Абитуриентский час по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»
Цель:
повторение формул для вычисления п-го элемента и суммы п
первых элементов прогрессий, умение применять их при решении.
Задачи:
1) обучающие: зная
формулы для вычисления п-го элемента прогрессий, выражать
остальные элементы; повторить определение среднего арифметического и среднего
пропорционального и их применение в прогрессиях; в нестандартных задачах уметь
определять вид прогрессии и умение работать с тестами для задач, связанных с
прогрессиями;
2) воспитывающие:
самостоятельность, умение работать в коллективе, активность;
3) развивающие:
умение работать с тестами, логическое мышление.
Тип урока:
урок повторения пройденного.
Наглядный материал: таблицы с формулами п-го элемента
прогрессий и исходные из них, формулы суммы п первых элементов
(ученики сами называют формулы, для каждой прогрессии отдельные плакаты); на
каждом столе раздаточный материал с тестами.
Ход
занятия:
1)
Анализ тестов по данной теме, сделанный учениками
по последнему лицейскому тестированию: из 12 сделавших анализ своей работы,
только у троих не было проблем с прогрессиями. Каждый тест обязательно содержит
задание на прогрессию.
Проблемный вопрос: при каких m
2m-3 будет четвертым элементом арифметической прогрессии:
2)
На двух плакатах с помощью учеников восстановить
формулы по прогрессиям:
А)
Повторение формул п-го элемента прогрессий и исходные из них:
для а.п.
,
где (разность прогрессии) и d
> 0 прогр. возраст.; d < 0 прогр. убыв.
для г.п.
, причем, если n-1
– четное число, то ± q;
если n-1 – нечетное число, то q;
(знаменатель прогрессии) и q
> 1 прогр. возраст.; прогр.
убыв.
среднее
арифметическое и среднее пропорциональное для элементов прогрессий:
Задания № 2, 6, 9,
11, 3, 4 из предложенных (ученики находят сами)
В)
Повторение формул суммы п первых элементов прогрессий:
для а. п.
известны и
; если известны
для г. п.
, если известны ;п и
, если известны
для бесконечно
убывающей г. п. ,
где .
3) Решение:
задания можно разделить на следующие виды по степени решения:
I.
непосредственное применение формул, рассмотренных ранее (причем некоторые
задания решаются частично, а последующие ответы подбираются в соответствии с
уже полученным) задания № 8, 12, 13, 5 из предложенных (ученики находят сами)
II. решение с
применением свойств предложенных чисел по условию, определив элементы каких
прогрессий нам даны - задания № 10, 7, 17 из предложенных (ученики выбирают
сами)
III.
применение свойств прогрессий для решения задач и
уравнений – задания
№ 16,
14, 20, 18, 19 из предложенных (ученики выбирают сами);
IV.
замена членов одной прогрессии на любые числа и
результат – получается другая прогрессия – задания № 15, 1 (ученики выбирают сами).
|
|
А
|
В
|
С
|
D
|
Е
|
1.
|
Найти а. п., если
известно, что сумма первых 10 ее членов равна 300, а первый, второй и пятый
члены кроме того, образуют геометрическую прогрессию
|
=30
d = 0
|
=30
d = 0 и
=3
d =6
|
=
5
d = 4
|
=
3
d = 0
|
=
25
d = 2
|
2.
|
В а.п. найти , если
|
4
|
3
|
-2
|
- 5
|
-3
|
3.
|
Сумма трех первых
членов г.п. 56, а сумма трех последующих - 7. Найти произведение третьего и
четвертого членов.
|
48
|
56
|
64
|
32
|
40
|
4.
|
Знаменатель г.п. , а четвертый член , сумма всех ее членов равна Найти число членов.
|
5
|
4
|
2
|
3
|
7
|
5.
|
Сумма третьего и
девятого членов а. п. равна 8. Найти сумму первых одиннадцати членов.
|
77
|
66
|
44
|
8
|
88
|
6.
|
Найти знаменатель
г. п, если
|
-2
|
-3
|
-9
|
2
|
3
|
7.
|
Найти сумму всех
натуральных двузначных чисел, кратных 5.
|
945
|
990
|
1050
|
840
|
1100
|
8.
|
В г. п. 5
положительных членов, первый из которых 1,5 и последний 24. Найти знаменатель
и их сумму.
|
|
|
-
|
|
2; 46,5
|
9.
|
Найти первый член и
разность а. п. ,если
|
5 и 3
|
13 и
2
|
4 и 3
|
-3 и 4
|
3 и 4
|
10.
|
Черепаха ползла к
реке 4 часа, причем за каждый следующий час всего затраченного времени она
проползала вдвое меньшее расстояние, чем в предыдущий. Какое расстояние
проползла черепаха за первый час, если она всего преодолела 90 м?
|
24 м
|
28 м
|
40 м
|
48 м
|
30 м
|
11
|
Сумма третьего и
пятого членов а. п. 30, разность между шестым и первым 20. Найти сумму
первых 8 членов этой прогрессии.
