступительных экзаменах в ВУЗы, централизованном тестировании выпускников, ЕГЭ.

  • 1 группа: 4 ученика работают по карточкам на боковой доске.
  • 2 группа учеников со слабой математической подготовкой работают на местах по карточкам (8 человек).
  • 3 группа: остальные ученики с высоким уровнем математической подготовки выполняют задания повышенного уровня сложности.

Задания для учащихся первой группы

а) В арифметической прогрессии () известно, что = 2, = – 5. Найти разность арифметической прогрессии.

б) Является ли число 22,5 членом арифметической прогрессии (): 6,8; 8; ..?

в) Между числами 64 и 46 вставьте пять чисел, чтобы последовательность чисел образовала арифметическую прогрессию.

г) Найдите сумму всех целых чисел К, каждое из которых делится без остатка на 24 и удовлетворяет условию – 313 < К < 385. (Задание из централизованного тестирования)

Задание для учеников второй группы

а) В арифметической прогрессии () известно, что = 3, = 7. Найти разность арифметической прогрессии и десятый член.

б) В арифметической прогрессии (): 2; 5; … Найти сумму девяти первых членов.

в) Является ли число 15 членом арифметической прогрессии, где = 2, = 4.

г) Докажите, что последовательность = 3n +2 является арифметической прогрессией.

Задание для сильных учеников

а) В арифметической прогрессии сумма первых трёх членов равно 30, разность шестого и четвёртого равно – 4, а n-ный член равен –10. Найдите . (Задание из централизованного тестирования)

б) Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равно 111. Второе число больше первого в 5 раз. Найти эти числа. (Задание из централизованного тестирования)

в) Найти сумму всех трёхзначных натуральных чисел, каждое из которых кратно 7 и не превосходит 353. (Задание из централизованного тестирования)

г) В арифметической прогрессии () известно, что шестой член прогрессии больше, чем третий в 1,5 раза, а сумма первых шести членов равна 156. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (№ 696(б) из учебника “Алгебра” 9 класс автор Макарычев Ю.Н. и др.)

VII. Подведение итогов урока

Обобщается материал урока. Учитель оценивает индивидуальную работу учащихся.

VIII. Задание на дом:

№ 969 (а) из учебника “Алгебра” 9 класс автор Макарычев Ю.Н. и др. Составить вариант зачётной работы по данной теме.

 

 

 

 

Приложение 1.

Фигурные числа

Фигурные числа были известны еще в Древнем Вавилоне. В V - IV веках до нашей эры ученые, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование. С их помощью можно выложить правильные геометрические фигуры: треугольники, квадраты, пирамиды и т.д.

            Увлеклись, причем независимо друг от друга, нахождением таких чисел Б. Паскаль и П. Ферма.

Рассмотрим несколько рядов натуральных чисел

                 

Элемент ряда с номером        называется линейным фигурным числом, или фигурным числом первого порядка . Фигурные числа второго порядка получаются вычислением последовательных сумм фигурных чисел первого порядка

 

Ряд первого порядка                                                     Ряд сумм - ряд второго порядка

123456...                                                                             136101521...

                                                                                          Получил название треугольные числа

 

Вычислим последовательные суммы элементов второго ряда линейных фигурных чисел. Получим ряд 14916 25...,получивший название квадратные числа.

Аналогично можно получить пятиугольные, шестиугольные и т.п. числа. Все эти многоугольные числа называют плоскими числами.

 

Общий член каждого ряда плоских фигурных чисел - сумма n элементов соответствующего ряда линейных фигурных чисел, которые  образуют  арифметическую прогрессию, где

, а разность d= 1,2,3, ...

 

 

            Про числа 25,49, 100  говорят, что они являются квадратными. А почему? Потому , что они получаются,  если возвести числа 5,7,10 в квадрат.  В  древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно, отмечали случаи, когда камешки можно было сложить в  виде правильной фигуры.  Кроме квадратных чисел были известны треугольные числа.

 


 

                                

 


На рисунке показано:

n  квадратное число равно   ,  а  n-е число равно сумме  всех целых чисел  от одного до  n, т.е.

 

Пятиугольные числа.

Чтобы сосчитать n-е пятиугольное число, его нужно разбить на  три треугольных, после чего останется n точек, как показано на рисунке. В результате получаем, что  n-е пятиугольное  число равно .  Подобным образом можно образовывать  любые многоугольные числа.

Формула для n-го  k –угольного числа такова:

                                  

При k=3 мы получаем треугольные числа, а k=4 – квадратные числа и т.д. Аналогично можно представить число в  виде прямоугольника.  Для числа 12 это можно сделать многими способами  (рис.). Таким образом прямоугольными числами являются  все составные числа, а не прямоугольными – простые числа.  К фигурным числам также относятся пирамидальные числа, которые получаются,  если шарики складывать пирамидкой, как раньше складывали ядра около пушки.  Нетрудно заметить,  что n-е пирамидальное число равно сумме всех треугольных чисел – от первого  до  n-го.

Формула для вычисления  n-го пирамидального числа имеет  вид:

                                             

В настоящее время происходит интенсивное развитие ряда областей комбинаторного анализа, быстро растёт число приложений этого раздела математики.  Методы комбинаторики позволяют решать не только задачи, поставленные  ею  самой, но  и  входят  как обязательные элементы в аппарат решения многочисленных задач в самые различных областях математики.

 

 

Приложение 2

Решение задач.

№694.

Дано:

() –последовательность чисел

 аn= 2,5 n + 2. 

Найти:  S11-21   

Решение.

1)Найдём разность между  (n+1)  и  n –ым членами последовательности.

=2,5,  разность  не зависит  от  n, значит,  данная  последовательность  является  арифметической прогрессией.

2)

 

 

  

 

  

 

Ответ: 407,5

 

№ 684.

Задайте формулой  nго  члена последовательность:

а) треугольных чисел;

б) пятиугольных  чисел.

 

А) Треугольные числа: 1;3;6;10;15

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Пятиугольные числа:  1;5;12;22;…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Автор Хайфуллина Гузель Дамировна
Дата добавления 03.01.2015
Раздел Математика
Подраздел
Просмотров 2150
Номер материала 23497
Скачать свидетельство о публикации

Оставьте свой комментарий:

Введите символы, которые изображены на картинке:

Получить новый код
* Обязательные для заполнения.


Комментарии:

↓ Показать еще коментарии ↓