|
119
|
153
|
102
|
160
|
136
|
12
|
Найти три первых
члена бескон. г. п. со знаменателем , сумма которой 6, а сумма 5 первых членов
|
|
1;
|
3;
|
6; 3;
|
4; 2; 1
|
13
|
Сумма п
первых членов г. п.выражается формулой: . Найти
|
12 и
3
|
8 и 3
|
8 и -3
|
6 и -3
|
6 и 3
|
14
|
Найти сумму 19
первых членов а. п., если
|
938
|
532
|
1064
|
2128
|
1094
|
15
|
Три числа, третье
из которых 12, образуют г. п. Если вместо 12 взять 9, то три числа составят
а. п. Найти эти числа.
|
27; 18; 12
|
27; 18; 12 и
3; 6; 12
|
2;
12
|
3;
12
|
3; 6; 12 и
2;12
|
16
|
Некоторые числа
встречаются в обеих а.п. 17; 21;… и 16; 21;… Найти сумму первых 100 чисел,
встречающихся в обеих прогрессиях.
|
100100
|
100010
|
110100
|
100110
|
101100
|
17
|
Вычислить
|
-4848
|
-2323
|
-2525
|
-5050
|
-4040
|
18
|
Найти сумму 20
первых членов а.п.: 5; 2; -1; -4;…
|
-235
|
-470
|
670
|
-250
|
-256
|
19
|
Найти число членов
г. п., в которой
|
6
|
5
|
4
|
7
|
8
|
20
|
Является ли число
299 общим членом следующих двух а. п.: 5; 8; 11; … и 3; 7; 11; …; если «да»,
то укажите его номер в каждой из прогрессий
|
Да
99 и 75
|
Да
96 и 73
|
Да
95 и 77
|
нет
|
Да
98 и 74
|
Тестированные задания:
1)
Найти арифметическую прогрессию, если известно, что
сумма первых 10 ее членов равна 300, а первый, второй и пятый члены кроме того,
образуют геометрическую прогрессию. *
2)
В арифметической прогрессии найти , если *
3)
Является ли число 299 общим членом следующих двух
арифметических прогрессий: 5; 8; 11; … и 3; 7; 11; …; если «да», то укажите
его номер в каждой из прогрессий. *
4)
Геометрическая прогрессия состоит из 12 членов.
Сумма первых четырех членов равна 1440, а сумма следующих четырех равна 90.
Найти сумму последних четырех членов этой прогрессии.
5)
В геометрической прогрессии с положительными
членами Найти
6)
В арифметической прогрессии известны пятый (-150) и
шестой (-147) члены. Найти количество отрицательных членов данной прогрессии. *
7)
Найти число членов геометрической прогрессии, в
которой *
8)
Найти сумму 20 первых членов а.п.: 5; 2; -1; -4;… *
9)
Вычислить сумму: *
10) Второй член убывающей геометрической прогрессии равен , а сумма первого и третьего ее членов
равна Найти произведение
четвертого и членов прогрессии.
11) Сумма первого и четвертого членов арифметической прогрессии равна 2, а
ее пятый член больше третьего на 3. Найти сумму десяти ее первых членов.
12) Некоторые числа встречаются в обеих арифметических прогрессиях 17; 21;…
и 16; 21;… Найти сумму первых 100 чисел, встречающихся в обеих прогрессиях. *
13) Три числа, третье из которых 12, образуют геометрическую прогрессию.
Если вместо 12 взять 9, то три числа составят арифметическую прогрессию. Найти
эти числа. *
14) Найти сумму 19 первых членов арифметической прогрессии, если *
15) Сумма первых трех членов возрастающей геометрической прогрессии равна
13, а их произведение равно 27. Вычислить сумму первых 5 членов этой
прогрессии.
16) Сумма п первых членов геометрической прогрессии
выражается формулой: .
Найти *
17) Найти три первых члена бесконечной геометрической прогрессии со
знаменателем , сумма
которой равна 6, а сумма 5 первых членов равна *
18) Сумма третьего и пятого членов арифметической прогрессии равна 30,
разность между шестым и первым равна 20. Найти сумму первых 8 членов этой
прогрессии. *
19) Сумма четвертого и шестого членов арифметической прогрессии равна 14.
Найти сумму первых 10 членов этой прогрессии.
20) Черепаха ползла к реке 4 часа, причем за каждый следующий час всего
затраченного времени она проползала вдвое меньшее расстояние, чем в предыдущий.
Какое расстояние проползла черепаха за первый час, если она всего преодолела 90
м? *
21) Найти первый член и разность а. п. ,если *
22) В геометрической прогрессии 5 положительных членов, первый из которых
1,5 и последний 24. Найти знаменатель и их сумму. *
23) Найти сумму всех натуральных двузначных чисел, кратных 5. *
24) В г. п. Найти
первый и п –ый элемент прогрессии.
25) Найти знаменатель геометрической прогрессии, если *
26) Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 8.
Найти сумму первых одиннадцати членов этой прогрессии. *
27) Три числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Если среднее
из них удвоить, то получится арифметическая прогрессия. Найти знаменатель
прогрессии.
28) Знаменатель геометрической прогрессии равен , а четвертый член этой прогрессии равен , сумма всех ее членов равна Найти число членов
прогрессии. *
29) Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 56, а сумма
трех последующих ее членов равна 7. Найти произведение третьего и четвертого
членов этой прогрессии.*
4) Итог
занятия.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.